Lôgarit
Bài học Lí thuyết toán 12: Lôgarit giới thiệu cho các em khái niệm và tính chất về lôgarit, các quy tắc tính lôgarit, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Khái niệm Lôgarit
1.1. Định nghĩa
Cho hai số dương 
\(a, b\) với \(a \ne 1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn đẳng thức \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit cơ số của \(a\) và \(b\) được kí hiệu là \({\log _a}b\).
\(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\)
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.
1.2 Tính chất
Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), ta có:
- \({\log _a}a = 1,\,\,\,{\log _a}1 = 0\)
- \({a^{{{\log }_a}b}} = b,\,\,\,{\log _a}({a^\alpha }) = \alpha\)
2. Quy tắc tính lôgarit
2.1. Lôgarit của một tích
Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có:
\({\log _a}({b_1}.{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\)
2.2. Lôgarit của một thương
Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có
\({\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\)
Đặc biệt:
Với \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) => \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\)
Ví dụ: Giá trị của biểu thức \(P = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\) bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có: \(P = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\)
\(\begin{array}{l}
= {\log _2}{12^2} + {\log _2}{5^3} - {\log _2}(15.150)\\
= lo{g_2}\dfrac{{{{12}^2}{{.5}^3}}}{{15.150}} = 3
\end{array}\)
2.3. Lôgarit của lũy thừa
Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), với mọi \(\alpha\), ta có
\({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)
Đặc biệt:
\({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\)
Ví dụ: Cho \(a > 0,b > 0\), nếu viết \({\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{5}{\log _3}a + \frac{y}{{15}}{\log _3}b\) thì \(x+y\) bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có:
\({\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\log _3}{({a^3}b)^{\frac{2}{{15}}}}\)
\(= \frac{2}{5}{\log _3}a + \frac{2}{{15}}{\log _3}b \Rightarrow x + y = 4\)
2.4. Công thức đổi cơ số
Cho 3 số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) với \(a \ne 1,c \ne 1\), ta có
\({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
Đặc biệt:
\({\log _a}c = \frac{1}{{{{\log }_c}a}}\)
\({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\) với \(\alpha \ne 0\).
3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
3.1. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
Cách viết:
\({\log _{10}}b = \log b = \lg b\)
3.2. Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e của một số dương b hay logarit Nê-pe.
Cách viết:
\({\log _e}b = \ln b\)
Lôgarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của lôgarit với cơ số lớn hơn 1.
Ví dụ: Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(B = 2\ln a + 3{\log _a}e - \frac{3}{{\ln a}} - \frac{2}{{{{\log }_a}e}}\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có:
\(B = 2\ln a + 3{\log _a}e - \frac{3}{{\ln a}} - \frac{2}{{{{\log }_a}e}}\)
\(= 2\ln a + 3{\log _a}e - 3{\log _a}e - 2\ln a\)
\(= 0\)
