Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hai đường thẳng
.
và
có vecto chỉ phương
và
có vecto chỉ phương
và
chéo nhau.
Tính diện tích toàn phần hình trụ
Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
Do thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng nên ta có bán kính đáy
và độ dài đường sinh
.
Diện tích toàn phần hình trụ là:
Định tọa độ hình chiếu của A trên Ox
Trong không gian
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên trục
có tọa độ là
Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục
là
.
Mặt phẳng giao tuyến
Cho 3 mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa giao tuyến của
,vuông góc với
có phương trình tổng quát:
Mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng
nên phương trình có dạng:
Vì vuông góc với
nên ta được:
Vậy ta có phương trình là :
Chọn phương án thích hợp
Cho hình hộp
. Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ
?
Hình vẽ minh họa:
Đáp án cần tìm:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Định các giá trị của x và y
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Với giá trị nào của
thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
Ta có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm
cắt trục tung tại
sao cho ![]()
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
và
Tính tổng S
Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là ![]()
đi qua
(nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ
theo thứ tự tại
sao cho hình chóp
là hình chóp đều. Tính tổng
.
Giả sử , với
. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là
mặt phẳng (Pi) có dạng
.
Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có:
Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:
kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:
nên
không thỏa yêu cầu.
nên
nên
, không thỏa yêu cầu
nên
trùng với (P2)
nên
trùng với (P3)
nên
trùng với (P1)
Vậy .
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Xác định vectơ pháp tuyến
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Tìm tích vô hướng hai vectơ
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tích vô hướng của hai vectơ
và
có giá trị bằng:
Ta có:
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trọng tâm tam giác
Cho ba điểm
. Tính
để
là trọng tâm tam giác ABC?
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên áp dụng công thức, ta có:
Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ sau:
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
đồng phẳng.
Xác định hoành độ đỉnh A
Trong không gian
, cho tam giác
vuông tại
,
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Biết rằng đỉnh
có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh
.
Hình vẽ minh họa:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Do C ∈ BC nên
Theo giả thiết nên:
Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).
Gọi . Do
nên:
Vậy đáp án cần tìm là .
Xác định phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và cách
một khoảng lớn nhất?
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là hình chiếu
của lên mp
và doạn thẳng
Ta có : lớn nhất khi
. Khi đó mặt phẳng
đi qua
và vuông với mặt phẳng
Ta có
Thể tích hình lăng trụ
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: