Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề Ôn tập chương 1: Khối đa diện (Khó)

Trắc nghiệm ôn tập chương 1 Hình 12

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bộ đề Trắc nghiệm Ôn tập chương 1: Khối đa diện Hình học 12 các em nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Giá trị lớn nhất của biểu thức

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}}. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| là:

    Hướng dẫn:

    Ta gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

    \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} ight)^2} = \frac{5}{2}

    => M(x;y) \in C\left( {I(0;3);R = \sqrt {\frac{5}{2}} } ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {{\text{z}} + \frac{1}{2} - 2i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight| \hfill \\ \end{matrix}

    với A\left( { - \frac{1}{2};2} ight);B\left( {1;5} ight)

    Ta có: \overrightarrow {IA} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1} ight),;\overrightarrow {IB} = \left( {1;2} ight) suy ra \overrightarrow {IB} = - 2.\overrightarrow {IA}.

    Theo định lý Stewart ta có:

    \sqrt 5 M{A^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}M{B^2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\left( {M{I^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt 5 } ight)

    \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 15

    (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

    \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}

    Suy ra:

    \begin{matrix} M{I^2} = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\widehat {AMB} \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB\left( {\dfrac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} ight) \hfill \\ = \dfrac{2}{3}M{A^2} + \dfrac{1}{3}M{B^2} - \dfrac{2}{9}A{B^2} \hfill \\ \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 3M{I^2} + \dfrac{2}{3}A{B^2} = 15 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó suy ra:

    P = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight|

    = \left( {\sqrt {2.} \sqrt 2 .MA + MB} ight) \leqslant \sqrt {\left( {{{\sqrt 2 }^2} + {1^2}} ight)\left( {2M{A^2} + M{B^2}} ight)} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .

  • Câu 2: Thông hiểu
    Phần thực của số phức z là?

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

    Hướng dẫn:

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Căn bậc hai của số phức

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

    Hướng dẫn:

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\ 2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\ m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered} n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ n = - 2 \Rightarrow m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm x, y thỏa mãn điều kiện

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm phần ảo của số phức

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm tổng các giá trị

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2} và {z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}} = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 = - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{ }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{ }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Giá trị lớn nhất

    Cho số phức z thoả mãn |z+\overline{z}|+ |z-\overline{z}|=|z^2| . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z-5-2i| bằng?

    Hướng dẫn:

    Đặt z=a+bi \,(a,b \in \mathbb R).

    Từ giả thiết |z+\overline{z}|+ |z-\overline{z}|=|z^2|

    \Leftrightarrow 2|a|+2|b|=a^2+b^2\Leftrightarrow(|a|-1)^2+(|b|-1)^2=2   (1).

    Ta có P=|z-5-2i| =\sqrt{ (a-5)^2+(b-2)^2}= \sqrt {2|a|+2|b|-10a-4b+29}.

    Dễ thấy P lớn nhất khi a, b \leq 0.

    Khi đó P=\sqrt {-12a-6b+29}=\sqrt{6[-2(a+1)-(b+1)]+47}

    Do a, b \leq 0 nên từ (1) ta có (a+1)^2+(b+1)^2=2.

    Suy ra P=\sqrt{6[-2(a+1)-(b+1)]+47} \leq \sqrt {6\sqrt{(2^2+1^2)[(a+1)^2+(b+1)^2]+47}}

    =\sqrt {47+6\sqrt{10}}==\sqrt {2} +3\sqrt 5

    Dấu = xảy ra khi \left\{\begin{matrix} (a+1)^2+(b+1)^2=2 \\ \dfrac{a+1}{2} =\dfrac{b+1}{1} \\ a+1, b+1 <0 \end{matrix}ight.  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1-\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \\ b=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\end{matrix}ight..

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của P

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left\{ \begin{gathered} \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \hfill \\ \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \hfill \\ \end{gathered} ight.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z - w} ight|

    Hướng dẫn:

     Cách 1 :

    Giả sử z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight);w = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} ight)^2} + {\left( {b - 2} ight)^2} \leqslant 1(1)

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} \leqslant {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2}

    Suy ra x + y = 0

    P = \left| {z - w} ight| = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b - y} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b + x} ight)}^2}}

    Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên d:y = - x.

    Đường thẳng HI có PTTS: \left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \begin{matrix} M \in HI \Rightarrow M\left( {3 + t;\,2 + t} ight) \hfill \\ M \in \left( C ight) \Leftrightarrow 2{t^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ t = 2 \Rightarrow M\left( {3 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = 3 \Rightarrow M\left( {3 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy {P_{\min }} = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}

    Cách 2 :

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \Delta là trung trực của đoạn AB với A\left( { - 1; - 2} ight),B\left( {2;1} ight).

    \Delta :x + y = 0.

    (Minh hoạ như hình vẽ)

    Tìm giá trị nhỏ nhất của P

    P = \left| {z - w} ight| = MN.

    {P_{\min }} = d\left( {I,\Delta } ight) - R = \frac{{\left| {3 + 2} ight|}}{{\sqrt 2 }} - 1 = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn khẳng định trong các khẳng định dưới đây

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + i} ight| = 2. Chọn phát biểu đúng:

    Hướng dẫn:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \left| {z - 1 + i} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} ight) + \left( {y + 1} ight)i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = 4

  • Câu 10: Nhận biết
    Số phức liên hợp của số phức

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    Gợi ý:

     Cho số phức z = a + bi. Số phức \overline z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên hay \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    Hướng dẫn:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 11: Nhận biết
    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

    Gợi ý:

     Cho số phức z = a + bi. Số phức \overline z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên hay \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    Hướng dẫn:

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 12: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Giá trị của z = 1 + i + {i^2} + ... + {i^{2023}} là?

    Hướng dẫn:

    Ta có: z = \frac{{{i^{2022}} - 1}}{{i - 1}} = 1 + i

    (Áp dụng công thức: {S_n} = 1 + p + {p^2} + ... + {p^n} = \frac{{{p^{n - 1}} - 1}}{{p - 1}})

  • Câu 13: Thông hiểu
    Khẳng định đúng?

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 14: Vận dụng
    Biểu diễn số phức z

    Điểm biểu diễn của số phức z = \frac{1}{{2 - 3i}} là:

    Hướng dẫn:

     Ta có: z = \frac{1}{{2 - 3i}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i

  • Câu 15: Nhận biết
    Tìm số phức?

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 16: Nhận biết
    Giá trị của số phức z

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Hướng dẫn:

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 17: Nhận biết
    Nghiệm của PT bậc 3

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 18: Nhận biết
    Chọn khẳng định sai?

    Cho số phức {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} - \left( {2 + i} ight).\overline z = - 37 - 43i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Hướng dẫn:

     Ta có: {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} = - 38 - 41i \Rightarrow \overline z = \frac{{1 - 2i}}{{ - \left( {2 + i} ight)}} = i.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của mođun số phức

    Cho hai số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 và {z_2} = i{z_1}.

    Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \left| {{z_1} - {z_2}} ight|?

    Hướng dẫn:

    Vì \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 nên điểm biểu diễn {M_1} của {z_1} thuộc đường tròn tâm I(-1; 1) bán kính R = 2

    Vì {z_2} = i{z_1} nên điểm {M_2} (điểm biểu diễn của {z_2}) là ảnh của {M_1} qua phép quay tâm O, góc quay {90^0}

    => \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = {M_1}{M_2} = \sqrt 2 O{M_1} ngắn nhất khi O{M_1} ngắn nhất

    Ta có: \min O{M_1} = R - OI = 2 - \sqrt 2

    Vậy: m = \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } ight) = 2\sqrt 2 - 2

    Do \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 nên điểm biểu diễn của thuộc đường tròn tâm I\left( { - 1;1} ight) bán kính R  = 2.

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - i{z_1}} ight| = \left| {\left( {1 - i} ight){z_1}} ight| = \sqrt 2 \left| {{z_1}} ight| = \sqrt 2 OM \geqslant \sqrt 2 \left( {R - OI} ight) = \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } ight) = 2\sqrt 2 - 2

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị x và y thỏa mãn điều kiện

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 21: Vận dụng cao
    Tính môđun của số phức Z

    Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.\overline z + 2023(z + \overline z ) = 48 - 2022i

    Hướng dẫn:

     - Đặt z = a + bi{\text{ }}(a,b \in \mathbb{R}); \Rightarrow \overline z = a - b

    - Ta có: 3z.\overline z + 2023(z + \overline z ) = 48 - 2022i

    \Leftrightarrow 3({a^2} + {b^2}) + 4046b.i = 48 - 2022i \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 16

    - Vậy \left| z ight| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4

  • Câu 22: Vận dụng
    Chọn phương án đúng nhất

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hướng dẫn:

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 23: Vận dụng
    Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

    Hướng dẫn:

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

  • Câu 24: Vận dụng cao
    Tìm dạng đại số của w

    Cho {z_1} = 1 + \sqrt 3 i; {z_2} = \frac{{7 + i}}{{4 - 3i}}; {z_3} = {\left( {1 - i} ight)^{2016}}. Tìm dạng đại số của w = z_1^{25}.z_2^{10}.z_3^{2016}.

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \left. \begin{array}{l}z_1^{25} = {(1 + \sqrt 3 i)^{25}} = {8^8} + {8^8}\sqrt 3 i\\z_2^{10} = {\left( {\frac{{7 + i}}{{4 - 3i}}} ight)^{10}} = {(2i)^5} = {2^5}i\\z_3^{2016} = {(1 - i)^{2016}} = {( - 2i)^{1008}} = {2^{1008}}\end{array} ight\}

    \Rightarrow w = z_1^{25}.z_2^{10}.z_3^{2016} = - {2^{1037}}\sqrt 3 + {2^{1037}}i.

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Tìm GTLN của môđun số phức z

    Cho số phức z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}},\,\,m \in \mathbb R. Tìm {\left| z ight|_{\max }}?

    Hướng dẫn:

     Ta có: z = \frac{{ - m + i}}{{1 - m(m - 2i)}} = \frac{m}{{{m^2} + 1}} + \frac{i}{{{m^2} + 1}}

    \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt {\frac{1}{{{m^2} + 1}}} \le 1

    \Rightarrow {\left| z ight|_{\max }} = 1 \Leftrightarrow m = 0.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Điểm biểu diễn của số phức

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của modun số phức

    Cho hai số phức {z_1};{z_2} thỏa mãn \left| {{z_1} + 5} ight| = 5\,;\,\left| {{z_2} + 1 - 3i} ight| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {{z_1} - {z_2}} ight|.

    Hướng dẫn:

    Gọi {z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,({a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R})

    Khi đó \left| {{z_1} + 5} ight| = 5 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + 5} ight)^2} + {b_1}^2 = 25

    Tập hợp điểm biểu diễn {z_1} là đường tròn tâm I\left( { - 5;0} ight);R = 5

    Cũng theo giả thiết, ta có:

    \begin{matrix} \left| {{z_2} + 1 - 3i} ight| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} ight| \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{a_2} + 1} ight)^2} + {\left( {{b_2} - 3} ight)^2} = {\left( {{a_2} - 3} ight)^2} + {\left( {{b_2} - 6} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow 8{a_2} + 6{b_2} - 35 = 0. \hfill \\ \end{matrix}

    Tập hợp điểm biểu diễn {z_2} là đường thẳng \Delta :\,\,8x + 6y - 35 = 0

    d(I,\Delta ) = \frac{{\left| { - 5.8 - 35} ight|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \frac{{15}}{2} \Rightarrow d\left( {I,\Delta } ight) > R

    \Rightarrow \min \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = d\left( {I,\Delta } ight) - R = \frac{5}{2}

  • Câu 28: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho số phức z = a + bi , \left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)thỏa mãn \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9 và \left| {\overline z } ight| > 2.

    Tính P = a + b.

    Hướng dẫn:

     Ta áp dụng công thức z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi, có:

    \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow \left( {a + bi + 1 + i} ight)\left( {a - bi - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 - \left( {b + 1} ight)i = 9 - 3i

    Ta xét: \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 = 9 \hfill \\ b + 1 = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ {a^2} + a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \vee \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với {z_1} = 2i \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán.

    Với {z_2} = - 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 thỏa yêu cầu bài toán.

    Vậy P = a + b = 1

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tính giá trị

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 30: Vận dụng cao
    Tìm phần ảo

    Biết {z_1},{z_2} = 5 - 4i và {z_3} là ba nghiệm của phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight),

    trong đó {z_3} là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} bằng:

    Hướng dẫn:

     Xét phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight) là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là z_1.

    Do đó phương trình tương đương với:

    \left( {z - {z_1}} ight)\left( {{z^2} + a'z + b'} ight) = 0\,\,\,\left( {a',b' \in \mathbb R} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = {z_1}\,\, \in \mathbb R\\{z^2} + a'z + b' = 0\,\,\,\left( 1 ight)\end{array} ight..

    Nên {z_3},{z_2} = 5 - 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

    Suy ra .{z_3} = 5 + 4i

    Khi đó : w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} = {z_1} + 3.\left( {5 - 4i} ight) + 2.\left( {5 + 4i} ight) = \left( {25 + 2{z_3}} ight) - 4i.

    Vậy phần ảo của w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} là -4.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (23%):
    2/3
  • Thông hiểu (27%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
20 Bài viết đã được lưu

Tham khảo thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm