Công thức tính nhanh cực trị
Bài học Lí thuyết toán 12: Công thức tính nhanh cực trị đã hệ thống lại cho các em tất cả các công thức giải nhanh trong những trường hợp hay gặp của bài toán cực trị hàm số. Bên cạnh đó là một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba 
\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
- Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)
- Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow {b^2} - 3ac > 0\).
- Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : \(y = \left( {\frac{{2c}}{3} - \frac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + d - \frac{{bc}}{{9a}}\).
- Áp dụng công thức sau để tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\, - \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {\frac{x}{3} + \frac{b}{{9a}}} \right)\xrightarrow{{x = i}}Ai + B \Rightarrow y = Ax + B\)
- Hoặc sử dụng công thức tính nhanh là:
\(y - \frac{{y'.y''}}{{18a}}\)
- Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:
\(AB = \sqrt {\frac{{4e + 16{e^3}}}{a}}\) với \(e = \frac{{{b^2} - 3ac}}{{9a}}\)
2. Giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là \((C)\).
Tính đạo hàm hàm trùng phương trên, ta được tổng quát:
\(y' = 4a{x^3} + 2bx;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = - \frac{b}{{2a}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
- \((C)\) có ba điểm cực trị \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow - \frac{b}{{2a}} > 0\)
- Khi đó ba điểm cực trị là:
\(A\left( {0;c} \right)\,\,,\,\,B\left( { - \sqrt { - \frac{b}{{2a}}} ; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\,\,,\,\,C\left( {\sqrt { - \frac{b}{{2a}}} ; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\,\)với \(\,\Delta = {b^2} - 4ac\)
- Độ dài các đoạn thẳng:
\(AB = AC = \sqrt {\frac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} - \frac{b}{{2a}}} \,\,,\,\,BC = 2\sqrt { - \frac{b}{{2a}}}\).
3. Bảng Công thức nhanh tìm cực trị
CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác \(ABC\) thỏa mãn dữ kiện:
| STT | Dữ kiện | Công thức thỏa mãn \(ab < 0\) |
| 1 | Tam giác \(ABC\) vuông cân tại |
\(8a + {b^3} = 0\) |
| 2 | Tam giác \(ABC\) đều |
\(24a + {b^3} = 0\) |
| 3 | Tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat {BAC} = \alpha\) |
\(\tan \frac{\alpha }{2} = - \frac{{8a}}{{{b^3}}}\) |
| 4 | Tam giác \(ABC\) có diện tích \({S_{\Delta ABC}} = {S_0}\) |
\(32{a^3}{({S_0})^2} + {b^5} = 0\) |
| 5 | Tam giác \(ABC\) có diện tích \(max({S_0})\) |
\({S_0} = \sqrt { - \frac{{{b^5}}}{{32{a^3}}}}\) |
| 6 | Tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp \({r_{\Delta ABC}} = {r_0}\) |
\({r_0} = \frac{{{b^2}}}{{\left| a \right|\left( {1 + \sqrt {1 - \frac{{{b^3}}}{a}} } \right)}}\) |
| 7 | Tam giác \(ABC\) có độ dài cạnh \(BC = {m_0}\) |
\(a.m_0^2 + 2b = 0\) |
| 8 | Tam giác \(ABC\) có độ dài \(AB = AC = {n_0}\) |
\(16{a^2}n_0^2 - {b^4} + 8ab = 0\) |
| 9 | Tam giác \(ABC\) có cực trị \(B,C \in Ox\) |
\({b^2} - 4ac = 0\) |
| 10 |
Tam giác |
\(b(8a + {b^3}) > 0\) |
| 11 |
Tam giác |
\({b^2} - 6ac = 0\) |
| 12 |
Tam giác |
\({b^3} + 8a - 4ac = 0\) |
| 13 |
Tam giác |
\(R = \left| {\frac{{{b^3} - 8a}}{{8ab}}} \right|\) |
| 14 |
Tam giác |
|
| 15 |
Tam giác |
|
| 16 |
Tam giác |
\({b^3} - 8a - 8abc = 0\) |
Ví dụ:
Cho hàm số \(y = 2{x^2} - 3(m + 1){x^2} + 6mx + {m^3}\).
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho \(AB = \sqrt 2\).
Giải.
+) Ta có: \(y' = 6(x - 1)(x - m)\).
+) Hàm số có CĐ, CT \(\Leftrightarrow y' =0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m \ne 1\) .
+) Khi đó các điểm cực trị là \(A(1;{m^3} + 3m - 1),\,B(m;3{m^2})\).
+) Theo đề bài, ta có:
\(AB = \sqrt 2\) \(\Leftrightarrow {(m - 1)^2} + (3{m^2} - {m^3} - 3m + 1) = 2\)
\(\Leftrightarrow m=0;m=2\) (thoả mãn điều kiện).
Vậy để \(AB = \sqrt 2\) thì \(m= \{0;2 \}\).
