VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Điểm cực đại của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm. Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ:
Hàm số g(x) = f(x - 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
- A. x = 2
- B. x = 4
- C. x = 3
- D. x = 1
Cách 1: Ta có:
$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 1} \\ {x - 1 = 3} \\ {x - 1 = 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {x = 4} \\ {x = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < x - 1 < 3} \\ {x - 1 > 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 < x < 4} \\ {x > 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy chọn đáp án B
Cách 2: Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f’(x) theo phương trục hoành sang bên phải 1 đơn vị. Ta có hình vẽ minh họa:
Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) cắt trục hoành tạo các điểm có hoành độ x = 2, x = 4, x = 6 và giá trị hàm số g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4
Chọn B
Câu 2: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đồ thị như hình vẽ.

Biết $ABCD$ là hình chữ nhật thay đổi sao cho hai điểm $B$ , $C$ luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Hai điểm $A,\ \ D$ nằm trên trục hoành (điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ).

a) [NB] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y' = f'(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .Sai||Đúng

c) [TH] Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \right)$ với $x > 0$ thì diện tích $ABCD$ là $S(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ . Sai||Đúng

d) [VD] Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất khi $AD = 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đồ thị như hình vẽ.

Biết $ABCD$ là hình chữ nhật thay đổi sao cho hai điểm $B$ , $C$ luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Hai điểm $A,\ \ D$ nằm trên trục hoành (điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ).

a) [NB] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y' = f'(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .Sai||Đúng

c) [TH] Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \right)$ với $x > 0$ thì diện tích $ABCD$ là $S(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ . Sai||Đúng

d) [VD] Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất khi $AD = 2$ . Đúng||Sai

a) Hàm số mũ $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Suy ra mệnh đề đúng.

b) Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y'\ = \left( - \frac{1}{2}x^{2} ight)^{'}e^{- \frac{1}{2}x^{2}} = - xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .

Suy ra mệnh đề sai.

c) Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} ight)$ với $x > 0$ thì cạnh $AD = 2x$ , cạnh $AB = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ được tính theo công thức $S(x) = 2xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .

Suy ra mệnh đề sai.

d) Xét hàm số $S(x) = 2xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$

$S'(x) = 2e^{- \frac{1}{2}x^{2}} - 2x^{2}e^{- \frac{1}{2}x^{2}} = 2e^{- \frac{1}{2}x^{2}}\left( 1 - x^{2} ight)$

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1\ (Loai) \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Hàm số $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 1$ . Khi đó $AD = 2$

Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình sau:
Đồ thị hàm số trên có đường tiệm cận đứng là:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = - 2$
- C.
  $y = - 1$
- D.
  $y = - 2$
Dựa vào đồ thị hàm số, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là $x = - 1$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Gọi $m,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x| + 2$ trên $\lbrack - 2; - 1brack$ . Tính giá trị biểu thức $C = m + n$ ?
- A.
  $C = 8$
- B.
  $C = 5$
- C.
  $C = 7$
- D.
  $C = 6$
Vì trên đoạn $\lbrack - 2; - 1brack$ thì $0 \leq |x| \leq 2 \Leftrightarrow 2 \leq |x| + 2 \leq 4 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 4 \\ n = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C = 6$
Câu 5: Vận dụng
Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left| {f\left( {\cos x} ight)} ight| = - 2m + 3$ có bốn nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } ight]$ là:
- A. $\left\{ 1 ight\}$
- B. $\left[ {1;\frac{3}{2}} ight]$
- C. $\left[ {1;\frac{3}{2}} ight)$
- D. $\left( {0;1} ight)$
Đặt $t = \cos x;t \in \left[ { - 1;1} ight]$
Ta có: $\left| {f\left( t ight)} ight| = - 2m + 3\left( * ight);t \in \left[ { - 1;1} ight]$
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } ight]$ khi phương trình (*) có hai nghiệm $t \in \left[ { - 1;1} ight]$
$\Leftrightarrow 0 < 2m + 3 \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \leqslant m < \frac{3}{2}$
Câu 6: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}\left( x^{2} + m^{2} \right) - 3(x + m)$ . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Với mọi giá trị của tham số $m$ thì $g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ , đồng biến trên $( - \infty; - 2)$ và $(0;2)$ .
- B.
  Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số $m$ để $g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ , đồng biến trên $( - \infty; - 2)$ và $(0;2)$ .
- C.
  Với mọi giá trị của tham số $m$ thì $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ và $(0;2)$ .
- D.
  Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số $m$ để $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ và $(0;2)$ .
Với mọi giá trị của tham số $m$ ta luôn có: $g'(x) = f'(x) - x - 3$ .

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x + 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow g(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ và $(0;2)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 2x + 3} - x$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
- A.
  0.
- B.
  2.
- C.
  1.
- D.
  3.
Ta có:

* $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x + 3} - x ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3} + x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1} ight) = 1$

* $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x + 3} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2}\left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} ight)} - x ight)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} - 1 ight) = + \infty$

Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Do đó phương trình $f'(x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này $f'(x)$ đều đổi dấu nên số cực trị của hàm số $y = f(x)$ là bốn cực trị.
Câu 9: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ . Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x) = 45 - 0,001x^{2}$ . Cho phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 30x$ triệu đồng. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng. Đúng||Sai

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng. Sai||Đúng

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $(0 \leq x \leq 100)$ cho $B$ là $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ . Đúng||Sai

d) $A$ bán cho $B$ khoảng $70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ . Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x) = 45 - 0,001x^{2}$ . Cho phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 30x$ triệu đồng. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng. Đúng||Sai

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng. Sai||Đúng

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $(0 \leq x \leq 100)$ cho $B$ là $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ . Đúng||Sai

d) $A$ bán cho $B$ khoảng $70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Đúng||Sai

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(10) = 100 + 30.10 = 400$ triệu đồng. Do đó a) đúng.

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $R(10) = 10.P(10) = 10.\left( 45 - 0,001.10^{2} \right) = 449$ triệu đồng. Do đó b) sai.

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được là:

$H(x) = R(x) - C(x) = xP(x) - C(x) = P(x)$

$=45x - 0,001x^{3} - (100 + 30x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$

Do đó c) đúng.

d) Xét hàm số $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ , $(0 \leq x \leq 100)$ ta có:

$H'(x) = - 0,003x^{2} + 15$ , $H'(x) = 0$ $\Leftrightarrow - 0,003x^{2} +15 = 0$ $\Leftrightarrow x = 50\sqrt{2}$ .

Ta có $H(0) = - 100$ ; $H\left( 50\sqrt{2} \right) = 500\sqrt{2} - 100$ ; $H(100) = 400$ .

Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt{2} \approx 70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( 50\sqrt{2} \right) = 500\sqrt{2} - 100$ . Do đó d) đúng.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ là
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ và có đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

Ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm nên phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ có $4$ nghiệm.
Câu 11: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + m^{2}}{x - 2}$ trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ bằng $- 1$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $m \in ( - 1;0)$
- B.
  $m \in ( - 4;3)$
- C.
  $m \in (4;6)$
- D.
  $m \in (0;1)$
Ta có: $y' = \frac{- 2 - m^{2}}{(x - 2)^{2}} < 0$ nên giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + m^{2}}{x - 2}$ trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ là: $f( - 1) = - 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2} - 1}{- 3} = - 1 \Leftrightarrow m = \pm 2 \in ( - 4;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - 4;3)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight)x$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_{0} = 1$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 0$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Hàm số đạt cực đại tại $x_{0} = 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(1) = 0 \\ f''(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - 6m + 3m^{2} - 3 = 0 \\ 6 - 6m < 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 2$ .
Câu 13: Vận dụng
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}}$ là:
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Ta có: ${f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.$
Phương trình $f\left( x ight) = 4$ có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình $f\left( x ight) = 1$ có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng ${\left( {x - 2} ight)^2}$ nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số
=> Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}}$ có 4 đường tiệm cận đứng.
Câu 14: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 2mx +m + 1 ight)$ với $\forallx\mathbb{\in R}$ và $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in (10; + \infty)$ để hàm số $g(x) =f\left( |x| ight)$ có 5 điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 2mx +m + 1 ight)$ với $\forallx\mathbb{\in R}$ và $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in (10; + \infty)$ để hàm số $g(x) =f\left( |x| ight)$ có 5 điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Thông hiểu
Tính số cực trị của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số $f(x) = (x + 2)^{3}(x - 3)^{2}(x - 2)^{5}$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Ta có:

$f'(x) = 3(x + 2)^{2}(x - 3)^{2}(x -2)^{5}$ $+ 2(x + 2)^{3}(x - 3)(x - 2)^{5}$ $+ 5(x + 2)^{3}(x - 3)^{2}(x -2)^{4}$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ight brack$ $\left\lbrack 3(x - 3) + 2(x +2)(x - 2) + 5(x + 2)(x - 3) ightbrack$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack$ $\left\lbrack 3\left( x^{2} -5x + 6 ight) + 2\left( x^{2} - 4 ight) + 5\left( x^{2} - x - 6ight) ightbrack$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack$ $\left( 3x^{2} - 15x + 18 +2x^{2} - 8 + 5x^{2} - 5x - 30 ight)$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack (x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack\left( 10x^{2} - 20x - 20 ight)$

Khi đó

$f'(x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack (x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack\left( 10x^{2} - 20x - 20 ight) = 0(*)$

Phương trình (*) có ba nghiệm bội lẻ $x = 3;x = 1 \pm \sqrt{3}$

Vậy hàm số ban đầu có ba điểm cực trị.
Câu 16: Nhận biết
Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có mấy điểm cực trị?
- A.
  $2.$
- B.
  $1.$
- C.
  $0.$
- D.
  $3.$
Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $y' > 0;\forall x eq 1$
- B.
  $y' < 0;\forall x\mathbb{\in R}$
- C.
  $y' < 0;\forall x eq 1$
- D.
  $y' > 0;\forall x\mathbb{\in R}$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ nên $y' < 0;\forall x eq 1$ .
Câu 18: Nhận biết
Tìm giá trị cực đại của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
- A.
  3.
- B.
  -3.
- C.
  -1.
- D.
  2.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2.
Câu 19: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y =x^{3} - x^{2} + 3mx - 1$ với $m$ là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2brack$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =x^{3} - x^{2} + 3mx - 1$ với $m$ là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2brack$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng
Xác định khoảng chứa các giá trị tham số m

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8$ (với $m$ là tham số) có đồ thị $(C)$ . Giả sử các điểm $A;B;C$ là các điểm cực trị của $(C)$ . Để tam giác $ABC$ đều thì giá trị của tham số $m$ nằm trong khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $\left( 0;\frac{1}{4} ight)$
- C.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$
- D.
  $(1;2)$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay $x^{2} = m + 1$ có hai nghiệm khác 0

$\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $(C)$ có ba điểm cực trị là $A\left( 0;m^{2} + 8 ight)$ ; $B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ ; $C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ .

Ta có: $AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}$

Do đó tam giác $ABC$ đều $\Leftrightarrow AB = BC$

$\Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}$

$\Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)$

$\Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện $m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}$ .

Vậy đáp án cần tìm là $m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$ .
Câu 21: Vận dụng
Tính giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = x - m$ , với $m$ là tham số thực. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho điểm $G(2; - 2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ ( $O$ là gốc toạ độ). Giá trị của $m$ bằng
- A.
  $6$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $- 9$ .
- D.
  $5$ .
Hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ có $y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0$ , $\forall x \in D$ và đường thẳng $d:y = x - m$ có hệ số $a = 1 > 0$ nên $d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_{A};\ y_{A} ight)$ và $B\left( x_{B};\ y_{B} ight)$ với mọi giá trị của tham số $m$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $\frac{x + 3}{x + 1} = x - m$

$\Leftrightarrow x^{2} - mx - m - 3 = 0\ \ \ \ (x eq - 1)$ .

Suy ra $x_{A}$ , $x_{B}$ là 2 nghiệm của phương trình $x^{2} - mx - m - 3 = 0$ .

Theo định lí Viet, ta có $x_{A} + x_{B} = m$ .

Mặt khác, $G(2; - 2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên $x_{A} + x_{B} + x_{O} = 3x_{G}$

$\Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 6$ $\Leftrightarrow m = 6$ .

Vậy $m = 6$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 22: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng với đồ thị

Cho hình vẽ:
Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?
- A.
  $y = - x^{3} + 3x +1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} +2$
- C.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x - 1$
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$ và đồ thị hàm số đi qua điểm $(2; - 3)$ nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là $y = x^{3} -3x^{2} + 1$ .
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số sau đây?
- A.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} - 4$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
- C.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = - x^{3} + 2x^{2} + 1$
Đồ thị hàm số có hệ số $a < 0$ và có hai điểm cực trị là $A(0;1),B(2;5)$ nên chỉ có hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ thỏa mãn vì

$y' = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A(0;1) \\ x = 2 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow B(2;5) \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy hàm số xác định được là $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ .
Câu 24: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ . Hàm số $y = f'\left( x ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Bất phương trình $\frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( {0;1} ight)$ khi và chỉ khi
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ . Hàm số $y = f'\left( x ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Bất phương trình $\frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( {0;1} ight)$ khi và chỉ khi
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
- A.
  3
- B.
  1.
- C.
  4.
- D.
  2.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có:

+ $\lim_{x ightarrow - \infty}y = 0;\lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang.

+ $\lim_{x ightarrow ( - 3)^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}} = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 3$ là tiệm cận đứng.

+ $\lim_{x ightarrow 3^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow 3^{+}} = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.
Câu 26: Nhận biết
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty; + \infty)$
- B.
  $( - \infty;1)$
- C.
  $(1; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

$f'(x) = \frac{- 5}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$ suy ra hàm số nghịch biến trên $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
Câu 27: Vận dụng
Chọn phương án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ . Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( 3 - x^{2} \right) + 2018$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;\ \ 0)$
- B.
  $(2;\ \ 3)$
- C.
  $( - 2;\ \ - 1)$
- D.
  $(0;\ \ 1)$
Ta có $\left\lbrack f\left( 3 - x^{2} ight) + 2018 ightbrack^{'} = - 2x.f'\left( 3 - x^{2} ight)$ .

$- 2x.f'\left( 3 - x^{2} ight) = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 3 - x^{2} = - 6 \\ 3 - x^{2} = - 1 \\ 3 - x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;\ \ 0)$ .
Câu 28: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(0) > f(2020)$
- B.
  $f( - 2) = f(2)$
- C.
  $f( - 2020) < f(2020)$
- D.
  $f(1) > f(0)$
Ta có: $y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f'(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Do $0 < 2020 \Rightarrow f(0) > f(2020)$
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{4} - 2(m + 2)x^{2} + 3m - 1$ . Tìm $m$ để hàm số đã cho có cực tiểu nhưng không có cực đại?
- A.
  $( - \infty; - 2)$
- B.
  $\left\{ - 2;2 ight\}$
- C.
  $(2; + \infty)$
- D.
  $( - \infty; - 2brack$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m + 2)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 2)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 2 \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đã cho chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại thì $m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 2$ .

Vậy đáp án cần tìm là $( - \infty; - 2brack$ .
Câu 30: Vận dụng
Tính tổng các giá trị của tham số m

Tổng các giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + mx - \frac{1}{5x^{5}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng:
- A.
  $- 10$
- B.
  $- 3$
- C.
  $- 6$
- D.
  $- 7$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

$\Leftrightarrow y' = 3x^{2} + m + \frac{1}{x^{6}} \geq 0;\forall x \in (0; + \infty)$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\Leftrightarrow y' = 3x^{2} + \frac{1}{x^{6}} + m = \left( x^{2} + x^{2} + x^{2} + \frac{1}{x^{6}} ight) + m$

$\geq 4\sqrt[4]{x^{2}.x^{2}.x^{2}.\frac{1}{x^{6}}} = 4 + m;\forall x \in (0; + \infty)$

$(*) \Leftrightarrow m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 4$

Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 ight\}$

Vậy tổng các giá trị của tham số m là $- 10$ .
Câu 31: Nhận biết
Xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + x}$
- A.
  $x = 0;x = 1$ .
- B.
  $y = 0;y = - 1$ .
- C.
  $x = 0;x = - 1$ .
- D.
  $y = 0;y = 1$ .
Ta có: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;0 ight\}$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( \frac{x - 1}{x^{2} + x} ight) = - \infty$ và $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}\left( \frac{x - 1}{x^{2} + x} ight) = + \infty$

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $x = 0;x = - 1$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định điều kiện của m thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $y = x^{3} + mx^{2} + m$ . Điều kiện cần và đủ của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ là:
- A.
  $m \leq - 3$
- B.
  $m \geq 0$
- C.
  $m \leq 0$
- D.
  $m \geq - 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 2mx$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $(0;2)$ thì $y' \leq 0;\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow 3x^{2} + 2mx \leq 0;\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow 2mx \leq - 3x^{2} \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}x^{2};\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{(0;2)}\left\{ - \frac{3}{2}x ight\} = - 3$

Vậy giá trị cần tìm là $m \leq - 3$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ trên $\lbrack 0;4brack$ là:
- A.
  $f(0)$
- B.
  $f(4)$
- C.
  $f(2)$
- D.
  $f(3)$
Ta có: $f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}};\forall x \in \lbrack 0;4brack$ nên hàm đồng biến trên $\lbrack 0;4brack$

Do đó $\min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0)$
Câu 34: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.
Biết rằng $f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
- A. m = f(4); M = f(2)
- B. m = f(4); M = f(1)
- C. m = f(0); M = f(2)
- D. m = f(1); M = f(2)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Câu 35: Thông hiểu
Xác định các giá trị nguyên tham số m

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \frac{(m + 1)x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  2.
- D.
  3.
TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\}$

$y' = \frac{- m^{2} - m + 2}{(x - m)^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của ta cần tìm $m$ để $y' \geq 0$ trên $( - \infty;\ m)$ và $(m;\ + \infty)$ và dấu "= " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên các khoảng đó

ĐK: $- m^{2} - m + 2 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1.$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên $m = - 1,0$ .
Câu 36: Nhận biết
Tìm tọa độ giao điểm

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
- A.
  $(0\ ;\ 2)$ .
- B.
  $( - 2\ ;\ 0)$ .
- C.
  $(0\ ;\ - 2)$ .
- D.
  $(2\ ;\ 0)$ .
Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0\ ;\ - 2)$ .
Câu 37: Nhận biết
Chọn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $6$
Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = 2$
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = f\left( 2 - x^{2} ight)$ trên $\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack$ là:
- A.
  $f(0)$
- B.
  $f(1)$
- C.
  $f\left( \sqrt{2} ight)$
- D.
  $f(2)$
Đặt $t = 2 - x^{2};t' = - 2x \leq 0;\forall x \in \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack \Rightarrow t \in \lbrack 0;2brack$

$\Rightarrow \max_{\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack}g(x) = \max_{\lbrack 0;2brack}f(t) = f(0)$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi m

Cho hàm số $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Biết $f( - 1) = 1;f\left( - \frac{1}{e} \right) = 2$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f(x) < \ln( - x) + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1;\frac{- 1}{e} \right)$ .
- A.
  $m \geq 2$ .
- B.
  $m \geq 3$ .
- C.
  $m > 2$ .
- D.
  $m > 3$ .
Ta có $f(x) < \ln( - x) + m \Leftrightarrow m > f(x) - \ln( - x)$ .

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \ln( - x)$ trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Có $g'(x) = f'(x) - \frac{1}{x}$ .

Trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ có $f'(x) > 0$ và $\frac{1}{x} < 0$ nên $g'(x) > 0,\forall x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Rightarrow$ Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Vậy nên $f(x) < \ln( - x) + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq g(x),\forall x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq g\left( - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq 3$ .
Câu 40: Vận dụng cao
Xác định khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack - 1\ ;\ 1\rbrack$ và thỏa $f(1) = 0$ , $\left( f'(x) \right)^{2} + 4f(x) = 8x^{2} + 16x - 8$ . Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^{3} - 2x + 3$ đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - 1;2)$ .
- B.
  $(0;3)$ .
- C.
  $(0;2)$ .
- D.
  $( - 2;2)$ .
Chọn $f(x) = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$ (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).

$\Rightarrow f'(x) = 2ax + b$ .

Ta có:

$\left( f'(x) \right)^{2} + 4f(x) = 8x^{2} + 16x - 8$

$\Leftrightarrow (2ax + b)^{2} + 4\left( ax^{2} + bx + c \right) = 8x^{2} + 16x - 8$

$\Leftrightarrow \left( 4a^{2} + 4a \right)x^{2} + (4ab + 4b)x + b^{2} + 4c = 8x^{2} + 16x - 8$

Đồng nhất 2 vế ta được:

$\left\{ \begin{matrix} 4a^{2} + 4a = 8 \\ 4ab + 4b = 16 \\ b^{2} + 4c = - 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = - 3 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 4 \\ c = - 6 \end{matrix} \right.$ .

Do $f(1) = 0 \Rightarrow a + b + c = 0$ $\Rightarrow a = 1$ , $b = 2$ và $c = - 3$ .

Vậy $f(x) = x^{2} + 2x - 3 \Rightarrow g(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2}$

$\Rightarrow g^{'(x)} = - x^{2} + 2x$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right.\ .$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(\ 0\ ;\ 2\ )$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

49 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian