VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm các khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Xét hàm số $g(x) = f\left( x^{2} - 3 ight)$ và các mệnh đề sau:

(i) Hàm số $g(x)$ có ba điểm cực trị.

(ii) Hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

(iii) Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x = 2$ .

(iv) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$ .

(v) Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ .

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 3 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 2 \\ x^{2} - 3 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 1 \\ x^{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đồ thị ta nhận thấy $x = \pm 1$ là nghiệm kép nên ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g(x)$ ta thấy hàm số có 3 cực trị và đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$ .

Vậy có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Câu 2: Nhận biết
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 7x$ với trục hoành là
- A.
  $0$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $1$ .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là: $- x^{3} + 7x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 7 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{7} \\ \end{matrix} ight.$ .

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 7x$ với trục hoành bằng $3$ .
Câu 3: Nhận biết
Tính tổng min và max của hàm số trên đoạn

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;5brack$ và có đồ thị trên đoạn $\lbrack - 1;5brack$ như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\lbrack - 1;5brack$ bằng
- A.
  $- 1$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Từ đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} M = \max_{\lbrack - 1;5brack}f(x) = 3 \\ n = \min_{\lbrack - 1;5brack}f(x) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M + n = 1.$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số

Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x) = - x^{3} - 3x^{2} + a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ bằng $0.$
- A.
  $a = 2.$
- B.
  $a = 6$ .
- C.
  $a = 0$ .
- D.
  $a = 4$ .
Đạo hàm $f'(x) = - 3x^{2} - 6x$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \in \lbrack - 1;1brack \\ x = - 2 otin \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = a - 2 \\ f(0) = a \\ f(1) = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = f(1) = a - 4$

Theo bài ra: $\min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = 0 \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 16}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $( - 5;2)$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Điều kiện xác định $x eq m$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(x - m)^{2}}$ . Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 5;2)$ ta có;

$\left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ m otin ( - 5;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4 < m < 4 \\ m otin ( - 5;2) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $m\mathbb{\in Z}$ nên $m \in \left\{ 2;3 ight\}$

Vậy có hai giá trị của tham số m cần tìm.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{mx - 8}{2x - m}$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
- A.
  $m > - 4$
- B.
  $m < 8$
- C.
  $- 4 < m < 4$
- D.
  $m < 4$
Tập xác định $x eq \frac{m}{2}$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì $y' > 0 \Leftrightarrow \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 16 > 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$

Vậy đáp án cần tìm là: $- 4 < m < 4$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Nếu m = 0 thì hàm số đã cho trở thành $y = - x^{2} + 1$ .

Đây là hàm số đa thức bậc hai nên có 1 điểm cực trị.

Nếu $m eq 0$ thì hàm số đã cho là hàm số trùng phương có:

$y' = 4mx^{3} + 2(m - 1)x = 2x\left( 2mx^{2} + m - 1 ight)$ .

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2mx^{2} + m - 1 = 0(*) \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Điều kiện tương đương là:

$\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m(m - 1) < 0 \\ 2m.0^{2} + m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ 0 < m < 1 \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$
Câu 8: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

a) Đồ thị hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$

- Giữ nguyên phần trên trục Ox.

- Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ qua trục Ox.

b) Ta có: $y = \frac{|x + 1|}{x - 1} = \left\{ \begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x \geq - 1;x eq 1 \\ - \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ gồm hai phần:

Phần 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ với $x \geq - 1;x eq 1$ .

Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị $y = f(x)$ với x < −1 qua trục Ox.

c) Đồ thị $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox

Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ qua trục Ox.

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là giống nhau.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
- B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3
- C. Giá trị cực tiểu bằng -2
- D. Hàm số có hai cực trị và ${y_{CD}} < {y_{CT}}$
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
$\begin{matrix} y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = \frac{8}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( { - 1} ight) = - 1 < 0} \\ {y''\left( 3 ight) = 1 > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( { - 1} ight) = - 2} \\ {{y_{CT}} = y\left( 3 ight) = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {y_{CD}} < {y_{CT}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m}$ có ba đường tiệm cận?
- A.
  $14$
- B.
  $16$
- C.
  $15$
- D.
  $8$
Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} = 0$ nên suy ra hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì phải có 2 tiệm cận đứng hay phương trình $x^{2} - 8x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\left\{ \begin{matrix} 16 - m > 0 \\ 1^{2} - 8.1 + m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 16 \\ m eq 7 \\ \end{matrix} ight.$

Do m nguyên dương nên có 14 giá trị m thỏa mãn.
Câu 11: Thông hiểu
Tìm m nguyên để hàm số nghịch biến

Cho hàm số $y = \frac{mx + 7m - 6}{x + m}$ với $m$ là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Ta có: $y' = \frac{m^{2} - 7m + 6}{(x + m)^{2}};\forall x eq - m$

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $y' < 0;\forall x eq - m$

$\Leftrightarrow m^{2} - 7m + 6 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4;5 ight\}$

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Vận dụng cao
Tìm liều lượng thuốc lớn nhất cần dùng

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight)$ , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
- A. x = 8
- B. x = 10
- C. x = 15
- D. x = 7
Xét $G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight)$ ta có:
$\begin{matrix} G'\left( x ight) = 0,035\left( {30x - 3{x^2}} ight) \hfill \\ G'\left( x ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {G\left( 0 ight) = G\left( {15} ight) = 0} \\ {G\left( {10} ight) = 17,5} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;15} ight]} = 17,5 \Rightarrow x = 10$
Câu 13: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Đáp án là:

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Gọi $x,h$ $(m)$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá.

Ta có thể tích bể cá $V = 2x^{2}h$ .

Theo đề bài ta có:

$2xh + 2.2xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow 6xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow h = \frac{8 - 2x^{2}}{6x}$

$V = 2x^{2}\frac{8 - 2x^{2}}{6x} = \frac{8x - 2x^{3}}{3}$

$\Rightarrow V' = \frac{8 - 6x^{2}}{3}$

$\Rightarrow V' = 0$

$\Leftrightarrow 8 - 6x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ta có bảng biển thiên

$\Rightarrow V_{\max} = \frac{32\sqrt{3}}{27} \approx 2,1\ \ m^{3}$
Câu 14: Vận dụng
Tìm số đường tiệm cận của hàm số

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ là:
- A. 4
- B. 2
- C. 5
- D. 3
Phương trình $f\left( x ight) = 2018$ có 2 nghiệm phân biệt
=> Đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi $x \to - \infty$ thì $y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}$
Khi $x \to + \infty$ thì $y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}$
Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}}$ có 1 tiệm cận ngang.
Câu 15: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Gọi $m_{1};m_{2}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2} + m - 1$ có hai điểm cực trị là $P;Q$ sao cho diện tích tam giác $OPQ$ bằng $2$ ( $O$ là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức $m_{1}.m_{2}$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $- 15$
- C.
  $12$
- D.
  $- 20$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: $y' = 6x^{2} - 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = m - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Suy ra $P(0;m - 1),Q(1;m - 2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ} = (1; - 1) \Rightarrow \left| \overrightarrow{PQ} ight| = \sqrt{2}$

Đường thẳng (PQ) đi qua điểm $P(0;m - 1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (1;1)$ làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình

$1(x - 0) + 1(y - m + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - m + 1 = 0$

$d(O;PQ) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}$

Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:

$S_{OAB} = \frac{1}{2}.d(O;PQ).PQ = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2} = 2 \Leftrightarrow |1 - m| = 4$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - m = 4 \\ 1 - m = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m_{1}.m_{2} = - 15$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm phương án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x + 1)^{2},\ \forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
Ta có

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x + 1)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ (x + 1)^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vì nghiệm $x = 0$ là nghiệm bội lẻ và $x = - 1$ là nghiệm bội chẵn nên số điểm cực trị của hàm số là 1.
Câu 17: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 12x + 1 - m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?
- A.
  $30$
- B.
  $32$
- C.
  $31$
- D.
  $33$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $x^{3} - 12x + 1 - m = 0$

Ta cps: $x^{3} - 12x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 12x + 1 = m(*)$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} y = x^{3} - 12x + 1 \\ y = m \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 12x + 1$ và đường thẳng $y = m$ .

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = x^{3} - 12x + 1$ ta có:

$y' = 3x^{2} - 12 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Với $- 15 < m < 17$ thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt. Mặt khác do m nguyên nên $m \in \left\{ - 14;...;16 ight\}$ .

Vậy có 31 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?
- A.
  $y = - x^{3} + x^{2} - 1$
- B.
  $y = x^{4} - x^{2} - 1$
- C.
  $y = x^{3} - x^{2} - 1$
- D.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 1$
Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số $a > 0$ .

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{4} - x^{2} - 1$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
- A.
  3
- B.
  1.
- C.
  4.
- D.
  2.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có:

+ $\lim_{x ightarrow - \infty}y = 0;\lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang.

+ $\lim_{x ightarrow ( - 3)^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}} = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 3$ là tiệm cận đứng.

+ $\lim_{x ightarrow 3^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow 3^{+}} = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m

Cho hàm số $f(x) = x^{3} + \left( m^{2} +1 \right)x + m^{2} - 2$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;2\rbrack$ bằng $7.$
- A.
  $m = \pm 1$ .
- B.
  $m=\pm \sqrt{7}$ .
- C.
  $m = \pm \sqrt{2}$ .
- D.
  $m = \pm 3$ .
Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} + m^{2} + 1> 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\lbrack 0;2brack$
$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}f(x)= f(0) = m^{2} - 2$
Theo bài ra: $\min_{\lbrack0;2brack}f(x) = 7 \Leftrightarrow m^{2} - 2 = 7 \Leftrightarrow m =\pm 3.$
Câu 21: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên

Và hàm số $y = g(x)$ có bảng biến thiên

Hàm số $y = f(x).g(x) + \sqrt{2x + 3} - \frac{1}{x + 2}$ chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - 2;1)$ .
- B.
  $( - 1;1)$ .
- C.
  $\left( - \frac{3}{2};1 \right)$ .
- D.
  $(1;4)$ .
Xét $y = f(x).g(x) + \sqrt{2x + 3} - \frac{1}{x + 2}.$

Tập xác định: $D = \left\lbrack - \frac{3}{2};1 \right\rbrack$ . Từ tập xác định loại được phương án $( - 2;1)$ , $(1;4)$

Ta có:

$y' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)+ \frac{2}{\sqrt{2x + 3}}$ $+ \frac{1}{(x + 2)^{2}} > 0,\forall x \in (- 1;1).$

Với phương án “ $\left( - \frac{3}{2};1 \right)$ ”, có $g'(x) < 0$ trên $\left( - \frac{3}{2}; - 1 \right)$ nên chưa kết luận được về dấu của hàm số cần xét.
Câu 22: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}$ nhỏ hơn $2$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Ta có: $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y$

$\Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1$

Phương trình có nghiệm khi

$m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1$

$\Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0$

Xét phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ có $\Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m$

Suy ra phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

$\Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$

Suy ra $\max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

$\max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ suy ra $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 23: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

c) $f'(2) = 4$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

c) $f'(2) = 4$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$ . Đúng||Sai

a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta thấy $f'(x) \geq 0;\forall x \geq 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta thấy $f'(x)$ chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số $f'(x)$ có dạng $f'(x) = a(x + 2)^{2}(x - 1)$

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ đi qua $(0; - 4)$ nên $- 4 = a(0 + 2)^{2}(0 - 1) \Leftrightarrow a = 1$

Vậy $f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1) \Rightarrow f'(2) = 16$

d) Đúng: Ta có: $g'(x) = f'(x) - x + 1$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x - 1$

Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y = f'(x)$

Khi đó $f'(x) = x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$
Câu 24: Nhận biết
Tìm số điểm cực trị

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ là hàm trùng phương có $a.b = - 8 < 0$ nên hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 25: Nhận biết
Xác định tiệm cận ngang

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang là:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $y = - 1$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $y = 1$
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 1$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Gọi $m_{0}$ là số thực sao cho phương trình $\left| x^{3} - 12x \right| = m_{0}$ có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; $x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3}$ . Biết rằng $m_{0}$ có dạng $a\sqrt{3} + b$ với $a$ ; $b$ là các số hữu tỷ. Tính $4a^{2} + 8b$ :
- A.
  $106$ .
- B.
  $115$ .
- C.
  $113$ .
- D.
  $101$ .
Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| x^{3} - 12x ight|$

Do đó với mọi $m \in (0\ ;\ 16)$ thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; $x_{3}$ $\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} ight)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{matrix} - x_{1}^{3} + 12x_{1} = m_{0} \\ - x_{2}^{3} + 12x_{2} = m_{0} \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} = m_{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} ight)^{3} - 12\left( - x_{1} ight) - m_{0} = 0 \\ \left( - x_{2} ight)^{3} - 12\left( - x_{2} ight) - m_{0} = 0 \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} - m_{0} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow - x_{1}$ ; $- x_{2}$ ; $x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình $x^{3} - 12x - m_{0} = 0$

$\Rightarrow - x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = x_{1} + x_{2}$

Mà $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3} \Rightarrow x_{3} = \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow m_{0} = \left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight)^{3} - 12\left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{97}{8}$

$\Rightarrow a = \frac{3}{2}$ ; $b = \frac{97}{8} \Rightarrow 4a^{2} + 8b = 106$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tìm số cực trị của hàm số

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Từ giả thiết ta có đồ thị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ như sau:

Vậy hàm số $y = \left| f(x) ight|$ có ba điểm cực trị.
Câu 28: Vận dụng
Chọn mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Xét hàm $g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ .
- B.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ .
- C.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ .
- D.
  Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$ .
Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( x^{2} - 2 ight) > 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ là sai.
Câu 29: Nhận biết
Tìm tọa độ cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
- A. (-2; 0)
- B. (-1; 4)
- C. (0; 1)
- D. (1; 0)
Ta có:
$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 6x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( 1 ight) = 6 > 0} \\ {y''\left( { - 1} ight) = - 6 < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)
Câu 30: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $(2; + \infty)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;2)$ .
- D.
  $(2;3)$ .
Quan sát đồ thị nhận biết khoảng nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ có đồ thị như hình vẽ:

Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = - 2$
- D.
  $T = 2$
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đường tiệm cận đứng $x = 2$ , đường tiệm cận ngang $y = - 1$

Xét hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ đồ thị có tiệm cận đứng $x = c$ và tiệm cận ngang $y = a$

suy ra $c = 2;a = - 1$

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ đi qua điểm $(1;0)$ $\Rightarrow \frac{a.1 - b}{1 - c} = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = 1$

Vậy $T = - 1 + 1 + 2 = 2$ .
Câu 32: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = \left| x^{3} - (2m +1)x^{2} + mx + m ight|$ với $m$ là tham số. Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m \in \lbrack -2021;2021brack$ sao cho đồ thị của hàm số có $5$ điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \left| x^{3} - (2m +1)x^{2} + mx + m ight|$ với $m$ là tham số. Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m \in \lbrack -2021;2021brack$ sao cho đồ thị của hàm số có $5$ điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 33: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 6x$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A. $\left( {2;3} ight)$
- B. $\left( {1;6} ight)$
- C. $\left( { - 6; - 1} ight)$
- D. $\left( { - 3; - 2} ight)$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' = {x^2} - 2x + 6} \\ {y' < 0} \end{array} \Rightarrow } ight.{x^2} - 2x + 6 < 0 \Rightarrow 2 < x < 3$
=> Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Câu 34: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 5 + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $0$
- B.
  $- 1$
- C.
  $- 3$
- D.
  $- 2$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

$y = x + \frac{1}{x} - 5 \geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}} - 5 = - 3$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ ).

Vậy $\min_{(0; + \infty)}y = - 3$
Câu 35: Nhận biết
Tìm tiệm cận đứng đường thẳng

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{- x + 2}$ là đường thẳng
- A.
  $x = 2$ .
- B.
  $x = \frac{1}{2}$ .
- C.
  $y = - 2$ .
- D.
  $x = - 2$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{2x - 1}{- x + 2} = - \ \infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$ .
Câu 36: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = f(x);y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng $( - 4;3)$ , hàm số $y = e^{- x + 10}f(x)$ có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Ta có: $y' = - e^{- x + 10}f(x) + f'(x).e^{- x + 10} = e^{- x + 10}.\left\lbrack - f(x) + f'(x) \right\rbrack$

Dựa vào đồ thị, ta có:

$y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a; - a < a < - 3 \\ x = b; - \frac{3}{2} < b < 0 \\ x = c;0 < c < 3 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số $y = e^{- x + 10}.f(x)$ có hai khoảng nghịch biến $(a;b),(c;3)$ .
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{3} + 5x + 7$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 5;0brack$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $7$
- B.
  $5$
- C.
  $80$
- D.
  $- 143$
Ta có: Hàm số đã cho xác định và liên túc trên đoạn $\lbrack - 5;0brack$

$y' = 3x^{2} + 5 > 0;\forall x \in \lbrack - 5;0brack$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\lbrack - 5;0brack$

Vậy $\max_{\lbrack - 5;0brack}y = y(0) = 7$ .
Câu 38: Vận dụng
Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - mx + 2$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ một góc $\alpha = 45^{0}.$
- A.
  $m = - \frac{1}{2}.$
- B.
  $m = \frac{1}{2}.$
- C.
  $m=0.$
- D.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x - m.$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3.$

Ta có

$y = y'.\left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} ight) - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$

$\overset{}{ightarrow}$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$

Đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{d} = (1;4).$

Đường thẳng $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta} = \left( \frac{2m}{3} + 2;1 ight).$

Ycbt $\overset{}{\leftrightarrow}\frac{\sqrt{2}}{2} = cos45^{0}$

$= \cos(d,\Delta) = \left| \cos\left( {\overrightarrow{n}}_{d},{\overrightarrow{n}}_{\Delta} ight) ight|$

$= \dfrac{\left| 1.\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight) + 4.1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}.\sqrt{\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight)^{2} + 1^{2}}}$

$\overset{}{\leftrightarrow}60m^{2} + 264m + 117 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \dfrac{1}{2} \\ m = - \dfrac{39}{10}\ \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > - 3}{ightarrow}m = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Câu 39: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh $6dm$ , bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 7,3

Đáp án là:

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh $6dm$ , bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 7,3

Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là x(dm) với $0 < x < 6\sqrt{2}$ như hình bên.

Ta có: $AH = \frac{AC - HK}{2} = 3\sqrt{2} - \frac{x}{2}$ .

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

$h = \sqrt{AH^{2} - OH^{2}} = \sqrt{\left( 3\sqrt{2} - \frac{x}{2} ight)^{2} - \left( \frac{x}{2} ight)^{2}} = \sqrt{18 - 3x\sqrt{2}}$ .

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3}hx^{2} = \frac{1}{3}x^{2}\sqrt{18 - 3x\sqrt{2}} = \frac{1}{3}\sqrt{x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)}$

Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)$ với $0 < x < 6\sqrt{2}$ .

Ta có: $f'(x) = x^{3}.\left( - 15x\sqrt{2} + 72 ight)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{12\sqrt{2}}{5} \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên của f(x) như sau

Từ bảng biến thiên ta có:

$\max_{\left( 0;6\sqrt{2} ight)}f(x) = f\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight) \approx 477,75$ tại $x = \frac{12\sqrt{2}}{5}$ .

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng:

$V_{\max} = \frac{1}{3}\sqrt{\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight)^{4}\left( 18 - 3\sqrt{2}.\frac{12\sqrt{2}}{5} ight)} \approx 7,3\left( dm^{3} ight)$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tìm hàm số đồng biến trên tập số thực

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = x^{4} + x^{2} - 1$
- B.
  $y = x^{3} - x^{2} + 3x + 11$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \frac{x + 2}{x + 4}$
Xét hàm số $y = x^{3} - x^{2} + 3x + 11$ ta có:

$y' = - 3x^{2} + 2x + 3 = \left( \sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}} ight)^{2} + \frac{8}{3} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

49 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian