VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính tổng các phần tử của tập P

Gọi $P$ là tập tất cả các số nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + 1$ đồng biến trên khoảng $(3; + \infty)$ . Tính tổng tất cả các phần tử của tập $P$ ?
- A.
  $45$
- B.
  $55$
- C.
  $9$
- D.
  $36$
Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 4x^{3} - 4mx \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)$

$\Leftrightarrow 4x\left( x^{2} - m ight) \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \leq x^{2};\forall x \in (3; + \infty)$

Do đó $m \leq 9 \Rightarrow P = \left\{ 1;2;3;...;9 ight\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập $P$ bằng $45$ .
Câu 2: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai

b) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai

c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ . Đúng||Sai

d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $y = 2x + 5$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai

b) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai

c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ . Đúng||Sai

d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $y = 2x + 5$ . Sai||Đúng

Hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

a) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; -1) và (3;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và (1;3) .

b) Đúng: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm (−1;2)

c) Đúng: Xét $\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = - \infty;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = + \infty$ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}$ .

d) Sai: Xét $\lim_{x ightarrow \infty}\left\lbrack y - (x + 5) ightbrack = \lim_{x ightarrow \infty}\left\lbrack \frac{4}{x - 1} ightbrack = 0$ nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đứng và ngang)?
- A.
  $2$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Từ BBT ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}y = - 1$ . Vậy đường thẳng $y = - 1$ là đường TCN của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow 1^{-}}y = + \infty\left( \lim_{x \rightarrow 1^{+}}y = - \infty \right)$ . Vậy đường thẳng $x = 1$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 đường tiệm cận.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\max_{( - 1;\ 1brack}f(x) = f(0)$
- B.
  $\max_{(0;\ + \infty)}f(x) = f(1)$
- C.
  $\min_{( - \infty;\ - 1)}f(x) = f( - 1)$
- D.
  $\min_{( - 1;\ + \infty)}f(x) = f(0)$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}(x - 4)^{4},\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  $3$
- B.
  $5$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Câu 6: Thông hiểu
Xác định điều kiện của m thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $y = x^{3} + mx^{2} + m$ . Điều kiện cần và đủ của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ là:
- A.
  $m \leq - 3$
- B.
  $m \geq 0$
- C.
  $m \leq 0$
- D.
  $m \geq - 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 2mx$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $(0;2)$ thì $y' \leq 0;\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow 3x^{2} + 2mx \leq 0;\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow 2mx \leq - 3x^{2} \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}x^{2};\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{(0;2)}\left\{ - \frac{3}{2}x ight\} = - 3$

Vậy giá trị cần tìm là $m \leq - 3$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + mx - 1$ đạt cực đại tại $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 3$ . Khi đó:
- A.
  $m \in (0;1)$
- B.
  $m \in (2;3)$
- C.
  $m \in (1;2)$
- D.
  $m \in ( - \infty; - 1brack$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + m$ hàm số có hai cực trị $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi $\Delta > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2 \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{m}{3} \\\end{matrix} ight.$ .

Mặt khác ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 3$

$\Leftrightarrow 2^{2} - 2.\frac{m}{3} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}(tm)$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in (1;2)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng:

Hàm số $y = x^{3} +3x^{2} - 9x - 1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- A. $(-\infty ; -3)$ và $(1;+\infty )$
- B. $(-\infty ; 1)$
- C. $(-3;+\infty )$
- D. (-3;1)
Câu 10: Vận dụng
Định khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = (x - 3)(x - 4)(x - 2)^{2}(x - 1),\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Hàm số $y = g(x) = f(x) + \frac{x^{4}}{4} - \frac{5x^{3}}{3} + 4x^{2} - 4x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty;1)$
- B.
  $(1; 2).$
- C.
  $(3;5).$
- D.
  $\left( 0;\frac{3}{2} \right).$
Ta có

$g'(x) = f'(x) + x^{3} - 5x^{2} + 8x - 4$ $= f'(x) + (x - 1)(x - 2)^{2}$

$= (x - 1)(x - 2)^{2}(x^{2} - 7x + 13).$

Khi đó $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}. \right.$

Bảng xét dấu của hàm số $g'(x)$ như sau

Vậy hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty;1).$
Câu 11: Nhận biết
Xác định số điểm cực trị

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x^{2}}$ . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}};(x eq 0)$

Xét dấu $y'$ ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in (0; + \infty) \\ y' < 0;\forall x \in ( - \infty;0) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số có 1 cực trị.
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;5brack$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xác định hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;5brack$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $5$
- D.
  $1$
Từ đồ thị hàm số ta có: $\max_{\lbrack - 1;5brack}y = 3;\min_{\lbrack - 1;5brack}y = - 2$

Khi đó $\max_{\lbrack - 1;5brack}y - \min_{\lbrack - 1;5brack}y = 5$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
- A.
  Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .
- B.
  Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .
- C.
  Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = - 2$ .
- D.
  Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = - 2$ .
Dựa vào đồ thị ta có

$\underset{x\ \rightarrow ( - 1)^{-}}{lim\ }f(x) = + \infty$ và $\underset{x\ \rightarrow \ ( - 1)^{+}}{lim\ }f(x) = + \infty$ nên đường thẳng $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\underset{x \rightarrow - \infty}{lim\ }f(x) = 2$ và $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim\ }f(x) = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  4.
- D.
  3.
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = 1\overset{}{ightarrow}y = 1$ là TCN.

Xét phương trình $x^{2} - |x| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = + \infty \\ \lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}x = 2$ là TCĐ;

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow - 2^{+}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = - \infty \\ \lim_{x ightarrow - 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow - 2^{-}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}x = - 2$ là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
Câu 15: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

c) $f'(2) = 4$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

c) $f'(2) = 4$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$ . Đúng||Sai

a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta thấy $f'(x) \geq 0;\forall x \geq 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta thấy $f'(x)$ chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số $f'(x)$ có dạng $f'(x) = a(x + 2)^{2}(x - 1)$

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ đi qua $(0; - 4)$ nên $- 4 = a(0 + 2)^{2}(0 - 1) \Leftrightarrow a = 1$

Vậy $f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1) \Rightarrow f'(2) = 16$

d) Đúng: Ta có: $g'(x) = f'(x) - x + 1$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x - 1$

Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y = f'(x)$

Khi đó $f'(x) = x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)$
Câu 16: Thông hiểu
Tìm điều kiện của tham số m theo yêu cầu

Hàm số $y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1$ nghịch biến trên khoảng $(1;3)$ khi và chỉ khi:
- A.
  $m \geq 1$
- B.
  $1 < m < 3$
- C.
  $m > 3$
- D.
  $m \geq 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1$

$\Rightarrow y' = 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$

$\Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow x^{2} - (m + 1)x + m \leq 0;\forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow m \geq x;\forall x \in (1;3)$

Vậy $m \geq 3$ là giá trị cần tìm.
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng đi qua điểm $M( - 4;5)$ ?
- A.
  $y = \frac{- 4x + 7}{x + 5}$
- B.
  $y = \frac{5x + 1}{x + 4}$
- C.
  $y = \frac{- 4x + 1}{x - 5}$
- D.
  $y = \frac{5x + 3}{x - 4}$
Xét hàm số $y = \frac{5x + 1}{x + 4}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ + }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra $x = - 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng đi qua điểm $M( - 4;5)$ .
Câu 18: Vận dụng
Số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:
Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:
- A. 4
- B. 1
- C. 3
- D. 2
Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:
$g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)$
$g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)$
$g'\left( x ight) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) < - 2 \Leftrightarrow x > \alpha$
Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị $x = \alpha$
Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị
Câu 19: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- A.
  $( - \infty;0)$
- B.
  $(0;3)$
- C.
  $(3; + \infty)$
- D.
  $\left( - \infty\frac{5}{2} ight)$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

$y = f'(x) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$ và $f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 3$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\left( x ight) = \left( {x - 2} ight){\left( {x - 3} ight)^2}$ . Khi đó số cực trị của hàm số là:
- A. 0
- B. 2
- C. 1
- D. 4
Ta có:
$\begin{matrix} y' = 2f'\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ = 2\left( {2x + 1 + 2} ight){\left( {2x + 1 - 3} ight)^2} \hfill \\ = 2\left( {2x - 1} ight){\left( {2x - 2} ight)^2} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> Hàm số có 1 cực trị.
Câu 21: Nhận biết
Tìm hàm số thích hợp

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình vẽ?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$
- B.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x^{2} - 1$
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a < 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ .
Câu 22: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Ta xác định được các số $a$ , $b$ , $c$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ đi qua điểm $( - 1;1)$ và có điểm cực trị $(2;1)$ . Tính giá trị biểu thức $T = 2025(a + c - b)$ .

Đáp án: 4050

Đáp án là:

Ta xác định được các số $a$ , $b$ , $c$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ đi qua điểm $( - 1;1)$ và có điểm cực trị $(2;1)$ . Tính giá trị biểu thức $T = 2025(a + c - b)$ .

Đáp án: 4050

Ta có: $y' = 3x^{2} + 2ax + b$ .

Đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ đi qua điểm $( - 1;1)$ nên ta có: $a - b +c = 2$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực trị $(2;1)$ nên $\left\{ \begin{matrix} 4a + 2b + c = - 7 \\ y'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a + 2b + c = 7 \\ 4a + b = - 12 \\ \end{matrix} ight.$ .

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} a - b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = - 7 \\ 4a + b = - 12 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 0 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $T = 2025(a + c - b) = 2025( - 3 + 5 - 0) = 4050$ .
Câu 23: Vận dụng
Xác định số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f(x) = ax^{2} + bx + c$ đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $g = f\left( x^{2} \right)$ có mấy điểm cực trị?
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Xét hàm số $g = f\left( x^{2} \right)$ .

Đặt $t = x^{2}$ . Khi đó với $t \geq 0$ , hàm $g = f(t)$ có đồ thị là dạng của đồ thị hàm số $f(x)$ bên phải trục $Oy$ . Hàm số $g = f\left( x^{2} \right)$ là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Từ đó ta có đồ thị hàm $g(t)$ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 24: Nhận biết
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;1] là:
- A. 1
- B. -2
- C. 0
- D. -3
Câu 25: Thông hiểu
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị đã cho

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:
- A.
  $y = - x^{4} +2x^{2}$
- B.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} -1$
- C.
  $y = - 2x^{4} + 4x^{2} -1$
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} -1$
Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên loại đáp án $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0; -1)$ nên loại đáp án $y = - x^{4} +2x^{2}$
Lại có đồ thị hàm số có các điểm cực trị $(1;1),( - 1,1)$ nên loại đáp án $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$
Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2x^{4} +4x^{2} - 1$ .
Câu 26: Thông hiểu
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = x^{3} - 3x$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty; - 1)$ .
- B.
  $( - \infty; + \infty)$ .
- C.
  $( - 1;1)$ .
- D.
  $(0; + \infty)$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có $y' = 3x^{2} - 3;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có bảng xét dấu $y'$ :

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ .
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y= \dfrac{2\cot x + 1}{\cot x + m}$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ ?
- A.
  $m \in ( - \infty; - 1) \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ightbrack$
- B.
  $m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)$
- C.
  $m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left( 0;\frac{1}{2} ight)$
- D.
  $m \in \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$
Điều kiện xác định $\cot x eq - m$

Ta có: $y' = \dfrac{-\dfrac{2}{\sin^{2}x}\left( \cot x + m ight) + \dfrac{1}{\sin^{2}}(2\cot x +1)}{\left( \cot x + m ight)^{2}}$

$= \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x +m ight)^{2}}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 2m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm $y = f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn. Biết rằng $f(0) = 0$ , $f( - 3) = f\left( \frac{3}{2} \right) = - \frac{19}{4}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có dạng như hình vẽ.

Xét hàm số $g(x) = \left| 4f(x) + 2x^{2} \right| - 2m^{2} + 1$ với $m$ là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $m \in ( - 50;50)$ để phương trình $g(x) = 1$ có đúng hai nghiệm thực?
- A.
  $94$ .
- B.
  $96$ .
- C.
  $47$ .
- D.
  $48$ .
Ta có $\left| 4f(x) + 2x^{2} ight| - 2m^{2} + 1 = 1$

$\Leftrightarrow \left| 4f(x) + 2x^{2} ight| = 2m^{2}(1)$

Xét hàm số $h(x) = 4f(x) + 2x^{2}$ , ta có $h'(x) = 4\left\lbrack f'(x) - ( - x) ightbrack$ .

Dựa vào đồ thị hàm số $f'(x)$ và đường thẳng $y = - x$ .

Ta thấy: $h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$

và $h( - 3) = 4f( - 3) + 2( - 3)^{2} = - 1$ , $h(0) = 0$ , $h\left( \frac{3}{2} ight) = 4f\left( \frac{3}{2} ight) + 2\left( \frac{3}{2} ight)^{2} = - \frac{29}{2}$ .

Do đó ta có bảng biến thiên hàm số $h(x)$ như sau

Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số $\left| h(x) ight|$ như sau

Do đó để phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm thực thì $2m^{2} > \frac{29}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > \frac{\sqrt{29}}{2} \\ m < - \frac{\sqrt{29}}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mà $m$ là số nguyên thuộc $( - 50;50)$ nên $\left\lbrack \begin{matrix} 3 \leq m \leq 49 \\ - 49 \leq m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy có $94$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Câu 29: Vận dụng
Chọn phương án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số $g(x) = f\left( 3 - 2^{x} \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây
- A.
  $(3; + \infty)$ .
- B.
  $( - \infty; - 5)$ .
- C.
  $(1;2)$ .
- D.
  $(2;7)$ .
Ta có $g'(x) = - 2^{x}ln2.f'\left( 3 - 2^{x} ight)$ .

Để $g(x) = f\left( 3 - 2^{x} ight)$ đồng biến thì

$g'(x) = - 2^{x}ln2.f'\left( 3 - 2^{x} ight) \geq 0 \Leftrightarrow f'\left( 3 - 2^{x} ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow - 5 \leq 3 - 2^{x} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 3$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $(1;\ 2)$ .
Câu 30: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

Vì vậy chiều dài $l$ của ống thép phải thỏa mãn $l \leq AN$ , $\forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}AN(*)$

Ta có $AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{AB^{2} + 4}$

Trong đó $AB = AM + MB = \frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

Xét hàm số $g(\alpha) = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

$\Rightarrow g'(\alpha) = - \frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} = 0$

$\Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha = cos^{3}\alpha$

$\Leftrightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}$

Vì vậy $\min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq \sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight) ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504$
Câu 31: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài $12\ cm$ và chiều rộng $6\ cm$ .

Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?
- A.
  $\min L = 6\sqrt{2}\ cm$ .
- B.
  $\min L = \frac{9\sqrt{3}}{2}cm$ .
- C.
  $\min L = \frac{7\sqrt{3}}{2}\ cm$ .
- D.
  $\min L = 9\sqrt{2}\ cm$ .
Xét mô hình với các điểm $A,\ \ B,\ \ E,\ \ F,\ \ G$ như hình vẽ.

Đặt $EB = x$ (cm) với $0 < x < 6 \Rightarrow A E = 6 - x$ .

Do $\Delta EB G = \Delta E FG$ nên $E F = BE = x.$

Trong tam giác vuông AEF có:

$\cos\widehat{AEF} = \frac{6 - x}{x} \Rightarrow \cos\widehat{BE F} = \frac{x - 6}{x}$ (hai góc bù nhau).

Ta có $\widehat{BEF} = 2\widehat{BEG}$ nên $\cos\widehat{B E F} = cos(2\widehat{BE G}) = 2cos^{2}\widehat{BE G} - 1 = \frac{x - 6}{x}$

$\Rightarrow \cos\widehat{B E G} = \sqrt{\frac{x - 3}{x}}$ (do $\widehat{BE G}$ là góc nhọn của tam giác nên $\cos\widehat{BE G} > 0$ ).

Trong tam giác vuông $BE G$ có $EG = \frac{BE}{\cos\widehat{BE G}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{x - 3}{x}}} = \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 3}}$ .

Xét hàm $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 3}$ với $x \in (0;6)$ , ta có: $f'(x) = \frac{3x^{2}(x - 3) - x^{3}}{(x - 3)^{2}} = \frac{2x^{3} - 9x^{2}}{(x - 3)^{2}}$ ;

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^{3} - 9x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = \frac{9}{2} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $\min_{(0;6)}f(x) = \frac{243}{4}$ nên $EG =\sqrt {f(x)}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ , khi đó $x = \frac{9}{2}.$
Câu 32: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $\mathbf{1.}$
- B.
  $\mathbf{2.}$
- C.
  $\mathbf{3.}$
- D.
  $\mathbf{4.}$
Từ bảng biến thiên, ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 ightarrow y = 0$ là TCN;

$\lim_{x ightarrow \ ( - 2)^{+}}y = - \infty ightarrow x = - 2$ là TCĐ;

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}y = + \infty ightarrow x = 0$ là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận
Câu 33: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5$ và đường thẳng $y = x$ ?
- A.
  $3$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $1$ .
Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} = x - 5$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - 4 = (x - 5)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - x^{2} + 10x - 29 = 0\ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.$

Do $x \geq 5$ nên $x^{4} - x^{2} = x^{2}(x^{2} - 1) > 0$ và $10x - 29 > 0$ . Vì vậy $(*)$ vô nghiệm

Như vậy phương trình $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x$ vô nghiệm hay đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5$ và đường thẳng $y = x$ không có giao điểm nào.

Cách 2:

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x$ . Ta có điều kiện xác định $\left\lbrack \begin{matrix} x \geq \sqrt{2} \\ x \leq - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

Với điều kiện trên ta có $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x = 0$

Xét hàm số $h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x$ . Ta có $h'(x) = \frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4} - 4}} - 1$ ; $h'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^{3} = \sqrt{x^{4} - 4}$

Với $x \geq \sqrt{2}$ ta có $2x^{3} > \sqrt{x^{4} - 4}$ . Với $x \leq - \sqrt{2}$ ta có $2x^{3} < \sqrt{x^{4} - 4}$

Ta có Bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x$ là số giao điểm của đồ thị $y = h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x$ và trục hoành $y = 0$ .

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x$ vô nghiệm hay đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5$ và đường thẳng $y = x$ không có giao điểm nào.
Câu 34: Vận dụng
Tìm m để bất phương trình có nghiệm

Giá trị của tham số m để bất phương trình $(x - 2 - m)\sqrt{x - 1} \leq m - 4$ có nghiệm là:
- A.
  $m \leq 3$
- B.
  $m \geq 2$
- C.
  $m \geq 0$
- D.
  $m < 2$
Đặt $t = \sqrt{x - 1};(t \geq 0)$

Khi đó bất phương trình ban đầu trở thành:

$\left( t^{2} - m - 1 ight).t \leq m - 4 \Leftrightarrow m \geq \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1}$ trên $\lbrack 0; + \infty)$

Ta có: $f'(t) = \frac{2t^{3} + 3t^{2} - 5}{(t + 1)^{2}} = \frac{(t - 1)\left( 2t^{2} + 5t + 5 ight)}{(t + 1)^{2}}$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Bảng biến thiên của $f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1};t \in \lbrack 0; + \infty)$

Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có nghiệm thì $m \geq 2$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ .
- B.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .
- C.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),( - 1; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số nghịch biến trên tập $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ .
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình $f(x) = 1$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $4$ .
Ta có đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra phương trình $f(x) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 37: Nhận biết
Tìm cực đại của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)(x - 2);\forall x\mathbb{\in R}$ . Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt là:
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Phương trình $m - f(x) = 0$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(C):y = f(x)$ và đường thẳng $(d):y = m$

Để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(C);(d)$ có ba giao điểm $\Leftrightarrow 1 < m < 4$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 39: Vận dụng cao
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số $y = f'\left( 2x + \frac{3}{2} \right)$ như hình vẽ bên.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( - \frac{1}{2};\frac{7}{2} \right)$ .
- B.
  $\left( - \frac{5}{4};\frac{1}{4} \right)$ .
- C.
  $\left( \frac{3}{4}; + \infty \right)$ .
- D.
  $\left( - \infty;\frac{- 1}{2} \right)$ .
Ta cần giải bất phương trình $y' = f'(x) > 0$ .

Dựa vào đồ thị $y = f'\left( 2x + \frac{3}{2} \right)$ .

Ta có $f'\left( 2x + \frac{3}{2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < - 1 \\ x > 3 \end{matrix} \right.\ (*)$

Đặt $t = 2x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}(2x - 3)$ .

Khi đó $(*) \Leftrightarrow f'(t) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < \frac{2t - 3}{4} < 1 \\ \frac{2t - 3}{4} > 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \frac{1}{2} < t < \frac{7}{2} \\ t > \frac{15}{2} \end{matrix} \right.$ .

Do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left( - \frac{1}{2};\frac{7}{2} \right)$ và $\left( \frac{15}{2}; + \infty \right)$ .
Câu 40: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + m\ (C)$ . Tìm $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $1$ .
- A.
  $m = 1$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = - 2$ .
- D.
  $m = 2$ .
Ta có $y' = 4x^{3} - 4mx$ . khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \right.$ .

Hàm số có $3$ điểm cực trị $\Leftrightarrow$ $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$ .

Các điểm cực trị của đồ thị là $A(0;\ m)$ , $B\left( \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right)$ , $C\left( - \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right)$

Ta có: $AB = AC = \sqrt{m^{4} + m}$ , $BC = 2\sqrt{m}$ .

Gọi $I$ là trung điểm $BC$ .

Suy ra $I\left( 0; - m^{2} + m \right)$ và $AI = m^{2}$ .

$S = \frac{1}{2}AI.BC = \left( \frac{AB + BC + CA}{2} \right).r$

$\Leftrightarrow m^{2}.2\sqrt{m} = \left( 2\sqrt{m^{4} + m} + 2\sqrt{m} \right).1$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{m}\left( m^{2} - \sqrt{m^{3} + 1} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ \sqrt{m^{3} + 1} = m^{2} - 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 \geq 0 \\ m^{3} + 1 = m^{4} - 2m^{2} + 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |m| \geq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ m = - 1(nhan) \\ m = 2(nhan) \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m = 2$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

54 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian