VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 333

Đáp án là:

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 333

Chi phí sản xuất khi sản xuất x sản phẩm là

$C(x) = x.G(x)$

$= x\left( x + 1000 + \frac{250000}{x} ight)$

$= x^{2} + 1000x + 250000$

Do đó lợi nhận $L(x)$ là:

$L(x) = F(x) - C(x)$

$= \left( x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 ight) - \left( x^{2} + 1000x + 250000 ight)$

$= x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 - x^{2} - 1000x - 250000$

$= x^{3} - 2000x^{2} + 1000000x$

Ta có:

$L'(x) = 3x^{2} - 4000x + 1000000$

$L'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 4000x + 1000000 = 0$ với $1 \leq x \leq 500$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1000(L) \\ x = \frac{1000}{3}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vây doanh nghiệp nên sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận đạt mức lớn nhất
Câu 2: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = 2x^{3} - 3(2a + 1)x^{2} + 6a(a + 1)x + 2$ với $a$ là tham số thực. Gọi $x_{1},\ x_{2}$ lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính $P = \left| x_{2} - x_{1} \right|$ .
- A.
  $P = a + 1$ .
- B. $P = a$
- C. $P = a - 1$
- D. $P = 1$
Ta có $y' = 6x^{2} - 6(2a + 1)x + 6a(a + 1)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a = x_{1} \\ x = a + 1 = x_{2} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| (a + 1) - a ight| = 1$ .

Nhận xét. Nếu phương trình $y' = 0$ không ra nghiệm đẹp như trên thì ta dùng công thức tổng quát $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| \frac{\sqrt{\Delta}}{a} ight|.$
Câu 3: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.
Biết rằng $f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
- A. m = f(4); M = f(2)
- B. m = f(4); M = f(1)
- C. m = f(0); M = f(2)
- D. m = f(1); M = f(2)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{2} + x^{2} + (m - 2)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục $Oy$ ?
- A.
  $m \in ( - \infty;1)$
- B.
  $m \in (1;2)$
- C.
  $m \in ( - \infty;2)$
- D.
  $m \in (1; + \infty)$
Ta có: $y' = x^{2} + 2x + m - 1$

Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m + 1 > 0 \\ - 2 < 0 \\ m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 1 < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in (1;2)$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $(1;5)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $(2; + \infty)$ .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = - x^{3} - 3x + 1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x + 1$
- C.
  $y = x^{3} + 3x + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x + 10$
Xét hàm số $y = - x^{3} - 3x + 1$ ta có: $y' = - 3x^{2} - 3 < 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Do đó hàm số $y = - x^{3} - 3x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 7: Vận dụng
Tính tổng P

Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m - 2} ight){x^2} + 12x + 1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
- A. 15
- B. 10
- C. 35
- D. 25
Ta có: $y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 2} ight)x + 12$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 9{{\left( {m - 2} ight)}^2} - 36 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$
=> $m \in \left\{ {0;1;2;3;4} ight\}$
=> Tổng P bằng 10
Câu 8: Thông hiểu
Tính giá trị hàm số

Đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có hai điểm cực trị $A(1; - 7),B(2; - 8)$ . Khi đó $y( - 1)$ có giá trị là:
- A.
  $y( - 1) = - 35$
- B.
  $y( - 1) = 11$
- C.
  $y( - 1) = - 11$
- D.
  $y( - 1) = 7$
Gọi đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ là $(C)$

Ta có: $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì $A(1; - 7),B(2; - 8)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A \in (C) \\ y'\left( x_{A} ight) = 0 \\ B \in (C) \\ y'\left( x_{B} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 7 = a.1^{3} + b.1^{2} + c.1 + d \\ 0 = 3a.1^{3} + 2b.1^{2} + c \\ - 8 = a.2^{3} + b.2^{2} + c.2 + d \\ 0 = 3a.2^{3} + 2.b.2^{2} + c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 9 \\ c = 12 \\ d = - 12 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $y = 2x^{3} - 9x^{2} + 12x - 12$ do đó $y( - 1) = - 35$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Gọi $m_{0}$ là số thực sao cho phương trình $\left| x^{3} - 12x \right| = m_{0}$ có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; $x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3}$ . Biết rằng $m_{0}$ có dạng $a\sqrt{3} + b$ với $a$ ; $b$ là các số hữu tỷ. Tính $4a^{2} + 8b$ :
- A.
  $106$ .
- B.
  $115$ .
- C.
  $113$ .
- D.
  $101$ .
Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| x^{3} - 12x ight|$

Do đó với mọi $m \in (0\ ;\ 16)$ thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; $x_{3}$ $\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} ight)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{matrix} - x_{1}^{3} + 12x_{1} = m_{0} \\ - x_{2}^{3} + 12x_{2} = m_{0} \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} = m_{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} ight)^{3} - 12\left( - x_{1} ight) - m_{0} = 0 \\ \left( - x_{2} ight)^{3} - 12\left( - x_{2} ight) - m_{0} = 0 \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} - m_{0} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow - x_{1}$ ; $- x_{2}$ ; $x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình $x^{3} - 12x - m_{0} = 0$

$\Rightarrow - x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = x_{1} + x_{2}$

Mà $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3} \Rightarrow x_{3} = \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow m_{0} = \left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight)^{3} - 12\left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{97}{8}$

$\Rightarrow a = \frac{3}{2}$ ; $b = \frac{97}{8} \Rightarrow 4a^{2} + 8b = 106$ .
Câu 10: Vận dụng
Định các giá trị tham số m theo yêu cầu

Cho hàm số $y = x^{3} + 6x^{2} + 3(m + 2)x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ .
- A.
  $m > 1$ .
- B.
  $m < 1$ .
- C.
  $m > - 1$ .
- D.
  $m < - 1$ .
Ta có $y' = 3x^{2} + 12x + 3(m + 2) = 3\left\lbrack x^{2} + 4x + (m + 2) ightbrack.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$

$\Leftrightarrow y'( - 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Nhận xét. Nhắc lại kiến thức lớp dưới $''$ phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ \ x_{2}\ \ \left( x_{1} < x_{2} ight)$ thỏa mãn $x_{1} < x_{0} < x_{2} \Leftrightarrow af\left( x_{0} ight) < 0''.$
Câu 11: Nhận biết
Tìm số nghiệm thực của phương trình

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 2$ là:
- A.
  $0$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $2$ .
Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với đường thẳng $y = 2.$

Dựa vào đồ thị ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Câu 12: Nhận biết
Tính tổng M + m

Giả sử $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ . Khi đó tổng của $M$ và $m$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $4$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $5$
Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(1) = 0 \\ y(2) = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M + m = 4$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x}{|x| - 1}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Khi $x \geq 0;x eq 1 \Rightarrow f(x) = \frac{x}{x - 1}$

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = 1$ và 1 tiệm cận đứng $x = 1$

Khi $x < 0;x eq - 1 \Rightarrow f(x) = \frac{x}{- x - 1}$

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = - 1$ và 1 tiệm cận đứng $x = - 1$

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x}{|x| - 1}$ có tất cả 4 đường tiệm cận.
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-5; 7) như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 2$ và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [-5; 7)
- B. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 6$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 2$
- C. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 9$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 2$
- D. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 9$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 6$
Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 2$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 6$ là sai vì f(x) sẽ nhận các giá trị 7; 8 lớn hơn 6 khi x tiến tới 7
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;7} ight)} f\left( x ight) = 9$ là sai vì f(x) không bằng 9 mà chỉ tiến đến 9 khi x dần đến 7 (x khác 7)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 3m}$ nghịch biến trên khoảng $(6; + \infty)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $6$
- C.
  $3$
- D.
  Vô số
Tập xác định $D = \mathbb{R\backslash}\begin{pmatrix} - 3m \\ \end{pmatrix}$ ; $y' = \frac{3m - 1}{(x + 3m)^{2}}$ .

Hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 3m}$ nghịch biến trên khoảng $(6; + \infty)$ khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{matrix} y' < 0 \\ (6; + \infty) \subset D \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 1 < 0 \\ - 3m \leq 6 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{1}{3} \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow - 2 \leq m < \frac{1}{3}$ .

Vì $m\mathbb{\in Z}$ $\Rightarrow m \in \left\{ - 2; - 1;0 ight\}$ .
Câu 16: Vận dụng
Tìm các số thực dương m theo yêu cầu bài toán

Cho hàm số $y = x^{4} - 3x^{2} - 2$ . Tìm số thực dương $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt $A$ , $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , trong đó $O$ là gốc tọa độ.
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = \frac{3}{2}$ .
- C.
  $m = 3$ .
- D.
  $m = 1$ .
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - 3x^{2} - 2 = m \Leftrightarrow x^{4} - 3x^{2} - 2 - m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ .

Vì $m > 0 \Leftrightarrow - 2 - m < 0$ hay phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

$x^{2} = \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} \Rightarrow x_{1} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}$ và $x_{2} = - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}$ .

Khi đó: $A\left( x_{1};m ight)$ , $B\left( x_{2};m ight)$ .

Ta có tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , trong đó $O$ là gốc tọa độ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow x_{1}.x_{2} + m^{2} = 0$ .

$\Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} = m^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 3 \geq 0 \\ 4m^{4} - 12m^{2} - 4m - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > 0}{\leftrightarrow}m = 2$ .

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 17: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng
- A.
  $\left( \mathbf{2;}\mathbf{+ \infty} ight)$
- B.
  $( - 2;1)$
- C.
  $( - \infty; - 2)$
- D.
  $(1;3)$
Cách 1:

Ta thấy $f'(x) < 0$ với $\left\lbrack \begin{matrix} x \in (1;4) \\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $( - \infty; - 1)$ suy ra $g(x) = f( - x)$ đồng biến trên $( - 4; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Khi đó $f(2 - x)$ đồng biến biến trên khoảng $( - 2;1)$ và $(3; + \infty)$

Cách 2:

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta có $f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $\left( f(2 - x) ight)^{'} = (2 - x)^{'}.f'(2 - x) = - f'(2 - x)$ .

Để hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến thì $\left( f(2 - x) ight)^{'} > 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Gọi $m,n$ lần lượt là số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $m = 0;n = 2$
- B.
  $m = 1;n = 2$
- C.
  $m = 1;n = 1$
- D.
  $m = 0;n = 1$
Tập xác định $D = (0;2brack\backslash\left\{ 1 ight\}$

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = - \infty$ ta có $x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = - \infty$ ta có: $x = 0$ là tiệm cận đứng.

Vậy $m = 0;n = 2$ .
Câu 19: Nhận biết
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình $4f(x) - 7 = 0$ là:
- A.
  2
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  1
Ta có: $4f(x) - 7 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{7}{4}$ .

Do đường thẳng $y = \frac{7}{4}$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 3 điểm phân biệt nên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 20: Nhận biết
Xác định các đường tiệm cận của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số theo thứ tự là
- A.
  $x = - 1$ ; $y = - 1$ .
- B.
  $x = 1$ ; $y = 1$ .
- C.
  $x = 1$ ; $y = - 1$ .
- D.
  $x = - 1$ ; $y = 1$ .
Từ đồ thị của hàm số suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là : x = 1 ; y = 1
Câu 21: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hàm số $y = f(3 - 2x)$ có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(3;5)$
- B.
  $( - 1;2)$
- C.
  $(1;3)$
- D.
  $(5; + \infty)$
Ta có:

$y' = f'(3 - 2x) = - 2f'(3 - 2x)$

$f'( - 1) = f'(3) = f'(5) = 0$

$f'(x) = k(x - 5)(x - 3)(x - 1)$

Xét $x = 3 \Rightarrow y' = - 2f'( - 3) > 0$

$\Rightarrow f'( - 3) < 0$

Bảng xét dấu $y = f'(x)$ là:

Căn cứ vào bảng xét dấu ta thấy

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(3;5)$ .
Câu 22: Vận dụng
Định giá trị lớn nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} -2\sqrt{- x^2 + 4x - 3}$ .
- A.
  $M = 0.$
- B.
  $M = - \sqrt{2}.$
- C.
  $M = \sqrt{2}.$
- D.
  $M = \frac{9}{4}.$
TXĐ: $D = \lbrack 1;3brack$

Đặt $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}\ \ \ \left( \sqrt{2} \leq t \leq 2 ight)$

$\Rightarrow t^{2} = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt{x - 1}\sqrt{3 - x}$

$\Rightarrow - 2\sqrt{- x^{2} + 4x - 3} = 2 - t^{2}$

Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = - t^{2} + t + 2$ trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack''$ .

Xét hàm số $g(t) = - t^{2} + t + 2$ xác định và liên tục trên $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$

Đạo hàm $g'(t) = - 2t + 1 < 0,\ \forall t \in \left( \sqrt{2};2 ight)$ .

Suy ra hàm số $g(t)$ nghịch biến trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$

Do đó $\max_{\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack}g(t) = g\left( \sqrt{2} ight) = \sqrt{2}\overset{}{ightarrow}\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \sqrt{2}.$

Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được $t \in \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack$ .

Từ phép đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = h(x)$ .

Đạo hàm $h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}}$

$\Rightarrow h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \lbrack 1;3brack$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} h(1) = \sqrt{2} \\ h(2) = 2 \\ h(3) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack 1;3brack}h(x) = \sqrt{2} \\ \max_{\lbrack 1;3brack}h(x) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{2} \leq h(x) \leq 2 \Rightarrow \sqrt{2} \leq t \leq 2$
Câu 23: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y = \frac{x}{1 - x}$ cắt đường thẳng $y = x - m$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^{0}$ ( với $O$ là gốc tọa độ)?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x}{1 - x} = x - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 1 \\ x^{2} - mx + m = 0\ \ \ \ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.$

Để có hia điểm phân biệt $A,B$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\left\{ \begin{matrix} 1 - m + m eq 0 \\ m^{2} - 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 4 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}x_{2} = m \\ \end{matrix} ight.$

Giả sử $A\left( x_{1};x_{1} - m ight),B\left( x_{2};x_{2} - m ight)$ , suy ra: $\overrightarrow{OA}\left( x_{1};x_{1} - m ight),\overrightarrow{OB}\left( x_{2};x_{2} - m ight)$

Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^{0}$ suy ra:

$\cos\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ight) = cos60^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| x_{1}x_{2} + \left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ight|}{\sqrt{x_{1}^{2} + \left( x_{1} - m ight)^{2}}\sqrt{x_{2}^{2} + \left( x_{2} - m ight)^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 2x_{1}x_{2}- m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2}ight|}{\sqrt{x_{1}^{2}x_{2}^{2} + \left( x_{1}x_{2} - mx_{2}ight)^2 + x_{1}^{2}\left( x_{1}x_{2} - m ight)^{2} + \left\lbrack\left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ightbrack^{2}}} =\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 2m - m^{2} + m^{2} ight|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack x_{1}x_{2} - m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|2m|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack m - m^{2} + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 12$

$\Leftrightarrow m^{2} - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 6 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- B.
  Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
- C.
  Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = 1$ và $y = - 1$
- D.
  Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $x = 1$ và $x = - 1$ .
Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1\overset{}{ightarrow}y = 1$ là TCN.

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1\overset{}{ightarrow}y = - 1$ là TCN.
Câu 25: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đạt cực đại

Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - 3m^{2} + 5$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0,\ m = 2.$
- B.
  $m = 2.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m =0.$
Thử từng đáp án.

● Kiểm tra khi $m = 0$ thì hàm số có đạt cực đại tại $x = 1$ không

Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Vậy $y'$ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực tiểu.

$\overset{}{ightarrow}m = 0$ loại $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 0,\ m = 2.$ hoặc $m = 0.$ sai.

● Tương tự kiểm tra khi $m = 2$

Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Ta thấy $y'$ đổi dấu từ dương sang âm qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực đại.

$\overset{}{ightarrow} m=2$ thỏa mãn $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 2.$ chính xác.
Câu 26: Thông hiểu
Xác định vận tốc của chuyển động

Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức $v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20$ (với $v$ được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:
- A.
  $- 0,88$
- B.
  $2,59$
- C.
  $6,06$
- D.
  $2,61$
Gia tốc của chất điểm $a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29$ gia tốc là hàm số bậc hai ẩn $t$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = \frac{10}{3}$

Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng $v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59$ .
Câu 27: Nhận biết
Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có mấy điểm cực trị?
- A.
  $2.$
- B.
  $1.$
- C.
  $0.$
- D.
  $3.$
Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số

Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x) = - x^{3} - 3x^{2} + a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ bằng $0.$
- A.
  $a = 2.$
- B.
  $a = 6$ .
- C.
  $a = 0$ .
- D.
  $a = 4$ .
Đạo hàm $f'(x) = - 3x^{2} - 6x$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \in \lbrack - 1;1brack \\ x = - 2 otin \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = a - 2 \\ f(0) = a \\ f(1) = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = f(1) = a - 4$

Theo bài ra: $\min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = 0 \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$
Câu 29: Vận dụng cao
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 9} ight){\left( {x - 4} ight)^2}$ . Khi đó hàm số $y = f\left( {{x^2}} ight)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A. (3; +∞)
- B. (-3; 0)
- C. (-∞; -3)
- D. (-2; 2)
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left[ {f\left( {{x^2}} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {{x^2}} ight)'{x^4}\left( {x - 9} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) \hfill \\ = 2{x^5}\left( {x - 3} ight)\left( {x - 3} ight){\left( {x - 2} ight)^2}.{\left( {x + 2} ight)^2} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \pm 2} \\ {x = \pm 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, hàm số $y = f\left( {{x^2}} ight)$ nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)
Câu 30: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - 7.$
- B.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt{6}.$
- C.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1.$
- D.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{3}.$
TXĐ: $D = \lbrack - 7;5brack$ .

Đạo hàm $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack - 7;5brack$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 7) = 2\sqrt{3} \\ f(5) = 2\sqrt{6} \\ f(1) = 6 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 7;5brack}f(x) = f( - 7) = 2\sqrt{3}$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} - 1$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1; + \infty)$
- B.
  $( - \infty; - 2)$
- C.
  $(0;1)$
- D.
  $( - 2;0)$
Ta có:

$y' = - 4x^{2} + 16x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x^{2} + 16x = 0$

$\Leftrightarrow 4x\left( - x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1$ ?
- A.
  $\left\{ 1 ight\}$
- B.
  $\left\{ - 1; - 3 ight\}$
- C.
  $\left\{ 3 ight\}$
- D.
  $\left\{ 1;3 ight\}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 4mx + m^{2} \\ y'' = 6x - 4m \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ thì

$\left\{ \begin{gathered} y'\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ y''\left( 1 ight) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4m + 3 = 0 \hfill \\ 6 - 4m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m < \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m = 1$

vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ 1 ight\}$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàmsố

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
- A.
  $y_{CÐ} = 1;y_{CT} = 0$
- B.
  $y_{CÐ} = 1;y_{CT} = - 1$
- C.
  $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 1$
- D.
  $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$
Từ bảng biến thiên ta có: $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính tổng tất cả các tham số m

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1$ với $m$ là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:
- A.
  $9$
- B.
  $- 9$
- C.
  $- 15$
- D.
  $15$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

$x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m$

Xét hàm số $f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $1 < m < 5$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}$

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bằng $9$ .
Câu 35: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ có đồ thị như Hình 2.

a) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$ . Đúng||Sai

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là 2. Sai||Đúng

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ . Sai||Đúng

d) $c = 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ có đồ thị như Hình 2.

a) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$ . Đúng||Sai

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là 2. Sai||Đúng

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ . Sai||Đúng

d) $c = 2$ . Đúng||Sai

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$ .

Giá trị lớn nhất của hàm số trên R không tồn tại.

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$

Dựa vào đồ thị ta có $f(0) = 2 \Rightarrow c = 2$
Câu 36: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 2x}{1 - x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
- B.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
- C.
  Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
- D.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
Tập xác định $D = ( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$

Ta có: $y' = - 1 - \frac{1}{(1 - x)^{2}} < 0;\forall x \in D$

Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Vậy khẳng định đúng là: “Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ ”.
Câu 37: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai số thực $x \geq 0;1 \leq y \leq 3$ thỏa mãn $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$ ?

Đáp án: 2025

Đáp án là:

Cho hai số thực $x \geq 0;1 \leq y \leq 3$ thỏa mãn $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$ ?

Đáp án: 2025

Giả thiết cho $2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4$

$\Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2)2^{2y}$

$\Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y + 1}(2y + x + 2)$

$\Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)$

Xét hàm số $f(t) = 2^{t}.(t + 1)$ trên $(0\ ; + \infty)$

Suy ra $f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\ \forall t \in (0\ ; + \infty)$

Vậy hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0\ ; + \infty)$ nên ta có:

$\Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)$

$\Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1$

Suy ra: $P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037$

$= 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1 ight) + 2037$

$= \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} + 2037$

Xét hàm số $g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} - a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack$

$g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} - 2a$

$\Rightarrow g''(a) = \frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow g'(a)$ luôn nghịch biến trên $\lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow \max_{\lbrack 2\ ;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0$

$\Rightarrow g(a)$ luôn nghịch biến trên $\lbrack 2\ ;4brack$

$\Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12$

Vậy $\min P = - 12 + 2037 = 2025$ khi $y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x = 7$ .
Câu 38: Vận dụng cao
Số cực trị của hàm số

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:
Hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 5
- B. 9
- C. 11
- D. 7
Xét hàm số $t\left( x ight) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}$ , ta có bảng giá trị |t(x)|
Ta có: $g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) = f\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)$
Hàm số không có đạo hàm tại điểm $x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}$
Tại mọi điểm $x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}$ ta có:
$g'\left( x ight) = f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)'$
$= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - \sqrt {{e^2} - 1} } ight) \cup \left( {\sqrt {{e^2} - 1} ; + \infty } ight)} \\ { - \dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \sqrt {{e^2} - 1} ;\sqrt {{e^2} - 1} } ight)} \end{array}} ight.\left( * ight)$
=> $g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_1};\left( {{t_1} < 1} ight){\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_2};\left( { - 1 < {t_2} < 0} ight){\text{ }}\left( 2 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_3};\left( {0 < {t_3} < 1} ight){\text{ }}\left( 3 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_4};\left( {{t_4} > 1} ight){\text{ }}\left( 4 ight)} \end{array}} ight.$
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm $x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}$
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.
Câu 39: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 40: Thông hiểu
Tính tổng các phần tử tập S

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $S$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right) - m + 2 = 2sinx$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ . Tổng các phần tử của $S$ bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $- 1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Đặt $t = \sin x$ , với $\ \ x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack$ .

Ta được phương trình: $f(t) - 2t = m - 2 \Leftrightarrow f(t) = 2t + m - 2$ (1)

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(t)$ và đường thẳng $y = 2t + m - 2\ \ \ \ (r)$ .

Gọi $(p):y = 2x + 1$ song song với đường thẳng $(\Delta):y = 2t$ và đi qua điểm $A(0;1)$ .

Gọi $q:y = 2x - 3$ song song với đường thẳng $(\Delta):y = 2t$ và đi qua điểm $B(1; - 1)$ .

Để phương trình $f\left( \sin x ight) - m + 2 = 2sinx$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ thì phương trình (1) phải có nghiệm $t \in (0;1brack$ , suy ra đường thẳng $r$ nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng $q$ và $p$ ( có thể trùng lên $q$ và bỏ $p$ )

$\Rightarrow - 3 \leq m - 2 < 1 \Leftrightarrow - 1 \leq m < 3 \Rightarrow m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\} \Rightarrow S = \left\{ - 1;0;1;2 ight\}$ .

Do đó tổng các phần tử là: $- 1 + 0 + 1 + 2 = 2$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

49 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1