VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định m thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(x + m) = m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là:
- A.
  $m \in ( - 2;2)$
- B.
  $m \in ( - 1;1)$
- C.
  $m \in (1;2)$
- D.
  $m \in ( - 2;1)$
Đồ thị hàm số $f(x + m) = m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f(x)$ sang trái hoặc sang phải theo phương song song với trục hoành $|m|$ đơn vị.

Suy ra phương trình $f(x + m) = m$ có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \in ( - 2;2)$ .
Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( \cos x ight) = - 2m + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2}ight)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( \cos x ight) = - 2m + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2}ight)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 3brack$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .
- B.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(3)$ .
- C.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(2)$ .
- D.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f( - 1)$ .
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0).$
Câu 4: Nhận biết

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Hàm số $y = f(x)$ không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số $y = f(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.
Câu 5: Thông hiểu
Xác định tham số m để hàm số có cực trị

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 - 3x^{2} - m$ có các giá trị cực trị trái dấu.
- A.
  $m = - 1$ , $m = 0$ .
- B.
  $m < 0$ , $m > - 1.$
- C.
  $- 1 < m < 0$ .
- D.
  $0 \leq m\leq1.$
Ta có $f'(x) = 6x^{2} - 6x$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 ightarrow f(0) = - m \\ x = 1 ightarrow f(1) = - m - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m(m + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 3 ight\}.$ Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}y = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty;$ $\lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 2}{x^2 - 9} = + \infty\overset{}{ightarrow}x = 3$ là TCĐ;

$\lim_{x ightarrow - 3^{-}}y = \lim_{x ightarrow - 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty;$ $\lim_{x ightarrow - 3^{+}}y = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty\overset{}{ightarrow}x = - 3$ TCĐ;

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0;$ $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0\overset{}{ightarrow}y = 0$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f'(x) = x(x - 1)(x + 2)^{2}\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực trị của hàm số là?
- A.
  $5$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Do $x = 0,\ x = 1$ là nghiệm đơn, còn các nghiệm và $x = - 2$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ chỉ đổi khi đi qua $x = 0,\ x = 1$ .

$\Rightarrow$ Hàm số $(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta' < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow m < - 2 \vee m > 2$ có $2$ điểm cực trị.
Câu 8: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $g(x) = 2018^{2019 - 2f(x) + 2f^{2}(x) - f^{3}(x)}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;0)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $(1;2)$ .
- D.
  $(2;3)$ .
Xét $g'(x) = - f'(x).\left\lbrack3f^{2}(x) - 4f(x) + 2 \right\rbrack.$ $2018^{2019 - 2f(x) + 2f^{2}(x) -f^{3}(x)}.\ln2018$

Có $g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$ , trong đó $x = 1$ là nghiệm kép.

Bảng xét dấu của $g'(x)$ :

Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên $(2;3)$ , do $(2;3) \subset (2; + \infty)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Xác định hàm số thích hợp

Hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 2$ đồng biến trên khoảng
- A.
  $(0\ ;\ 2)$ .
- B.
  $( - \infty\ ;\ 0)$ .
- C.
  $(1\ ;\ 4)$ .
- D.
  $(4\ ;\ + \infty)$ .
Ta có: $y' = - 3x^{2} + 6x$ .

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng xét dấu của $y'$ như sau:

Nhìn vào bảng xét dấu của $y'$ ta thấy hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 2$ đồng biến trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ .

Vậy hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 2$ đồng biến trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình $f(x) = 1$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $4$ .
Ta có đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra phương trình $f(x) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 11: Vận dụng
Tìm m nguyên thỏa mãn điều kiện

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 20;20} ight]$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 3} ight)x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:
- A. 20
- B. 19
- C. 21
- D. 23
Ta có: $y' = {x^2} + 4x + m + 3$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 4 - \left( {m + 3} ight) < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \left[ { - 20;20} ight]} \\ {m \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight.$
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa căn

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f(x) = x + \sqrt{2 - x^2}$ .
- A.
  $m = - \sqrt{2}.$
- B.
  $m = - 1.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m=\sqrt{2}.$
TXĐ: $D = \left\lbrack - \sqrt{2};\sqrt{2} ightbrack.$

Đạo hàm $f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 2 - x^{2} = x^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow x = 1 \in \left\lbrack - \sqrt{2};\sqrt{2} ightbrack$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f\left( - \sqrt{2} ight) = - \sqrt{2} \\ f(1) = 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = - \sqrt{2}$
Câu 14: Vận dụng
Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn [0; 4] bằng -1?
- A. 3
- B. 2
- C. 1
- D. 0
Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} ight)}^2}}} > 0;\forall m e 0$
Với $x = m e \left[ {0;4} ight] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight.$ ta được hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4)
=> $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}$
Theo bài ra ta có: $\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 2} \\ {m = - 3} \end{array}} ight.$
Kết hợp với điều kiện $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight.$ => m = -3 là giá trị cần tìm
Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu bài toán đề bài.
Câu 15: Thông hiểu
Xác định hàm số đồng biến trên R

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A. $y = {x^4} - 3{x^2} + 3x - 2$
- B. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$
- C. $y = {x^4} + 2{x^2} + 1$
- D. $y = - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + 2$
Ta có: $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + 3 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1
Vậy $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1$ đồng biến trên
Câu 16: Thông hiểu
Xác định số phần tử của tập hợp T

Cho hàm số $y = \frac{mx + 2m + 3}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $T$ có tất cả bao nhiêu phần tử?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $5$
- D.
  $3$
Ta có: $y' = \frac{m^{2} - (2m + 3)}{(x + m)^{2}} = \frac{m^{2} - 2m - 3}{(x + m)^{2}}$

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 3 < 0 \\ - m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 3 \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2 ight\}$

$\Rightarrow T = \left\{ 0;1;2 ight\}$

Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Từ bảng biến thiên ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = + \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = 2,\lim_{x ightarrow + \infty}y = 5$ nên đường thẳng $y = 2$ và $y = 5$ là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3
Câu 18: Vận dụng cao
Xác định tổng các phần tử của tập S

Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2}$ tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ với $B$ nằm giữa $A;C$ sao cho $AB = 2BC$ . Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
- A.
  $- 4$
- B.
  $2\sqrt{2}$
- C.
  $- 2$
- D.
  $0$
Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2}$ tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ $\Leftrightarrow - 4 < m < 0$

Khi đó $\[\left\{ \begin{gathered} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3 \hfill \\ {x_A}.{x_B} + {x_B}.{x_C} + {x_C}.{x_A} = 0 \hfill \\ {x_A}.{x_B}.{x_C} = m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Để B nằm giữa A và C và $AB = 2BC$ thì $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{A} < x_{B} < x_{C} \\ x_{B} - x_{A} = 2\left( x_{C} - x_{B} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x_{C} < x_{B} < x_{A} \\ x_{A} - x_{B} = 2\left( x_{B} - x_{C} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 3x_{B} = x_{A} + 2x_{C} \Leftrightarrow 4x_{B} - 3 = x_{C} \Rightarrow x_{A} = 6 - 5x_{B}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {6 - 5{x_B}} ight) + {x_B}.\left( {4{x_B} - 3} ight) + \left( {4{x_B} - 3} ight)\left( {6 - 5{x_B}} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \left( {4{x_B} - 3} ight).{x_B}.\left( {6 - 5{x_B}} ight) = m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ (*) ta được $x_{B} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$ . Thay (**) được $\left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49} \\m = \dfrac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $S = \left\{ \frac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49};\frac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} ight\}$ . Vậy tổng các phần tử của S bằng $- 4$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho bảng biến thiên sau:

Tiệm cận đứng của hàm số là:
- A. x = -2
- B. x = 2
- C. y = -2
- D. y = 2
Câu 20: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Cho hàm số $y = e^{x}\left( x^{2} - 3 \right)$ , gọi $M = \frac{a}{e^{b}}\left( a\mathbb{\in N},b\mathbb{\in N} \right)$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 5; - 2\rbrack$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$ ?

Đáp án: 9

Đáp án là:

Cho hàm số $y = e^{x}\left( x^{2} - 3 \right)$ , gọi $M = \frac{a}{e^{b}}\left( a\mathbb{\in N},b\mathbb{\in N} \right)$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 5; - 2\rbrack$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$ ?

Đáp án: 9

Ta có: $y' = e^{x}\left( x^{2} + 2x - 3 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \in \lbrack - 5; - 2brack \\ x = 1 otin \lbrack - 5; - 2brack \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $y( - 5) = \frac{22}{e^{5}};y( - 3) = \frac{6}{e^{3}};y( - 2) = \frac{1}{e^{2}}$ .

Khi đó $\max_{\lbrack - 5; - 2brack}y = \frac{6}{e^{3}} \Rightarrow a = 6;b = 3 \Rightarrow a + b = 9$ .
Câu 21: Thông hiểu
Hàm số đã cho là hàm số nào

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào?
- A. $y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}$
- B. $y = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}$
- C. $y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$
- D. $y = \frac{{ - x + 3}}{{x + 2}}$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang y = 1
=> Loại đáp án C và D
Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
Xét hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}}$
=> Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án A
Câu 22: Nhận biết
Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số là:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
- A. 4
- B. 1
- C. 3
- D. 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0$ => y = 0 là một tiệm cận ngang
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$ => y = 5 là một tiệm cận ngang
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty$ => x = 1 là một tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3 đường
Câu 23: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = 0$
- C.
  $x = 5$
- D.
  $x = 2$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $y'$ đối dấu từ $( + )$ sang $(-)$ tại $x = 2$ .

Nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$ .
Câu 24: Vận dụng
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 \right\}$ và liên tục trên các khoảng xác định của nó, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| \right)$ .
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Oy$ và không có cực trị,

mà đồ thị hàm số $y = f\left( |x| \right)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên từ BBT suy ra hàm số $y = f\left( |x| \right)$ có đúng 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu $x = 0$ .
Câu 25: Nhận biết
Xác định cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , đạo hàm $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 26: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của tham số m

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có $5$ cực trị?
- A.
  $\frac{5}{4} \leq m \leq 2$
- B.
  $- \frac{5}{4} < m < 2$
- C.
  $- 2 < m < \frac{5}{4}$
- D.
  $\frac{5}{4} < m < 2$
Nhận thấy rằng nếu $x_{0}$ là điểm cực trị dương của hàm số $y = f(x)$ thì $x_{0}; - x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$

Lại thấy vì đồ thị hàm số $y = f\left( |x| ight)$ nhận trục tung làm trục đối xứng mà $f(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $x = 0$ luôn là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$ .

Khi đó để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ có hai cực trị dương phân biệt.

Suy ra phương trình $f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{5}{4} < m < 2$ .
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + mx + 1$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = 2x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị $(C)$ cắt đường thẳng $d$ tại ba điểm phân biệt?
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} - 3x^{2} + mx + 1 = 2x + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2} + (m - 2)x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 3x + m - 2 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3x + m - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Đặt $f(x) = x^{2} - 3x + m - 2$

Để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt thì phương trình $x^{3} - 3x^{2} + (m - 2)x = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó $f(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0$ .

Do đó $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) e 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 2 e 0 \hfill \\ 9 - 4\left( {m - 2} ight) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ - 4m > - 17 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ m < \frac{{17}}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ 1;3;4 ight\}$ .

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 3.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đạt cực đại

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - m + 1 ight)x + 1$ . Tìm $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 1$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - m + 1$

Để $x = 1$ là điểm cực đại của hàm số thì $y'(1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $m = 1$ thì $y' = x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vậy $m = 1$ không thỏa mãn.

Với $m = 2$ thì $y' = x^{2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Xét dấu $y'$ ta được $y'$ có điểm cực đại.

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 10;20\rbrack$ để hàm số $y = f\left( x^{2} + 3x - m \right)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
- A.
  $18$ .
- B.
  $17$ .
- C.
  $16$ .
- D.
  $20$ .
Ta có $y' = f'\left( x^{2} + 3x - m \right) = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right)$ .

Theo đề bài ta có: $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$

suy ra $f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \end{matrix} \right.$ và $f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ khi $y' \geq 0,\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0;2)$ .

Do $x \in (0;2)$ nên $2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2)$ . Do đó, ta có:

$y' \geq 0,\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x - m \leq - 3 \\ x^{2} + 3x - m \geq 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq x^{2} + 3x + 3 \\ m \leq x^{2} + 3x - 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq \max_{\lbrack 0;2\rbrack}\left( x^{2} + 3x + 3 \right) \\ m \leq \min_{\lbrack 0;2\rbrack}\left( x^{2} + 3x - 1 \right) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right.$ .

Do $m \in \lbrack - 10;20\rbrack$ , $m\mathbb{\in Z}$ nên có $18$ giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 30: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f( - x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;0)$
- B.
  $(0;2)$
- C.
  $( - 2;2)$
- D.
  $(2; + \infty)$
Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$

$\Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Xét hàm số $y = f( - x)$ ta có: $y' = - f'( - x)$

$y' < 0 \Leftrightarrow - f'( - x) < 0 \Leftrightarrow f'( - x) > 0$

$\Leftrightarrow 0 < - x < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Suy ra hàm số $y = f( - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
- A.
  $y = x^{4} - x^{2} - 1$
- B.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 1$
- C.
  $y = x^{3} - x^{2} - 1$
- D.
  $y = - x^{3} + x^{2} - 1$
Đây là hình dáng của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số $a > 0$
Câu 32: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ . Giả sử $M(a;b) \in (C)$ có khoảng cách đến đường thẳng $d:y = 3x + 6$ nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $a - b = 2$
- B.
  $a + b = 2$
- C.
  $a + b = - 2$
- D.
  $a - b = - 2$
Ta có: $M\left( a;\frac{2a + 1}{a + 2} ight);(a eq - 2)$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

$d(M;d) = \dfrac{\left| 3a - \dfrac{2a +1}{a + 2} + 6 ight|}{\sqrt{3^{2} + 1}}$ $= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left| 3a+ 6 - \frac{2a + 1}{a + 2} ight|$ $= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left|\frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2} ight|$

Xét hàm số $f(a) = \frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2};(a eq - 2)$

$f'(a) = \frac{3\left( a^{2} + 4a + 3 ight)}{(a + 2)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $\left| f(a) ight| = 4$ tại $a = - 1$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 2$
Câu 33: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x\left( x^{2} + 2x \right)^{3}\left( x^{2} - \sqrt{2} \right)\forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực trị của hàm số là
- A.
  4
- B.
  2
- C. 1
- D. 3
Cách 1: Sử dụng MTCT chọn một số nằm giữa các khoảng suy ra bảng xét dấu

$f'(x)$ đổi dấu 3 lần qua $x = - 2$ , $x = - \sqrt[4]{2}$ , $x = \sqrt[4]{2}$ . suy ra hàm số có 3 cực trị.

Cách 2: Sử dụng nghiệm bội chẵn lẻ, nghiệm đơn.

$f'(x) = x\left( x^{2} + 2x ight)^{3}\left( x^{2} - \sqrt{2} ight)$ $= x^{4}(x + 2)^{2}(x + 2)\left( x - \sqrt[4]{2} ight)\left( x + \sqrt[4]{2} ight)$

$f'(x)$ đổi dấu qua 3 nghiệm đơn. 2 nghiệm bội chẵn không đổi dấu nên có 3 cực trị.
Câu 34: Thông hiểu
Xác định min max của hàm số trên đoạn

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ .
- A.
  $m = - 5,\ M = 0.$
- B.
  $m = - 5,\ M = - 1.$
- C.
  $m = - 1,\ M = 0.$
- D.
  $m = - 2,\ M = 2.$
Nhận thấy trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$

Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ $( - 2; - 5)$ và $(1; - 5)$

$\overset{}{ightarrow}$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ bằng $- 5.$

Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $( - 1; - 1)$ và $(2; - 1)$

$\overset{}{ightarrow}$ Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ bằng $- 1.$
Câu 35: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty - 1)$ .
- B.
  $( - 1;1)$ .
- C.
  $( - 1;0)$ .
- D.
  $(0;1)$ .
Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$ .
Câu 36: Vận dụng
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số $y = \left| f(x) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị
- A.
  $5$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $7$ .
Đồ thị hàm $y = \left| f(x) \right|$ gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị $y\ = \ f(x)$ nằm trên $Ox$ (Kể cả giao điểm trên trục $Ox$ )

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua $Ox$ của đồ thị $y\ = \ f(x)$ nằm dưới $Ox$

Từ đó ta có bảng biến thiên của $y = \left| f(x) \right|.$

Từ bảng biến thiên này hàm số $y = \left| f(x) \right|$ có 3 cực trị.
Câu 37: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhậnđịnh

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m \times 8m$ . Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của chiếc hộp là $(8 - 2x)^{2}(3 - 2x)$ . Sai||Đúng

d) Với $x = \frac{2}{3}(m)$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m \times 8m$ . Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của chiếc hộp là $(8 - 2x)^{2}(3 - 2x)$ . Sai||Đúng

d) Với $x = \frac{2}{3}(m)$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Ta có chiều dài, chiều rộng, chiều cao của chiếc hộp lần lượt là $8 - 2x;3 - 2x;\ x$ .

Suy ra điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Vậy a) Đúng.

b) Đáy của chiếc hộp là hình chữ nhật có diện tích là $S = (8 - 2x)(3 - 2x)$ . Vậy b) Đúng.

c) Thể tích của chiếc hộp là: $V = x(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Vậy c) Sai.

d) Xét hàm số: $V(x) = x(3 - 2x)(8 - 2x) = 4x^{3} - 22x^{2} + 24x$ trên $\left( 0;\frac{3}{2} \right)$ .

Ta có: $V'(x) = 12x^{2} - 44x + 24 = 4\left( 3x^{2} - 11x + 6 \right)$ .

Khi đó: $V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left( 0;\frac{3}{2} \right)$ khi $x = \frac{2}{3}$ . Vậy d) Đúng
Câu 38: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ

$Description: C:\Users\Administrator\AppData\Local\Temp\geogebra.png$

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = \left| f(x - 16) + 10 - m^{2} \right|$ có tiệm cận ngang nằm phía dưới đường thẳng $d:y = 8$ (không trùng với d).
- A.
  $8$
- B.
  $2$
- C.
  $6$
- D.
  $4$
Đồ thị hàm số $g(x) = f(x - 16) + 10 - m^{2}$ có được bằng cách thực hiện liên tiếp $2$ phép tịnh tiến là tịnh tiến theo phương trục hoành sang phải $16$ đơn vị và theo phương trục tung $\left( 10 - m^{2} \right)$ đơn vị.

Từ hình vẽ: $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x - 16) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = - 1$ $\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 9 - m^{2}$

Do vậy đồ thị hàm số $g(x)$ có một tiệm cận ngang là $y = 9 - m^{2}$ , ta có 2 trường hợp sau:

+) TH 1: Nếu $9 - m^{2} < 0$ thì tiệm cận ngang của đồ thị $y = \left| g(x) \right|$ là $y = m^{2} - 9 < 8$

$\Rightarrow 9 < m^{2} < 17$

mà $m\mathbb{\in Z}$ , nên $m = \pm 4$

+) TH2: Nếu $9 - m^{2} \geq 0$ thì tiệm cận ngang của đồ thị $y = \left| g(x) \right|$ là $y = 9 - m^{2} < 8$

$\Rightarrow 1 < m^{2} \leq 9$

mà $m\mathbb{\in Z}$ , nên $m = \pm 2$ , $m = \pm 3$

+) Kết luận: có $6$ giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Câu 39: Vận dụng
Xác định m để hàm số đồng biến trên nửa khoảng

Hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{m}{2}x^{2} + x + 6$ đồng biến trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ khi:
- A.
  $m \geq - 2$
- B.
  $m \geq 2$
- C.
  $m \leq 2$
- D.
  $m \leq - 2$
Ta có: $y' = x^{2} + mx + 1$

Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ khi đó:

$\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$

$\Leftrightarrow x^{2} + mx + 1 \geq 0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \geq - x - \frac{1}{x};\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = - x - \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ ta có:

$g'(x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}}$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên của hàm số $g(x) = - x - \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ là:

Từ bảng biến thiên suy ra $\max_{\lbrack 1; + \infty)}g(x) = g(1) = - 2$

Vậy $m \geq g(x);\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$ khi và chỉ khi $m \geq - 2$ .
Câu 40: Nhận biết
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = x^{2}(x - 1)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty; + \infty)$
- B.
  $(1; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;1)$
- D.
  $(0;1)$
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Lập bảng xét dấu như sau:

Suy ra hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

69 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian