VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định hàm số

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
- A.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ .
- C.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 1$ .
Từ hình có đây là hình dạng của đồ thị hàm bậc 4.

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = - \infty \Rightarrow a < 0$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Cho hàm số $y = \frac{2mx + m}{x - 1}$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng $8$ .
- A.
  $m \pm 4$
- B.
  $m = \pm \frac{1}{2}$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 2$
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là $- 2m - m eq 0 \Leftrightarrow m eq 0$

Khi đó đồ thị hàm số có:

Tiệm cận đúng: $x = 1$ , song song với $Oy$ và cắt $Ox$ tại điểm $A(1;0)$

Tiệm cận ngang: $y = 2m$ song song với $Ox$ và cắt $Oy$ tại điểm $B(2m;0)$

Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là $S = OA.OB = 1.|2m| = 8 \Leftrightarrow m = \pm 4$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm cực trị của hàm số

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$ có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
- A. (0; -1)
- B. (-1; 10)
- C. (1; 0)
- D. (1; -10)
Cách 1: Xét hàm số $f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$
Ta có: $f\left( x ight) = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} ight).f'\left( x ight) - 8x - 2$
Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_A} = f\left( {{x_A}} ight) = - 8{x_A} - 2} \\ {{y_B} = f\left( {{x_B}} ight) = - 8{x_B} - 2} \end{array}} ight.$
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cách 2: Xét hàm số $y = f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = 3{x^2} - 6x - 9 \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;32} ight) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1;8} ight)$
Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto $\overrightarrow u$ làm vecto chỉ phương là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 - t} \\ {y = 6 + 8t} \end{array}} ight.;\left( {t \in \mathbb{R}} ight)$
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
- A.
  $y = \frac{x - 1}{x - 3}$ .
- B.
  $y = \frac{x + 1}{x + 4}$ .
- C.
  $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ .
- D.
  $y = \frac{2x - 1}{x + 5}$ .
Trục tung có phương trình $x = 0$ , ta thay $x = 0$ lần lượt vào các phương án thì chỉ có phương án $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ cho ta $y = - \frac{1}{2} < 0$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(0) > f(2020)$
- B.
  $f( - 2) = f(2)$
- C.
  $f( - 2020) < f(2020)$
- D.
  $f(1) > f(0)$
Ta có: $y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f'(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Do $0 < 2020 \Rightarrow f(0) > f(2020)$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định tọa độ giao điểm

Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 2}.$
- A.
  $( - 2;2)$ .
- B.
  $(2;1)$ .
- C.
  $( - 2; - 2)$ .
- D.
  $( - 2;1)$ .
TXĐ $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}.$

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: $x = - 2$ và TCN: $y = 1$ .

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là $( - 2\ ;\ 1)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức P

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ lần lượt là $M;m$ . Tính giá trị biểu thức $P = M^{2} - m^{2}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Tập xác định $D = \lbrack - 2;2brack$

Ta có: $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 2;f( - 2) = - 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = M = 2\sqrt{2} \\ \min_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P = M^{2} - m^{2} = 4$
Câu 8: Vận dụng cao
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số $g(x) = 2f(x + 2) + (x + 1)(x + 3)$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Ta có $g'(x) = 2f'(x + 2) + 2x + 4$ .

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x + 2) = - (x + 2)$ .

Đặt $t = x + 2$ ta được $f'(t) = - t$ . $(1)$

$(1)$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $f'(t)$ và đường thẳng $d$ : $y = - t$ (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị của $f'(t)$ và đường thẳng $y = - t$ ta có

ta có $f'(t) = - t \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 0 \\ t = 1 \\ t = 2 \end{matrix} \right.$ hay $\left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 0 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ .

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
Câu 9: Thông hiểu
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f(3 - 2x) + 2020$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - 1;1)$
- B.
  $(2; + \infty)$
- C.
  $(1;2)$
- D.
  $( - \infty;1)$
Ta có: $y' = - 2f'(3 - 2x)$

$y' < 0 \Leftrightarrow - 2f'(3 - 2x) < 0 \Leftrightarrow f'(3 - 2x) > 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 3 - 2x < 1 \\ 3 - 2x > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 < x < 2 \\ x < - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $y = f(3 - 2x) + 2020$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Tính giá trị f(0)

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đi qua điểm $A(1;1),B(2;4),C(3;9)$ . Các đường thẳng $AB,AC,BC$ lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm $M,N,P$ ( $M$ khác $A$ và $B$ , $N$ khác $A$ và $C$ , $P$ khác $B$ và $C$ . Biết rằng tổng các hoành độ của $M,N,P$ bằng 5, giá trị của $f(0)$ là
- A.
  $- 6$ .
- B.
  $- 18$ .
- C.
  18.
- D.
  6.
Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

$f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$ ( $a eq 0$ )

Ta có: $AB:y = 3x - 2$ , $AC:y = 4x - 3$ , $BC:y = 5x - 6$ .

Khi đó:

Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + {x_{M}}^{2} = 3x_{M} - 2$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + \left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 3 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{M} = 3 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + {x_{N}}^{2} = 4x_{N} - 3$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + \left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 2 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{N} = 2 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + {x_{P}}^{2} = 5x_{P} - 6$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + \left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{P} = 1 - \frac{1}{a}$ .

Từ giả thuyết ta có; $x_{M} + x_{N} + x_{P} = 5 \Leftrightarrow 6 - \frac{3}{a} = 5 \Leftrightarrow a = 3$ .

Do đó: $f(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$

$f(0) = - 18$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết hàm số $y = f'(x)$ có bảng xét dấu sau

Số điểm cực trị của hàm số $y = g(x) = f\left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)$ là
- A.
  $0.$
- B.
  $1.$
- C.
  $3.$
- D.
  $2.$
Ta có $g'(x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}.f'\left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)$ .

Do $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} > \frac{x + |x|}{\sqrt{x^{2} + 1}} \geq 0$ nên $g^{'(x)} = 0 \Leftrightarrow f^{'\left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + \sqrt{x^{2} + 1} = 1 \\ x + \sqrt{x^{2} + 1} = 3 \\ x + \sqrt{x^{2} + 1} = 5 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \\ x = \frac{12}{5} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên $y = g(x)$ .

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y = g(x) = f\left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)$ là 2.
Câu 12: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức $C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000$ , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức $C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000$ , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Sau t phút, khối lượng muối trong bể là $25.30.t = 750t$ (gam)

Thể tích của lượng nước trong bể là $5000 + 25t$ (lít).

Vậy nồng độ muối sau $t$ phút là: $f(t) = \frac{750t}{5000 + 25t} = \frac{30t}{200 + t}$ (gam/lít).

Ta có $\lim_{t ightarrow + \infty}f(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{200 + t} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 30 - \frac{6000}{200 + t} ight) = 30$

Vậy đường thẳng $y = 30$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ :

Ta có đồ thị hàm số $y = f(t)$ nhận đường thẳng $y = 30$ làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).

Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Câu 14: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y =f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (3a + 2)x - 5$ . Tập hợp các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $\lbrack m;nbrack$ . Tính giá trị biểu thức $T=2m-n$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (3a + 2)x - 5$ . Tập hợp các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $\lbrack m;nbrack$ . Tính giá trị biểu thức $T=2m-n$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 5$ là điểm
- A.
  $N( - 1;7)$
- B.
  $P(7; - 1)$
- C.
  $Q(3;1)$
- D.
  $M(1;3)$
Tập xác định: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là $N( - 1;7)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn biểu thức đúng

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} + mx^{2} + c$ có ba điểm cực trị?
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m eq 0$
- C.
  $m < 0$
- D.
  $m > 0$
Hàm số $y = ax^{4} + bx^{2} + c$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $a.b < 0$ .

Để hàm số đa cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $b < 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn giá trị cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là:
- A.
  $- 1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 4$
- D.
  $- 3$
Quan sát bảng biến thiên nhận thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là $- 4$ .
Câu 18: Nhận biết
Xác định tất cả các khẳng định sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

(i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

(ii) Hàm số có cực tiểu tại $x = 2$ .

(iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1);(1; + \infty)$ .

(iv) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Do $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 2$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang; $\lim_{x ightarrow 1^{\pm}}f(x) = \pm \infty$ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.

Hàm số có cực tiểu tại $x = 2$ đúng nên (ii) đúng.

Hàm số nghịch biến trên $( - \infty; - 1);(1;2)$ nên (iii) sai.

Hàm số không xác định tại $x = 1$ nên (iv) sai.

Vậy có 2 khẳng định sai.
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + m- 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $2$ . Tìm giá trị tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + m- 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $2$ . Tìm giá trị tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} + (m + 1)x - m^{2}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ là:
- A.
  $( - \infty;3brack$
- B.
  $( - \infty;3)$
- C.
  $\left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$
- D.
  $\left\lbrack \frac{1}{3}; + \infty ight)$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' = 3x^{2} + 4x + m + 1 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 2^{2} - 3(m + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}$

Vậy $m \in \left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$ là giá trị cần tìm.
Câu 21: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đồ thị như hình vẽ.

Biết $ABCD$ là hình chữ nhật thay đổi sao cho hai điểm $B$ , $C$ luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Hai điểm $A,\ \ D$ nằm trên trục hoành (điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ).

a) [NB] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y' = f'(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .Sai||Đúng

c) [TH] Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \right)$ với $x > 0$ thì diện tích $ABCD$ là $S(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ . Sai||Đúng

d) [VD] Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất khi $AD = 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đồ thị như hình vẽ.

Biết $ABCD$ là hình chữ nhật thay đổi sao cho hai điểm $B$ , $C$ luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Hai điểm $A,\ \ D$ nằm trên trục hoành (điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ).

a) [NB] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y' = f'(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .Sai||Đúng

c) [TH] Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \right)$ với $x > 0$ thì diện tích $ABCD$ là $S(x) = xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ . Sai||Đúng

d) [VD] Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất khi $AD = 2$ . Đúng||Sai

a) Hàm số mũ $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Suy ra mệnh đề đúng.

b) Hàm số $y = f(x) = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ có đạo hàm là $y'\ = \left( - \frac{1}{2}x^{2} ight)^{'}e^{- \frac{1}{2}x^{2}} = - xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .

Suy ra mệnh đề sai.

c) Khi điểm $B$ có toạ độ $\left( x;e^{- \frac{1}{2}x^{2}} ight)$ với $x > 0$ thì cạnh $AD = 2x$ , cạnh $AB = e^{- \frac{1}{2}x^{2}}$

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ được tính theo công thức $S(x) = 2xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ .

Suy ra mệnh đề sai.

d) Xét hàm số $S(x) = 2xe^{- \frac{1}{2}x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$

$S'(x) = 2e^{- \frac{1}{2}x^{2}} - 2x^{2}e^{- \frac{1}{2}x^{2}} = 2e^{- \frac{1}{2}x^{2}}\left( 1 - x^{2} ight)$

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1\ (Loai) \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Hàm số $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 1$ . Khi đó $AD = 2$

Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 22: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .
Câu 23: Nhận biết
Xác định hàm số y = f(x)

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
- A. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
- B. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 1$
- C. $y = {x^3} - {x^2} - 1$
- D. $y = - {x^3} + {x^2} - 1$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0
=> Loại đáp án B và đáp án D
Mặt khác hàm số có ba điểm cực trị
=> Loại đáp án C
Câu 24: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $f(3x - 2)$ nghịch biến trên khoảng $(\alpha;\beta)$ . Khi đó giá trị lớn nhất của $\beta - \alpha$ là:
- A.
  $9$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $1$ .
Ta có: $y = f(3x - 2) \Rightarrow y' = 3.f'(3x - 2)$ .

Hàm số $y = f(3x - 2)$ nghịch biến $\Leftrightarrow y' \leq 0$

$\Leftrightarrow 3.f'(3x - 2) \leq 0 \Leftrightarrow f'(3x - 2) \leq 0$ .

$\Leftrightarrow 1 \leq 3x - 2 \leq 4 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$ .

Vậy khoảng $(\alpha;\beta)$ lớn nhất là $(1;2)$ .
Câu 25: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , có bảng biến thiên như hình sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số có hai điểm cực trị.
- B.
  Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 3$ .
- C.
  Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
- D.
  Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1),\ \ (2; + \infty)$ .
Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN.

Vậy khẳng định sai là: “Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 3$ .”
Câu 26: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - 7.$
- B.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt{6}.$
- C.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1.$
- D.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{3}.$
TXĐ: $D = \lbrack - 7;5brack$ .

Đạo hàm $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack - 7;5brack$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 7) = 2\sqrt{3} \\ f(5) = 2\sqrt{6} \\ f(1) = 6 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 7;5brack}f(x) = f( - 7) = 2\sqrt{3}$
Câu 27: Thông hiểu
Xác định số giá trị nguyên của m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 10;10brack$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 2020$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ ?
- A.
  $10$
- B.
  $20$
- C.
  $11$
- D.
  $21$
Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + 3m \leq 0;\forall x \in (1;2)$

$\Leftrightarrow m \leq - x^{2} + 2x;\forall x \in (1;2)$

Xét $f(x) = - x^{2} + 2x$ trên khoảng $(1;2)$ ta có bảng biến thiên:

Suy ra $m \leq 0$ mà $m \in \lbrack - 10;10brack$ nên $m \in \left\{ - 10; - 9;...; - 1;0 ight\}$

Vậy có tất cả $11$ giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn phương trình

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như sau:
Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) + 3m = 0$ có ba nghiệm phân biệt là:
- A.
  $3$
- B.
  $5$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Số nghiệm của phương trình $f(x) + 3m =0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = - 3m$
Suy ra để phương trình $f(x) + 3m =0$ có ba nghiệm phân biệt thì $- 1< - 3m < 3 \Leftrightarrow - 1 < m <\frac{1}{3}$
Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m =0$
Vậy có duy nhất một số nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 29: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $0,1,m,n$ . Tính $S = m^{2} + n^{2}$ .
- A.
  $S = 1$ .
- B.
  $S = 0$ .
- C.
  $S = 3$ .
- D.
  $S = 2$ .
Gọi phương trình đường thẳng là $d:y = ax + b.$

Theo đề ta có $0,1,m,n$ là các nghiệm của phương trình: $x^{4} - 2x^{2} - ax - b = 0$ (1).

Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} b = 0 \\ a + b = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó phương trình (1) trở thành: $x^{4} - 2x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)(x^{2} + x - 1) = 0$ .

Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: $x^{2} + x - 1 = 0$ .

$S = m^{2} + n^{2} = (m + n)^{2} - 2mn = ( - 1)^{2} + 2 = 3$ .
Câu 30: Vận dụng
Tìm m để khoảng cách nhỏ nhất

Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $M$ là điểm thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận của $(C)$ nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất đó bằng $2.$
- A.
  $m=0.$
- B.
  $\mathbf{m =}\mathbf{2.}$
- C.
  $m = - 2,m = 0.$
- D.
  $m = 1.$
Áp dụng công thức giải nhanh:

Điểm $M\left( x_{0};y_{0} = \frac{ax_{0} + b}{cx_{0} + d} ight)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ .

Đồ thị hàm số có TCĐ $\Delta_{1}:x + \frac{d}{c} = 0$ ; TCN $\Delta_{2}:y - \frac{a}{c} = 0$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} d_{1} = d\left\lbrack M,\Delta_{1} ightbrack = \left| x_{0} + \frac{d}{c} ight| = \left| \frac{cx_{0} + d}{c} ight| \\ d_{2} = d\left\lbrack M,\Delta_{2} ightbrack = \left| y_{0} - \frac{a}{c} ight| = \left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d ight)} ight| \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $d_{1} + d_{2} \geq 2\sqrt{\frac{|ad - bc|}{c^{2}}}.$

Áp dụng: Ycbt $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{|ad - bc|}{c^{2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{|ad - bc|}{c^{2}} = 1 \Leftrightarrow |1 + m| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 31: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y =f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y = f(x - m)$ đồng biến trên khoảng $(2020; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $S$ có tất cả bao nhiêu phần tử?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y = f(x - m)$ đồng biến trên khoảng $(2020; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $S$ có tất cả bao nhiêu phần tử?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 32: Nhận biết
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $- 1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ta có: $f(x) \geq - 1$ và $f(x) = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\min_{\lbrack - 2;2brack}y = - 1$ .
Câu 33: Nhận biết
Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A. 3
- B. 1
- C. 2
- D. 4
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2} ight\}$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - 1} \end{array}} ight.$ => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Câu 34: Thông hiểu
Tìm m để hàm số thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = - x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ với $m$ là tham số. Với điều kiện nào của tham số $m$ thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu?
- A.
  $m \geq 3$
- B.
  $m > - 3$
- C.
  $m > 3$
- D.
  $m > - 3$
Ta có: $y' = - 3x^{2} - 6x + m(*)$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3$ .

Vậy đáp án cần tìm là $m > - 3$ .
Câu 35: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(−2, 0)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(−1; +∞)$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; +∞)$ . Đúng||Sai

d) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = −1$ .Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(−2, 0)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(−1; +∞)$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; +∞)$ . Đúng||Sai

d) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = −1$ .Sai|| Đúng

Ta có thể từ đồ thị thiết lập lại bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(−2, 0)$ .

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +∞)$ nên khẳng định đồng biến trên khoảng $(−1; +∞)$ là sai.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +∞)$ nên nên hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +∞)$ .

d) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ (chú ý: $y = −1$ gọi là giá trị cực tiểu).
Câu 36: Thông hiểu
Xác định cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(1 - 2x)$ đạt cực tiểu tại:
- A.
  $x = - \frac{1}{2}$
- B.
  $x = \frac{1}{2}$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = 0$
Đặt $g(x) = f(1 - 2x) \Rightarrow g'(x) = - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Ta xét bằng cách thay số

Với $x = 2 \Rightarrow g'(2) = - 2f'( - 3) < 0$

Với $x = \frac{3}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{3}{4} ight) = - 2f'\left( - \frac{1}{2} ight) > 0$

Với $x = \frac{1}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{1}{4} ight) = - 2f'\left( \frac{1}{2} ight) < 0$

Với $x = - 1 \Rightarrow g'( - 1) = - 2f'(3) > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ , có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;1)$ .
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1; + \infty)$ .
- C.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

Vậy đáp án cần tìm là: “Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$ ”.
Câu 38: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết $8m^{2}$ kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết $8m^{2}$ kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 39: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $R$ và có $f'(x) = x.(x + 1)^{3}.(x - 1)^{4}.(x - 4)^{5}$ . Giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = g(x) = f(1 - x) + \frac{1}{x^{2} + mx + m^{2} + 1}$ chắc chắn luôn đồng biến trên $( - 3;0).$
- A.
  $m \in ( - 2; - 1)$ .
- B.
  $m \in ( - \infty; - 2)$ .
- C.
  $m \in \lbrack - 1;0\rbrack$ .
- D.
  $m \in \lbrack 0; + \infty)$ .
Điều kiện: $x^{2} + mx + m^{2} + 1 \neq 0$ (luôn đúng vì $x^{2} + mx + m^{2}+ 1$ $= \left( x + \frac{m}{2} \right)^{2} + \frac{3m^{2}}{4} + 1 >0$ )

$g'(x) = - f'(1 - x) - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}}$

Đặt $t = 1 - x;x \in ( - 3;0) \Rightarrow t \in (1;4)$

$\Rightarrow - f'(1 - x),x \in ( - 3;0)$ chính là $- f'(t),t \in (1;4)$ .

Do đó $- f'(t) > 0,\forall t \in (1;4) \Leftrightarrow - f'(1 - x) > 0,\forall x \in ( - 3;0)$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}} \geq 0,\forall x \in ( - 3;0)$

$\Leftrightarrow 2x + m \leq 0,\forall x \in ( - 3;0)$ $\Leftrightarrow m \leq - 2x,\forall x \in ( - 3;0)$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{\lbrack - 3;0\rbrack}( - 2x) \Leftrightarrow m \leq 0$ . Vậy $m \in \lbrack 0; + \infty)$
Câu 40: Thông hiểu
Định m để phương trình có ba nghiệm

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) - m + 2 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:

$2f(x) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow 2f(x) = m - 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m - 2}{2}$

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = - 1 \\f(x) = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m - 2}{2} = - 1 \\\dfrac{m - 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = 5 \\\end{matrix} ight.$

Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

67 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian