Xác định số điểm cực trị của hàm số
Cho hàm số
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!
Xác định số điểm cực trị của hàm số
Cho hàm số
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1
Tìm các giá trị nguyên của m
Cho hàm số
với
là tham số. Xác định điều kiện của tham số
để hàm số đã cho đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại suy ra
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực đại tại
.
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
.
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là
Xác định tính đúng sai của từng phương án
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
. Sai|| Đúng
c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là
. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số
có điểm cực đại là
. Sai|| Đúng
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
. Sai|| Đúng
c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là
. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số
có điểm cực đại là
. Sai|| Đúng
Ta có:
Bảng biến thiên
a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là
d) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có được bằng cách tịnh tiến đồ thị
lên trên 3 đơn vị. Suy ra đồ thị hàm số
có điểm cực đại là
.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hàm số
với m là tham số thực thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Xét hàm số trên [1; 2] ta có:
Khi đó:
Chọn đáp án đúng
Gọi
là giao điểm của đường thẳng
và đường cong
. Khi đó hoành độ
của trung điểm
của đoạn
bằng bao nhiêu?
Pthdgd (*)
Khi đó .
Chú ý: có thể giải (*), tìm được
Chọn đáp án đúng
Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
là đúng?
Ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
Xác định nghiệm của phương trình
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
trên đoạn
là

Ta có .
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt
tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Chọn đáp án đúng:
Xét hàm số
. Gọi M,m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [-4;4] sao cho M
2m?
Xác định số cực đại của hàm số
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực đại của hàm số là:
Ta có:
Lập bảng biến thiên của hàm số
Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.
Tính giá trị biểu thức
Biết
là giá trị của tham số
để hàm số
có hai điểm cực trị
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Xét hàm số
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
Khi đó theo định lí Vi – et ta có:
Theo giả thiết:
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Trên khoảng đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Trên khoảng đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Trên khoảng đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn.
Trên khoảng đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Xác định tính đúng sai của từng phương án
Một bể bơi chứa
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau
phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là
. Sai||Đúng
c) Xem
là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi
ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Một bể bơi chứa
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau
phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là
. Sai||Đúng
c) Xem
là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi
ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Sau t phút, khối lượng muối trong bể là (gam)
Thể tích của lượng nước trong bể là (lít).
Vậy nồng độ muối sau phút là:
(gam/lít).
Ta có
Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
:
Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).
Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.
a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Xác định hàm số thích hợp
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
?
Vì .
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng:
Ta có:
. Khi đó
.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
?
Ta có nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
Ta có là TCN;
là TCN.
Vậy câu đúng là: “Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang ”.
Tính giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
bằng:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
bằng
.
Xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ![]()
Ta có:
và
Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng
Tính diện tích tam giác
Gọi
là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Ba điểm cực trị của hàm số là
Tam giác có điểm
, hai điểm
đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác
cân tại
. Trung điểm
của
thuộc trục
và là chân đường cao hạ từ
của tam giác, suy ra:
Vậy diện tích tam giác ABC bằng .
Chọn câu đúng
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
“Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
khi và chỉ khi
và
“ sai vì chỉ cần một trong hai giới hạn
hoặc
tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là
.
“Nếu hàm số không xác định tại
thì đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng
“ sai, ví dụ hàm số
không xác định tại
nhưng
và
không tiến đến vô cùng nên
không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
“Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
khi và chỉ khi
và
“ sai vì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:
.
“Đồ thị hàm số bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang.“ đúng vì chỉ có hai giới hạn
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

Biết rằng
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số
Hàm số
có đạo hàm
,
. Hàm số
có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
có
nghiệm bội lẻ và hệ số
dương nên có
cực tiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Cho hàm số
có đồ thị như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn
bằng:
Nhận thấy trên đoạn đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ
Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn
bằng 4
Chọn đáp án đúng
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của
để hàm số
nghịch biến trên
.
Ta có
Để hàm số nghịch biến trên thì
,
, vì
Đặt .
Khi đó
Ta xét hàm
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra .
Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho hàm số
(với
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
Tập xác định
Ta có: .
Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Chọn đáp án đúng:
Số giao điểm của đường cong
và đường thẳng y = 1 - 2x là:
Tìm số phần tử của tập hợp S
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
thỏa mãn
. Số phần tử của tập hợp
bằng:
Ta có:
Đạo hàm
và
Suy ra
Mà
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
Ta có: . Theo yêu cầu bài toán ta có:
=>
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy
Tìm giá trị của tham số a
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại đúng một điểm?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên
Xét hàm số
Ta có:
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm
Vì nguyên âm nên
Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hàm số bậc ba
với
là tham số. Gọi
là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho hàm số bậc ba
với
là tham số. Gọi
là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số
có
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để
?
Ta có: suy ra hàm số
đồng biến trên
Suy ra
Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của .
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hàm số
. Giả sử
là tổng bình phương các giá trị của tham số
để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng
. Tính giá trị
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Cho hàm số
. Giả sử
là tổng bình phương các giá trị của tham số
để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng
. Tính giá trị
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Tìm khẳng định sai
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xét hàm số
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

Từ bảng xét dấu ta thấy
Khi đó hàm số nghịch biến
=> Đáp án B sai
Đồ thị của hàm số
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số
và điểm
Tìm
để đường thẳng
cắt
tại hai điểm phân biệt
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
(đk:
)
Để và
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác
Giả sử.
Theo hệ thức viét :
và
Ta có:
(Áp dụng BĐT Côsi)
Suy ra: đạt giá trị nhỏ nhất là
khi
Vậy (vì
).
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
suy ra
là tiệm cận ngang.
suy ra
là tiệm cận ngang.
Vậy không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
Tìm tổng số đường tiệm cận
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
Vì Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
và
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
.
Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Tính giá trị biểu thức 3M + m
Cho hàm số
trên đoạn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức
.
Xét hàm số trên đoạn
ta có:
=> là hàm số nghịch biến trên
=>
Định m để phương trình có ba nghiệm
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có đúng ba nghiệm phân biệt?
Ta có:
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt
Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: