VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ . Giá trị của $M - m$ bằng:
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $3$ .
Từ đồ thị ta thấy $M = 1,\ m = 0$ nên $M - m = 1$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $(2; + \infty)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;2)$ .
- D.
  $(2;3)$ .
Quan sát đồ thị nhận biết khoảng nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm số phần tử tập S

Cho hàm số $y = \frac{mx + 4m}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$ .
- A.
  $4$
- B.
  Vô số
- C.
  $3$
- D.
  $5$
$D = \mathbb{R}\backslash\left\{ - m ight\}$ ; $y' = \frac{m^{2} - 4m}{(x + m)^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi $y^{'} < 0,\forall x \in D$

$\Leftrightarrow m^{2} - 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4$ .

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên có $3$ giá trị thỏa mãn.
Câu 4: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30.000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30.000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18.000$ .

a) Nếu cơ sở bán mỗi chiếc khăn với giá $37000$ thì số tiền lãi sau 1 tháng là $44$ . Sai||Đúng

b) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi chiếc khăn thêm $x$ thì tổng số lợi nhuận một tháng của cơ sở được tính theo công thức $f(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000$ . Đúng||Sai

c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm $800$ chiếc. Sai||Đúng

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá $39000$ đồng. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30.000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30.000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18.000$ .

a) Nếu cơ sở bán mỗi chiếc khăn với giá $37000$ thì số tiền lãi sau 1 tháng là $44$ . Sai||Đúng

b) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi chiếc khăn thêm $x$ thì tổng số lợi nhuận một tháng của cơ sở được tính theo công thức $f(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000$ . Đúng||Sai

c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm $800$ chiếc. Sai||Đúng

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá $39000$ đồng. Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$ .

Vì cứ tăng giá thêm $1$ thì số khăn bán ra giảm $100$ chiếc nên tăng $x$ thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3000 - 100x$ chiếc.

Lúc đầu bán với giá $30$ , mỗi chiếc khăn có lãi $12$ . Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12 + x$ .

Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

$f(x) = (3000 - 100x)(12 + x)$ .

Xét hàm số $f(x) = (3000 - 100x)(12 + x)$ trên $(0; + \infty)$ .

Ta có: $f(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000$ .

$f'(x) = - 200x + 1800$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $(0;\ + \infty)$ ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $x = 9$

hư vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là $9.000$ đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là $39.000$ đồng.
Câu 5: Thông hiểu
Xác định hàm số theo yêu cầu

Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ?
- A.
  $y = x^{3} + 2$ .
- B.
  $y = x^{4} + x^{2}$ .
- C.
  $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ .
- D.
  $y = - x + 1$ .
Nhận thấy hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ không xác định tại $x = - 1 \in [ - 2;2]$

Lại có $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}\frac{x - 1}{x + 1} = - \infty;\ \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{x - 1}{x + 1} = + \infty$ .

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên $\lbrack - 2;2brack$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị?
- A.
  $y = x^{2} + x - 1$
- B.
  $y = x^{2} + 3x - 1$
- C.
  $y = x^{4} + 2x^{2} - 1$
- D.
  $y = x^{3} + 6x + 3$
Các hàm số $y = x^{2} + x - 1$ ; $y = x^{2} + 3x - 1$ ; $y = x^{4} + 2x^{2} - 1$ đều có một điểm cực trị.

Xét hàm số $y = x^{3} + 6x + 3$ ta có: $y' = 3x^{2} + 6 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 7: Nhận biết
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $2f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{3}{2}$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.
Câu 8: Nhận biết
Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất $a$ của hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 13$ trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ ?
- A.
  $a = 13$
- B.
  $a = \frac{51}{2}$
- C.
  $a = \frac{49}{4}$
- D.
  $a = \frac{51}{4}$
Hàm số đã cho liên tục trên $\lbrack - 2;3brack$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\x = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}y( - 2) = 25;y\left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} ight) = \dfrac{51}{4} \\y(0) = 13;y(3) = 85 \\\end{matrix} ight.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $a = \frac{51}{4}$ .
Câu 9: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Nếu m = 0 thì hàm số đã cho trở thành $y = - x^{2} + 1$ .

Đây là hàm số đa thức bậc hai nên có 1 điểm cực trị.

Nếu $m eq 0$ thì hàm số đã cho là hàm số trùng phương có:

$y' = 4mx^{3} + 2(m - 1)x = 2x\left( 2mx^{2} + m - 1 ight)$ .

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2mx^{2} + m - 1 = 0(*) \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Điều kiện tương đương là:

$\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m(m - 1) < 0 \\ 2m.0^{2} + m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ 0 < m < 1 \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$
Câu 10: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ

Đồ thị hàm số $y = \left( f(x) \right)^{2}$ có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
- A.
  $2$ điểm cực đại, $3$ điểm cực tiểu.
- B.
  $2$ điểm cực tiểu, $3$ điểm cực đại.
- C.
  $2$ điểm cực đại, $2$ điểm cực tiểu.
- D.
  $\mathbf{1}$ điểm cực đại, $3$ điểm cực tiểu.
Từ đồ thị ta có: $f(x) = 0$ có nghiệm đơn là $x = 0;x = 3$ và nghiệm kép $x = 1$ .

Và $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm đơn $x = x_{1} \in (0;1)$ ; $x = x_{2} \in (1;3)$ và $x = 1$ .

Ta có: $y = \left( f(x) \right)^{2} \Rightarrow y' = 2f'(x).f(x)$ có các nghiệm đơn là $x = 0;x = 3;x_{1};x_{2}$ và nghiệm bội 3 là $x = 1$ .

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy đồ thị hàm số có $2$ điểm cực đại, $3$ điểm cực tiểu.
Câu 11: Thông hiểu
Xác định hàm phân thức

Tìm hàm số tương ứng với đồ thị được cho trong hình vẽ sau?
- A.
  $y = \frac{- x + 3}{x + 1}$
- B.
  $y = \frac{- 2x + 1}{2x + 1}$
- C.
  $y = \frac{- x}{x + 1}$
- D.
  $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$
Dựa vào đồ thị đã cho trong hình vẽ ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị là $y = - 1$ và đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x = - 1$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1;1)$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$ .
Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .
Câu 13: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ . Đúng||Sai

b) là đồ thị của hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ . Đúng||Sai

c) là đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là khác nhau. Sai|| Đúng

a) Đồ thị hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$

- Giữ nguyên phần trên trục Ox.

- Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ qua trục Ox.

b) Ta có: $y = \frac{|x + 1|}{x - 1} = \left\{ \begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x \geq - 1;x eq 1 \\ - \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ gồm hai phần:

Phần 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ với $x \geq - 1;x eq 1$ .

Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị $y = f(x)$ với x < −1 qua trục Ox.

c) Đồ thị $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox

Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$ qua trục Ox.

d) Đồ thị của hàm số $y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|$ và $y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|$ là giống nhau.
Câu 14: Thông hiểu
Tìm hàm số đồng biến trên khoảng cho trước

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1; +∞)?
- A. $y = {\log _3}x$
- B. $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2}}$
- C. $y = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}$
- D. $y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}$
Ta có hàm số y = a^x, y = log_ax đồng biến trên tập xác định nếu a > 0
Do đó hàm số y = log₃x đồng biến trên (1; +∞)
Câu 15: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Khi $m = 0$ , ta có $\min_{(0; + \infty)}y = - 2$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

c) Với mọi giá trị của $m$ , ta luôn có $\min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4$ . Đúng||Sai

d) Khi $m = - 3$ thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2\rbrack$ bằng $1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Khi $m = 0$ , ta có $\min_{(0; + \infty)}y = - 2$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

c) Với mọi giá trị của $m$ , ta luôn có $\min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4$ . Đúng||Sai

d) Khi $m = - 3$ thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2\rbrack$ bằng $1$ . Đúng||Sai

Tổng quan đáp án

a. Sai

b. Đúng

c. Đúng

d. Đúng

a) Khi $m = 0$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng $2$ .

Thay $m = 0$ vào $y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}$ , ta có

$y = \frac{x^{2} + 1}{x} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \notin (0; + \infty)\end{matrix} \right.$ .

Ta có bảng biến thiên như sau:

b) Ta có $y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} + 2mx + m^{2} - 1}{(x + m)^{2}}$ .

$+ y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - m - 1;\ (\ x \neq - m) \\ x = - m + 1;\ (\ x \neq - m) \end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow y' = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x \neq - m,\ \ \forall m$ .

Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

c) $+ y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} +2mx + m^{2} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - m - 1 \\x = - m + 1\end{matrix} \right.$ .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

$\max_{( -\infty; - m)}y = - 2 - m;\min_{( - m; + \infty)}y = 2 - m$

$\Rightarrow \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y= 4$

d) Khi $m = - 3$ thay vào $y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}$ , ta có $y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3}$ .

+ Hàm số $y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3}$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng $( - \infty;3)$ và $(3; + \infty)$ .

Mặt khác $\lbrack - 1;2\rbrack \subset ( - \infty;3) \Rightarrow$ Hàm số liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2\rbrack$ .

+ Ta có $y' = \frac{x^{2} - 6x + 8}{(x - 3)^{2}} > 0\ \ \forall x \in ( - 1;2)$ và $y(2) = 1$ .

Vì hàm số tăng trên $( - 1;2)$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất $\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}y = y(2) = 1$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định hàm số tương ứng

Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:
Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?
- A. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$
- B. $y = \frac{{3 - x}}{{x - 1}}$
- C. $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$
- D. $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$
Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1
=> Loại A và B
Xét thấy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -2) => Chọn đáp án C
Câu 17: Vận dụng cao
Chọn khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 2018$ . Hàm số $y = g(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

$Description: Description: C:\Users\SV\AppData\Local\Temp\geogebra.png$
- A.
  $( - \infty\ ;\ - 2)$
- B.
  $( - 3\ ;\ - 1)$ .
- C.
  $( - 1\ ;\ 1)$ .
- D.
  $(1\ ;\ + \infty)$ .
Ta có:

$g'(x) = f'(x) - x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} = f'(x) - \left( x^{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \right)$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x^{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$

Ta vẽ đồ thị hàm số $y = x^{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$

$Description: Description: C:\Users\SV\AppData\Local\Temp\geogebra.png$

Dựa nào đồ thị $\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên
Câu 18: Nhận biết
Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào

Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
- A. $y = {x^3} - 3x$
- B. $y = - {x^3} + 3x$
- C. $y = - {x^4} + 3{x^2}$
- D. $y = 3{x^4} - 2{x^2}$
Đồ thị hàm số hình chữ N ngược => Đây là hàm số bậc 3 dạng
$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a < 0} ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Định điều kiện của m

Tìm điều kiện cần và đủ của tham số thực ủa tham số $m$ để đường thẳng $y = 3x + m - 2$ cắt đồ thị $y = (x - 1)^{3}$ tại ba điểm phân biệt là:
- A.
  $- 3 \leq m \leq 1$
- B.
  $- 3 < m < 1$
- C.
  $- 1 < m < 3$
- D.
  $- 1 \leq m \leq 3$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$(x - 1)^{3} = 3x + m - 2 \Leftrightarrow m = x^{3} - 3x^{2} + 1(*)$

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(d):y = m,(C):y = x^{3} - 3x^{2} + 1$

Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$ có

$f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Vậy theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - 3 < m < 1$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = (x - 2)^{2}(x + 1)$ là
- A.
  $A(0;4),B(2;0)$ .
- B.
  $A(4;0),B(0;2)$ .
- C.
  $A(0; - 4),B( - 2;0)$ .
- D.
  $A( - 4;0),B(0; - 2)$ .
Ta có:

$f^{'}(x) = 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^{2}$

$= 2x^{2} - 2x - 4 + x^{2} - 4x + 4 = 3x^{2} - 6x$

$f^{'}(x) = 0 = > x = 1;x = 2$

Vậy hai điểm cực trị cần tìm là: $A(0;4),B(2;0)$
Câu 21: Vận dụng
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^{3}$ . Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x) + (2 - x)^{3}$ là
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Ta có $g^{'(x)} = f^{'(x)} - 3(2 - x)^{2}$

$= f'(x) - 3(x - 2)^{2} = (x - 2)^{2}\left( x^{2} - 2x - 3 \right)$

Ta có: $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$

Từ BBT suy ra hàm số có $2$ điểm cực trị.
Câu 22: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện đề bài

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f\left( x ight) = - {x^2} + 4x - m$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { - 1;3} ight]$ bằng $10$ ?
- A. $m = 3$
- B. $m=-6$
- C. $m=-7$
- D. $m=-8$
Xét hàm số $f\left( x ight) = - {x^2} + 4x - m$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} ight]$ ta có:
$f'\left( x ight) = - 2x + 4$
Phương trình $f'\left( x ight) = 0$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 3} \\ { - 2x + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow x = 2} ight. \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = - 5 - m \hfill \\ f\left( 2 ight) = 4 - m \hfill \\ f\left( 3 ight) = 3 - m \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;3} ight]} = f\left( 2 ight) = 4 - m \hfill \\ \Rightarrow 4 - m = 10 \Rightarrow m = - 6 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính giá trị f(0)

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đi qua điểm $A(1;1),B(2;4),C(3;9)$ . Các đường thẳng $AB,AC,BC$ lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm $M,N,P$ ( $M$ khác $A$ và $B$ , $N$ khác $A$ và $C$ , $P$ khác $B$ và $C$ . Biết rằng tổng các hoành độ của $M,N,P$ bằng 5, giá trị của $f(0)$ là
- A.
  $- 6$ .
- B.
  $- 18$ .
- C.
  18.
- D.
  6.
Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

$f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$ ( $a eq 0$ )

Ta có: $AB:y = 3x - 2$ , $AC:y = 4x - 3$ , $BC:y = 5x - 6$ .

Khi đó:

Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + {x_{M}}^{2} = 3x_{M} - 2$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + \left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 3 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{M} = 3 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + {x_{N}}^{2} = 4x_{N} - 3$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + \left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 2 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{N} = 2 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + {x_{P}}^{2} = 5x_{P} - 6$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + \left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{P} = 1 - \frac{1}{a}$ .

Từ giả thuyết ta có; $x_{M} + x_{N} + x_{P} = 5 \Leftrightarrow 6 - \frac{3}{a} = 5 \Leftrightarrow a = 3$ .

Do đó: $f(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$

$f(0) = - 18$ .
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Biết hàm số $y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Biết hàm số $y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu
Tìm số điểm cực đại của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3},\ \ \ \forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
- A.
  $2$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $1$ .
Ta có:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.
Câu 26: Vận dụng
Tìm x thỏa mãn điều kiện

Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước $12m\ \times \ 6m$ như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chi rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau $x\ \ \ (m)$ (như hình vẽ).

Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.
- A.
  $x = 4$ .
- B.
  $x = 3\sqrt{3}$ .
- C.
  $x = 3$ .
- D.
  $x = 3\sqrt{2}$ .
Phần không gian trong lều được tính bởi công thức thể tích hình lăng trụ đứng.

Ta có: $V = h.S_{ñ} = 12.S_{ñ}$ . Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy $ABC$ là lớn nhất.

Trong tam giác đáy $ABC$ , vẽ đường cao $AH$ . Ta có $AH = \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}.$

Do đó diện tích: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}x.\sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{1}{4}x\sqrt{36 - x^{2}}.$

Cách giải 1:

Xét hàm số $S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt{36 - x^{2}}$ với $x \in (0;6).$

Ta có: $S'(x) = \frac{1}{4}\left( \sqrt{36 - x^{2}} + x\frac{- 2x}{\sqrt{36 - x^{2}}} \right) = \frac{1}{4}.\frac{36 - x^{2} - x^{2}}{\sqrt{36 - x^{2}}}$ .

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 36 - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x = 3\sqrt{2}.$

Bảng biến thiên:

Vậy với $x = 3\sqrt{2}$ (m) thì thể tích lều là lớn nhất.

Cách giải 2:

Theo bất đẳng thức quen thuộc là $\boxed{ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ , ta có:

$x\sqrt{36 - x^{2}} \leq \frac{x^{2} + 36 - x^{2}}{2} = 18$

$\Rightarrow S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt{36 - x^{2}} \leq \frac{1}{4}.18 = \frac{9}{2}.$

Vậy diện tích tam giác đáy $ABC$ lớn nhất bằng $\frac{9}{2}$ , khi đó dấu $" = "$ xảy ra:

$\Leftrightarrow$ $x = \sqrt{36 - x^{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 36 - x^{2} = x^{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 3\sqrt{2}.$
Câu 27: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $(1;5)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $(2; + \infty)$ .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = mx^{3} + mx^{2} + m(m - 1)x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
- A.
  $m \leq \frac{4}{3}$ và $m eq 0$ .
- B.
  $m = 0$ hoặc $m \geq \frac{4}{3}$ .
- C.
  $m \geq \frac{4}{3}$ .
- D.
  $m \leq \frac{4}{3}$ .
TH1: $m = 0 \Rightarrow y = 2$ là hàm hằng nên loại $m = 0$ .

TH2: $m eq 0$ . Ta có: $y' = 3mx^{2} + 2mx + m(m - 1)$ .

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}f'(x) \geq 0\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}$

$\left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - 3m^{2}(m - 1) \leq 0 \\ 3m > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2}(4 - 3m) \leq 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq \frac{4}{3} \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{4}{3}$
Câu 29: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên tham số m

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ .
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
TH1: $m = 1$ . Ta có: $y = - x + 4$ là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Do đó nhận $m = 1$ .

TH2: $m = - 1$ . Ta có: $y = - 2x^{2} - x + 4$ là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Do đó loại $m = - 1$ .

TH3: $m eq \pm 1$ . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ , dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên $\mathbb{R}$ .

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1 \leq 0$ , $\forall x\mathbb{\in R\ \ }$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)(4m + 2) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên $m = 0$ .

Vậy có $2$ giá trị $m$ nguyên cần tìm là $m = 0$ hoặc $m = 1$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định hàm số thích hợp

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = x^{3} - 3x + 2$ .
- B.
  $y = x^{4} + 2x^{2} + 2$ .
- C.
  $y = - x^{3} + 2x^{2} - 4x + 1$ .
- D.
  $y = - x^{3} - 2x^{2} + 5x - 2$ .
Ta có:

$y = - x^{3} + 2x^{2} - 4x + 1$

$\Rightarrow y' = - 3x^{2} + 4x - 4 = - 2x^{2} - (x - 2)^{2} < 0,\forall x\mathbb{\in R}$

Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ , bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  $0$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ bảng biến thiên ta thấy $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ qua nghiệm $- 1$ và nghiệm $1$ ; không đổi dấu khi $x$ qua nghiệm $0$ nên hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 32: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)(x + 4)^{3},\ \forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Ta có:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)(x + 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có $2$ điểm cực tiểu.
Câu 33: Vận dụng
Tìm số tiệm cận của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ; $f(x) > 0$ , $\forall x\mathbb{\in R}$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 2$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ . Số tiệm cận của hàm số $g(x) = \frac{1}{f(x)} + \frac{2019}{x^{2} + 1}$ là
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4.$
Ta có: + y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(x) > 0$ , $\forall x\mathbb{\in R}$

+ $x^{2} + 1 > 0$ , $\forall x\mathbb{\in R}$

🡪 Tập xác định của hàm số $g(x)$ : $D\mathbb{= R}$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{1}{f(x)} + \frac{2019}{x^{2} + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{f(x)} + \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2019}{x^{2} + 1} = 0$ $\Rightarrow$ $y = 0$ là tiệm cận ngang

. $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( \frac{1}{f(x)} + \frac{2019}{x^{2} + 1} \right) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{f(x)} + \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2019}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} + 0$ $\Rightarrow$ $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang

Vậy có 2 đường tiệm cận.
Câu 34: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
- B.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = 4$ .
- C.
  Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
- D.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 0$ .
Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ ta có: $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

Và $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 4 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.
Câu 35: Nhận biết
Xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2020}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình?
- A.
  $y = 2020$
- B.
  $x = 2020$
- C.
  $y = 0$
- D.
  $x = 0$
Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2020}{x - 1} = 0$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .
Câu 36: Vận dụng
Chọn kết quả đúng nhất

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y = \frac{\cos\ x - 3}{cos\ x - m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 0 \leq m < 3 \\ m \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 0 < m < 3 \\ m < - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $m \leq 3$ .
- D.
  $m < 3$ .
Điều kiện: $cos\ x eq m$ .

Ta có: $y' = \frac{( - m + 3)}{(cos\ x - m)^{2}}.( - sin\ x) = \frac{(m - 3)}{(cos\ x - m)^{2}}.sinx$

Vì $x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight) \Rightarrow sin\ x > 0$ , $(cos\ x - m)^{2} > 0,\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight):cos\ x eq m$ .

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\pi ight)$

$\Leftrightarrow y' < 0\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 3 < 0 \\ cos\ x eq m\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 3 < 0 \\ m otin ( - 1;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 3 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 \leq m < 3 \\ m \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Chú ý : Tập giá trị của hàm số $y = \cos x,\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight)$ là $( - 1;0)$ .
Câu 37: Vận dụng cao
Tình tổng các giá trị nguyên của tham số m

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight)$ có 3 điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là:
- A. 2
- B. 4
- C. 8
- D. 10
Xét hàm số $y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight)$ có đạo hàm
$\begin{matrix} y' = 2\left( {x - 1} ight)f'\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = - 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = - 1 - m} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = 3 - m} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì
$\begin{matrix} - 1 - m \leqslant 0 < 3 - m \hfill \\ \Leftrightarrow - 1 \leqslant m < 3 \hfill \\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tổng các phần tử của S là 2
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 0$ và $\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
- B.
  Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
- C.
  Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$ .
- D.
  Hàm số đã cho có tập xác định là $D = (0, + \infty)$ .
Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 0\ \ \overset{}{ightarrow}\ \ y = 0$ là TCN.

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty\ \ \overset{}{ightarrow}\ \ x = 0$ là TCĐ.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 2; + \infty)$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{7}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:

$f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{3x}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq \frac{3.2}{4} + 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = \frac{5}{2}$ .

Dấu bằng xảy ra khi $x = 2$ .
Câu 40: Nhận biết
Xác định điểm cực đại của hàm số

Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số $y = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2$ ?
- A. $\frac{1}{2}$
- B. 1
- C. 0
- D. 2
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có: $y' = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x$
$\begin{matrix} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 3x + 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là $x = \frac{1}{2}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

63 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian