VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = 0$
- C.
  $x = 5$
- D.
  $x = 2$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $y'$ đối dấu từ $( + )$ sang $(-)$ tại $x = 2$ .

Nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$ .
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - (2m + 1)x^{2} + (3 - m)x + 2$ với $m$ là tham số. Định điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có ba điểm cực trị?
- A.
  $m > 3$
- B.
  $m > - \frac{1}{2}$
- C.
  $m \geq 3$
- D.
  $- \frac{1}{2} < m \leq 3$
Ta có:

$y' = f'(x) = 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m = 0(*)$

Để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\lbrack \begin{matrix} 0 = x_{1} < x_{2} \\ x_{1} < 0 < x_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 3 - m = 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 3 - m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tiệm cận ngang của hàm số

Đồ thị hàm số $y = x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2}$ có tiệm cận ngang là:
- A. y = 2
- B. y = -2
- C. y = -1
- D. x = -2
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2} } ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - 4x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4 - \dfrac{2}{x}}}{{1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2} } ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} } ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } ight) = 2 > 0} \end{array}} ight.$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2.
Câu 4: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.
Biết rằng $f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
- A. m = f(4); M = f(2)
- B. m = f(4); M = f(1)
- C. m = f(0); M = f(2)
- D. m = f(1); M = f(2)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 5)$ ?
- A.
  $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2};5 ightbrack$
- B.
  $m \in \left( - \frac{1}{2};5 ightbrack$
- C.
  $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2};5 ight)$
- D.
  $m \in \left( - \frac{1}{2};5 ight)$
Điều kiện xác định: $x eq - m$

Ta có: $y' = \frac{2m + 1}{(x + m)^{2}}$

Hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + m}$ đồng biến trên $( - \infty; - 5)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 5) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2m + 1 > 0 \\m otin ( - \infty; - 5) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{2} \\- m \geq - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{2} \\m \leq 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow m \in \left( - \frac{1}{2};5 ightbrack$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in \left( - \frac{1}{2};5 ightbrack$
Câu 6: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$ , cho đồ thị hàm số $(C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ với $x > - 1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I( - 1; - 1)$ , biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P = a.n + b$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$ , cho đồ thị hàm số $(C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ với $x > - 1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I( - 1; - 1)$ , biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P = a.n + b$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Xác định hàm số đồng biến trên $( - \infty; + \infty)$ ?
- A.
  $y = x^{3} - 3x$
- B.
  $y = \frac{x - 1}{x - 2}$
- C.
  $y = \frac{x + 1}{x + 3}$
- D.
  $y = x^{3} + 3x$
Xét hàm số $y = x^{3} + 3x$ ta có:

$y' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra hàm số $y = x^{3} + 3x$ đồng biến trên $( - \infty; + \infty)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính số cực trị của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số $f(x) = (x + 2)^{3}(x - 3)^{2}(x - 2)^{5}$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Ta có:

$f'(x) = 3(x + 2)^{2}(x - 3)^{2}(x -2)^{5}$ $+ 2(x + 2)^{3}(x - 3)(x - 2)^{5}$ $+ 5(x + 2)^{3}(x - 3)^{2}(x -2)^{4}$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ight brack$ $\left\lbrack 3(x - 3) + 2(x +2)(x - 2) + 5(x + 2)(x - 3) ightbrack$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack$ $\left\lbrack 3\left( x^{2} -5x + 6 ight) + 2\left( x^{2} - 4 ight) + 5\left( x^{2} - x - 6ight) ightbrack$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack(x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack$ $\left( 3x^{2} - 15x + 18 +2x^{2} - 8 + 5x^{2} - 5x - 30 ight)$

$\Leftrightarrow f'(x) = \left\lbrack (x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack\left( 10x^{2} - 20x - 20 ight)$

Khi đó

$f'(x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack (x + 2)^{2}(x - 3)(x - 2)^{4} ightbrack\left( 10x^{2} - 20x - 20 ight) = 0(*)$

Phương trình (*) có ba nghiệm bội lẻ $x = 3;x = 1 \pm \sqrt{3}$

Vậy hàm số ban đầu có ba điểm cực trị.
Câu 9: Nhận biết
Xác định giá trị lớn nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = x^{3} - x^{2} - 8x$ trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ ?
- A.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{176}{27}$
- B.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 8$
- C.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$
- D.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 4$
Ta có: $y' = 3x^{2} - 2x - 8$

$\Leftrightarrow y' = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = - \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 8 \\ f(2) = - 12 \\ f(33) = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$ .
Câu 10: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu
Chọn hình vẽ thích hợp

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ với $c > d > 0$ ?
- A.
- B.
- C.
- D.
Với $c > d > 0$ thì đồ thị hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = d$ và $x = c$

Mặt khác với $x \leq c$ thì $y \leq 0$ nên khi $x \leq c$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .
Câu 12: Vận dụng cao
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số $y = \frac{x}{1 - x}\ \ \ \ \ (C)$ và điểm $A( - 1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d:\ \ y = mx - m - 1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = - 2$ .
- D.
  $m = - \frac{2}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là: $\frac{x}{1 - x} = mx - m - 1$ (đk: $x eq 1$ )

$\begin{matrix} \Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\ \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*) \\ \end{matrix}$

Để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\ m - 2m + m + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow m < 0$

Giả sử $M\left( x_{1};y_{1} ight),N\left( x_{2};y_{2} ight)$ .

Theo hệ thức viét : $x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}$

$\Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2$

và $y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1 ight)\left( mx_{2} - m - 1 ight)$

$= m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1} + x_{2} ight) + (m + 1)^{2}$

$= m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1$

Ta có:

$AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1 ight)^{2} + \left( y_{1} - 1 ight)^{2} + \left( x_{2} + 1 ight)^{2} + \left( y_{2} - 1 ight)^{2}$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) + \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 ight)\left( y_{2} - 1 ight)$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight)$ $+ \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} ight) + 1 ight)$

$= (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m} + 2 + 1 ight)$ $+ ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1 ight)$

$= 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} ight) - 2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m$

$= 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( - m) ightbrack \geq 16 + 2.2 = 20$ (Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $20$ khi $\frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m = - 1$ (vì $m < 0$ ).
Câu 13: Thông hiểu
Chọn hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^4} + 2{x^2} + 5$
- B. $y = - 2{x^3} - 3x + 5$
- C. $y = - {x^4} - {x^2}$
- D. $y = \frac{{x + 1}}{{ - x + 3}}$
Hàm trùng phương không nghịch biến trên tập xác định của nó
Với $y = \frac{{x + 1}}{{ - x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{4}{{{{\left( { - x + 3} ight)}^2}}} > 0,\forall x e 3$
Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định
Với $y = - 2{x^3} - 3x + 5 \Rightarrow y' = - 6{x^2} - 3 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$
=> Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Câu 14: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhậnđịnh

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m \times 8m$ . Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của chiếc hộp là $(8 - 2x)^{2}(3 - 2x)$ . Sai||Đúng

d) Với $x = \frac{2}{3}(m)$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m \times 8m$ . Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Đúng||Sai

c) Thể tích của chiếc hộp là $(8 - 2x)^{2}(3 - 2x)$ . Sai||Đúng

d) Với $x = \frac{2}{3}(m)$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Ta có chiều dài, chiều rộng, chiều cao của chiếc hộp lần lượt là $8 - 2x;3 - 2x;\ x$ .

Suy ra điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Vậy a) Đúng.

b) Đáy của chiếc hộp là hình chữ nhật có diện tích là $S = (8 - 2x)(3 - 2x)$ . Vậy b) Đúng.

c) Thể tích của chiếc hộp là: $V = x(8 - 2x)(3 - 2x)$ . Vậy c) Sai.

d) Xét hàm số: $V(x) = x(3 - 2x)(8 - 2x) = 4x^{3} - 22x^{2} + 24x$ trên $\left( 0;\frac{3}{2} \right)$ .

Ta có: $V'(x) = 12x^{2} - 44x + 24 = 4\left( 3x^{2} - 11x + 6 \right)$ .

Khi đó: $V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left( 0;\frac{3}{2} \right)$ khi $x = \frac{2}{3}$ . Vậy d) Đúng
Câu 15: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng với đồ thị

Cho hình vẽ:
Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?
- A.
  $y = - x^{3} + 3x +1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} +2$
- C.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x - 1$
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$ và đồ thị hàm số đi qua điểm $(2; - 3)$ nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là $y = x^{3} -3x^{2} + 1$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số y = f(x) có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = - \infty$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
- B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
- C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đúng là các đường thẳng y = 0 và y = 2
- D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 0 và x = 2
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = - \infty$ => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 0
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = - \infty$ => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 2
Câu 17: Vận dụng
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
- A. $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
- B. $m \leqslant 0$
- C. $m \leqslant - 2$
- D. $m \geqslant - 2$
Ta có: $y' = 2mx - \left( {m + 6} ight)$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:
$y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$
=> $2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}$
Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
Câu 18: Nhận biết
Xác định hàm số thích hợp

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ ?
- A.
  $y = \frac{x - 1}{x - 2}$
- B.
  $y = x^{3} + x$
- C.
  $y = - x^{3} - 3x$
- D.
  $y = \frac{x + 1}{x + 3}$
Vì $y = x^{3} + x \Rightarrow y' = 3x^{2} + 1 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .
Câu 19: Vận dụng
Xác định vận tốc lớn nhất

Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giâu từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ ba ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên:
Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba được khảo sát đó, thời điểm nào vận tốc lớn nhất?
- A. Giây thứ nhất
- B. Giây thứ hai
- C. Giây thứ 1,5
- D. Giây thứ 3
Từ đồ thị ta có: a(t) = 0 => v’(t) = 0 = > t = 2
Ta có bảng biến thiên:
=> Vận tốc lớn nhất đạt được khi t = 2
Câu 20: Vận dụng cao
Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} ight)x - 3$ nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
- A. $T = \left[ { - 1;0} ight]$
- B. $T = \emptyset$
- C. $T = \left\{ { - 1} ight\}$
- D. $T = \left\{ 1 ight\}$
Ta có: $y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight)$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì
$\begin{matrix} y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight) \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2
Bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m + 2 \geqslant 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 21: Nhận biết
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
- A. $y = 2$
- B. $x = 2$
- C. $y = - 1$
- D. $x = - 1$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x ight) = 2$
=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2
Câu 22: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 25;25brack$ để hàm số $y= x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ có cực đại và cực tiểu?

Đáp án: 28

Đáp án là:

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 25;25brack$ để hàm số $y= x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ có cực đại và cực tiểu?

Đáp án: 28

Ta có: $y = x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ $\Rightarrow y' = 3x^{2} - 6x+ m$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6x + m = 0(*)$

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z};m \in \lbrack - 2;25brack \Rightarrow m \in \{ - 25; - 24;\ldots;2\}$ .

Vậy có 28 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 23: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng đính

Cho hàm số $f(x) = 2\sin x - x$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $f'(x) = 2cosx - 1$ . Đúng||Sai

b) $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ . Đúng||Sai

c) Tập hợp nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là $\left\{ \frac{\pi}{3} \right\}$ . Đúng||Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 2sinx - x$ trên đoạn $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = 2\sin x - x$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $f'(x) = 2cosx - 1$ . Đúng||Sai

b) $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ . Đúng||Sai

c) Tập hợp nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là $\left\{ \frac{\pi}{3} \right\}$ . Đúng||Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 2sinx - x$ trên đoạn $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ . Sai||Đúng

Ta có $f'(x) = 2cosx - 1$ và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\ (k\mathbb{\in Z})$ .

Khi đó với $x \in \lbrack 0;\pi\rbrack$ thì $x = \frac{\pi}{3}$ .

Ta có $f(0) = 0,\ f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3},\ f(\pi) = - \pi$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 2sinx - x$ trên $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là $- \pi$ .

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai
Câu 24: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 5$
- B.
  Hàm số có bốn điểm cực trị
- C.
  Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
- D.
  Hàm số không có cực đại
Dựa vào bảng biến thiên.

Hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $y'(2) = 0;\ y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = 2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ .
Câu 25: Thông hiểu
Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có $f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 1
Ta có: $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.$
Nhận thấy ${\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2$
=> f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số
Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x²(x - 1) = x² – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.
Câu 26: Nhận biết
Xác định hàm số

Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?
- A.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x - 1$
- C.
  $y = x^{3} - 3x - 1$
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$
Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số $a > 0$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3x - 1$ .
Câu 27: Thông hiểu
Giá trị của biểu thức M - 2m

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x\sqrt {1 - {x^2}}$ . Giá trị của biểu thức $M - 2m$ là:
- A. $0$
- B. $- \frac{1}{2}$
- C. $1$
- D. $\frac{3}{2}$
Điều kiện xác định: $1 - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 1 \leqslant x \leqslant 1$
Xét hàm số $y = x\sqrt {1 - {x^2}}$ trên $\left[ { - 1;1} ight]$ ta có:
$f'\left( x ight) = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
Phương trình $f'\left( x ight) = 0$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < x < 1} \\ {1 - 2{x^2} = 0} \end{array} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight\}} ight.$
Ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = f\left( 1 ight) = 0} \\ {f\left( {\dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}} ight) = - \dfrac{1}{2}} \\ {f\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} ight) = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} = M = \dfrac{1}{2}} \\ {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} = m = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.$
=> $M - 2m = \frac{1}{2} - 2\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{3}{2}$
Câu 28: Vận dụng cao
Tìm m để hàm số có 11 cực trị

Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 30;30} ight]$ để hàm số $f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight)$ có đúng 11 điểm cực trị?
- A. 29
- B. 23
- C. 21
- D. 22
Hàm số đạt cực trị tại $x = a < - 1;x = - 1;x = 4$
Xét hàm số $f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)$
Bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0$ suy ra chỉ có phương trình $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4$ cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu $m \leqslant 0$
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|$
Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}$ . Kết hợp với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.$
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Câu 29: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Xác định tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Xác định tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 30: Thông hiểu
Định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f( - 1) = 1,\ \ f\left( - \frac{1}{e} \right) = 2$ . Hàm số $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f(x) < \ln( - x) + x^{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} \right)$ khi và chỉ khi
- A.
  $m > 0$ .
- B.
  $m > 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
- C.
  $m \geq 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
- D.
  $m \geq 0$ .
Điều kiện: $- x > 0 \Leftrightarrow x < 0$

Bất phương trình đã cho tương đương với $f(x) - \ln( - x) - x^{2} < m$ (*).

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \ln( - x) - x^{2}$ trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Ta có $g'(x) = f'(x) - \frac{1}{x} - 2x$ . Với $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ thì $f'(x) > 0; - \frac{1}{x} - 2x > 0$ nên $g'(x) > 0$ .

Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Suy ra (*) nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ khi và chỉ khi $m \geq g\left( - \frac{1}{e} ight) = f\left( - \frac{1}{e} ight) - \ln\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}} = 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tính GTNN của hàm số trên khoảng

Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } ight)$ . Tính giá trị của m.
- A. m = 4
- B. m = 2
- C. m = 1
- D. m = 3
Ta có:
$\begin{matrix} y' = 1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng biến thiên như sau:
=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4
=> y(2) = 4
=> m = 4
Câu 32: Vận dụng cao
Xác định số phần tử của tập hợp

Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ {0;2019} ight]$ để bất phương trình ${x^2} - m + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} ight)}^3}} \leqslant 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ { - 1;1} ight]$ . Số các phần tử của tập hợp K là:
- A. 1
- B. 2020
- C. 2019
- D. 2
Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} ;x \in \left[ { - 1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} ight]$
Bất phương trình đã cho trở thành ${t^3} - {t^2} + 1 - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant {t^3} - {t^2} + 1\left( * ight)$
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t \in \left[ {0;1} ight]$
Xét hàm số $f\left( t ight) = {t^3} - {t^2} + 1 \Rightarrow f'\left( t ight) = 3{t^3} - 2t$
$f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( L ight)} \\ {t = \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = f\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( {\dfrac{2}{3}} ight) = \dfrac{{23}}{{27}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} f\left( t ight) = 1$
Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t \in \left[ {0;1} ight]$ khi và chỉ khi $m \geqslant 1$
Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên $m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} ight\}$
Câu 33: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm cực đại

Cho hàm số $y = 2x^{3} + bx^{2} + cx + 1.$ Biết $M(1;-6)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm cực đại $N$ của đồ thị hàm số.
- A.
  $N(2;21).$
- B.
  $N( - 2;21).$
- C.
  $N( - 2;11).$
- D.
  $N(2;6).$
Đạo hàm $y' = 6x^{2} + 2bx + c$ và $y'' = 12x + 2b$ .

Điểm $M(1; - \ 6)$ là điểm cực tiểu $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} y^{'(1)} = 0 \\ y(1) = - \ 6 \\ y^{''(1)} > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + c = - \ 6 \\ b + c = - \ 9 \\ 2b + 12 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 3 \\ c = - \ 12 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Khi đó $y = f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$ .

Ta có $f'(x) = 6x^{2} + 6x -12$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 21 \\ f''( - 2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $N( - \ 2;21)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 34: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{mx - 8}{2x - m}$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
- A.
  $m > - 4$
- B.
  $m < 8$
- C.
  $- 4 < m < 4$
- D.
  $m < 4$
Tập xác định $x eq \frac{m}{2}$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì $y' > 0 \Leftrightarrow \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 16 > 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$

Vậy đáp án cần tìm là: $- 4 < m < 4$ .
Câu 35: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = -x^{3} +3mx^{2} -3m-1$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74.
- A. m = -2
- B. m = -1
- C. m = 2
- D. m = 0
Câu 36: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)(x + 2)^{3}$ , $\forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Phương trình $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)(x + 2)^{3} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Do $f'(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt và $f'(x)$ đổi dấu qua ba nghiệm này nên hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 37: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $7$
Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 0$ suy ra $y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.

$\Leftrightarrow x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2{m^2} + m + 1 > 0 \hfill \\ 3{m^2} + m e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} < m < 1 \hfill \\ m e 0 \hfill \\ m e - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên không tồn tại giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 38: Thông hiểu
Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác $y = f\left( x ight) = \sin x + \cos x + \sin x.\cos x$ trên đoạn
$\left[ {0,\pi } ight]$
- A. $\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 ,\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1$
- B. $\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = 3,\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 3$
- C. $\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 + \frac{1}{2},\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1$
- D. $\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 ,\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - \sqrt 2$
Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight)$
Vì $x \in \left[ {0,\pi } ight] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,\sqrt 2 } ight]$
Ta có:
$\begin{matrix} {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} ight)^2} \hfill \\ = {\sin ^2}x + co{x^2}x + 2\sin x.\cos x \hfill \\ = 1 + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = g\left( t ight) = t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - \dfrac{1}{2} \hfill \\ g'\left( t ight) = t + 1,g'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \hfill \\ g\left( { - 1} ight) = - 1,g\left( {\sqrt 2 } ight) = \sqrt 2 + \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\mathop { \Rightarrow \max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 + \frac{1}{2},\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1$
Câu 39: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 40: Nhận biết
Tính giá trị lớn nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ trên đoạn $\lbrack - 2;5brack$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $- 7$
- C.
  $5$
- D.
  $2$
Ta có: $y' = - 4x^{3} + 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}y( - 2) = - 5 \\y( - 1) = y(1) = 2 \\y(0) = 1 \\y(5) = - 574 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 2;5brack}y =y(1) = 2$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

48 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4