VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng
Xác định số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
- A. 10
- B. 0
- C. 9
- D. 1
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1
Câu 2: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của m

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3$ với $m$ là tham số. Xác định điều kiện của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 3$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 5$
- D.
  $m = - 5$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = x^{2} - 2mx + \left( x^{2} - 4 ight) \\ y'' = 2x - 2m \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ suy ra $y'(3) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Với $m = 5$ ta có: $y''(3) = 6 - 10 = - 4 < 0$ suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ .

Với $m = 1$ ta có: $y''(3) = 6 - 2 = 4 > 0$ suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ .

Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là $m = 5$
Câu 3: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Ta có:

$f'(x) = 4x^{3} - 4x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = −3$

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$

d) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị $y = f(x)$ lên trên 3 đơn vị. Suy ra đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ .
Câu 4: Vận dụng
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ với m là tham số thực thỏa mãn $3.\left( {\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} } ight) = 16$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A. $0 < m \leqslant 2$
- B. $2 < m \leqslant 4$
- C. $m \leqslant 0$
- D. $m > 4$
Xét hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ trên [1; 2] ta có:
$f'\left( x ight) = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {1;2} ight]$
Khi đó:
$\begin{matrix} \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} + \dfrac{{2 + m}}{3} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow m = 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Gọi $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ và đường cong $y = \frac{2x + 4}{x - 1}$ . Khi đó hoành độ $x_{I}$ của trung điểm $I$ của đoạn $MN$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $x_{I} = 2$ .
- B.
  $x_{I} = 1$ .
- C.
  $x_{I} = - 5$ .
- D.
  $x_{I} = - \frac{5}{2}$ .
Pthdgd $\frac{2x + 4}{x - 1} = x + 1(x eq 1) \Leftrightarrow x^{2} - 2x - 5 = 0$ (*)

Khi đó $x_{I} = \frac{x_{M} + x_{N}}{2} = 1$ .

Chú ý: có thể giải (*), tìm được $x_{M} = 1 + \sqrt{6},x_{N} = 1 - \sqrt{6} \Rightarrow x_{I} = 1$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}}$ là đúng?
- A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
- B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
- C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
- D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
Ta có: $y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} < 0,\forall x e 2$
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
Câu 7: Nhận biết
Xác định nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 2;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình $3f(x)-4=0$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ là
- A.
  4.
- B.
  3.
- C.
  1.
- D.
  2.
Ta có $3f(x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = \frac{4}{3}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng $y = \frac{4}{3}$ cắt $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = - 1$
- D.
  $x = - 2$
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng:

Xét hàm số $y = f(x) = \left | x^{4}-4x^{3} +4x+a \right |$ . Gọi M,m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [-4;4] sao cho M $\leq$ 2m?
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 7
Câu 10: Nhận biết
Xác định số cực đại của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3};\forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực đại của hàm số là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Ta có: $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết $\frac{a}{b}$ là giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = 2x^{3} - 3mx^{2} - 6\left( 3m^{2} - 1 ight)x + 2020$ có hai điểm cực trị $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 1$ . Tính giá trị biểu thức $Q = a + 2b$ ?
- A.
  $Q = 6$
- B.
  $Q = 5$
- C.
  $Q = 8$
- D.
  $Q = 7$
Xét hàm số $y = 2x^{3} - 3mx^{2} - 6\left( 3m^{2} - 1 ight)x + 2020$

Ta có: $y' = 6x^{2} - 6mx - 6\left( 3m^{2} - 1 ight)$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 3m^{2} + 1 = 0(*)$

Hàm số có hai điểm cực trị $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - \frac{2}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ m > \frac{2}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó theo định lí Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 3m^{2} + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết:

$x_{1}.x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 1$

$\Leftrightarrow - 3m^{2} + 1 + 2m = 1 \Leftrightarrow - 3m^{2} + 2m = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 0 \\m = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a = 2;b = 3 \Rightarrow Q = a + 2b =8$
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty\ ;\ 0)$ .
- B.
  $(1\ ;\ 3)$ .
- C.
  $(0\ ;\ 2)$ .
- D.
  $(0;\ + \infty)$ .
Trên khoảng $( - \infty\ ;\ 0)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.

Trên khoảng $(1; 3)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.

Trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn.

Trên khoảng $(0\ ;\ + \infty)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Câu 13: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bể bơi chứa $5000$ lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ $30$ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ $25$ lít/phút.

a) Sau $t$ phút khối lượng muối trong bể là $750t$ (gam). Đúng||Sai

b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t) = \frac{30t}{200 - t}$ . Sai||Đúng

c) Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là $y = 30$ . Đúng||Sai

d) Khi $t$ ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức $30$ (gam/lít). Đúng||Sai

Sau t phút, khối lượng muối trong bể là $25.30.t = 750t$ (gam)

Thể tích của lượng nước trong bể là $5000 + 25t$ (lít).

Vậy nồng độ muối sau $t$ phút là: $f(t) = \frac{750t}{5000 + 25t} = \frac{30t}{200 + t}$ (gam/lít).

Ta có $\lim_{t ightarrow + \infty}f(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{200 + t} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 30 - \frac{6000}{200 + t} ight) = 30$

Vậy đường thẳng $y = 30$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ :

Ta có đồ thị hàm số $y = f(t)$ nhận đường thẳng $y = 30$ làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).

Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Câu 14: Nhận biết
Xác định hàm số thích hợp

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ ?
- A.
  $y = \frac{x - 1}{x - 2}$
- B.
  $y = x^{3} + x$
- C.
  $y = - x^{3} - 3x$
- D.
  $y = \frac{x + 1}{x + 3}$
Vì $y = x^{3} + x \Rightarrow y' = 3x^{2} + 1 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{3} - 3x}{x + 1}$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $- 9$
- C.
  $- \frac{2}{3}$
- D.
  $- 1$
Ta có: $y' = \frac{x^{2} + 2x - 3}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2x - 3}{(x + 1)^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix}y(0) = 0 \\y(2) = - \dfrac{2}{3} \\y(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = y(1) = -1$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$ ?
- A.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = \pm 1$ .
- B.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = 1$ .
- C.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = \pm 1$ , tiệm cận đứng $x = - 1.$
- D.
  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = 1$ , tiệm cận đứng $x = - 1.$
Ta có $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \sqrt{2} eq \pm \infty$ nên đồ thị hàm số không có TCĐ.

Ta có $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1 ightarrow y = - 1$ là TCN; $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1 ightarrow y = 1$ là TCN.

Vậy câu đúng là: “Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = \pm 1$ ”.
Câu 17: Nhận biết
Tính giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1\ ;\ 1brack$ bằng:
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $- 1$ .
- C.
  $- 2$ .
- D.
  $1$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1\ ;\ 1brack$ bằng $- 2$ .
Câu 18: Nhận biết
Xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + x}$
- A.
  $x = 0;x = 1$ .
- B.
  $y = 0;y = - 1$ .
- C.
  $x = 0;x = - 1$ .
- D.
  $y = 0;y = 1$ .
Ta có: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;0 ight\}$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( \frac{x - 1}{x^{2} + x} ight) = - \infty$ và $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}\left( \frac{x - 1}{x^{2} + x} ight) = + \infty$

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $x = 0;x = - 1$
Câu 19: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác

Gọi $A;B;C$ là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x^{4} - x^{2} - 1$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có: $y' = 2x^{3} - 2x;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ba điểm cực trị của hàm số là $A(0; - 1),B\left( 1; - \frac{3}{2} ight),C\left( - 1; - \frac{3}{2} ight)$

Tam giác $ABC$ có điểm $A \in Oy$ , hai điểm $B;C$ đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Trung điểm $H\left( 0; - \frac{3}{2} ight)$ của $BC$ thuộc trục $Oy$ và là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác, suy ra:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\left| y_{A} - y_{B} ight|.\left| x_{B} - x_{C} ight|$

$= \frac{1}{2}.\left| - 1 + \frac{3}{2} ight|.2 = \frac{1}{2}$

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $\frac{1}{2}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn câu đúng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang $y = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$
- B.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ không xác định tại $x_{0}$ thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = x_{0}$
- C.
  Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = 2$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ .
- D.
  Đồ thị hàm số $y = f(x)$ bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang.
“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang $y = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$ “ sai vì chỉ cần một trong hai giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$ hoặc $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1$ tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là $y = 1$ .

“Nếu hàm số $y = f(x)$ không xác định tại $x_{0}$ thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = x_{0}$ “ sai, ví dụ hàm số $y = \sqrt{x^{3} - 1}$ không xác định tại $x = - 2$ nhưng $\lim_{x ightarrow \ ( - 2)^{-}}f(x)$ và $\lim_{x ightarrow \ ( - 2)^{+}}f(x)$ không tiến đến vô cùng nên $x = - 2$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = 2$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ “ sai vì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - \infty,\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty,\lim_{x ightarrow \ 2^{+}}f(x) = - \infty,\lim_{x ightarrow \ 2^{+}}f(x) = + \infty$ .

“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang.“ đúng vì chỉ có hai giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x),\ \ \lim_{x ightarrow + \infty}f(x)$ .
Câu 21: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.
Biết rằng $f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
- A. m = f(4); M = f(2)
- B. m = f(4); M = f(1)
- C. m = f(0); M = f(2)
- D. m = f(1); M = f(2)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Câu 22: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 2(m - 1)x^{2} + m + 2020$ đồng biến trên khoảng $( - 3; - 1)$ ?
- A.
  $m < 10$
- B.
  $m \leq 10$
- C.
  $m > 10$
- D.
  $m \geq 10$
Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m - 1)x$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 3; - 1)$ $\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in ( - 3; - 1)$

$\Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m - 1)x \geq 0;\forall x \in ( - 3; - 1)$

$\Leftrightarrow x^{2} \leq m - 1;\forall x \in ( - 3; - 1)$

$\Leftrightarrow m - 1 \geq \max_{\lbrack - 3; - 1brack}x^{2} \Leftrightarrow m - 1 \geq 9 \Leftrightarrow m \geq 10$

Vậy đáp án cần tìm là: $m \geq 10$ .
Câu 23: Thông hiểu
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số

Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - 2019)$ , $\forall x \in R$ . Hàm số $y = f(x)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
- A.
  $1008$
- B.
  $1010$
- C.
  $1009$
- D.
  $1011$
Ta có:

$f'(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - 2019) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ ...... \\ x = 2019 \\ \end{matrix} ight.$

$f'(x) = 0$ có $2019$ nghiệm bội lẻ và hệ số $a$ dương nên có $1010$ cực tiểu
Câu 24: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng:
- A.
  $2.$
- B.
  $3.$
- C.
  $4.$
- D.
  $5.$
Nhận thấy trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $(3;4).$

$\overset{}{ightarrow}$ Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng 4
Câu 25: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{m - \sin x}{cos^{2}x}$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi}{6} \right)$ .
- A.
  $m \geq 1$ .
- B.
  $m \leq 2$ .
- C.
  $m \leq \frac{5}{4}$ .
- D.
  $m \leq 0$ .
Ta có

$y' = \frac{- cos^{2}x + 2m\sin x - 2sin^{2}x}{cos^{3}x}$ $= \frac{- 1 + 2m\sin x - sin^{2}x}{cos^{3}x}$

Để hàm số nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi}{6} ight)$ thì

$y' \leq 0,\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight)$

$\Leftrightarrow - sin^{2}x + 2m\sin x - 1 \leq 0$ , $\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight)$ , vì $cos^{3}x > 0,\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight)$ $(1)$

Đặt $\sin x = t,t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .

Khi đó $(1) \Leftrightarrow - t^{2} + 2mt - 1 \leq 0,\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{t^{2} + 1}{2t},\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)\ (2)$

Ta xét hàm $f(t) = \frac{t^{2} + 1}{2t},\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)$

Ta có $f'(t)=\frac{2\left( t^{2}-1ight)}{4t^2} < 0,\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2}ight)$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $(2) \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{4}$ .
Câu 26: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{mx - 8}{2x - m}$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
- A.
  $m > - 4$
- B.
  $m < 8$
- C.
  $- 4 < m < 4$
- D.
  $m < 4$
Tập xác định $x eq \frac{m}{2}$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì $y' > 0 \Leftrightarrow \frac{- m^{2} + 16}{(2x - m)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 16 > 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$

Vậy đáp án cần tìm là: $- 4 < m < 4$ .
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng:

Số giao điểm của đường cong $y = x^{3} - 2x^{2} +x - 1$ và đường thẳng y = 1 - 2x là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Câu 28: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp S

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m^{2} - 2m$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112$ . Số phần tử của tập hợp $S$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $10$
- C.
  $11$
- D.
  $9$
Ta có: $f\left( |x| ight) = f\left( | - x| ight);\forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \max_{0;3}f(x) \\ \min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) \\ \end{matrix} ight.$

Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} - 6x = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f(0) = m^{2} - 2m \\ x = 2 \Rightarrow f(2) = m^{2} - 2m - 4 \\ \end{matrix} ight.$ và $f(3) = m^{2} - 2m$

Suy ra $3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112$

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 2m ight) + 2\left( m^{2} - 2m - 4 ight) \leq 112$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3;...;5;6 ight\}$

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 29: Vận dụng
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
- A. $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
- B. $m \leqslant 0$
- C. $m \leqslant - 2$
- D. $m \geqslant - 2$
Ta có: $y' = 2mx - \left( {m + 6} ight)$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:
$y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$
=> $2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}$
Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
Câu 30: Vận dụng
Tìm giá trị của tham số a

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $a$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + (x + 10)x^{2} - x + 1$ cắt trục hoành tại đúng một điểm?
- A.
  $10$
- B.
  $8$
- C.
  $11$
- D.
  $9$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

$x^{3} + (a + 10)x^{2} - x + 1 = 0(*)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 10x^{2} - x + 1 = - ax^{2}$

Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình nên $(*) \Leftrightarrow - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}} = a$

Xét hàm số $f(x) = - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}};\left( \forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 ight\} ight)$

Ta có: $f'(x) = - \frac{x^{3} + x - 2}{x^{3}} = - \frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight)}{x^{3}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow a > - 11$

Vì $a$ nguyên âm nên $a \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1 ight\}$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 31: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số bậc ba $y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1$ với $m$ là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số bậc ba $y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1$ với $m$ là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 32: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $f(22x) > f\left( x^{2} ight)$ ?
- A.
  $23$
- B.
  $20$
- C.
  $21$
- D.
  $22$
Ta có: $f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Suy ra $f(22x) > f\left( x^{2} ight) \Leftrightarrow 22x > x^{2} \Leftrightarrow 0 < x < 22$

Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của $x$ .
Câu 33: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} +2$ . Giả sử $S$ là tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng $4$ . Tính giá trị $S$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} +2$ . Giả sử $S$ là tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng $4$ . Tính giá trị $S$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 34: Vận dụng cao
Tìm khẳng định sai

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xét hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-1; 0)
- B. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (0; 2)
- C. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-4; -1)
- D. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (2; 3)
Ta có:
$g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$
$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.$
$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.$
Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức
Từ bảng xét dấu ta thấy
$x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0$
Khi đó hàm số nghịch biến
=> Đáp án B sai
Câu 35: Nhận biết
Đồ thị của hàm số

Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
- A. $y = - {x^3} + 3x + 1$
- B. $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$
- C. $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$
- D. $y = {x^3} - 3x + 1$
Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a > 0} ight)$
Câu 36: Vận dụng cao
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số $y = \frac{x}{1 - x}\ \ \ \ \ (C)$ và điểm $A( - 1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d:\ \ y = mx - m - 1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = - 2$ .
- D.
  $m = - \frac{2}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là: $\frac{x}{1 - x} = mx - m - 1$ (đk: $x eq 1$ )

$\begin{matrix} \Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\ \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*) \\ \end{matrix}$

Để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\ m - 2m + m + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow m < 0$

Giả sử $M\left( x_{1};y_{1} ight),N\left( x_{2};y_{2} ight)$ .

Theo hệ thức viét : $x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}$

$\Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2$

và $y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1 ight)\left( mx_{2} - m - 1 ight)$

$= m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1} + x_{2} ight) + (m + 1)^{2}$

$= m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1$

Ta có:

$AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1 ight)^{2} + \left( y_{1} - 1 ight)^{2} + \left( x_{2} + 1 ight)^{2} + \left( y_{2} - 1 ight)^{2}$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) + \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 ight)\left( y_{2} - 1 ight)$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight)$ $+ \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} ight) + 1 ight)$

$= (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m} + 2 + 1 ight)$ $+ ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1 ight)$

$= 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} ight) - 2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m$

$= 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( - m) ightbrack \geq 16 + 2.2 = 20$ (Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $20$ khi $\frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m = - 1$ (vì $m < 0$ ).
Câu 37: Vận dụng
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}$ là:
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}$

$\lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2$ suy ra $y = 2$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}$

Vậy $x = - 1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
Câu 38: Thông hiểu
Tìm tổng số đường tiệm cận

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $0$ là
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $1$ .
Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}y =4,\lim_{x ightarrow + \infty}y = - 1 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = - 1$ và $y = 4$ .

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = +\infty;\lim_{x ightarrow - 1^{+}}y = - \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = - \infty,\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = + \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ .

Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức 3M + m

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}$ trên đoạn $\left[ {0,2} ight]$ . Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức $3M + m$ .
- A. $0$
- B. $-4$
- C. $-2$
- D. $1$
Xét hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}$ trên đoạn $\left[ {0,2} ight]$ ta có:
$f'\left( x ight) = \frac{8}{{{{\left( {x - 3} ight)}^2}}} < 0$
=> $f\left( x ight)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( {0;2} ight)$
=> $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 2 ight) = - 5} \\ {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 0 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow 3M + m = - 2$
Câu 40: Thông hiểu
Định m để phương trình có ba nghiệm

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) - m + 2 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:

$2f(x) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow 2f(x) = m - 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m - 2}{2}$

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = - 1 \\f(x) = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m - 2}{2} = - 1 \\\dfrac{m - 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = 5 \\\end{matrix} ight.$

Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

49 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4