VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tìm m nguyên thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) + 3m = 0$ có ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có: $2f(x) + 3m = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{- 3m}{2}$

Để phương trình $2f(x) + 3m = 0$ có ba nghiệm phân biệt thì $- \frac{3m}{2} = - 3 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của m

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m + 5)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Ta có $y' = mx^{2} - 4mx + 3m + 5$ .

Với $a = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow y' = 5 > 0$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Với $a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0$ . Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$y' \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ (2m)^{2} - m(3m + 5) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m^{2} - 5m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 0 \leq m \leq 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m \leq 5$ .

Vì $m \mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}$ .
Câu 3: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}$ nhỏ hơn $2$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Ta có: $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y$

$\Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1$

Phương trình có nghiệm khi

$m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1$

$\Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0$

Xét phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ có $\Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m$

Suy ra phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

$\Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$

Suy ra $\max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

$\max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ suy ra $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty\ ; + \infty)$ .
- A.
  $2.$
- B.
  $1.$
- C.
  $0.$
- D.
  $3.$
Ta có $y' = 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\ ( - \infty\ ; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$ .

* Trường hợp 1: $m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

+ Với $m = 1$ , ta được $- 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$ (luôn đúng), suy ra $m = 1$ (nhận).

+ Với $m = - 1$ , ta được $- 4x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4}$ , suy ra $m = - 1$ (loại).

* Trường hợp 2: $m^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow m eq \pm 1$ .

Ta có $\Delta' = (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight)$

$= m^{2} - 2m + 1 + 3m^{2} - 3 = 4m^{2} - 2m - 2$ .

Để $y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ 4m^{2} - 2m - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1$ .

Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị $m$ cần tìm là $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1$ .

Vì $m\mathbb{\in Z}$ , suy ra $m \in \left\{ 0\ ;1 ight\}$ , nên có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{3} + 5x + 7$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 5;0brack$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $7$
- B.
  $5$
- C.
  $80$
- D.
  $- 143$
Ta có: Hàm số đã cho xác định và liên túc trên đoạn $\lbrack - 5;0brack$

$y' = 3x^{2} + 5 > 0;\forall x \in \lbrack - 5;0brack$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\lbrack - 5;0brack$

Vậy $\max_{\lbrack - 5;0brack}y = y(0) = 7$ .
Câu 6: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Biết rằng hàm số $y = (x + a)^{3} + (x +b)^{3} - x^{3}$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $ab > 0$ .
- B.
  $ab < 0$ .
- C.
  $ab \geq 0$ .
- D.
  $ab \leq 0$ .
Ta có $y' = 3(x + a)^{2} + 3(x +b)^{2} - 3x^{2},\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .

Có $y' = 0 \Leftrightarrow (x + a)^{2}+ (x + b)^{2} - x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2(a + b)x + a^{2} + b^{2} = 0$ $(*)$

Để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' = (a + b)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} ight) > 0 \Leftrightarrow ab > 0$ .
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $y = f(x)$ và có đạo hàm $f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021$ trong đó $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Hàm số $y = f(1 - x) + 2021x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty; - 1)$
- B.
  $( - 1;4)$
- C.
  $( - 3;2)$
- D.
  $(4; + \infty)$
Ta có:

$y' = - f'(1 - x) + 2021$

$y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021$

$y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;4)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ là hình nào trong 4 hình dưới đây?
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có: $y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3x^{2} - 3$

Khi đó $\mathbf{y' =}\mathbf{0}\mathbf{\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{x = -}\mathbf{1} \\ \mathbf{x =}\mathbf{1} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1)}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathbf{y}\mathbf{(1)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó, chọn đáp án là: Hình 2
Câu 9: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 333

Đáp án là:

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 333

Chi phí sản xuất khi sản xuất x sản phẩm là

$C(x) = x.G(x)$

$= x\left( x + 1000 + \frac{250000}{x} ight)$

$= x^{2} + 1000x + 250000$

Do đó lợi nhận $L(x)$ là:

$L(x) = F(x) - C(x)$

$= \left( x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 ight) - \left( x^{2} + 1000x + 250000 ight)$

$= x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 - x^{2} - 1000x - 250000$

$= x^{3} - 2000x^{2} + 1000000x$

Ta có:

$L'(x) = 3x^{2} - 4000x + 1000000$

$L'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 4000x + 1000000 = 0$ với $1 \leq x \leq 500$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1000(L) \\ x = \frac{1000}{3}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vây doanh nghiệp nên sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận đạt mức lớn nhất
Câu 10: Nhận biết
Xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là
- A.
  $y = - 2$ .
- B.
  $y = 1$ .
- C.
  $x = - 1$ .
- D.
  $x = 2$ .
Ta thấy $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$ .
Câu 11: Vận dụng
Giá trị của biểu thức K

Đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.
Biết tiếp tuyến (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng $y = 2x + 2018$ . Giá trị của biểu thức $K = a + 2b + 3c$ là:
- A. $K = - 1$
- B. $K = 1$
- C. $K = 3$
- D. $K = 2$
Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang y = -3
=> Hàm số có dạng $y = \frac{{ - 3x + b}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{3 - b}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 ight) = 3 - b$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
=> 3 – b = 2 => b = 1
Vậy a = -3; b = 1; c = 1 => K = 2
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x + m}{x + 1}$ trên đoạn $\lbrack 0;4brack$ bằng $5$ ?
- A.
  $m = 7$
- B.
  $m = 21$
- C.
  $m = 17$
- D.
  $m = 5$
Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 1)^{2}};y(0) = m;y(4) = \frac{8 + m}{5}$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} y' < 0 \hfill \\ y\left( 4 ight) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y' > 0 \hfill \\ y\left( 0 ight) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2 - m < 0 \hfill \\ \frac{{8 + m}}{5} = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2 - m > 0 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m = 17 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 2 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m = 17$

Vậy giá trị cần tìm là $m = 17$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?
- A. $y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1$
- B. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}$
- C. $y = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}$
- D. $y = \sqrt {{x^2} + 1}$
Xét hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1$ có $y' = {x^2} - 4x + 3$
=> y’ = 0 => $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + x^{2} + 5x - 5$ là
- A.
  $(-1;-8)$
- B.
  $(0;-5)$
- C.
  $\left( {\frac{5}{3};\frac{{40}}{{27}}} ight)$
- D.
  $(1;0)$
$y' = - 3x^{2} + 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} ight.$ .

$y'' = - 6x + 2$ .

Ta có: $y''( - 1) = 8 > 0$ $\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ ; $y_{CT} = y( - 1) = - 8$ .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $( - 1; - 8)$ .
Câu 15: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Bạn Lan muốn dùng tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $3\ dm$ , chiều dài $5\ dm$ để làm một chiếc hộp không nắp, bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ có cạnh bằng $x\ dm$ ở bốn góc của tấm bìa như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) [NB] Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(3 - 2x)(5 - 2x)$ Đúng||Sai

c) [TH] Thể tích của chiếc hộp là $4x^{3} - 16x^{2} + 15$ . Sai||Đúng

d) [VD, VDC] Với $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6}$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

Đáp án là:

Bạn Lan muốn dùng tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $3\ dm$ , chiều dài $5\ dm$ để làm một chiếc hộp không nắp, bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ có cạnh bằng $x\ dm$ ở bốn góc của tấm bìa như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) [NB] Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

b) [TH] Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(3 - 2x)(5 - 2x)$ Đúng||Sai

c) [TH] Thể tích của chiếc hộp là $4x^{3} - 16x^{2} + 15$ . Sai||Đúng

d) [VD, VDC] Với $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6}$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

a) Đúng. Điều kiện của $x$ là $0 < x < \frac{3}{2}$ .

b) Đúng. Chiều rộng của mặt đáy là $3 - 2x$ , chiều dài của mặt đáy là $5 - 2x$ .

Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là $(3 - 2x)(5 - 2x)$

c) Sai. Chiều cao của chiếc hộp là $x$ .

Thể tích của chiếc hộp là $(3 - 2x)(5 - 2x)x = 4x^{3} - 16x^{2} + 15x$

d) Đúng. Xét hàm số $f(x) = 4x^{3} - 16x^{2} + 15x$ trên $\left( 0;\frac{3}{2} ight)$

$f'(x) = 12x^{2} - 32x + 15$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \dfrac{8 + \sqrt{19}}{6} \\ x = \dfrac{8 - \sqrt{19}}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Vậy $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6}$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 \right| \right| \right) = \frac{1}{2023}$ là
- A.
  $24$ .
- B.
  $14$ .
- C.
  $12$ .
- D.
  $10$ .
Ta có:

$y = g(x) = f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 ight| ight| ight)$ với $g(x) = \frac{1}{2023}$

Ta đặt: $t = \sqrt{4 - x^{2}},\forall x \in \lbrack - 2;2brack$ thì suy ra $y = g(t) = f\left( \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight| ight),\forall t \in \lbrack 0;2brack$

Suy ra: $h(t) = t - \left| t^{2} - 3 ight|$ $= \left\{ \begin{matrix} t^{2} + t - 3,t \in \left\lbrack 0;\sqrt{3} ightbrack \\ - t^{2} + t + 3,t \in \left\lbrack \sqrt{3};2 ightbrack \\ \end{matrix} ight.$ .

Từ đó ta có BBT của hàm số $h(t)$ như hình vẽ bên:

Đặt $u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight|$ thì ta cũng có BBT của $u$ như sau:

Nhìn vào đồ thị $y = f(x)$ trên ta có được:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx,a eq 0 \\ f(1) = f(2) = 0,f$

Như vậy ta suy ra $f(x) = \frac{2}{3}x(x - 1)(x - 2)$ .

Mà hàm số đó có cực trị bằng $- \frac{4\sqrt{3}}{9}$ tại $x = x_{0}$

Suy ra $f\left( x_{0} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9} \Rightarrow x_{0} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Như vậy: $f(3) = 4,f\left( \sqrt{3} ight) = - 0,2,f\left( \frac{3 + \sqrt{3}}{3} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9}$

Từ đó, ta phác họa được đồ thị $y = f(u)$ với $u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight|$ như sau:

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình $g(x) = \frac{1}{2023}$ có tất cả 10 nghiệm phân biệt
Câu 17: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số có giá trị cực đại bằng $3$
- B.
  Hàm số có hai điểm cực tiểu
- C.
  Hàm số có giá trị cực đại bằng $0$
- D.
  Hàm số có ba điểm cực trị
Từ bảng biến thiên đã cho ta thấy mệnh đề sai là: “Hàm số có giá trị cực đại bằng $0$ .”
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f\left( x^{2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $(1\ ;\ 2)$ .
- B.
  $( - 2\ ;\ + \infty)$ .
- C.
  $( - 2\ ;\ - 1)$ .
- D.
  $( - 1\ ;\ 1)$ .
Đặt $g(x) = f\left( x^{2} \right)$ .

$g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right)$ .

Cách 1: Hàm số $g(x) = f\left( x^{2} \right)$ đồng biến khi và chỉ khi $g'(x) \geq 0$ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) $\Leftrightarrow x.f'\left( x^{2} \right) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} \right) \geq 0 \end{matrix} \right.\ \ (1) \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} \right) \leq 0 \end{matrix} \right.\ \ (2) \end{matrix} \right.$ .

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f^{'\left( x^{2} \right)} \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} - 1 \leq x^{2} \leq 1 \\ x^{2} \geq 4 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} - 1 \leq x \leq 1 \\ x \leq - 2 \\ x \geq 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x \geq 2 \end{matrix} \right.$ .

$(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f^{'\left( x^{2} \right)} \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} \leq - 1(L) \\ 1 \leq x \leq 4 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 1 \\ x \geq 1 \end{matrix} \right.\ \\ - 2 \leq x \leq 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq - 1$ .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 2\ ;\ - 1)\ ,\ (0\ ;\ 1)\ ,\ (2\ ;\ + \infty)$ .

Cách 2:

Dựa vào đồ thị có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 4 \end{matrix} \right.$ .

Chọn $f'(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4)$ .

$\Rightarrow g'(x) = 2x\left( x^{2} + 1 \right)\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{matrix} \right.$ .

Bảng xét dấu $g'(x)$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 2\ ;\ - 1)\ ,\ (0\ ;\ 1)\ ,\ (2\ ;\ + \infty)$ .
Câu 19: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\mathbf{(0;1)}$ .
- B.
  $\mathbf{(1;}\mathbf{+ \infty}\mathbf{)}$ .
- C.
  $\mathbf{(}\mathbf{- \infty}\mathbf{;1)}$ .
- D.
  $\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1;0)}$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $f'(x) > 0$ , $\forall x \in (0;1)$ .

Suy ra, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Tập xác định $D = ( - \infty;2)\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}ight)}{x\left( 1 - \dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}}{1 - \dfrac{1}{x}}= 1$

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 2 + x}{(x - 1)\left( x + \sqrt{2 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 2}{x + \sqrt{2 - x}} = \frac{3}{2}$

Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.
Câu 21: Thông hiểu
Xác định số nghiệm tối đa

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như sau:

Hỏi phương trình $2f(x) = m$ có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $5$
- D.
  $4$
Phương trình $2f(x) = m \Leftrightarrow f(x) = \frac{m}{2}$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{m}{2}$

Số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{m}{2}$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y = \frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại nhiều nhất 5 điểm.

Vậy phương trình có tối đa 5 nghiệm.
Câu 22: Vận dụng
Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $y = \sin 2x + mx + c$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
- A. $m \geqslant 0$
- B. $- 2 \leqslant m \leqslant 2$
- C. $m > 2$
- D. $m \geqslant - 2$
Ta có: $y' = 2\cos 2x + m$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y' = - 2 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ . Giá trị của $M - m$ bằng
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $0$
Dựa và đồ thị suy ra $M = f(3) = 3;\ \ \ m = f(2) = - 2$

Vậy $M - m = 5$
Câu 24: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 2x + 1$ . Giả sử hàm số đạt cứ đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b thì giá trị biểu thức 2a – 5b là
- A. 1
- B. -12
- C. -1
- D. -8
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng xét dấu như sau:
Do y’ thay đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1
=> x = 1 là điểm cực đại của hàm số
y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2
=> x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số
=> 2a – 5b = -8
Câu 25: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1; + \infty)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $( - 1;0)$ .
- D.
  $(0; + \infty)$ .
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1)$ và $(0;1)$ .
Câu 26: Nhận biết
Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất $a$ của hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 13$ trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ ?
- A.
  $a = 13$
- B.
  $a = \frac{51}{2}$
- C.
  $a = \frac{49}{4}$
- D.
  $a = \frac{51}{4}$
Hàm số đã cho liên tục trên $\lbrack - 2;3brack$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\x = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}y( - 2) = 25;y\left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} ight) = \dfrac{51}{4} \\y(0) = 13;y(3) = 85 \\\end{matrix} ight.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $a = \frac{51}{4}$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} - 4mx$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ ?
- A.
  $\frac{1}{2} < m < 2$
- B.
  $m\mathbb{\in R}$
- C.
  $m \leq 2$
- D.
  $m \leq \frac{1}{2}$
Theo yêu cầu bài toán ta có:

$y' = x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack(*)$

Để hàm số đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x}$

Đặt $g(x) = \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x} \Rightarrow g'(x) = \frac{8x}{(4 + 2x)^{2}} > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Rightarrow \min_{\lbrack 1;4brack}g(x) = g(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow m \leq \frac{1}{2}$

Vậy $m \leq \frac{1}{2}$ là đáp án cần tìm.
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;\ - 2)$
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;\ 1)$
- C.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;\ 1)$
- D.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;\ - 2)$
TXĐ: $D\mathbb{= R}.$

$y' = 4x^{3} - 4x;\ \ y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 1;\ 0)$ , $(1;\ + \infty)$ ; hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;\ - 1)$ , $(0;\ 1)$ . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;\ - 2)$ .

Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án.
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 0$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- B.
  Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
- C.
  Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
- D.
  Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0.$
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 0\overset{}{ightarrow}y = 0$ là tiệm cận ngang.

Đáp án “Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.“ sai vì chọn hàm $y = \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{2} ight)^{x} & ;x \leq - 1 \\ - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{x} & ;x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy ta chỉ có đáp án “Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành” đúng.
Câu 30: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{4} - 2(m + 2)x^{2} + 3m - 1$ . Tìm $m$ để hàm số đã cho có cực tiểu nhưng không có cực đại?
- A.
  $( - \infty; - 2)$
- B.
  $\left\{ - 2;2 ight\}$
- C.
  $(2; + \infty)$
- D.
  $( - \infty; - 2brack$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m + 2)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 2)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 2 \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đã cho chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại thì $m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 2$ .

Vậy đáp án cần tìm là $( - \infty; - 2brack$ .
Câu 32: Thông hiểu
Chọn phương án thíchhợp

Cho hàm số $y\ = f(x)$ có bảng biến thiên như hình sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y\ = \ f(x)$ là
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $1$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = 4,\lim_{x ightarrow + \infty}y = - 1 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = - 1$ và $y = 4$ .

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = + \infty,\lim_{x ightarrow - 1^{+}}y = - \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = - \infty,\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = + \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ .

Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Câu 33: Thông hiểu
Khẳng định nào dưới đây sai

Cho đồ thị hàm số có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ:
Khẳng định nào dưới đây sai?
- A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} ight)$ và $\left( {4; + \infty } ight)$
- B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = -2
- C. Với $c \in \left[ { - 1;2} ight]$ thì $f\left( { - 1} ight) < f\left( c ight) < f\left( 2 ight)$
- D. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = 0$
Quan sát đồ thị hàm số ta có:
Đáp án A sai vì hàm số không nghịch biến trên $\left( {4; + \infty } ight)$
Đáp án B sai vì hàm số chỉ đạt cực tiểu tại x = 2
Đáp án C sai vì trên đoạn [0; 2] hàm số vừa có khoảng đồng biến, vừa có khoảng nghịch biến.
Đáp án D đúng vì $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = - 2 + 2 = 0$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + mx - 1$ đạt cực đại tại $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 3$ . Khi đó:
- A.
  $m \in (0;1)$
- B.
  $m \in (2;3)$
- C.
  $m \in (1;2)$
- D.
  $m \in ( - \infty; - 1brack$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + m$ hàm số có hai cực trị $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi $\Delta > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2 \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{m}{3} \\\end{matrix} ight.$ .

Mặt khác ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 3$

$\Leftrightarrow 2^{2} - 2.\frac{m}{3} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}(tm)$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in (1;2)$ .
Câu 35: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị $f'(x)$ của nó trên khoảng $K$ như hình vẽ. Khi đó trên $K,$ hàm số $y = f(x - 2020)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  1.
- B.
  4.
- C.
  3.
- D.
  2.
Đồ thị hàm số $f'(x - 2020)$ là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số $f'(x)$ theo phương song song trục hoành nên đồ thị hàm số $f'(x - 2020)$ vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm và đổi dấu 1 lần do đó hàm số $y = f(x - 2020)$ có một cực trị.
Câu 36: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = \frac{3x + 2}{x + 2},(C)$ và đường thẳng $d:y = ax + 2b - 4$ . Đường thẳng d cắt ( C ) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó $T = a + b$ bằng
- A.
  $T = 2$ .
- B.
  $T = \frac{5}{2}$ .
- C.
  $T = 4$ .
- D.
  $T = \frac{7}{2}$ .
Xét phương trình hoành độ: $\frac{3x + 2}{x + 2} = ax + 2b - 4\ ;\ x eq - 2.$

$\Leftrightarrow ax^{2} + (2a + 2b - 7)x - 10 = 0\ (*).$

Đường thẳng d cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 0 \\ (2a + 2b - 7)^{2} - 4a(4b - 10) > 0 \\ 4 eq 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \ (2*)$

Gọi $A\left( x_{1};ax_{1} + 2b - 4 ight);\ B\left( x_{2};ax_{2} + 2b - 4 ight)$ .

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ 4b - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo Viét của phương trình (*) ta có $x_{1} + x_{2} = \frac{7 - 2a - 2b}{a}.$

$\Rightarrow \frac{7 - 2a - 2b}{a} = 0 \Leftrightarrow 7 - 2a - 2b = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}.$

Thay $\left\{ \begin{matrix} a = \frac{3}{2} \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn.

Vậy $a + b = \frac{7}{2}.$
Câu 37: Vận dụng cao
Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm y = $f'(x)$ với mọi $x\mathbb{\in R}.$ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right)$ có $5$ điểm cực trị?
- A.
  15.
- B.
  16.
- C.
  17.
- D.
  18.
Ta có $g'(x) = 2(x - 4)f'\left( x^{2} - 8x + m \right)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2(x - 4)f'\left( x^{2} - 8x + m \right) = 0$ $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x - 4} \right)f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ {x^2} - 8x + m = 1{\text{ }}\left( {{\text{nghiem boi 2}}} \right) \hfill \\ {x^2} - 8x + m = 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} - 8x + m = 2{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g'(x) = 0$ có $5$ nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow$ mỗi phương trình $(1),(2)$ đều có hai

nghiệm phân biệt khác $4.$ $(*)$

Cách 1: $(*)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 16 - m > 0 \\ 16 - m + 2 > 0 \\ m \neq 16 \\ m \neq 18 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 16$ .

Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.

Cách 2: Xét đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^{2} - 8x$ và hai đường thẳng $d_{1}:y = - m,d_{2}:y = - m + 2$ (hình vẽ).

Khi đó $(*) \Leftrightarrow d_{1},d_{2}$ cắt $(C)$ tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow - m > - 16 \Leftrightarrow m < 16.$

Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
Câu 38: Nhận biết
Tính số nghiệm của phương trình

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau đây:
Số nghiệm của phương trình $2f\left( x ight) - 5 = 0$ là:
- A. 4
- B. 2
- C. 0
- D. 3
Ta có: $2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}$ có hai nghiệm
Câu 39: Vận dụng
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho $y = f(x)$ là hàm số bậc ba, liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} + 3x \right) - 1}$ có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận.
- A.
  4.
- B.
  2.
- C.
  5.
- D.
  3.
Đặt $t = x^{3} + 3x \Rightarrow t' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Xét $f\left( x^{3} + 3x \right) - 1 = 0$ . Vì $y = f(x)$ là hàm số bậc ba nên phương trình $f(t) = 1$ có nhiều nhất 3 nghiệm t.

Từ bảng biến thiên ta suy ra với mỗi giá trị t có đúng một giá trị x.

Khi đó phương trình $f\left( x^{3} + 3x \right) = 1$ có nhiều nhất nghiệm x.

Do đó đồ thị hàm số $y = g(x)$ có nhiều nhất 3 tiệm cận đứng.

Xét $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 3x \right) - 1} = \lim_{t \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f(t) - 1} = 0$ (vì $\lim_{t \rightarrow \pm \infty}f(t) = \pm \infty$ ).

Suy ra đồ thị hàm số $y = g(x)$ có tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x)$ có nhiều nhất 4 đường tiệm cận.
Câu 40: Nhận biết
Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ và có bảng xét dấu đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số $y = f(x)$ có 1 điểm cực trị.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

51 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian