VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn biểu thức

Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} + m$ . Tìm các giá trị của tham số $m$ để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 7.$
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = \pm \frac{9}{2}$ .
- C.
  $m = \pm \frac{1}{2}$ .
- D.
  $m = \pm 2$ .
Ta có $y' = 3x^{2} - 6mx + 3\left( m^{2} - 1 ight) = 3\left\lbrack x^{2} - 2mx + \left( m^{2} - 1 ight) ightbrack$ .

Do $\Delta' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ \ x_{2}$ .

Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}x_{2} = m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 3x_{1}x_{2} = 7$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 3\left( m^{2} -1 ight) = 7$

$\Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $\mathbf{1}$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
TXĐ: $D = ( - 1;1) \cup (1; + \infty)$ . Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x - 1} ight)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {x - 1} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x - 1} ight)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {x - 1} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{matrix} ight.$ $\to x = 1$ là TCĐ;

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1)(x - 1)}$ $= \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{1}{(x - 1)\sqrt{x + 1}} = - \infty$ $ightarrow x = - 1$ là TCĐ;

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 1}$ $= \lim_{xightarrow + \infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}}{1 -\frac{1}{x^{2}}} = 0$ $ightarrow y = 0$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận.
Câu 3: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x ight) = \left| { - {x^2} - 4x + 5} ight|$ trên đoạn [-6; 6]
- A. 110
- B. 9
- C. 55
- D. 7
Xét hàm số g(x) = -x² – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6]
Ta có: g’(x) = -2x – 4
=> g’(x) = 0 => x = -2 thuộc [-6; 6]
Ta lại có g(x) = 0 => x² – 4x + 5 = 0 => x = 1 (tm) hoặc x = -5 (tm)
Ta tính được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( { - 6} ight) = - 7} \\ {g\left( { - 2} ight) = 9} \\ {g\left( 6 ight) = - 55} \\ {g\left( 1 ight) = g\left( { - 5} ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;6} ight]} f\left( x ight) = 55$
Câu 4: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh $6dm$ , bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 7,3

Đáp án là:

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh $6dm$ , bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 7,3

Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là x(dm) với $0 < x < 6\sqrt{2}$ như hình bên.

Ta có: $AH = \frac{AC - HK}{2} = 3\sqrt{2} - \frac{x}{2}$ .

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

$h = \sqrt{AH^{2} - OH^{2}} = \sqrt{\left( 3\sqrt{2} - \frac{x}{2} ight)^{2} - \left( \frac{x}{2} ight)^{2}} = \sqrt{18 - 3x\sqrt{2}}$ .

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3}hx^{2} = \frac{1}{3}x^{2}\sqrt{18 - 3x\sqrt{2}} = \frac{1}{3}\sqrt{x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)}$

Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)$ với $0 < x < 6\sqrt{2}$ .

Ta có: $f'(x) = x^{3}.\left( - 15x\sqrt{2} + 72 ight)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{12\sqrt{2}}{5} \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên của f(x) như sau

Từ bảng biến thiên ta có:

$\max_{\left( 0;6\sqrt{2} ight)}f(x) = f\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight) \approx 477,75$ tại $x = \frac{12\sqrt{2}}{5}$ .

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng:

$V_{\max} = \frac{1}{3}\sqrt{\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight)^{4}\left( 18 - 3\sqrt{2}.\frac{12\sqrt{2}}{5} ight)} \approx 7,3\left( dm^{3} ight)$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{- x - 1}$ ?
- A.
  $x = 3$
- B.
  $y = - 3$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $y = 1$
Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x - 1}{- x - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x - 1}{- x - 1} = - 3$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{- x - 1}$ là đường thẳng $y = - 3$ .
Câu 6: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức T

Biết rằng bất phương trình $m\left( |x| + \sqrt{1 - x^{2}} + 1 \right) \leq 2\sqrt{x^{2} - x^{4}} + \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}} + 2$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \in \left( - \infty;\ a\sqrt{2} + b \right\rbrack$ , với $a,\ b\mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị của $T = a + b$ .
- A.
  $T = 3$ .
- B.
  $T = 2$ .
- C.
  $T = 0$ .
- D.
  $T = 1$ .
Điều kiện $- 1 \leq x \leq 1$ .

Xét hàm số $g(x) = \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}$ trên đoạn $\lbrack - 1;\ 1\rbrack$ .

Ta có : $g'(x) = x\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right)$ , $g'(x) = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$g'(x)$ không xác định khi $x = 0,\ \ x = \pm 1$ .

Bảng biến thiên :

Suy ra $1 \leq g(x) \leq \sqrt{2}$ .

Đặt $t = \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}$ , $1 \leq t \leq \sqrt{2}$ . Bất phương trình trở thành:

$m(t + 1) \leq t^{2} + t + 1$ $\Leftrightarrow m \leq t + \frac{1}{t + 1}$ (Do $1 \leq t \leq \sqrt{2}$ nên $t + 1 > 0$ ).

Xét hàm số $f(t) = t + \frac{1}{t + 1}$ trên đoạn $\left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack$ .

Có $f'(t) = 1 - \frac{1}{(t + 1)^{2}} > 0,\ \ \forall x \in \left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack$ . Bảng biến thiên :

Do đó, $\max_{\left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack}f(t) = f\left( \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} - 1$ .

Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi $m \leq \max_{\left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack}f(t)$ hay $m \leq 2\sqrt{2} - 1$ .

Do đó, $a = 2$ , $b = - 1$ .Vậy $T = 1$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = - x^{3} - 3x + 1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x + 1$
- C.
  $y = x^{3} + 3x + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x + 10$
Xét hàm số $y = - x^{3} - 3x + 1$ ta có: $y' = - 3x^{2} - 3 < 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Do đó hàm số $y = - x^{3} - 3x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = x^{3} - 3x$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty; - 1)$ .
- B.
  $( - \infty; + \infty)$ .
- C.
  $( - 1;1)$ .
- D.
  $(0; + \infty)$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có $y' = 3x^{2} - 3;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có bảng xét dấu $y'$ :

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn bởi hình vẽ:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 0$
- C.
  $x = 2$
- D.
  $x = 4$
Quan sát đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có điểm cực tiểu là $x = 2$ .
Câu 11: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y =x^{3} - x^{2} + 3mx - 1$ với $m$ là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2brack$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =x^{3} - x^{2} + 3mx - 1$ với $m$ là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2brack$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau dây đúng?
- A.
  Hàm số không có GTLN và GTNN.
- B.
  Hàm số có GTLN bằng 2 và GTNN bằng -3.
- C.
  Hàm số có GTLN bằng 2 và GTNN bằng -2.
- D.
  Hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2017;2018brack$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (m + 2)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $(0; + \infty)$ .
- A.
  $2015.$
- B.
  $2016.$
- C.
  $2018.$
- D.
  $4035.$
Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + m + 2$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)(m - 2) > 0 \\ 2m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m>2 \\m <-1 \\\end{matrix} ight.\ \\m > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m>2$

$\overset{m\mathbb{\in Z}\ \&\ m \in \lbrack - 2017;2018brack}{ightarrow}m = \left\{ 3;4;5;...2018 ight\}\overset{}{ightarrow}$ có $2016$ giá trị.
Câu 14: Vận dụng
Chọn phương án đúng

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m$ để hàm số $y = x + 5 + \frac{1 - m}{x - 2}$ đồng biến trên $\lbrack 5\ ;\ + \infty)$ ?
- A.
  10
- B.
  8
- C.
  9
- D.
  11
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ .

Đạo hàm: $y' = 1 + \frac{m - 1}{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} - 4x + m + 3}{(x - 2)^{2}}$ .

Xét hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ trên $\lbrack 5\ ;\ + \infty)$ .

Đạo hàm: $f'(x) = 2x - 4$ . Xét $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = - 1$ . Ta có: $f(5) = 8$ .

Bảng biến thiên:

Do $(x - 2)^{2} > 0$ với mọi $x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty)$ nên $y' \geq 0$ , $\forall x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty)$ khi và chỉ khi $f(x) \geq - m$ , $\forall x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $- m \leq 8 \Leftrightarrow m \geq - 8$ .

Mà $m$ nguyên âm nên ta có: $m \in \left\{ - 8\ ;\ - 7\ ;\ - 6\ ;\ - 5\ ;\ - 4\ ;\ - 3\ ;\ - 2\ ;\ - 1 ight\}$ .

Vậy có $8$ giá trị nguyên âm của $m$ để hàm số $y = x + 5 + \frac{1 - m}{x - 2}$ đồng biến trên $\lbrack 5\ ;\ + \infty)$ .
Câu 15: Vận dụng
Tính độ dài ngắn nhất của AB

Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ . Khi đó độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất bằng
- A.
  $4\sqrt{2}$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $2\sqrt{2}$ .
- D.
  $2\sqrt{2}$ .
Hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ.

Gọi $A\left( a;\frac{a}{a - 2} ight)$ và $B\left( b;\frac{b}{b - 2} ight)$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $(C)$ $(a < 2 < b)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \left( b - a;\frac{b}{b - 2} - \frac{a}{a - 2} ight) = \left( b - a;\frac{b - a}{(b - 2)(2 - a)} ight)$ .

Áp dụng BĐT Côsi ta có: $(b - 2)(2 - a)\leq \frac{(b - a)^{2}}{4}$ .

Suy ra: $AB^{2} = (b - a)^{2} + \frac{(b - a)^{2}}{\left\lbrack (b - 2)(2 - a) ightbrack^{2}}$ $\geq (b - a)^{2} + \frac{64}{(b - a)^{2}} \geq 16$

$\Rightarrow AB \geq 4$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = 2 - \sqrt{2}$ và $b = 2 + \sqrt{2}$ .

Vậy $AB_{\min} = 4$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\left( x ight) = \left( {x - 2} ight){\left( {x - 3} ight)^2}$ . Khi đó số cực trị của hàm số là:
- A. 0
- B. 2
- C. 1
- D. 4
Ta có:
$\begin{matrix} y' = 2f'\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ = 2\left( {2x + 1 + 2} ight){\left( {2x + 1 - 3} ight)^2} \hfill \\ = 2\left( {2x - 1} ight){\left( {2x - 2} ight)^2} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> Hàm số có 1 cực trị.
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ . Giá trị của $M + m$ là
- A.
  $2$
- B.
  $- 6$
- C.
  $- 5$
- D.
  $- 2$
Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ là $M = 2$ đạt được tại $x = - 1$ và GTNN của hàm số số trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ là $m = - 4$ đạt được tại $x = 2$

$\Rightarrow M + m = 2 + ( - 4) = - 2$
Câu 18: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

Giá trị lớn nhất của $m$ để đường thẳng $(d):y = x - m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20$ là
- A.
  $3$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $- \frac{3}{2}$ .
Hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5 = x - m + 1$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left\lbrack x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{3} = 2 \\ x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 = 0(1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ khác 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = (m - 1)^{2} + (m - 3) > 0 \\ 4 + (2m - 2).2 - m + 3 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m eq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$ (2).

Khi đó, $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (2m - 2) \\ x_{1}x_{2} = - m + 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{3}^{2} = 20$

$\Leftrightarrow (2m - 2)^{2} + 2(m - 3) + 4 = 20$

$\Leftrightarrow 2m^{2} - 3m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$ (thỏa mãn (2)).

Vậy giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3$ .
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ:
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ:
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Nhận biết
Xác định số giao điểm

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = x^{2} + 5x$
- A.
  $3.$
- B.
  $0$ .
- C.
  $1.$
- D.
  $2.$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{3} + x^{2} = x^{2} + 5x$

$\Leftrightarrow x^{3} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy số giao điểm của 2 đồ thị là 3.
Câu 21: Nhận biết
Các dân tộc ít người phân bố chủ yếu ở khu vực nào của Trung Quốc?
- A. Các thành phố lớn.
- B. Các đồng bằng châu thổ.
- C. Vùng núi và biên giới.
- D. Dọc biên giới phía nam.
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng:

Số giao điểm của đường cong $y = x^{3} - 2x^{2} +x - 1$ và đường thẳng y = 1 - 2x là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Câu 23: Vận dụng
Tính tổng các phần tử của tập S

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng $3$ . Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp $S$ bằng:
- A.
  $17$
- B.
  $8$
- C.
  $13$
- D.
  $9$
Ta có: $y' = x^{2} - mx + 2m$

$\Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)$

Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left| x_{1} - x_{2} ight| = 3$

(*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)$

$\left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9$

$\Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)$

Suy ra $S = \left\{ 9; - 1 ight\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.
Câu 24: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(−2; −1), (−1; 0)$ và nghịch biến trên $(−∞; −2), (0; +∞)$ .

b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = −2$ .

c) Đúng.

d) Đúng.
Câu 25: Vận dụng
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  4.
- D.
  3.
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = 1\overset{}{ightarrow}y = 1$ là TCN.

Xét phương trình $x^{2} - |x| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = + \infty \\ \lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}x = 2$ là TCĐ;

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow - 2^{+}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = - \infty \\ \lim_{x ightarrow - 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow - 2^{-}}\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2} = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}x = - 2$ là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
Câu 26: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
- A.
  $y = 2$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $y = - 1$
- D.
  $x = - 1$
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 2$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .
Câu 27: Nhận biết
Tìm giá trị biểu thức T

Gọi $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2}$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ . Giá trị biểu thức $T = 2m + 4M$ là:
- A.
  $7$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Ta có: $y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2$ nên hàm số đồng biến trên $\lbrack 0;2brack$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\max_{\lbrack 0;2brack}y = f(2) = \dfrac{3}{4} \\\min_{\lbrack 0;2brack}y = f(0) = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2m + 4M = 2$ .
Câu 28: Nhận biết
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương hai lần qua các điểm $x = - 2$ và $x = 2$ nên hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.
Câu 29: Thông hiểu
Tìm cực trị của hàm số

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$ có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
- A. (0; -1)
- B. (-1; 10)
- C. (1; 0)
- D. (1; -10)
Cách 1: Xét hàm số $f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$
Ta có: $f\left( x ight) = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} ight).f'\left( x ight) - 8x - 2$
Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_A} = f\left( {{x_A}} ight) = - 8{x_A} - 2} \\ {{y_B} = f\left( {{x_B}} ight) = - 8{x_B} - 2} \end{array}} ight.$
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cách 2: Xét hàm số $y = f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1$
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = 3{x^2} - 6x - 9 \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;32} ight) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1;8} ight)$
Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto $\overrightarrow u$ làm vecto chỉ phương là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 - t} \\ {y = 6 + 8t} \end{array}} ight.;\left( {t \in \mathbb{R}} ight)$
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Câu 30: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight|$ biết $m \in\lbrack - 4;4brack$ . Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight|$ biết $m \in\lbrack - 4;4brack$ . Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = x^{4} + 2mx^{2} + m$ (với $m$ là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y = - 3$ tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn $2$ còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn $1$ , là khoảng $(a;b)$ (với $a,b\mathbb{\in Q}$ , $a$ , $b$ là phân số tối giản). Khi đó, $15ab$ nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $- 63$ .
- B.
  $63$ .
- C.
  $95$ .
- D.
  $- 95$ .
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} + 2mx^{2} + m = - 3$ .

Đặt $x^{2} = t$ , $t \geq 0$ . Khi đó phương trình trở thành $t^{2} + 2mt + m + 3 = 0$ $(1)$

và đặt $f(t) = t^{2} + 2mt + m + 3$ .

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = - 3$ tại $4$ điểm phân biệt thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm thỏa mãn $0 < t_{1} < t_{2}$ và khi đó hoành độ bốn giao điểm là $- \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}$ .

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{t_{2}} > 2 \\ \sqrt{t_{1}} < 1 \\ \end{matrix} ight.$ hay $0 < t_{1} < 1 < 4 < t_{2}$ .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \\ f(4) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 3 > 0 \\ 3m + 4 < 0 \\ 9m + 19 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m < - \frac{19}{9}$ .

Vậy $a = - 3$ , $b = - \frac{19}{9}$ nên $15ab = 95$ .
Câu 32: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị

Cho hàm số $y = 2x^{3} + 3(m - 1)x^{2} + 6(m - 2)x - 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng $( - 2;3)$ .
- A.
  $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
- B.
  $m \in (1;3)$ .
- C.
  $m \in (3;4)$ .
- D.
  $m \in ( - 1;4)$ .
Ta có $y' = 6x^{2} + 6(m - 1)x + 6(m - 2)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 - m \\ \end{matrix} ight.\ .$

Để hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2 - m eq - 1 \Leftrightarrow m eq 3$ .

Nếu $- 1 < 2 - m \Leftrightarrow m < 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < - 1 < 2 - m < 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m >-1 \\m<3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1< m < 3$ .

Nếu $2 - m < - 1 \Leftrightarrow m > 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < 2 - m < - 1 < 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 3 \\ m < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 3< m<4$ .

Vậy $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ là
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ và có đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

Ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm nên phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ có $4$ nghiệm.
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty\ ; + \infty)$ .
- A.
  $2.$
- B.
  $1.$
- C.
  $0.$
- D.
  $3.$
Ta có $y' = 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\ ( - \infty\ ; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$ .

* Trường hợp 1: $m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

+ Với $m = 1$ , ta được $- 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}$ (luôn đúng), suy ra $m = 1$ (nhận).

+ Với $m = - 1$ , ta được $- 4x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4}$ , suy ra $m = - 1$ (loại).

* Trường hợp 2: $m^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow m eq \pm 1$ .

Ta có $\Delta' = (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight)$

$= m^{2} - 2m + 1 + 3m^{2} - 3 = 4m^{2} - 2m - 2$ .

Để $y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ 4m^{2} - 2m - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1$ .

Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị $m$ cần tìm là $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1$ .

Vì $m\mathbb{\in Z}$ , suy ra $m \in \left\{ 0\ ;1 ight\}$ , nên có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ .
Câu 35: Nhận biết
Đồ thị của hàm số y = f(x)

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ dưới đây?
- A. $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$
- B. $y = - {x^4} + 5{x^2} - 4$
- C. $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$
- D. $y = {x^3} - 3x + 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có dạng hàm số phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$
=> Loại đáp án B và D
Ta có: $y\left( 0 ight) = 2$ => Loại đáp án B
Câu 36: Thông hiểu
Xác định các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 5m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{5m - 6}{(x + 5m)^{2}}$

Hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} 5m - 6 < 0 \\ - 5m \leq 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{6}{5} \\ m \geq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < \frac{6}{5}$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hai hàm số $y = x^{2} + x - 1$ và $y = x^{3} + 2x^{2} + mx - 3$ . Giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số có $3$ giao điểm phân biệt và $3$ giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng $3$ thuộc vào khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty;\ - 4)$ .
- B.
  $( - 4;\ - 2)$ .
- C.
  $(0;\ + \infty)$ .
- D.
  $( - 2;\ 0)$ .
Giả sử $m$ là số thực thỏa mãn bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là

$x^{2} + x - 1 = x^{3} + 2x^{2} + mx - 3 \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} + (m - 1)x - 2 = 0\ \ \ \ \ (1).$

Gọi $M\left( x_{0};\ y_{0} ight)$ là một trong $3$ giao điểm. Ta có

$\left\{ \begin{matrix} y_{0} = x_{0}^{2} + x_{0} - 1 \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y_{0}^{2} = x_{0}^{4} + 2x_{0}^{3} - x_{0}^{2} - 2x_{0} + 1(2) \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 = 0(3) \\ \end{matrix} ight.$ .

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra

$y_{0}^{2} = \left( x_{0} + 1 ight)\left\lbrack x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 ightbrack$ $+ ( - m - 1)x_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

$= ( - m - 1)x_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

Hay $y_{0}^{2} + x_{0}^{2} = - mx_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

$= - m\left( y_{0} - x_{0} + 1 ight) - (m - 1)x_{0} + 3$ .

Rút gọn ta được $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - x_{0} + my_{0} + m - 3 = 0(4)$ .

Đây là phương trình đường tròn khi $\left( - \frac{1}{2} ight)^{2} + \left( \frac{m}{2} ight)^{2} - m + 3 > 0\ \ \ \ \ (*)$ .

Với điều kiện $(*)$ thì $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ thuộc đường tròn có bán kính $R = \sqrt{\left( - \frac{1}{2} ight)^{2} + \left( \frac{m}{2} ight)^{2} - m + 3}$ .

Theo đề bài $R = 3 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 1}{4} - m + 3 = 9 \Leftrightarrow m^{2} - 4m - 23 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 + 3\sqrt{3} \\ m = 2 - 3\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ .

Thử lại.

Với $m = 2 + 3\sqrt{3}$ thì phương trình $(1)$ có $1$ nghiệm. Do đó, $m = 2 + 3\sqrt{3}$ không thỏa mãn.

Với $m = 2 - 3\sqrt{3}$ thì phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm và cũng thỏa mãn $(*)$ .

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m = 2 - 3\sqrt{3} \in ( - 4;\ - 2)$ .
Câu 38: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức P

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ lần lượt là $M;m$ . Tính giá trị biểu thức $P = M^{2} - m^{2}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Tập xác định $D = \lbrack - 2;2brack$

Ta có: $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 2;f( - 2) = - 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = M = 2\sqrt{2} \\ \min_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P = M^{2} - m^{2} = 4$
Câu 39: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight|$ với $m$ là tham số. Khi giá trị của $m$ biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là $a$ hoặc $b$ hoặc $c$ . Tính giá trị biểu thức $P = a.b.c$ ?
- A.
  $P = 120$
- B.
  $P = 105$
- C.
  $P = 60$
- D.
  $P = 15$
Đặt $g(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m$

$\Rightarrow g'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên của $g(x)$ như sau:

TH1: $m \geq 0$

Hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight|$ có 3 điểm cực trị suy ra $a = 3$

TH2: $- 1 < m < 0$

Hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight|$ có 3 điểm cực trị suy ra $b = 7$

TH3: $m \leq - 1$

Hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + m ight|$ có 3 điểm cực trị suy ra $c = 5$

Vậy $P = a.b.c = 105$
Câu 40: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $18m^{3}$ , biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $18m^{3}$ , biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

50 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Đang tìm đối thủ...

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian