VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút chương 1: Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao
Tính xác suất thỏa mãn yêu cầu đề bài

Cho tập hợp $A = \left\{ n\mathbb{\in Z}|0 \leq n \leq 20 ight\}$ và $F$ là tập hợp các hàm số $f(x) = x^{3} + \left( 2m^{2} - 5 ight)x^{2} + 6x - 8m^{2}$ có $m \in A$ . Chọn ngẫu nhiên một hàm số $f(x) \in F$ . Tính xác suất để đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục $Ox$ ?
- A.
  $\frac{18}{21}$
- B.
  $\frac{19}{20}$
- C.
  $\frac{9}{10}$
- D.
  $\frac{19}{21}$
Không gian mẫu $|\Omega| = 21$

Ta có: $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x^{2} + \left( 2m^{2} - 3 ight)x + 4m^{2} = 0(*) \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục $Ox$ suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác $2$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ {\left( {2{m^2} - 3} ight)^2} - 16{m^2} > 0 \hfill \\ {2^2} + \left( {2{m^2} - 3} ight).2 + 4{m^2} e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt {\dfrac{{7 + 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 2,58 \hfill \\ 0 \leqslant m < \sqrt {\dfrac{{7 - 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 0,58 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;3;4;...;20 ight\}$

Vậy xác suất cần tìm là $P = \frac{19}{21}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{2}{x} - \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2}$ trên khoảng $(0; + \infty)$
- A.
  không tồn tại.
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $- 1 + \sqrt{2}$ .
- D.
  $0$ .
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng $(0; + \infty).$

$y' = 1 - \frac{2}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2}{x^{2}}.$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ .$

Bảng biến thiên:

Vậy $\min_{(0; + \infty)}y = f\left( \sqrt{2} ight) = - 3.$
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng
- A.
  $\left( \mathbf{2;}\mathbf{+ \infty} ight)$
- B.
  $( - 2;1)$
- C.
  $( - \infty; - 2)$
- D.
  $(1;3)$
Cách 1:

Ta thấy $f'(x) < 0$ với $\left\lbrack \begin{matrix} x \in (1;4) \\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $( - \infty; - 1)$ suy ra $g(x) = f( - x)$ đồng biến trên $( - 4; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Khi đó $f(2 - x)$ đồng biến biến trên khoảng $( - 2;1)$ và $(3; + \infty)$

Cách 2:

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta có $f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $\left( f(2 - x) ight)^{'} = (2 - x)^{'}.f'(2 - x) = - f'(2 - x)$ .

Để hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến thì $\left( f(2 - x) ight)^{'} > 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $y' > 0;\forall x eq 1$
- B.
  $y' < 0;\forall x\mathbb{\in R}$
- C.
  $y' < 0;\forall x eq 1$
- D.
  $y' > 0;\forall x\mathbb{\in R}$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ nên $y' < 0;\forall x eq 1$ .
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m > \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $m \leq 0$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m \geq \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $m \geq \frac{1}{2}$
Xét $m = 0$ khi đó $y = - x^{2} - 2$ là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

Xét $m eq 0$ khi đó $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn

Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì

$\left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m\left( {2m - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq 0$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính tổng các giá trị tham số m

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng bao nhiêu?
- A.
  $0$
- B.
  $- 3$
- C.
  $- 5$
- D.
  $- 1$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 4 < m < 2$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1 ight\}$

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng -5.
Câu 7: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ . Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x) = 45 - 0,001x^{2}$ . Cho phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 30x$ triệu đồng. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng. Đúng||Sai

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng. Sai||Đúng

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $(0 \leq x \leq 100)$ cho $B$ là $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ . Đúng||Sai

d) $A$ bán cho $B$ khoảng $70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ . Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x) = 45 - 0,001x^{2}$ . Cho phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 30x$ triệu đồng. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng. Đúng||Sai

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng. Sai||Đúng

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $(0 \leq x \leq 100)$ cho $B$ là $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ . Đúng||Sai

d) $A$ bán cho $B$ khoảng $70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Đúng||Sai

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(10) = 100 + 30.10 = 400$ triệu đồng. Do đó a) đúng.

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $R(10) = 10.P(10) = 10.\left( 45 - 0,001.10^{2} \right) = 449$ triệu đồng. Do đó b) sai.

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được là:

$H(x) = R(x) - C(x) = xP(x) - C(x) = P(x)$

$=45x - 0,001x^{3} - (100 + 30x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$

Do đó c) đúng.

d) Xét hàm số $H(x) = - 0,001x^{3} + 15x - 100$ , $(0 \leq x \leq 100)$ ta có:

$H'(x) = - 0,003x^{2} + 15$ , $H'(x) = 0$ $\Leftrightarrow - 0,003x^{2} +15 = 0$ $\Leftrightarrow x = 50\sqrt{2}$ .

Ta có $H(0) = - 100$ ; $H\left( 50\sqrt{2} \right) = 500\sqrt{2} - 100$ ; $H(100) = 400$ .

Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt{2} \approx 70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( 50\sqrt{2} \right) = 500\sqrt{2} - 100$ . Do đó d) đúng.
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị?
- A.
  $y = x^{2} + x - 1$
- B.
  $y = x^{2} + 3x - 1$
- C.
  $y = x^{4} + 2x^{2} - 1$
- D.
  $y = x^{3} + 6x + 3$
Các hàm số $y = x^{2} + x - 1$ ; $y = x^{2} + 3x - 1$ ; $y = x^{4} + 2x^{2} - 1$ đều có một điểm cực trị.

Xét hàm số $y = x^{3} + 6x + 3$ ta có: $y' = 3x^{2} + 6 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 9: Vận dụng
Tìm điều kiện nguyên của tham số m

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m)\sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng $( - 10;10)$ sao cho hàm số đồng biến trên $( - 8;5)$ ?
- A.
  $14$ .
- B.
  $13$ .
- C.
  $12$ .
- D.
  $15$ .
Đặt $t = - \sqrt{6 - x}$ vì $x \in ( - 8;5)$ $\Rightarrow t \in \left( - \sqrt{14}; - 1 ight)$ và $t = - \sqrt{6 - x}$ đồng biến trên $( - 8;5)$ .

Hàm số trở thành $y = \frac{- (4 - m)t + 3}{- t + m}$

tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\}$ $\Rightarrow y' = \frac{m^{2} - 4m + 3}{( - t + m)^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( - \sqrt{14}; - 1 ight)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4m + 3 > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \sqrt{14} \\ m \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \sqrt{14} \\ - 1 \leq m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow m = \left\{ - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 1,0,4,5,6,7,8,9 ight\}$ có 14 giá trị.
Câu 10: Vận dụng
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Ngoài ra $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng 6.
Câu 11: Vận dụng
Tìm giá trị của tham số a

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $a$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + (x + 10)x^{2} - x + 1$ cắt trục hoành tại đúng một điểm?
- A.
  $10$
- B.
  $8$
- C.
  $11$
- D.
  $9$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

$x^{3} + (a + 10)x^{2} - x + 1 = 0(*)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 10x^{2} - x + 1 = - ax^{2}$

Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình nên $(*) \Leftrightarrow - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}} = a$

Xét hàm số $f(x) = - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}};\left( \forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 ight\} ight)$

Ta có: $f'(x) = - \frac{x^{3} + x - 2}{x^{3}} = - \frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight)}{x^{3}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow a > - 11$

Vì $a$ nguyên âm nên $a \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1 ight\}$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Nhận biết
Xác định phương trình các đường tiệm cận

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như sau:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:
- A.
  $x = - 1;y = - 1$
- B.
  $x = 1;y = 1$
- C.
  $x = 1;y = - 1$
- D.
  $x = - 1;y = 1$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .
Câu 13: Vận dụng
Tính số điểm cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Hỏi hàm số $y = f\left( x^{2} - 2x ight)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đặt $g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)$

Từ bảng xét dấu của hàm số $f'(x)$ có

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số $y = f\left( x^{2} - 2x ight)$ có 1 điểm cực tiểu.
Câu 14: Thông hiểu
Định các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \frac{x + 3}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (1; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m - 3 < 0 \\ m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m \leq 1$

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack 2;5brack$ và có đồ thị như hình vẽ:
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 2;5brack$ lần lượt là $M;m$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $M - m = 9$
- B.
  $M - m = 5$
- C.
  $M - m = 10$
- D.
  $M - m = - 10$
Quan sát đồ thị ta thấy $\left\{\begin{matrix}\max_{\lbrack 2;5brack}y = M = 4 \\\min_{\lbrack 2;5brack}y = m = - 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M - m = 10$
Câu 16: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên của hàm số $y = f^{'}(x)$ như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 10;10)$ để hàm số $y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx$ đồng biến trên khoảng $( - 2;1)$ ?

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên của hàm số $y = f^{'}(x)$ như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 10;10)$ để hàm số $y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx$ đồng biến trên khoảng $( - 2;1)$ ?

Đáp án: 6

Để hàm số $y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx$ đồng biến trên khoảng $( - 2;1)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)$

$\Leftrightarrow 3f'(3x - 1) + 3x^{2} - 3m \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)$

$\Leftrightarrow m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)(*)$

Đặt $k(x) = f^{'}(3x - 1),h(x) = x^{2}$ và $g(x) = f^{'}(3x - 1) + x^{2} = k(x) + h(x)$ .

Ta có: $\min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4$ .

Do đó, ta có: $\min_{( - 2;1)}f^{'}(3x - 1) = f^{'}( - 1) = - 4$ khi $3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0$ .

$\Rightarrow \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.$

Do đó, $\min_{( - 2;1)}g(x) = g(0) = k(0) + h(0) = 0 - 4 = - 4$ .

Từ $(*)$ ta có $m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{( - 2;1)}g(x) \Leftrightarrow m \leq - 4$ .

Mà $m \in ( - 10;10) \Rightarrow m \in \{- 9;\ldots; - 4\}$ .

Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Xác định hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = \frac{x + 1}{x - 2}$
- B.
  $y = 2x^{2} - x$
- C.
  $y = - x^{3} + x^{2} - x$
- D.
  $y = 2x^{4} - 5x^{2} - 7$
Xét hàm số $y = - x^{3} + x^{2} - x$ ta có:

$y' = - 3x^{2} + 2x - 1 = - 3\left( x - \frac{1}{3} ight)^{2} - \frac{2}{3} < 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Nên hàm số $y = - x^{3} + x^{2} - x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 3brack$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(2)$ .
- B.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f( - 1)$ .
- C.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(3)$ .
- D.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = 5$ tại $x = 0$ .

Suy ra $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .
Câu 19: Vận dụng
Định các giá trị tham số m theo yêu cầu

Cho hàm số $y = x^{3} + 6x^{2} + 3(m + 2)x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ .
- A.
  $m > 1$ .
- B.
  $m < 1$ .
- C.
  $m > - 1$ .
- D.
  $m < - 1$ .
Ta có $y' = 3x^{2} + 12x + 3(m + 2) = 3\left\lbrack x^{2} + 4x + (m + 2) ightbrack.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$

$\Leftrightarrow y'( - 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Nhận xét. Nhắc lại kiến thức lớp dưới $''$ phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ \ x_{2}\ \ \left( x_{1} < x_{2} ight)$ thỏa mãn $x_{1} < x_{0} < x_{2} \Leftrightarrow af\left( x_{0} ight) < 0''.$
Câu 20: Nhận biết
Tìm số nghiệm thực của phương trình

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 2$ là:
- A.
  $0$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $2$ .
Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với đường thẳng $y = 2.$

Dựa vào đồ thị ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Câu 21: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số có hai điểm cực trị.
- B.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- 4.$
- C.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $- 3.$
- D.
  Hàm số có một điểm cực tiểu.
"Hàm số có hai điểm cực trị" sai vì hàm số có ba điểm cực trị là $x = - 1;\ x = 0;\ x = 1.$

"Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $- 3.$ " sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

"Hàm số có một điểm cực tiểu" sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là $x = - 1$ và $x = 1.$
Câu 22: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( $x$ được tính bằng miligam, $0 < x < 30$ ).

a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}$ . Sai||Đúng

c) Phương trình $P'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là $20mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( $x$ được tính bằng miligam, $0 < x < 30$ ).

a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}$ . Sai||Đúng

c) Phương trình $P'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là $20mg$ . Đúng||Sai

a) Đúng. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được viết lại là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ .

b) Sai. Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2}$ .

c) Sai. Xét phương trình $P'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.$

d) Đúng. Ta có bảng biến thiên:

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg.
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + mx + 1$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = 2x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị $(C)$ cắt đường thẳng $d$ tại ba điểm phân biệt?
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} - 3x^{2} + mx + 1 = 2x + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2} + (m - 2)x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 3x + m - 2 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3x + m - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Đặt $f(x) = x^{2} - 3x + m - 2$

Để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt thì phương trình $x^{3} - 3x^{2} + (m - 2)x = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó $f(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0$ .

Do đó $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) e 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 2 e 0 \hfill \\ 9 - 4\left( {m - 2} ight) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ - 4m > - 17 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ m < \frac{{17}}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ 1;3;4 ight\}$ .

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 3.
Câu 24: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:
- A.
  $y = - x^{4} +3x^{2}$
- B.
  $y = x^{3} - 3x$
- C.
  $y = 3x^{4} - 2x^{2}$
- D.
  $y = - x^{3} +3x$
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a < 0$ nên hàm số tương ứng là $y = - x^{3} + 3x$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + e^{m}$ với $m$ là tham số. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\lbrack 0;2brack$ bằng $0$ . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số đó là:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ do xét trên $\lbrack 0;2brack$ nên nhận $x = 1$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(1) = e^{m} - 2 \\ f(0) = e^{m} \\ f(2) = e^{m} + 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = e^{m} - 2 = 0 \Leftrightarrow e^{m} = 2$

Từ đó $\max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = e^{m} + 2 = 4$ .
Câu 26: Nhận biết

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

a) Hàm số không có điểm cực trị.

b) lim $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = - 10$ .

c) $\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 0$ . Suy ra đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng $x = \pm 2$ .
Câu 27: Thông hiểu
Xác định số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}(x - 4)^{4},\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  $3$
- B.
  $5$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(3m + 7)x + 1$ có cực trị?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 3 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $- 2 < m < 3$ .
Ta có: $y' = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(3m + 7)$

Để hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(3m + 7)x + 1$ có cực trị thì $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow 9m^{2} - 9m - 54 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $- x^{3} + 4x + 1 = m$ có ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $5$
- B.
  $17$
- C.
  $7$
- D.
  $15$
Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1$ và đường thẳng $y = m$

Xét $y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1$ có $f'(x) = - 3x^{2} + 4$

Phương trình $f'(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\x = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\end{matrix} ight.$

Lập bảng biến thiên

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $y = f(x)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

$1 - \frac{16\sqrt{3}}{3} < m < 1 + \frac{16\sqrt{3}}{3}$

Do $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;...;4 ight\}$

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \right| + 2 \right) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \right)$ có nghiệm?
- A.
  $3$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $2$ .
Ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1,\ \ - 1 \leq \cos x \leq 1$ nên suy ra $2cosx - \sin x + 4 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .

Đặt $t = \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4}$ $\Rightarrow t(2cosx - \sin x + 4) = 3sinx - \cos x - 1$

$\Leftrightarrow (2t + 1)cosx - (t + 3)sinx = - (4t + 1)$ .

Phương trình trên có nghiệm khi

$(2t + 1)^{2} + (t + 3)^{2} \geq (4t + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{- 9}{11} \leq t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq |t| + 2 \leq 3$ .

Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $\lbrack 2\ ;\ 3brack$ nên phương trình $f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} ight| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight)$ hay phương trình $f\left( |t| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $|t| + 2 = \sqrt{(m + 2)^{2} + 4}$ có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện $2 \leq |t| + 2 \leq 3$

$\Leftrightarrow 2 \leq \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \leq 3 \Rightarrow m^{2} + 4m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt{5} \leq m \leq - 2 + \sqrt{5}$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị $m$ thỏa mãn.
Câu 31: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $(1;5)$ .
- B.
  $(0;2)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $(2; + \infty)$ .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm tổng số đường tiệm cận

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}$ . Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{xightarrow 3^{+}}\dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow3^{+}}\dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 3)} = - \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} ight) = 0$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đườn tiệm cận ngang bằng 2.
Câu 33: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và $x \geqslant y,x \geqslant z$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{y}{{10y - x}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{z + x}}} ight)$ bằng:
- A. $\frac{{11}}{{18}}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. 1
Ta có:
$\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{a + b}} \geqslant \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)^2}\left( {\sqrt {ab} - 1} ight) \geqslant 0$ (đúng do $ab \geqslant 1$ )
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
$P = \dfrac{1}{{10 - \dfrac{x}{y}}} + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + \dfrac{z}{y}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{x}{z}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{10 - \dfrac{x}{y}}} + \dfrac{1}{{1 + \sqrt {\frac{x}{y}} }}$
Đặt $\sqrt {\frac{x}{y}} = t \in \left[ {1;3} ight]$ . Xét hàm số $f\left( t ight) = \frac{1}{{10 - {t^2}}} + \frac{1}{{1 + t}}$ trên đoạn [1; 3]
$\begin{matrix} f'\left( t ight) = \dfrac{{2t}}{{{{\left( {10 - {t^2}} ight)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + t} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow {t^4} - 2{t^3} - 24{t^2} - 2t + 100 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {t - 2} ight)\left( {{t^3} - 24t - 50} ight) = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Do ${t^3} - 24t - 50 < 0,\forall t \in \left[ {1;3} ight]$
Ta có bảng biến thiên
Suy ra ${P_{\min }} = \frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4y} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{z}{y} = \dfrac{x}{z}} \\ {\dfrac{x}{y} = 1} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4y} \\ {z = 2y} \end{array}} ight.$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?
- A.
  $m \geq 2$
- B.
  $m < 2$
- C.
  $m \leq 2$
- D.
  $m > 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}}$ .

Để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' > 0;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$

Vậy giá trị cần tìm là $m < 2$ .
Câu 35: Nhận biết
Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàmsố

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
- A.
  $y_{CÐ} = 1;y_{CT} = 0$
- B.
  $y_{CÐ} = 1;y_{CT} = - 1$
- C.
  $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 1$
- D.
  $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$
Từ bảng biến thiên ta có: $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$ .
Câu 36: Vận dụng
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ với m là tham số thực thỏa mãn $3.\left( {\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} } ight) = 16$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A. $0 < m \leqslant 2$
- B. $2 < m \leqslant 4$
- C. $m \leqslant 0$
- D. $m > 4$
Xét hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ trên [1; 2] ta có:
$f'\left( x ight) = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {1;2} ight]$
Khi đó:
$\begin{matrix} \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} + \dfrac{{2 + m}}{3} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow m = 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cho như hình vẽ

Hàm số $g(x) = 2f\left( |x - 1| \right) - x^{2} + 2x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $(0;1)$ .
- B.
  $( - 3;1)$ .
- C.
  $(1;3)$ .
- D.
  $( - 2;0)$ .
Ta có đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số $y = f'(x)$ tại các điểm $x = - 1;\ \ x = 1;\ \ x = 3$ như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có $f'(x) > x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 3 \\ \end{matrix} ight.$ và $f'(x) < x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 1 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

+ Trường hợp 1: $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ , khi đó ta có $g(x) = 2f(1 - x) - x^{2} + 2x + 2020$ .

Ta có $g'(x) = - 2f'(1 - x) + 2(1 - x)$ .

$g'(x) > 0 \Leftrightarrow -2f'(1 - x) + 2(1 - x) > 0$

$\Leftrightarrow f'(1 - x) < 1 -x$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 1 - x < 1 \\ 1 - x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 2 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện ta có $g'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

+ Trường hợp 2: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ , khi đó ta có $g(x) = 2f(x - 1) - x^{2} + 2x + 2020$ .

$g'(x) = 2f'(x - 1) - 2(x - 1)$

$g'(x) > 0 \Leftrightarrow2f'(x - 1) - 2(x - 1) > 0$

$\Leftrightarrow f'(x - 1) > x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 < - 1 \\ 1 < x - 1 < 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ 2 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện ta có $g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$ .

Vậy hàm số $g(x) = 2f\left( |x - 1| ight) - x^{2} + 2x + 2020$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 38: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số bậc năm $y = f(x)$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ trên $\mathbb{R}$ biểu diễn bởi hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số $y = f(x)$ có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
- B.
  Hàm số $y = f(x)$ có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
- C.
  Hàm số $y = f(x)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
- D.
  Hàm số $y = f(x)$ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = f(x)$ có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1\ ;\ + \infty)$ .
- B.
  $( - \infty\ ;\ - 1)$ .
- C.
  $( - 1\ ;\ 0)$ .
- D.
  $( - \infty\ ;\ 1)$ .
Ta có: Tập xác định $D\mathbb{= R}$

- Tính: $y' = 4x^{3} - 4x$ , $y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

- Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty\ ;\ - 1)$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn hàm số thích hợp với yêu cầu

Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
- A.
  $y = \frac{1}{\sqrt{x}}.$
- B.
  $y = \frac{1}{x^{4} + 1}.$
- C.
  $y = \frac{1}{x^{2} + 1}.$
- D.
  $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}.$
Nhận thấy các đáp án $y = \frac{1}{x^{4} + 1}.$ ; $y = \frac{1}{x^{2} + 1}.$ ; $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}.$ là các hàm số có TXĐ: $D\mathbb{= R}$ nên không có TCĐ.

Dùng phương pháp loại trừ thì $y = \frac{1}{\sqrt{x}}.$ đúng.

(Thật vậy; hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ có $\lim_{x ightarrow 0^{+}}y = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty\ \ \overset{}{ightarrow}\ \ x = 0$ là TCĐ)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

47 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3