Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

=>

=>

Xét hàm số

Ta có:

=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 2]

Ta có:

 Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.

Đạo hàm

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

Gọi và  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó theo định lí Viet, ta có

Yêu cầu bài toán : không thỏa mãn .

Nhận xét.

Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị.

Tôi cố tình ra giá trị đúng ngay giá trị loại đi.

Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt () và

Ta có:

.

Xét hàm số có

Bảng biến thiên

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi .

"Hàm số có hai điểm cực trị" sai vì hàm số có ba điểm cực trị là

"Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng " sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

"Hàm số có một điểm cực tiểu" sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là và

Trên khoảng đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn.

Trên khoảng đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại.

Trên khoảng đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

Trên khoảng đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Tập xác định

Ta có:

=> Hàm số đồng biến trên (-3; 0)

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Nhận thấy các đáp án ; ; là các hàm số có TXĐ: nên không có TCĐ.

Dùng phương pháp loại trừ thì  đúng.

(Thật vậy; hàm số có là TCĐ)

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là .

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S₀ trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta có: do xét trên nên nhận

Vì

Từ đó .

Ta có: .

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Các hàm số ; ; đều có một điểm cực trị.

Xét hàm số ta có: nên hàm số không có cực trị.

Hàm số không có điểm cực đại

Vì

Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đườn tiệm cận ngang bằng 2.

Gọi là trung điểm , suy ra nên

.

Tam giác vuông , có .

Kẻ nên . 

Tam giác vuông , ta có

Diện tích tam giác .

Vậy .

Quan sát hình vẽ ta thấy:

và

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm f’(x) ta thấy đạo hàm f’(x) đổi dấu từ dương sang âm 2 lần nên f(x) có 2 điểm cực đại.

Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác đều và .

Diện tích xung quanh lăng trụ là

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích khối lăng trụ là .

Số nghiệm thực của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .

Từ hình vẽ suy ra nghiệm.

Điều kiện

Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì phải có nghiệm.

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là với

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

=> Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt

Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

Trong tam giác vuông , có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy

Hình lăng trụ tam giác đều có 1 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên (song song với đáy) và 3 mặt phẳng đối xứng vuông góc với đáy ( giao với 2 đáy theo các đường trung tuyến của tam giác đáy).

Vậy hình lăng trụ tam giác đều có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

Quan sát đồ thị ta thấy

Tập xác định

Ta có:

Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi

Hay

Vậy giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Từ bảng biến thiên ta có: .

Không gian mẫu

Ta có:

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác .

Mà

Vậy xác suất cần tìm là .

 Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là

Tam giác SBC vuông cân tại  S nên

Vậy thể tích khối chóp

 Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)

Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.

Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng

Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Vì là khối chóp đều nên suy ra .

Gọi là trung điểm của

Tam giác vuông tại , có:

Diện tích tam giác là: 

Vậy thể tích khối chóp: 

Ta có:

Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

.

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác .

Với thì phương trình có ba nghiệm phân biệt là ( là nghiệm của ).

Mà suy ra điểm có hoành độ luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn

Vậy

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: và tiệm cận ngang là ta có:

=>

Đồ thị hàm số cắt Ox tại , cắt Oy tại

=>

Với

Với

Ta có:

Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: tại .

Suy ra .

Ta có .

Xét hàm số trên .

Có .

Trên có và nên

Hàm số đồng biến trên .

Vậy nên nghiệm đúng với mọi

.

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng

Bảng biến thiên:

Vậy