VnDoc.com

Bảng nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

Công thức nguyên hàm

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Nguyên hàm (tiếp theo) bao gồm công thức nguyên hàm cơ bản, nâng cao cùng với đó là các phương pháp tính nguyên hàm và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm sơ cấp

$\int 0 dx = C$ $\int 0 dx = C$

$\int 1 dx = x + C$ $\int 1 dx = x + C$

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$

$\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$ $\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$

$\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C,\left( {x \ne 0} \right)$ $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C,\left( {x \ne 0} \right)$

$\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C$ $\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C$

$\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$ $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$

$\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

$\int {\sin xdx} = - \cos x + C$ $\int {\sin xdx} = - \cos x + C$

$\int {\cos xdx} = \sin x + C$ $\int {\cos xdx} = \sin x + C$

$\int {\tan xdx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C$ $\int {\tan xdx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C$

$\int {\cot xdx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C$ $\int {\cot xdx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C$

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$ $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C,\left( {x \ne k\pi } \right)$ $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C,\left( {x \ne k\pi } \right)$

$\int {\frac{1}{{2\sqrt x }}dx} = \sqrt x + C$ $\int {\frac{1}{{2\sqrt x }}dx} = \sqrt x + C$

Nguyên hàm của hàm hợp u = u(x)

$\int 0 du = C$ $\int 0 du = C$

$\int 1 du = u + C$ $\int 1 du = u + C$

$\int {{u^\alpha }du} = \frac{{{u^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $\int {{u^\alpha }du} = \frac{{{u^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$

$\int {\sqrt u du} = \frac{2}{3}u\sqrt u + C$ $\int {\sqrt u du} = \frac{2}{3}u\sqrt u + C$

$\int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C,\left( {u\left( x \right) \ne 0} \right)$ $\int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C,\left( {u\left( x \right) \ne 0} \right)$

$\int {\frac{1}{{{u^2}}}du} = - \frac{1}{u} + C$ $\int {\frac{1}{{{u^2}}}du} = - \frac{1}{u} + C$

$\int {{e^u}du} = {e^u} + C$ $\int {{e^u}du} = {e^u} + C$

$\int {{a^u}du} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C$ $\int {{a^u}du} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C$

$\int {\sin udu} = - \cos u + C$ $\int {\sin udu} = - \cos u + C$

$\int {\cos udu} = \sin u + C$ $\int {\cos udu} = \sin u + C$

$\int {\tan udu} = - \ln \left| {\cos u} \right| + C$ $\int {\tan udu} = - \ln \left| {\cos u} \right| + C$

$\int {\cot udu} = \ln \left| {\sin u} \right| + C$ $\int {\cot udu} = \ln \left| {\sin u} \right| + C$

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du} = \tan u + C,\left( {u\left( x \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$ $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du} = \tan u + C,\left( {u\left( x \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}du} = - \cot u + C,\left( {u\left( x \right) \ne k\pi } \right)$ $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}du} = - \cot u + C,\left( {u\left( x \right) \ne k\pi } \right)$

$\int {\frac{1}{{2\sqrt u }}du} = \sqrt u + C$ $\int {\frac{1}{{2\sqrt u }}du} = \sqrt u + C$

B. Bảng nguyên hàm nâng cao

$\int {d\left( {ax + b} \right)} = ax + b + C$ $\int {d\left( {ax + b} \right)} = ax + b + C$

$\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$ $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$

$\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}.\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b} + C$ $\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}.\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b} + C$

$\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C$ $\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C$

$\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$ $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$

$\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right| + C$ $\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right| + C$

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{1}{a}.\cot \left( {ax + b} \right) + C$ $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{1}{a}.\cot \left( {ax + b} \right) + C$

$\int {\frac{1}{{\sin \left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C$ $\int {\frac{1}{{\sin \left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C$

$\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{\alpha }\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{\alpha }\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$
$\left( {\alpha \ne - 1} \right)$ $\left( {\alpha \ne - 1} \right)$

$\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C$ $\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C$

$\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C$ $\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C$

$\int {{a^{mx + n}}dx} = \frac{1}{m}.\frac{{{a^{mx + n}}}}{{\ln a}} + C$ $\int {{a^{mx + n}}dx} = \frac{1}{m}.\frac{{{a^{mx + n}}}}{{\ln a}} + C$
$\left( {a > 0;a \ne 1} \right)$ $\left( {a > 0;a \ne 1} \right)$

$\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$ $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$

$\int {\cot \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\sin \left( {ax + b} \right)} \right| + C$ $\int {\cot \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\sin \left( {ax + b} \right)} \right| + C$

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\tan \left( {ax + b} \right) + C$ $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\tan \left( {ax + b} \right) + C$

$\int {\frac{1}{{\cos \left( {ax + b} \right)}}dx}$ $\int {\frac{1}{{\cos \left( {ax + b} \right)}}dx}$

Câu trắc nghiệm mã số: 400674,400673,400672,400669,400668,400666

C. Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Nếu $\int {f\left( u \right)} du = F\left( u \right) + C$ $\int {f\left( u \right)} du = F\left( u \right) + C$ và $u = u\left( x \right)$ $u = u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} .u$ $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} .u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$

Cách tính nguyên hàm đổi biến số

Xét hàm số $I = \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u$ $I = \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}$

Bước 1: Đặt $u = u\left( x \right)$ $u = u\left( x \right)$ suy ra $du = u'\left( x \right)dx$

Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta được $I = \int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C$ $I = \int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C$, trong đó F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u)

Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm $I = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$ $I = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ là:

Hướng dẫn giải:

Đặt $A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln x.\frac{1}{x}dx}$ $A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln x.\frac{1}{x}dx}$

Đặt $u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$ $u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$

Do đó $A = \int {udu} = \frac{{{u^2}}}{2} + C$ $A = \int {udu} = \frac{{{u^2}}}{2} + C$

Vậy $A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$ $A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ $\int {udv} = uv - \int {vdu}$

Cách tính nguyên hàm từng phần

Để tính nguyên hàm $\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$ $\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$ từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = f\left( x \right)} \\ {dx = g\left( x \right)dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = f$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = f\left( x \right)} \\ {dx = g\left( x \right)dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = f'\left( x \right)dx} \\ {v = G\left( x \right)} \end{array}} \right.$ (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số g(x)

Bước 2: Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = f\left( x \right).G\left( x \right) - \int {G\left( x \right).f$ $\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = f\left( x \right).G\left( x \right) - \int {G\left( x \right).f'\left( x \right)dx}$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số:

a) $B = \int {x.\sin dx}$ $B = \int {x.\sin dx}$

Hướng dẫn giải:

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {\sin xdx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = - \cos x} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {\sin xdx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = - \cos x} \end{array}} \right.$

=> $B = \int {x.\sin dx} = - x.\cos x + \int {\cos xdx = } - x.\cos x + \sin x + C$ $B = \int {x.\sin dx} = - x.\cos x + \int {\cos xdx = } - x.\cos x + \sin x + C$

b) $C = \int {x.{e^{3x}}dx}$ $C = \int {x.{e^{3x}}dx}$

Hướng dẫn giải:

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {{e^{3x}}dx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = \dfrac{1}{3}{e^{3x}}} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {{e^{3x}}dx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = \dfrac{1}{3}{e^{3x}}} \end{array}} \right.$

=> $C = \int {x.{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx}$ $C = \int {x.{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx}$

$= \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}\int {{e^{3x}}d\left( {3x} \right) = } \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C$ $= \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}\int {{e^{3x}}d\left( {3x} \right) = } \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C$

Câu trắc nghiệm mã số: 25,33,35,168

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

77

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!