Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x)=1 là

    Ta thấy đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f(x)=1 có 3 nghiệm.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm tập nghiệm của PT logarit

    Phương trình \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 có tập nghiệm là?

    Điều kiện: x > 0

    \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có tập nghiệm là S={8;2}.

  • Câu 3: Vận dụng

    Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 1;3brack. Giá trị của M + m là

    Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;3brack là M = 2 đạt được tại x = - 1 và GTNN của hàm số số trên đoạn \lbrack - 1;3bracklà m = - 4 đạt được tại x = 2

    \Rightarrow M + m = 2 + ( - 4) = - 2

  • Câu 5: Thông hiểu

    Hình không phải đa diện lồi

    Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

     Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi (H): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

     

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các tham số m

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1 với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m

    Xét hàm số f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 5

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng 9.

  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng?

    Cho biết Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} với a > 0,a e 1. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}

    Vậy Q = {a^{\frac{5}{3}}}

  • Câu 8: Vận dụng

    Xác định các giá trị của r

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x−y + 2z + 1 = 0, (Q): 2x+y +z −1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

    Gọi R, I(m; 0; 0) lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; d_1, d_2 lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P), (Q).

    Từ đó ta có: R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2} suy ra

    \frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)

    Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay \Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

    Trên khoảng ( - 2\ ;\ 0) đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn.

    Trên khoảng ( - \infty\ ;\ 0) đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại.

    Trên khoảng ( - 2\ ;\ 2) đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

    Trên khoảng (0\ ;\ 2) đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Biểu diễn biểu thức theo a

    Đặt {\log _5}2 = a. Khi đó {\log _{25}}800 biểu diễn là:

    Ta có:

    {\log _{25}}800 = \frac{{{{\log }_5}800}}{{{{\log }_5}25}} = \frac{{{{\log }_5}{2^5}{{.5}^2}}}{{{{\log }_5}{5^2}}} = \frac{{5{{\log }_5}2 + 2}}{2} = \frac{{5a + 2}}{2}

  • Câu 11: Vận dụng

    Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

    Hàm số y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 2x - 3} ight)}^2}}} + 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có: y' = \frac{2}{3}.\frac{{2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x - 3}}}};\left( {x e - 1;x e 3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

    Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị

  • Câu 12: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Để uốn 4m thanh kim loại thành hình như sau:

    Gọi r bán kính của nửa đường tròn. Tìm r(m) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Để uốn 4m thanh kim loại thành hình như sau:

    Gọi r bán kính của nửa đường tròn. Tìm r(m) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Thông hiểu

    BPT trở thành?

    Nếu đặt t = {\log _2}x thì bất phương trình \log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} ight) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} ight) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x ight) trở thành bất phương trình nào?

     Điều kiện: x >0

    Ta có:

    \begin{gathered} \log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} ight) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} ight) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \log _2^4x - {\left( {3{{\log }_2}x - 3} ight)^2} + 9\left( {5 - 2{{\log }_2}x} ight) - 4\log _2^2x < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \log _2^4x - 13\log _2^2x + 36 < 0 \hfill \\ \end{gathered}

    Vậy thay t = {\log _2}x, ta được  {t^4} - 13{t^2} + 36 < 0.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính thể tích

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a, BC = a\sqrt 3. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     

    Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH \bot AB.

    Do \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABC} ight) theo giao tuyến AB nên SH \bot (ABC).

    Tam giác SAB là đều cạnh AB=a  nên SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Tam giác vuông ABC, có AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.

    Diện tích tam giác vuông {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.

    Vậy {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x ight) = - \infty, suy ra đường thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = + \infty, suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) =0, suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 \leq x \leq 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x} (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

    Đáp án: 333

    Đáp án là:

    Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 \leq x \leq 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x} (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

    Đáp án: 333

    Chi phí sản xuất khi sản xuất x sản phẩm là

    C(x) = x.G(x)

    = x\left( x + 1000 + \frac{250000}{x} ight)

    = x^{2} + 1000x + 250000

    Do đó lợi nhận L(x)là:

    L(x) = F(x) - C(x)

    = \left( x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 ight) - \left( x^{2} + 1000x + 250000 ight)

    = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 - x^{2} - 1000x - 250000

    = x^{3} - 2000x^{2} + 1000000x

    Ta có:

    L'(x) = 3x^{2} - 4000x + 1000000

    L'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 4000x + 1000000 = 0 với 1 \leq x \leq 500

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1000(L) \\ x = \frac{1000}{3}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vây doanh nghiệp nên sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận đạt mức lớn nhất

  • Câu 18: Vận dụng

    Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu

    Cho hàm số y = \frac{\ln x - 4}{\ln x -2m} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;e). Tìm số phần tử của S.

    Ta có: y = f(x) = \frac{\ln x - 4}{\ln x - 2m}

    Đặt t = \ln x, điều kiện t \in (0;1)

    g(t) = \frac{t - 4}{t - 2m}; g'(t) = \frac{- 2m + 4}{(t - 2m)^{2}}

    Để hàm số f(x) đồng biến trên (1;e) thì hàm số g(t) đồng biến trên (0;1) \Leftrightarrow g'(t) > 0,\ \ t \in (0;1)

    \Leftrightarrow \frac{- 2m + 4}{(t - 2m)^{2}} > 0,t \in (0;1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2m + 4 > 0 \\ 2m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{1}{2} < m < 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

    S là tập hợp các giá trị nguyên dương \Rightarrow S = \left\{ 1 ight\}.

    Vậy số phần tử của tập S là 1.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2m + 4 > 0 \\ 2m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \dfrac{1}{2} < m < 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Mệnh đề đúng

    Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     

    Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S_0 là diện tích tam giác đều cạnh a \xrightarrow{{}}\,{S_0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy diện tích S cần tính là: S = 8.{S_0} = 8.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 3 \,{a^2}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Đếm số nghiệm

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {x^3} + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset

    Vậy số nghiệm của PT là 0.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Biểu thức liên hệ giữa n và m

    Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức

    P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}

    có dạng P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}. Khi đó biểu thức liên hệ giữa n và m là:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} ight)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} ight)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} ight)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} \hfill \\ \Rightarrow m = - 1;n = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Mệnh đề nào sai

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 23: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức P

    Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}

    Ta có:

    P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm số mặt của đa diện

    Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 25: Thông hiểu

    Xác định số cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Nhận thấy {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2

    => f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

    Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

     

  • Câu 26: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm điều kiện xác định

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

    Đáp án là:

    Điều kiện xác định của bất phương trình {\log _2}(x - 5) -2 {\log _3}(x + 2) \leq3 là:

    x > 5 || X>5 || x>5 || x lớn hơn 5

     BPT xác định khi và chỉ khi: \left\{ \begin{gathered} x - 5 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 5

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

    Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 3}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{3}{x}} = 2 suy ra tiệm cận ngang là y = 2

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{2x + 1}{x - 3} = + \infty suy ra tiệm cận đứng là x = 3

    Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là A(3;2).

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Định giá trị gần nhất với kết quả

    Cho a,b,c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn:

    \log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left(b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4} ight)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} =0

    Khi đó, giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2c gần với giá trị nào nhất sau đây?

    Áp dụng bất đẳng thức (x + y)^{2} \geq 4xy, ta được:

    \left( b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}ight)^{2} \geq b^{4}c^{4} \Rightarrow \log_{a}\left( b^{3}c^{3} +\dfrac{bc}{4} ight)^{2} \geq 4\log_a(bc)

    Do đó với \forall a > 1,b,c > 0

    \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} ight)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}\geqslant \log _a^2(bc) + 4{\log _a}(bc) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}

    \Leftrightarrow \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} ight)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}\geqslant {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} ight]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \geqslant 0

    Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{matrix}b^{3}c^{3} = \dfrac{bc}{4} \\\log_{a}(bc) = - 2 \\c^{2} = 9 \\a > 1 \\b > 0 \\c > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \sqrt{2} \\b = \dfrac{1}{6} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó T = a + 3b + 2c = \sqrt{2} + \frac{1}{2} + 6 \approx 7,91.

    Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Tính V biết đường chéo hộp chữ nhật

    Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = \sqrt {21}. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q=2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là?

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA' = a,\,\,AB = b,\,\,AD = c và có đường chéo AC'.

    Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q=2. Suy ra:

    \left\{ \begin{gathered} b = 2a \hfill \\ c = 4a \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mặt khác, độ dài đường chéo AC' = \sqrt {21}

    \Rightarrow A{A'^2} + A{B^2} + A{D^2} = 21\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {\left( {2a} ight)^2} + {\left( {4a} ight)^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ 21{a^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'là:

    {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = abc = 8

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 32: Vận dụng

    Tổng 2 nghiệm BPT mũ

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

    Đáp án là:

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

     Ta có: {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}

    \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} - {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1}

    Đặt t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \geqslant 2} ight), phương trình trên tương đương với

    8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} (vì t \geqslant 2).

    Từ đó suy ra {2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ {x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

     

    Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.

  • Câu 33: Vận dụng

    Tính diện tích tam giác

    Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. 

     

    Mặt phẳng \left( P ight)\parallel \left( {ABC} ight) và cắt các cạnh SA,\,\,SB,\,\,SC lần lượt tại M,\,\,N,\,\,P.

    Theo Talet, ta có \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = x.

    Do đó \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = {x^3}.

    Theo giả thiết \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{2} \to {x^3} = \frac{1}{2} \to x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.

    Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh \frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}. 

    Vậy diện tích {S_{\Delta MNP}} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt[3]{2}}}} ight)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{4\sqrt[3]{4}}}.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức

    Trong số các cặp số thực (a;b) để bất phương trình (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b \right) \geq 0 nghiệm đúng với mọi x\mathbb{\in R}, tích ab nhỏ nhất bằng

    Đặt f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) và g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight)

    Giả sử x = 1 không phải là nghiệm của phương trình g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0 thì hàm số f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) sẽ đổi dấu khi qua điểm x = 1, nghĩa là(x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) \geq 0 không nghiệm đúng với mọi x\mathbb{\in R}.

    Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần làg(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0 có nghiệm x = 1 suy ra hoặc \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} ight. hoặc là phương trình x^{2} + x + b = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = a

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\forall x \in R \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ 1 > 0 \\ \Delta = 1 - 4b \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 2: phương trình x^{2} + x + b = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = a

    Ta thay x = 1vào phương trình x^{2} + x + b = 0 có 1^{2} + 1 + b = 0 \Rightarrow b = - 2.

    Với b = - 2 có phương trình x^{2} + x + b = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì x = a cũng là nghiệm của phương trình nên a = - 2.

    Trong trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ab \geq \frac{1}{4} suy ra tích ab nhỏ nhất khi ab = \frac{1}{4}

    Và với a = 1,b = \frac{1}{4}, tích ab = \frac{1}{4} thì bất phương trình đã cho tương đương với (x - 1)(x - 1)\left( x^{2} + x + \frac{1}{4} ight) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}\left( x + \frac{1}{2} ight)^{2} \geq 0 thỏa mãn với mọi x\mathbb{\in R} (nhận)

    Trong trường hợp 2: Tích ab = 4 > \frac{1}{4}

    Vậy tích ab nhỏ nhất khi ab = \frac{1}{4}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + 3x^{2} + mx + m - 2 với m là tham số thực, có đồ thị là \left( C_{m} \right). Tìm tất cả các giá trị của m để \left( C_{m} \right) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

    Đạo hàm y' = 3x^{2} + 6x + m.

    Ta có \bigtriangleup '_{y'} = 9 - 3m.

    Hàm số có cực đại và cực tiểu khi \bigtriangleup '_{y'} > 0 \Leftrightarrow m < 3.

    Ta có y = \left( \frac{1}{3}x +\frac{1}{3} \right).y' +\left( \frac{2m}{3} - 2 \right)x + \left(\frac{2m}{3} - 2 \right).

    Gọi x_{1},\ \ x_{2} là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó

    \left\{ \begin{matrix} y_{1} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{1} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ y_{2} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{2} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ \end{matrix} ight.\ .

    Theo định lí Viet, ta có \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1}x_{2} = \dfrac{m}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .

    Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y_{1}.y_{2} < 0

    \Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) < 0

    \Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight) < 0

    \Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3} - 2 ight)^{2}\left( \frac{m}{3} - 1 ight) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 3 \\ m eq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < 3: thỏa mãn.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Xét hàm số y = {e^{10x + 2017}} ta có:

    y' = 10.{e^{10x + 2017}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}

    Vậy hàm số y = {e^{10x + 2017}} đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn khẳng định đúng?

    Anh T đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng để kinh doanh với số tiền 200 triệu đồng với lãi suất a% trên một năm. Điều kiện hợp đồng là số tiền lại tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm kinh doanh, anh T dã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền làm tròn là 245512000 đồng. Chọn khẳng định đúng?

    Lãi suất mỗi tháng là \frac{a}{{12}}\%. Theo công thức lãi kép ta có:

    \begin{matrix} 200.{\left( {1 + \dfrac{a}{{12}}\% } ight)^{24}} = 245,512 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{a}{{12}}\% = \sqrt[{24}]{{\dfrac{{245,512}}{{200}}}} - 1 \hfill \\ \Rightarrow a \approx 10 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Cho {\log _2}a = x;{\log _2}b = y biết , biểu thức {\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight) có giá trị là:

    Ta có: 

    {\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight) = {\log _2}4 + {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3} = 2 + 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = 2x + 3y + 2

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tình tổng các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Tình tổng các giá trị nguyên của tham số m

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có 3 điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là:

    Xét hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có đạo hàm

    \begin{matrix} y' = 2\left( {x - 1} ight)f'\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = - 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = - 1 - m} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = 3 - m} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

    \begin{matrix} - 1 - m \leqslant 0 < 3 - m \hfill \\ \Leftrightarrow - 1 \leqslant m < 3 \hfill \\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các phần tử của S là 2

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + m với m là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2mx

    Hàm số nghịch biến trên (0;2) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in (0;2)

    Xét hàm số y = - \frac{3}{2}x trên khoảng (0;2) ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để hàm số nghịch biến trên (0;2) thì m \leq - 3.

  • Câu 41: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Cho a là một số thực dương khác 1. Tính giá trị của biểu thức:

    P = {\log _a}2018 + {\log _{\sqrt a }}2018 + {\log _{\sqrt[3]{a}}}2018 + ... + {\log _{\sqrt[{2018}]{a}}}2018

    Ta có: 

    \begin{matrix} P = {\log _a}2018 + {\log _{\sqrt a }}2018 + {\log _{\sqrt[3]{a}}}2018 + ... + {\log _{\sqrt[{2018}]{a}}}2018 \hfill \\ P = {\log _a}2018 + 2{\log _a}2018 + 3{\log _a}2018 + ... + 2018{\log _a}2018 \hfill \\ P = {\log _a}2018\left( {1 + 2 + 3 + .... + 2018} ight) \hfill \\ P = {\log _a}2018.\frac{{\left( {1 + 2018} ight).2018}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Tính V biết khoảng cách

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Biểu diễn biểu thức theo tham số

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 44: Nhận biết

    Hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

    Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

     Ta có:

    y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight);y = {\log _{\frac{1}{2}}}x là các hàm số không xác định trên \mathbb{R}

    Vì \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x} nghịch biến trên \mathbb{R}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

    Tìm tập xác định của hàm số y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}

     Vì \frac{2}{3} otin \mathbb{Z} nên hàm số xác định khi 3x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3

  • Câu 46: Vận dụng

    Xác định tọa độ các điểm M theo yêu cầu

    Tìm trên đồ thị hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1} những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị.

    Gọi M\left( a\ ;\ \frac{2a + 1}{a - 1} ight) với a eq 1 là điểm thuộc đồ thị.

    Đường tiệm cận đứng d:x = 1\ ; đường tiệm cận ngang d':y = 2.

    Ycbt \Leftrightarrow \ \ d\lbrack M,dbrack = 3d\lbrack M,d'brack\ \ \Leftrightarrow \ \ |a - 1| = 3\left| \frac{2a + 1}{a - 1} - 2 ight|\

    \Leftrightarrow \ \ (a - 1)^{2} = 9\ \ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} a = 4 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \ \Rightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} M(4\ ;\ 3) \\ M( - 2\ ;\ 1) \\ \end{matrix} ight. .

    Áp dụng công thức giải nhanh.

    \left| \frac{cx_{0} + d}{c} ight| = k\left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d ight)} ight| ightarrow x_{0} = - \frac{d}{c} \pm \sqrt{kp}

    Với c = 1,\ \ d = - 1,\ \ k = 3,\ \ p = \left| \frac{ad - bc}{c^{2}} ight| = 3.

    Suy ra x_{0} = 1 \pm 3.

  • Câu 47: Nhận biết

    Thể tích khối trụ

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 48: Thông hiểu

    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) = \frac{x - m^{2} + m}{x + 1} với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 2.

    Đạo hàm f'(x) = \frac{m^2 - m +1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x \in \lbrack 0;1brack.

    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên \lbrack 0;1brack

    \Rightarrow \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = f(0) = - m^{2} + m

    Theo bài ra:

    \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - m^{2} + m = - 2

    \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 49: Nhận biết

    Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Cho hàm số y = {x^{ - \frac{1}{2}}}. Cho các khẳng định sau:

    i) Hàm số xác định với mọi x

    ii) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; 1)

    iii) Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

    iv) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

    Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Ta có khẳng định ii) và iv) là đúng

    i) Sai vì hàm số đã cho xác định khi x > 0

    iii) Sai vì hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 50: Nhận biết

    Số cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'\left( x ight) = \left( {x - 2018} ight)\left( {x - 2019} ight){\left( {x - 2020} ight)^4}. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

     Tập xác định: D = \mathbb{R}

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2018} \\ {x = 2019} \\ {x = 2020} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dầu’(x) như sau:

    Số cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấy của f’(x) ta thấy f’(x) đổi dấu qua hai điểm x = 2018, x = 2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
12 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm