Đường tiệm cận
Bài học Lí thuyết toán 12: Đường tiệm cận đã đưa ra cho các em những định nghĩa và cách tìm đường tiệm cận của hàm số. Bên cạnh đó là một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số 
\(y=f(x)\) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng \((a; + \infty )\), \(( - \infty ;b)\) hoặc \(( - \infty ; + \infty )\)).
Đường thẳng \(y=y_0\) là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\)
Nhận xét:
Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào đó bất kì, ta chỉ cần tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực.
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng \(x=x_0\) là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = + \infty\).
Ngoài ra cần nhớ các kiến thức về giới hạn sau:
Quy tắc tìm giới hạn vô cực:
- Quy tắc tìm giới hạn của tích \(f(x).g(x)\):
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = + \infty\) (hoặc \(- \infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x)\) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x)\) |
| \(L > 0\) |
\(+ \infty\) |
\(+ \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(- \infty\) |
|
| \(L < 0\) |
\(+ \infty\) |
\(- \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(+ \infty\) |
- Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\):
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = + \infty\) (hoặc \(- \infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)\) |
Dấu của g(x) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) |
|
0 |
\(\pm \infty\) |
Tùy ý |
0 |
| \(L > 0\) |
0 |
|
\(+ \infty\) |
| \(-\) |
\(- \infty\) |
||
| \(L < 0\) |
|
\(- \infty\) |
|
| \(-\) |
\(+ \infty\) |
(Dấu của \(g(x)\) xét trên một khoảng \(K\) nào đó đang tính giới hạn, với \(x \ne x_0\))
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \(x \to {x_0}^ + ,x \to {x_0}^ - ,x \to + \infty\) và \(x \to - \infty\).
+) Nếu \(x \to + \infty \Rightarrow x > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = x\)
+) Nếu \(x \to - \infty \Rightarrow x < 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = - x\)
Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\).
Giải:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}\).
+) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\) nên đồ thị nhận đường thẳng \(y=2\) làm tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty\) nên đồ thị nhận đường thẳng \(x=1\) làm tiệm cận đứng.
