Mặt nón tròn xoay
Bài học Lí thuyết toán 12: Mặt nón tròn xoay là phần kiến thức trong Khái niệm mặt tròn xoay, giới thiệu cho các em về mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, công thức tính diện tích, thể tích hình nón và các thiết diện khi cắt mặt nón.
1. Mặt nón tròn xoay
Định nghĩa:
Trong mặt phẳng 
\((P)\), cho 2 đường thẳng \(d ,\, \Delta\) cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc \(\beta\) với \({0^0} < \beta < {90^0}\). Khi quay mặt phẳng \((P)\) xung quanh trục \(\Delta\) với góc \(\beta\) không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.
Chú ý:
- Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón
- Đường thẳng \(\Delta\) gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc \(2\beta\) gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay
Cho \(\triangle OIM\) vuông tại \(I\) quay quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).
- Đường thẳng \(OI\) gọi là trục, O là đỉnh,\(OI\) gọi là đường cao và \(OM\) gọi là đường sinh của hình nón.
- Hình tròn tâm \(I\), bán kính \(r=IM\) là đáy của hình nón
Ví dụ:
Trong không gian, cho tam giác \(ABC\) vuông tại A, \(AB = a\) và \(AC = \sqrt 3 a\). Tính độ dài đường sinh \(l\) của hình nón, nhận được khi quay tam giác \(ABC\) xung quanh trục \(AB\).
Giải:
+) Độ dài đường sinh \(l\) bằng độ dài cạnh \(BC\) của tam giác vuông \(ABC\).
+) Áp dụng định lý Pytago, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} \Rightarrow BC = 2a\)
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 2a\).
3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là \(h\), bán kính đáy \(r\) và đường sinh là \(l\) thì có:
- Diện tích xung quanh:
\(\boxed{{S_{xq}} = \pi .r.l}\)
- Diện tích đáy (hình tròn):
\(\boxed{{S_\delta} = \pi .{r^2}}\)
- Diện tích toàn phần hình nón:
\(\boxed{{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_\delta}}\)
- Thể tích khối nón:
\(\boxed{{V_{\mbox{nón}}} = \frac{1}{3}{S_\delta}.h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h}\)
Ví dụ:
Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là \(S\), \(O\) là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2\) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \(60^0\). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón và thể tích \(V\) của khối nón tương ứng?
Giải:
+) Gọi \(A\) là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.
+) Theo giải thiết ta có đường sinh \(SA = a\sqrt 2\) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SAO} = {60^0}\). Trong tam giác vuông \(SAO\), ta có:
\(OA = SA\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(SO = SA.\sin {60^0} = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
+) Áp dụng công thức, ta có diện tích xung quanh hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\) (đvdt)
+) Áp dụng công thức, ta có thể tích của khối nón tròn xoay là:
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) (đvtt)
4. Tính chất:
Mặt nón tròn xoay được cắt bởi mặt phẳng chia làm 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi \((P)\) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Nếu \((P)\) cắt mặt nón theo 2 đường sinh \(\Rightarrow\) Thiết diện là tam giác cân.
- Nếu \((P)\) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nó
Trường hợp 2:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp \((Q)\) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Nếu \((Q)\) vuông góc với trục hình nón \(\Rightarrow\) giao tuyến là một đường trò
- Nếu \((Q)\) song song với 2 đường sinh hình nón \(\Rightarrow\) giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
- Nếu \((Q)\) song song với 1 đường sinh hình nón \(\Rightarrow\) giao tuyến là 1 đường parabol.
Ví dụ: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh \(2a\), có thể tích \(V_1\) và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích \(V_2\). Khi đó, tỉ số thể tích \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng bao nhiêu?
Giải:
+) Theo đề bài, ta có hình nón có bán kính đáy là \(a\), chiều cao \(a\sqrt 3\) do đó, có thể tích là:
\({V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
+) Mặt khác, hình cầu có bán kính \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên có thể tích là:
\({V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
+) Từ đó suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\).
