Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với đề Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính giá trị?

    Cho số phức z thỏa mãn {z^2} - 6z + 13 = 0. Giá trị của \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| là:

     {z^2} - 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = 3 + 2i \hfill \\ z = 3 - 2i \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với z = 3 + 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = 4 + i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = \sqrt {17}

    Với z = 3 - 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = \frac{{24}}{5} - \frac{7}{5}i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = 5

  • Câu 3: Nhận biết

    Xác định số phức z

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Xác định thể tích vật thể

    Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 \leq x \leq 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2\sqrt{9 - x^{2}}.

    Ta có:

    V = \int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}dx} = 18

  • Câu 5: Vận dụng

    Viết phương trình đường thẳng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2y + 1 = - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\ y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 = - y - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x' + 7y' = - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính mô đun số phức

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Nghiệm PT bậc 4

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 10: Nhận biết

    Giao điểm 3 mp

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:

     Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = - z - 4;y = z + 5.

    Thế vào phương trình (3) được z=-3 , từ đó có x = - 1,y = 2

    Vậy  A(-1,2,-3).

  • Câu 11: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 12: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} bằng

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB//CD

    Suy ra AM = CN và AM//CN suy ra \overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{AM}.

    \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AN}

    = \overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm nghiệm?

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\left( \ln x \right)^{2}} - \frac{1}{\ln x} là

    Ta có f(x) = \frac{1}{\left( \ln x ight)^{2}} - \frac{1}{\ln x} = \frac{1 - \ln x}{\left( \ln x ight)^{2}}

    = \frac{( - x)'.\ln x - ( - x).\left( \ln x ight)'}{\left( \ln x ight)^{2}} = \left( \frac{- x}{\ln x} ight)'

    \Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = \frac{- x}{\ln x} + C}.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    a. Đúng

    b. Đúng

    c. Sai

    (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên có dạng: 2x - y - 3z + D = 0

    Do A(1;2;3) \in (P) nên: 2.1 - 2 - 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9.

    d. Đúng

    Ta có: (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên

    d\left( B,\ (\alpha) \right) = d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{|2.1 - 2 - 3.3 - 1|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{14}}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Thể tích chóp tứ giác

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Xác định số cực trị của hàm số

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 20: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Xét hai câu sau:

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

    Trong hai câu trên:

    Các câu đúng là :

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm phần thực và phần ảo

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm số phức z

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm số phức z

    Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 - 3i = 3 - 2i

     Ta có z + 2 - 3i = 3 - 2i \Leftrightarrow z = 3 - 2i - 2 + 3i = 1 + i

  • Câu 24: Vận dụng

    Phương trình biểu diễn các số phức z

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2 là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {xi - y - 2 - i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 4

  • Câu 25: Thông hiểu

    PT Mặt phẳng trung trực

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).

    Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: I\left( {2, - 1,4} ight)

    Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận \vec{AB} làm 1 VTPT. Ta có VTPT của \left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Tính thể tích V

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính giá trị

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 28: Vận dụng

    Tính giá trị P

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Chọn kết quả đúng

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

    Suy ra elip: \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{12,5^{2}} = 1. Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

    \Rightarrow V = \left| \pi\int_{- 14}^{14}{12,5^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} ight)dx} ight| = \frac{8750\pi}{3}

    Số tiền thu được là:

    20000.\frac{8750\pi}{3} \approx 183259 \approx 183000 đồng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Mô đun số phức

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 31: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tìm H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}?

    Ta có : H = \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C

  • Câu 32: Vận dụng

    Xác định họ các nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

    Họ các nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} trên khoảng \left( { - 1; + \infty } ight)

     f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C

  • Câu 33: Nhận biết

    Xác định hàm số theo yêu cầu

    Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + \sin(2x + 1)?

    Ta có:

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - \cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 2sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - 2cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 4sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x - \sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x + \sin(2x + 1).

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + \sin(2x + 1).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x} trên ( - \infty;0) thỏa mãn F( - 2) = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)

    Lại có F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2

    Do đó F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)

    Vậy F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Xác định họ nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} \right)e^{- x} là

    Ta có f(x) = \left( - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} ight)e^{- x} = \left\lbrack \left( \frac{1}{x} ight)' - \frac{1}{x} ightbrack e^{- x}

    \Rightarrow F(x) = \frac{e^{- x}}{x} + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính tích phân I

    Giả sử \int_{- 1}^{1}{f(t)dt} = 5 và \int_{- 1}^{3}{f(r)dr} = 6. Tính I = \int_{1}^{3}{f(u)du}

    Ta có: I = \int_{1}^{3}{f(u)du} = \int_{- 1}^{3}{f(u)du} - \int_{- 1}^{1}{f(u)du} = 6 - 5 = 1

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức A

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

     Ta có L = \frac{{1 - {{({z^3})}^{673}}}}{{1 - {z^3}}} = \frac{{1 - {{( - 1)}^{673}}}}{{1 - ( - 1)}} = 1

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm số phức?

    Số phức z = 1 + i + {\left( {1 + i} ight)^2} + {\left( {1 + i} ight)^3} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{20}} là số phức nào sau đây?

     z = \left( {1 + i} ight)\frac{{1 - {{\left( {1 + i} ight)}^{20}}}}{{1 - \left( {1 + i} ight)}} = - 1025 + 1025i

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm phần ảo của số phức

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 40: Vận dụng

    Tìm mặt phẳng (P) thỏa mãn điều kiện cho trước

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng(P) qua Mcắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là:

    +) Mặt phẳng(P) cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C nên 

    A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)(a,b,c > 0).

    Phương trình mặt phẳng (P)\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    +) Mặt phẳng(P) qua M nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1.

    Ta có 1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}} \Leftrightarrow abc \geq 162

    +) Thể tích khối tứ diện OABC bằng V = \frac{1}{6}abc \geq 27.

    Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi \frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} suy ra a = 3,b = 6,c = 9.

    Phương trình mặt phẳng(P)\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 hay 6x + 3y + 2z - 18 = 0.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Tính giá trị lớn nhất của T

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} và hai điểmA(1;2; - 5), B( - 1;0;2). Biết điểm M thuộc \Delta sao cho biểu thức |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất T_{\max}. Khi đó T_{\max} bằng bao nhiêu?

    Cách 1. Khảo sát hàm số.

    Lấy điểm M(x;x + 1;x) \in \Delta, ta có: MA = \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} và MB = \sqrt{3x^{2} + 6}.

    Xét hàm số f(x) = MA - MB = \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} - \sqrt{3x^{2} + 6}, tính đạo hàm:

    f^{'(x)} = \frac{3x + 3}{\sqrt{3x^{2} + 6x + 27}} - \frac{3x}{\sqrt{3x^{2} + 6}};f^{'(x)} = 0

    \Leftrightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{3x^{2} + 6x + 27}} = \frac{x}{\sqrt{3x^{2} + 6}}.

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Suy ra T_{\max} = 3.

    (Có thể vào MENU 8 để tìm min, max của f(x)).

    Cách 2. Bất đẳng thức.

    Ta viết lại MA và áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:

    MA = \sqrt{\left( \sqrt{3}x + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{6} + \sqrt{6} \right)^{2}}

    \leq \sqrt{\left( \sqrt{3}x \right)^{2} + \left( \sqrt{6} \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{6} \right)^{2}} = MB + 3

    Suy ra MA - MB \leq 3. Đẳng thức có khi \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \Leftrightarrow x = 1.

    Cách 3. Tổng quát.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + y + z)^{2}}{3} CALC (nhập bộ khi thay A vào tử \Delta) 1 = 1 = - 5 = kết quả {d_{a}}^{2} = 24, CALC (thay B vào tử \Delta) - 1 = - 1 = 2 = kết quả {d_{b}}^{2} = 6.

    Từ đó tỉ số: t = d_{a}/d_{b} = 2\sqrt{6}/\sqrt{6} = 2.

    Tìm tọa độ hình chiếu H, K của A, B trên \Delta.

    Sửa lại \frac{(x + y + z)}{3} bấm = STO B, bấm 🞁 CALC nhập lại 1 = 1 = - 5 = \ = STO A.

    Tọa độ điểm M thỏa mãn \overrightarrow{MH} - 2\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} - 2\overrightarrow{OK}}{1 - 2}. Đến đây ta ghi:

    \frac{A - 2B}{1 - 2}:\frac{A + 1 - 2(B + 1)}{1 - 2} bấm = = ta có x_{M} = 1, y_{M} = 2 nên tọa độ M(1;2;1).

    Suy ra \max T = |MA - MB| = 6 - 3 = 3.

  • Câu 42: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 43: Thông hiểu

    Phần thực và phần ảo của số phức

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 44: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{5x - 2}.

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}

    = \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm tọa độ vecto

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A thỏa \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k} và B(2;1;4). Tọa độ của vectơ \overrightarrow{BA} là

    Ta có:

    \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k} \Rightarrow A(2; - 3;4)

    Suy ra \overrightarrow{BA} = (2 - 2; - 3 - 1;4 - 4) = (0; - 4;0) 

  • Câu 46: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 47: Nhận biết

    Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; - 1).

  • Câu 48: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} có tọa độ là:

    A(2;3;3) đi qua điểm \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1) và có vectơ chỉ phương \Delta

  • Câu 49: Nhận biết

    Thực hiện tính tích phân I 

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 50: Vận dụng

    Tính bán kính R của đường tròn

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
66 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này