Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với đề Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng

    Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Mô đun số phức

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn công thức thích hợp với hình vẽ

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^{3} -x là

    Ta có: \int_{}^{}{(x^{3} - x)dx =\frac{x^{4}}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + C

  • Câu 5: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 6: Vận dụng

    Chọn khẳng định trong các khẳng định dưới đây

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + i} ight| = 2. Chọn phát biểu đúng:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \left| {z - 1 + i} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} ight) + \left( {y + 1} ight)i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = 4

  • Câu 7: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha)đi qua A(2; - 1;4), B(3;2; - 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + 2z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (\alpha) là:

    Phương pháp tự luận

    \overrightarrow{AB} = (1;3; - 5), \overrightarrow{n_{Q}} = (1;1;2)

    Mặt phẳng (\alpha) đi qua A(2; - 1;4) và có vectơ pháp tuyến \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack = ( - 10; - 6;8) = - 2(5;3; - 4) có phương trình: 5x + 3y - 4z + 9 = 0.

    Vậy 5x + 3y - 4z + 9 = 0.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Do (\alpha)\bot(Q) \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0, kiểm tra mp (\alpha)nào có \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính tổng T

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm phức của phương trình 2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0. Tổng T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight|  bằng:

     Ta có:  2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 1} ight)\left( {{z^2} - 2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {z + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \sqrt 2 } ight)\left( {z + \sqrt 2 } ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_3} = \sqrt 2 \\{z_4} = - \sqrt 2 \end{array} ight.

    T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight| = 3\sqrt 2

  • Câu 9: Vận dụng

    Chọn phương án đúng nhất

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm F(x)

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 11: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d':\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}. Phương trình đường thẳng  \Delta  đi qua điểm A(2;-1;-3) vuông góc với trục Oz và d là

    Oz có vectơ chỉ phương \overrightarrow k = \left( {0;0;1} ight)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; - 2} ight)

     \Delta  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {{a_d}} } ight] = \left( { - 1;2;0} ight)

    Vậy phương của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 + 2t \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Vận dụng

    Chọn một nguyên hàm đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{cos^{2}x} là :

    Ta có: I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{cos^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \tan x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó:

    I = uv - \int_{}^{}{vdu} = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x \right| + C

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = - 3x^{2} +2x - 1 bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm nghiệm?

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 15: Thông hiểu

    Phần thực và phần ảo của số phức

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Chọn đáp án chính xác

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tính số phức z

    Tính số phức sau: z = (1+i)15

    Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i => (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

    z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

  • Câu 20: Nhận biết

    Khẳng định đúng?

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Tính tỉ số hai cạnh

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} bằng

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Phương trình Parabol có dạng y = a.x^{2} (P).

    (P) đi qua điểm có tọa độ ( - 6; - 18) suy ra: - 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}.

    Từ hình vẽ ta có: \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}.

    Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2} là

    S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2} là

    S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}

    Từ giả thiết suy ra S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

    Vậy \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Phần thực của số phức

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 23: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;1) và vectơ \overrightarrow{n} = (1;3;4). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 1;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}.

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

    (x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Cho số phức z thỏa mãn z + \frac{{2{{\left( {2 - i} ight)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} ight)^5} = 422 + 1088i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Gọi z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} tìm được z = 1 - 2i.

    Tính mô đun ta được  \left| z ight| = \sqrt 5.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right) là:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}

    = 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm phần ảo của số phức

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đếm số nghiệm

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

     Ta có: z^3 – 27 = 0 \Leftrightarrow (z – 1) (z^2 + 3z + 9) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính chia

    Cho z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 31: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Vận dụng cao

    Tìm chu vi nhỏ nhất của tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P):2y - z = 0. Tìm điểm C thuộc (P), điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. Giá trị chu vi tam giác ABC bé nhất là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của A lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được H(1;2;4),K(1;4;0).

    Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với A qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).

    Khi đó ta có AB = NB,CA = CM nên AB + BC + CA = NB + BC + CM \geq MN = 2KH = 4\sqrt{5}

    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} có giá trị là:

    Xét tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} 

    Ta có:I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} = ... = \int_{\frac{\pi^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\pi^{2}}{4} + 1}{\frac{1}{t}dt}

    = \ln\left( \frac{\pi^{2}}{4} + 1 ight) - \ln\left( \frac{\pi^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} ight), với t = x^{2} + \sin x.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 35: Vận dụng

    Giá trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm x, y thỏa mãn điều kiện

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 38: Thông hiểu

    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; - 2 ; 1), B(0; 1 ;2). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là

    Ta có: M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\ ;\ 0); \overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\ - 1).

    Để A, B, M thẳng hàng thì \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AM} cùng phương , khi đó :

    \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight. .

    Vậy M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0).

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 41: Nhận biết

    Tìm số phức z

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 42: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tính thể tích

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=AD=2. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

    1

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=AD=2. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

    1

    Diện tích hình thang ABCD là

    {S_{ABCD}} = \left( {\frac{{AD + BC}}{2}} ight).AB = \frac{3}{2}

    Chiều cao khối chóp là SA=2.

    Vậy thể tích khối chóp  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 1

  • Câu 44: Nhận biết

    Phương trình tổng quát

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) qua điểm B (3, 4, -5) và có cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)  là:

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight) có thể thay thế bởi \overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)

    Phương trình  (\alpha) có dạng x + 4y + 7z + D = 0

    B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16

    Vậy (\alpha): x + 4y +7z +16 = 0

  • Câu 45: Nhận biết

    Thực hiện tính tích phân I 

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 46: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) \right) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) \right) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) \right) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 47: Thông hiểu

    Tìm câu sai

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}. Xác định kết luận sai?

    Nhận thấy \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) và \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) chỉ khác nhau về hệ số \frac{1}{2} và \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} ight).\frac{1}{4}

    Ta có \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} - \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} ight)

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a} ight|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight)

  • Câu 48: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 49: Nhận biết

    Giá trị của số phức z

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 50: Nhận biết

    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là

    Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i} = (1;0;0) nên có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
72 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này