Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : 2x + y = 0.

  • Câu 3: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) \right) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) \right) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) \right) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 4: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}

    = \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}

    = \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C

    Áp dụng vào bài ta chọn I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho f(x) = 1 + |x|. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa F(1) = 1 là:

    Ta có: f(x) = 1 + |x| = \left\lbrack \begin{matrix} 1 + x;x \geq 0 \\ 1 - x;x < 0 \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{x^{2}}{2} + C_{1};x \geq 0 \\ x - \frac{x^{2}}{2} + C_{2};x < 0 \\ \end{matrix} \right. mặt khác F(1) = 1

    \Leftrightarrow 1 + \frac{1^{2}}{2} + C_{1} = 1(x = 1 > 0) \Leftrightarrow C_{1} = - \frac{1}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\{ \begin{gathered} x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt có phương trình là x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{p} = (1;0; - 4) và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{r} = (0;1;0)

    Do \overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R} nên vectơ \overrightarrow{p} không cùng phương với vectơ \overrightarrow{r}.

    Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 4; - 1;3),B( - 1; - 2; - 1),C(3;2; - 3) và D(0; - 3; - 5). Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua D và tổng khoảng cách từ A;B;C đến (\alpha) lớn nhất, đồng thời ba điểm A;B;C nằm cùng phía so với (\alpha). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng (\alpha).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi E là trung điểm BC, F là điểm đối xứng với D qua E và M là trung điểm AF.

    Ta có E(1;0; - 2),F(2;3;1),M( - 1;1;2).

    Gọi A',B',C',E',F',M' tương ứng là hình chiếu của A,B,C,E,F,M lên mặt phẳng (\alpha).

    Ta có: d\left( A,(\alpha) ight) + d\left( B,(\alpha) ight) + d\left( C,(\alpha) ight) = AA' + BB' + CC'

    = AA' + 2EE' = AA' + FF' = 2MM' \leq 2MD

    Do đó (\alpha)\bot MD.

    Mà \overrightarrow{MD} = (1; - 4; - 7) nên phương trình (\alpha):x - 4y - 7z - 47 = 0.

  • Câu 8: Vận dụng

    Độ dài đường sinh

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 5;3brack và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}. Xác định tích phân I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}?

    Ta có: I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 11: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1; - 3) và B( - 2;2;1). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm Q

    Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1). Xét điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình hành. Tọa độ Q là

    Gọi Q(x;y;z). Ta có \overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).

    Tứ giác MNPQ là một hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .

    Vậy, Q( - 2;1;3).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}

    = \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}

    = \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C

    Áp dụng vào bài ta chọn I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính bán kính đáy

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính tích phân

    Tích phân \int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}

    = \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}

  • Câu 18: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 19: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm N( 3;-2; 6) và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

    Ta có: \overrightarrow{u_{Ox}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Vì\ (P)\bot Ox\ nên\ \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0).

    Phương trình mặt phẳng đi qua N(3; - 2;6) và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

    x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.

  • Câu 20: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Xét hai câu sau:

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

    Trong hai câu trên:

    Các câu đúng là :

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

  • Câu 21: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là:

    Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: z = 0

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = - 3x^{2} +2x - 1 bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'} bằng:

    Theo quy tắc hình hộp ta có \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - z + 1 = 0. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng (P) qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) là?

    Gọi M(x,y,z) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P).

    Điểm M'( - x,y, - z) là điểm đối xứng của Mqua trục tung \Rightarrow (Q): - x + 2y + z + 1 = 0 là mặt phẳng đi qua M' và là mặt phẳng đối xứng của(P)

    Vậy x - 2y - z - 1 = 0.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm B

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với A( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3),C(2\ ;\ 3;\ 5),B'(2\ ;\ 4\ ;\ - 1),D'(0\ ;\ 2\ ;1). Tìm tọa độ điểm B.

    Gọi B(x\ ;\ y\ ;\ z) là điểm cần tìm.

    Gọi I và I' lần lượt là trung điểm AC và B'D'

    \Rightarrow I(0\ ;\ 2\ ;\ 4) và I'(1\ ;\ 3\ ;\ 0).

    \overrightarrow{I'I} = ( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 4);\overrightarrow{B'B} = (x - 2\ ;\ y - 4\ ;\ z + 1)

    Ta có: \overrightarrow{B'B} = \overrightarrow{I'I} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = - 1 \\ y - 4 = - 1 \\ z + 1 = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy B(1\ ;\ 3\ ;\ 3).

  • Câu 27: Vận dụng

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} là

    Phân tích

    Ta có:

    \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}

    = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}

    Khi đó (A + B)x - 2A - B = 4x - 3, đồng nhất hệ số thì ta được

    \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Giải chi tiết

    Ta có \int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}

    = - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C

    = 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C

    Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

    \int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C

  • Câu 28: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số y = f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}\ \ dx. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx = - \cos x + C. Đúng||Sai

    c) \int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \cos x - \sqrt{3}\sin x + C. Sai||Đúng

    d) \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \frac{a + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{2} với a,b,c\mathbb{\in Z}. Khi đó a + b + c = 10. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}\ \ dx. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx = - \cos x + C. Đúng||Sai

    c) \int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \cos x - \sqrt{3}\sin x + C. Sai||Đúng

    d) \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \frac{a + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{2} với a,b,c\mathbb{\in Z}. Khi đó a + b + c = 10. Đúng||Sai

    Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

    a) \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\sin x}dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}dx suy ra mệnh đề đúng.

    b) \int_{}^{}{\sin x}dx = - \cos x + C suy ra mệnh đề đúng.

    c) \int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}dx = \sqrt{3}\sin x - \cos x + C suy ra mệnh đề sai.

    d) \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \left. \ \left( \sqrt{3}\sin x - \cos x \right) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = \left( \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{3} \right) - \left( \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} \right)

    = 1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}

    Khi đóa = 2,b = 2,c = 6 \Rightarrow a + b + c = 10, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right) với x > 0.

    Ta có

    f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)

    = x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x

    = \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx} có giá trị là:

    Đặt u = x + \sqrt{x^{2} + 9} \Rightarrow du = \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} ight)dx

    = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 9}}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx = \frac{udx}{\sqrt{x^{2} + 9}} \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +9}}

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = 3 \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{3}^{3 + 3\sqrt{2}}\frac{du}{u} = \left. \ \left( \ln|u| ight) ight|_{3}^{3 + 3\sqrt{2}} = \ln\left( 1 + \sqrt{2} ight).

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx?

    Đặt: T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}

    \Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}

    = \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)

    Mặt khác:

    I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}} = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)

    Từ (1);(2) ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{3x - 7}{x + 2}

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{3x - 7}{x + 2}dx = \int_{}^{}{\frac{3(x + 2) - 13}{x + 2}dx}}}

    = \int_{}^{}{\left( 3 - \frac{13}{x + 2} ight)dx = \int_{}^{}{3dx - 13\int_{}^{}\frac{d(x + 2)}{x + 2}}}

    = 3x - 13ln|x + 2| + C

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính vận tốc chuyển động

    Cho một vật chuyển động có phương trình là: s = 2t^{3} - \frac{2}{t} + 3 (t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng t = 2s là:

    Ta có v = s' = 6t^{2} + \frac{2}{t^{2}}

    Với t = 2 \Rightarrow v = 6.2^{2} + \frac{2}{2^{2}} = \frac{49}{2}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Chọn đáp án chính xác

    Biết rằng A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx. Xác định T = 4B - 2A?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó:\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} có gái trị là:

    Xét tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}

    Ta nhận thấy: \left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Xác định tọa độ vector

    Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

    Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

    S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).

    Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tìm k để các điểm đồng phẳng

    Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho \overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}. Hãy xác định k để M,N,P,Q đồng phẳng.

    Hình vẽ minh họa

    Cách 1.

    Ta có \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}

    \Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}.

    Lại có \overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} do đó MN//AC.

    Vậy nếu M,N,P,Q đồng phẳng thì (MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC

    \Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1 hay \overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}.

    Cách 2. Đặt \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c} thì không khó khăn ta có các biểu diễn

    \overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}, \overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}

    Các điểm M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ} đồng phẳng \Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}

    \Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)

    Do các vec tơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c} không đồng phẳng nên điều này tương đương với

    \left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{5x - 2}.

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}

    = \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
16 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này