Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Xác định khẳng định chính xác nhất

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

    Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cot^{2}x là :

    Ta có: \int_{}^{}{cot^{2}xdx = \int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x + C}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} bằng.

    Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

    \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}

    = \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)

    = 4\overrightarrow{SO}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính góc giữa hai vectơ

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    Vì \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Diện tích xung quanh

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 6: Thông hiểu

    Xác định tọa độ trọng tâm tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}, điểm B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1) và điểm C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1). Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

    Từ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow A(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ trọng tâm (2\ ;\ - 2\ ;\ 1).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C}. Khi đó \int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{dx}} bằng:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C} \Rightarrow f(x) = 2x - 1

    \Rightarrow f\left( x^{2} \right) = 2\left( x^{2} \right) - 1 = 2x^{2} - 1

    \int {f\left( {{x^2}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - x + C

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A,B,C,D, như hình vẽ.

    Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB = 25\ m, AD = 15\ m, BC = 18\ m. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cmtương ứng. Giá trị của a là số nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O \equiv A, tia Ox \equiv AD; tia Oy \equiv AB.

    Khi đó, A(0;\ 0;\ 0); B(0;\ 2500;\ 0); C(1800;\ 2500;\ 0);D(1500;\ 0;\ 0).

    Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cm tương ứng ta có các điểm mới B'(0\ ;\ 2500\ ;\ - 10); C'(1800\ ;\ 2500\ ;\ - a);D'(1500\ ;\ 0\ ;\ - 6).

    Theo bài ra có bốn điểm A; B'; C'; D' đồng phẳng.

    Phương trình mặt phẳng (AB'D'):x + y + 250z = 0.

    Do C'(1800\ ;\ \ 2500\ ;\ - a) \in (AB'D') nên có:

    1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2.

    Vậy a = 17,2\ cm.

  • Câu 9: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Cho A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0. Khi đó:

    Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

    Vì {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)} nên (Q)//(P).

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm F(x)của f(x) = 3x^{2} + 1 thỏa F(1) = 0 là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = x^{3} + x + C = F(x)mà F(1) = 0 khi đó:

    1^{3} + 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 2

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = x^{3} + x - 2

  • Câu 11: Vận dụng

    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm vận tốc của xe đạp B

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính vận tốc của vật

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) =3t^{2} + t(m/s). Vận tốc ban đầu của vật là 2(m/s). Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =\int_{}^{}{\left( 3t^{2} + t ight)dt} = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} =2 nên v_{(t = 0)} = 2 \Rightarrow C= 2

    Suy ra v(t) = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +2

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là v(2) = 12(m/s).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2 + 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x)

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 15: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay

    Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt {\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} ;y = 0;x = 1, khi xoay quanh trục Ox.

     Phương trình hoành độ giao điểm là: x\sqrt {\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tìm ta có: V= \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {1 + {x^3}} ight)dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln \left( {1 + {x^3}} ight)} \\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{{3{x^2}}}{{1 + {x^3}}}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^3} + 1}}{3}} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} \Rightarrow V = \pi \left\{ {\left[ {\dfrac{{{x^3} + 1}}{3}\ln \left( {1 + {x^3}} ight)} ight]_0^1 - \int\limits_0^1 {{x^2}dx} } ight\} \hfill \\ \Rightarrow V = \pi \left( {\dfrac{{2\ln 2}}{3} - \dfrac{1}{3}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tọa độ giao điểm

    Cho ba điểm  A\left( {2, - 1,1} ight);\,\,B\left( {3, - 2, - 1} ight);\,\,\,C\left( {1,3,4} ight). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (yOz)

    Gọi M\left( {0,y,z} ight)  là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (yOz).

    Ta có \overrightarrow {AM} = \left( { - 2,y + 1,z - 1} ight) và \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 2} ight) cùng phương.

    \Rightarrow \frac{{ - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow x = 0;y = 1;z = 5 \Rightarrow M\left( {0,1,5} ight)

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Biết rằng vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;0) và \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}. Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 19: Nhận biết

    Độ dài đường sinh

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

    Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x+ \frac{1}{\sin^2x} thỏa mãn F(\frac{\pi}{4}) = - 1 là:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( 2x +\frac{1}{sin^{2}x} \right)dx = x^2- \cot x} + C

    F\left( \frac{\pi}{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \cot\frac{\pi}{4} + C = - 1

    \Leftrightarrow C = \frac{\pi^{2}}{16}

    Vậy F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định các hệ số a, b, c, d

    Tìm a, b, c, d để F(x) = \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d \right)e^{x} là một nguyên hàm của f(x) = \left( 2x^{3} + 9x^{2} - 2x + 5 \right)e^{x}.

    Ta có F'(x) = \left( 3ax^{2} + 2bx + c ight)e^{x} + \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d ight)e^{x}

    = \left\lbrack ax^{3} + (3a + b)x^{2} + (2b + c)x + (c + d) ightbrack e^{x}

    F'(x) = f(x),\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ 3a + b = 9 \\ 2b + c = - 2 \\ c + d = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ c = - 8 \\ d = 13 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx} có giá trị bằng

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}

    Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Mệnh đề sai \left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; - 4;2),B(1;2;4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A(5; - 4;2) và vuông góc với đường thẳng AB.

    Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 4;6;2)

    Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:

    - 4(x - 5) + 6(y + 4) + 2(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0

  • Câu 26: Nhận biết

    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm giá trị tích phân

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 28: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết rằng I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} \right)dx} = \frac{a}{6} + b\sqrt{2}. Giá trị của a - \frac{3}{4}b là:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} ight) ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{6} + \frac{4\sqrt{2}}{3}

    \Rightarrow a = - 1,b = \frac{4}{3} \Rightarrow a - \frac{3}{4}b = - 2

    Đáp án đúng là -2.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số f(x) = x^{2} + ax + b, biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

    a) Khi a = b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C. Đúng||Sai

    b) Khi a = 1,\ \ b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C. Đúng||Sai

    c) Khi a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0 thì có 3giá trị của x để F(x) = 0. Sai||Đúng

    d) Nếu F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0thì a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{2} + ax + b, biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

    a) Khi a = b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C. Đúng||Sai

    b) Khi a = 1,\ \ b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C. Đúng||Sai

    c) Khi a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0 thì có 3giá trị của x để F(x) = 0. Sai||Đúng

    d) Nếu F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0thì a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}. Sai||Đúng

    Ta có F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{ax^{2}}{2} + bx + C

    a) ĐÚNG.

    Vì khi a = b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C

    b) ĐÚNG.

    Vì khi a = 1,\ \ b = 0 thì F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C

    c) SAI

    Do khi a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0 ta được F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0

    d) SAI

    VớiF(1) = 2,\ \ F( - 1) = 1,\ \ F(0) = 0 ta được hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{2} + b + c = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{2} + b + c = \frac{4}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{2}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.

    Vậy a^{2} + b^{2} = \frac{40}{9}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tìm hệ thức đúng?

    Cho khối tứ diện ABCD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BD.

    Tìm hệ thức đúng:

    Tìm hệ thức đúng 

    Theo đề bài, ta xét khối tứ diện ABCD, có:

    \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AG}               (1)

    \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CQ}               (2)

    Cộng từng vế của (1) cho (2), ta được:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AG} \\ + \\\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CQ} \\\overline {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = 2\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {CQ} } ight)} \end{array}

    Mà  2\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {CQ} } ight) = 2\left( {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PQ} } ight)

                                     = 2\left( {2\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {CP} } ight) = 4\overrightarrow {PQ}

    Như vậy, \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = 4\overrightarrow {PQ}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 33: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), tính giá trị nhỏ nhất của 2MA^{2} + 3MB^{2} ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), tính giá trị nhỏ nhất của 2MA^{2} + 3MB^{2} ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 34: Vận dụng

    Diện tích thiết diện

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} ?

    Ta có f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}

    = \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}

    \Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Độ dài đường chéo

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 37: Nhận biết

    Xác định họ nguyên hàm của f(x)

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \sin x + \cos x thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2.

    Ta có

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sin x + \cos x ight)dx = \sin x - \cos x + C}.

    Do F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2 nên \sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2} + C = 2

    \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1.

    Vậy hàm số cần tìm là F(x) = \sin x - \cos x + 1.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tỉ số diện tích

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 39: Nhận biết

    Phương trình tổng quát

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) qua điểm B (3, 4, -5) và có cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)  là:

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight) có thể thay thế bởi \overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)

    Phương trình  (\alpha) có dạng x + 4y + 7z + D = 0

    B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16

    Vậy (\alpha): x + 4y +7z +16 = 0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Lập phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
26 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này