Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Nguyên hàm của hàm số
?
Nhận thấy là nghiệm bội ba của phương trình
, do đó ta biến đổi:
Từ đây ta có
Ta có
Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 nha!
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Nguyên hàm của hàm số
?
Nhận thấy là nghiệm bội ba của phương trình
, do đó ta biến đổi:
Từ đây ta có
Ta có
Diện tích xung quanh
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Quãng đường di chuyển của vật trong 4 giây
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn:
Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Tìm m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm giá trị tham số
để
?
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Tính giá trị của biểu thức M
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Tìm nguyên hàm của hàm số
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Tính tang của góc
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số
và đồ thị
của hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Tính giá trị của biểu thức
Biết hàm số
có nguyên hàm là
với
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Mà
Tìm câu sai
Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
Đáp án sai:
Tỉ số giữa thể tích
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Chọn đáp án đúng
Cho
, góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
, với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
.
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có: . Để (P) ⊥ (Q)
Chọn khẳng định đúng
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
Ta có:
Khi đó:
Phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
là:
Vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
có thể thay thế bởi
Phương trình có dạng
Vậy
Tìm thể tích V của vật thể
Tính thể tích
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
và
biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là
và
.
Ta có diện tích thiết diện: .
Khi đó .
Tính đường cao
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Chọn đáp án đúng
Hãy xác định hàm số
từ đẳng thức: ![]()
Ta có:
Vậy .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Xác định công thức hàm số
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số
liên tục trên
, có đồ thị hàm số
như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì là diện tích hình thang cong
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm
?
Đặt với
Ta có :
Tính giá trị của biểu thức
Biết
, với
. Tính giá trị 
Ta có:
Khi đó
Chọn phương án thích hợp
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Tính thể tích V
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng
. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay do hình phẳng
quay quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Thể tích cần tính là:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Chọn kết luận đúng
Tích phân
được phân tích thành:
Ta có: .
Đáp án đúng là .
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện
Trong không gian
, cho
,
. Tìm tọa độ điểm
thuộc trục tung sao cho
nhỏ nhất.
Khi đó:
.
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục tung.
Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với trục tung là
hay
.
Phương trình tham số của trục tung là .
Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm
của hệ phương trình:
.
Vậy .
Tính diện tích S
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và hai đường thẳng
là
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó:
Chọn khẳng định đúng
Giả sử hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Khẳng định nào sau đây đúng.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm của
trên
thì tồn tại một hằng số
sao cho
với
thuộc
.”
Độ dài đường sinh
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Tính tích vô hướng hai vectơ
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên
Suy ra
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
a) Ta có:
Chọn .
Khi đó, phương trình
Do đó, a đúng
b) Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của MN và là nghiệm của phương trình
Ta có
Điểm gặp đầu tiên là
Do đó, b sai
c)
Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1000 km nên khoảng cách
Do đó, c đúng
d)
(phút)
Do đó, d đúng
Tìm tọa độ M
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: