Phép chia số phức
Bài học Lí thuyết toán 12: Phép chia số phức đã đưa ra các công thức tổng và tích của 2 số phức liên hợp và quy tắc thực hiện phép chia hai số phức. Bên cạnh đó, trong bài học này đã kèm theo những ví dụ bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12.
1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
- Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
- Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó.
Tổng quát:
Cho số phức 
\(z=a+bi\), ta có:
\(z+\overline z=(a+bi)+(a-bi)=2a\)
\(z. \overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2=|z|^2\)
Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.
Ví dụ: Cho \(z=1-3i\), ta có
\(z.\overline z=1^2+(-3)^2=10\)
\(z+ \overline z = 2.1=2\)
2. Phép chia hai số phức
2.1. Số phức nghịch đảo
Cho số phức \(z=a+bi , z\neq 0\), ta có số phức nghịch đảo của \(z\) là \(\frac{1}{z}\) và được xác định như sau:
\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \overline z\)
Ví dụ:
a) Số phức nghịch đảo của \(z=1+2i\) là \(\frac{1}{1+2i}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\)
b) Số phức nghịch đảo của \(z=\sqrt 2 -7i\) là \(\frac{1}{\sqrt 2 -7i}=\frac{\sqrt 2}{51}+\frac{7}{51}i\)
2.2. Phép chia số phức
Cho hai số phức \(z=a+bi\) và \(z'=c+di\) thì:
\(\frac{{{z}}}{{{z'}}} = \frac{{{z}.\overline {{z'}} }}{{{{\left| {{z'}} \right|}^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}} \cdot i\) (với \(z' \neq 0\))
Nhận xét:
Để tính thương \(\frac{{{z}}}{{{z'}}} = \frac{a+bi}{c+di}\), ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của \(c+di\) là \(c-di\).
Ví dụ:
a) Cho \(z_1=7-17i;\,\, z_2=5-i\). Tìm số phức \(z=\frac{z_1}{z_2}\)?
Giải:
\(z = \frac{z_1}{z_2}= \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} \right)\left( {5 + i} \right)}}{{\left( {5 - i} \right)\left( {5 + i} \right)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i\)
b) Tìm số phức \(z\) biết \(\overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\)
Giải:
\(\begin{array}{l}
\overline z = \dfrac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \dfrac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} - 3i = \dfrac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{5} - 3i = 1 - i\\
\Rightarrow z = 1 + i
\end{array}\)
