Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính tổng

    Hai phương trình 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) và {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất x_1, x_2là . Tổng x_1 + x_2 là?

     Phương trình 1: 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > 0 \hfill \\ 2x + 1 > 0 \hfill \\ 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}{(3x - 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}5{(3x - 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5{(3x - 1)^2} = {(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5(9{x^2} - 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 8{x^3} - 33{x^2} + 36x - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{8} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_1} = 2

    Phương trình 2: {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 8 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 2 \vee x > 4 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 + {\log _2}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = {\log _2}2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 2x - 8 = 2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 4x - 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_2} = 6

    Vậy {x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

  • Câu 3: Nhận biết

    V lăng trụ tam giác

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

     

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + m\ (C). Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

    Ta có y' = 4x^{3} - 4mx. khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \right..

    Hàm số có 3 điểm cực trị \Leftrightarrow y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > 0.

    Các điểm cực trị của đồ thị là A(0;\ m), B\left( \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right), C\left( - \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right)

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m^{4} + m}, BC = 2\sqrt{m}.

    Gọi I là trung điểm BC.

    Suy ra I\left( 0; - m^{2} + m \right) và AI = m^{2}.

    S = \frac{1}{2}AI.BC = \left( \frac{AB + BC + CA}{2} \right).r

    \Leftrightarrow m^{2}.2\sqrt{m} = \left( 2\sqrt{m^{4} + m} + 2\sqrt{m} \right).1

    \Leftrightarrow 2\sqrt{m}\left( m^{2} - \sqrt{m^{3} + 1} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ \sqrt{m^{3} + 1} = m^{2} - 1 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 \geq 0 \\ m^{3} + 1 = m^{4} - 2m^{2} + 1 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |m| \geq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ m = - 1(nhan) \\ m = 2(nhan) \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow m = 2.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Dân số thế giới được tính theo công thức S = A. e \ ^{nr} trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47\% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

    Ta có:

    S = A \cdot e^{nr} \Leftrightarrow e^{nr} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln\frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln\frac{S}{A}

    Với S = 93713700 người; A = 80902400 người; r = \frac{1,47}{100} = 0,0147/năm.

    Suy ra n = \frac{1}{0,0147}\ln\frac{93713000}{80902400} \approx 10.

    Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

  • Câu 6: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \left( 3m^{2} - 12 \right)x^{3} + 3(m - 2)x^{2} - x + 2 nghịch biến trên \mathbb{R} là:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}.

    Ta có: y' = 9\left( m^{2} - 4 ight)x^{2} + 6(m - 2)x - 1.

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}y' \leq 0\forall x\mathbb{\in R}( dấu "=" xảy ra tại hữu hạn x\mathbb{\in R})

    TH1: m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2.

    + Với m = 2 ta có y' = - 1 \leq 0 \forall x\mathbb{\in R} nên m = 2 thỏa mãn.

    + Với m = - 2 ta có y^{'} = - 24x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{24}(không thỏa với mọi x\mathbb{\in R}) nên loại m = - 2.

    TH2: m^{2} - 4 eq 0 \Leftrightarrow m eq \pm 2. Ta có

    y' \leq 0,\forall x\mathbb{\in R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 9\left( m^{2} - 4 ight) < 0 \\ \Delta^{'} = 9(m - 2)^{2} + 9\left( m^{2} - 4 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 < m < 2 \\ 0 \leq m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 0 \leq m < 2\overset{m\mathbb{\in Z}}{ightarrow}m \in \left\{ 0;1 ight\}

    Vậy m \in \left\{ \ 0\ ;\ 1;2 ight\} \Rightarrow 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 5.

  • Câu 7: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu

    Xác định số giá trị nguyên của m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 10;10brack để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 2020 nghịch biến trên khoảng (1;2)?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + 3m \leq 0;\forall x \in (1;2)

    \Leftrightarrow m \leq - x^{2} + 2x;\forall x \in (1;2)

    Xét f(x) = - x^{2} + 2x trên khoảng (1;2) ta có bảng biến thiên:

    Suy ra m \leq 0 mà m \in \lbrack - 10;10brack nên m \in \left\{ - 10; - 9;...; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f'(x) > 0, \forall x \in (0;1).

    Suy ra, hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

  • Câu 11: Vận dụng

    Tính V biết hình chiếu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc 60^0. Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

     

    Gọi M là trung điểm CD, suy ra OM \bot CD nên

    {60^0} = \widehat {\left( {SCD} ight),\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SM,OM} = \widehat {SMO}.

    Tam giác vuông SOM, có SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3.

    Kẻ KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO nên KH \bot \left( {ABCD} ight). 

    Tam giác vuông SOD, ta có \frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}

    = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x)liên tục trên \mathbb{R} có đồ thị hàm số y = f'(x) cho như hình vẽ

    Hàm số g(x) = 2f\left( |x - 1| \right) - x^{2} + 2x + 2020 đồng biến trên khoảng nào?

    Ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm sốy = f'(x) tại các điểm x = - 1;\ \ x = 1;\ \ x = 3 như hình vẽ sau:

    Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có f'(x) > x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 3 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) < x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 1 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight..

    + Trường hợp 1: x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1, khi đó ta có g(x) = 2f(1 - x) - x^{2} + 2x + 2020.

    Ta có g'(x) = - 2f'(1 - x) + 2(1 - x).

    g'(x) > 0 \Leftrightarrow -2f'(1 - x) + 2(1 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(1 - x) < 1 -x\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 1 - x < 1 \\ 1 - x > 3 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 2 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện ta có g'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight..

    + Trường hợp 2: x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1, khi đó ta có g(x) = 2f(x - 1) - x^{2} + 2x + 2020.

    g'(x) = 2f'(x - 1) - 2(x - 1)

    g'(x) > 0 \Leftrightarrow2f'(x - 1) - 2(x - 1) > 0

    \Leftrightarrow f'(x - 1) > x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 < - 1 \\ 1 < x - 1 < 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ 2 < x < 4 \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện ta có g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4.

    Vậy hàm số g(x) = 2f\left( |x - 1| ight) - x^{2} + 2x + 2020 đồng biến trên khoảng (0;1).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng xét dấu f'(x)

    Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0, f'(x) không xác định tại x = - 2;x = 1;x = 2,x = 3.

    Nhưng có 2 giá trị x=-2;x=2 mà qua đó f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty\ ;\ 1), (1\ ;\ + \infty) và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới.

    Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} có duy nhất một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.

    Xét hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}}.

    Điều kiện cần:

    Nếu m \neq \pm 1 thì \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} = \frac{2 + m}{4 - 4m^{2}}

    \Rightarrowđồ thị hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} có tiệm cận ngang là đường thẳng y = \frac{2 + m}{4 - 4m^{2}}.

    Do đó, điều kiện cần để đồ thị hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} không có tiệm cận ngang là \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \end{matrix} \right..

    Điều kiện đủ: Phương trình f^{2}(x) - 4m^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 2m\ \ \ \ \ \ (1) \\ f(x) = - 2m\ \ \ (2) \end{matrix} \right.

    +) Với m = 1, phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = x_{0} > 1.

    \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} = + \infty( - \infty) (do f\left( x_{0} \right) + m = - m = - 1 \neq 0)

    \Rightarrow Đồ thị hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = x_{0}.

    +) Với m = - 1, phương trình (2)vô nghiệm, phương trình (1)có nghiệm duy nhất x = x_{0} > 1.

    \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} = + \infty( - \infty) (do f\left( x_{0} \right) + m = - m = 1 \neq 0)

    \Rightarrowđồ thị hàm số y = g(x) = \frac{f(x) + m}{f^{2}(x) - 4m^{2}} có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = x_{0}.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \end{matrix} \right. thỏa mãn bài toán.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a;b;c;d \in \mathbb{R}} \right). Đồ thị của hàm số y=f(x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3f(x)+4=0 là

    Ta có: 3f(x) + 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = - \frac{4}{3}{\text{ }}\left( * ight)

    (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y = - \frac{4}{3}.

    Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy (*) có 3 nghiệm.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm các giá trị nguyên của m

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m + 5)x đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ta có y' = mx^{2} - 4mx + 3m + 5.

    Với a = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow y' = 5 > 0.

    Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}.

    Với a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0. Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    y' \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ (2m)^{2} - m(3m + 5) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m^{2} - 5m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 0 \leq m \leq 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m \leq 5.

    Vì m \mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính đạo hàm hàm số lũy thừa

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Diện tích xung quanh

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông  SAB có diện tích bằng 4a^2. Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng {30}^\circ. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

     

    Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM\bot AB  và SO\bot AB suy ra AB\bot(SOM)

    Dựng OK\bot SM..

    Theo trên có OK\bot AB nên OK\bot(SAB).

    Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) là \widehat{OSM}={30}^\circ. Tam giác vuông cân SAB có diện tích bằng 4a^2 suy ra \frac{1}{2}SA^2=4a^2\Rightarrow SA=2a\sqrt2

    \Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a..

    Xét tam giác vuông SOM có \cos\widehat{OSM}=\frac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2a=\sqrt3a..

    Cuối cùng OB=\sqrt{SB^2-SO^2}=a\sqrt5.

    Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot a\sqrt5\cdot2a\sqrt2=2a^2\sqrt{10}\pi.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Đặt t

    Cho bất phương trình \frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2}. Nếu đặt t = {\log _3}x thì bất phương trình trở thành: 

     Ta có: \frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - \frac{1}{2}{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \leqslant \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{2\left( {1 + {{\log }_3}x} ight)}} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \geqslant 0

    \Leftrightarrow \frac{{2{{\log }_3}x - 1}}{{1 + {{\log }_3}x}} \geqslant 0

    Hay  \frac{{2t - 1}}{{1 + t}} \geqslant 0.

  • Câu 21: Vận dụng

    Diện tích thiết diện

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3} trên tập xác định của nó là

    Tập xác định của hàm số là: D = ( - \infty;4brack.

    Ta có y' = \frac{- 1}{2\sqrt{4 - x}} < 0,\ \forall x \in D

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên suy ra \min_{( - \infty;4brack}y = \sqrt{3} khi x = 4.

  • Câu 23: Nhận biết

    Diện tích xung quanh

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm m tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} + \left( m^{2} - 2 \right)x + 2m^{2} + 4 cắt các trục tọa độ Ox,Oylần lượt tại A,Bsao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là

    Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B\left( 0\ ;\ 2m^{2} + 4 ight)

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

    x^{3} + \left( m^{2} - 2 ight)x + 2m^{2} + 4 = 0\Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 2x + m^{2} + 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ (x - 1)^{2} + m^{2} + 1 = 0\ \ \ \ (vn) \\ \end{matrix} ight.

    Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A( - 2;0).

    Diện tích tam giác ABC là:

    S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.2.\left( 2m^{2} + 4 ight) = 8 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}.

  • Câu 25: Nhận biết

    Xác định hàm số tương ứng với đồ thị

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a > 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm (2; - 3) nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là y = x^{3} -3x^{2} + 1.

  • Câu 26: Vận dụng

    Giá trị biểu thức S = a + b

    Cho a và b là các số thực thỏa mãn {3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2 và {5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2. Giá trị biểu thức S = a + b là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2

  • Câu 27: Vận dụng

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Có bảng xét dấu của y = f'(x) như hình vẽ.

    Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f\left( log_{2}^{}x \right). Chọn đáp án đúng

    Đk: x > 0

    Ta có g^{'(x)} = \frac{1}{xln2}f^{'\left( log_{2}x \right)};g'(x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} log_{2}x = - 2 \\ log_{2}x = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{1}{4} \\ x = 2 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án ta chọn đáp án 1.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Xét hàm số y = {e^{10x + 2017}} ta có:

    y' = 10.{e^{10x + 2017}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}

    Vậy hàm số y = {e^{10x + 2017}} đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 29: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:  6.2\pi = 12\pi

  • Câu 30: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt phẳng (P):2x + y - z + 5 = 0 và các điểm A(0;0;4),\ B(2;0;0). Phương trình mặt cầu đi qua O,\ A,\ B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

    Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R.

    Phương mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    (S) qua 3 điểm O,\ A,\ B, ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ - 8c + d = - 16 \\ - 4a + d = - 4 \\ \frac{|2a + b - c + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = R \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ c = 2 \\ a = 1 \\ (2 + b - 2 + 5)^{2} = 6\left( 1^{2} + b^{2} + 2^{2} - 0 \right) \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ c = 2 \\ a = 1 \\ 5b^{2} - 10b + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \\ d = 0 \\ \end{matrix} \right.\ .

    Vậy (S): (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vì {\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.} nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm mênh đề Đúng?

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Xét các đáp án, ta có: 

    - A Đúng: Ta chứng minh như sau:

    Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.

    M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)

    Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)

    Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

    - B Sai.

    - C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

    - D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

  • Câu 34: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.

    Chọn khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0 nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho hàm số f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}}. Tính giá trị của biểu thức M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight)

    Với x \in \left[ {0; + \infty } ight) ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 > 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \ln \left( {x + 1} ight) - \ln \left( {x + 4} ight)

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} do đó:

    \begin{matrix} M = f'\left( 0 ight) + f'\left( 3 ight) + f'\left( 6 ight) + ... + f'\left( {2019} ight) \hfill \\ M = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}} ight) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2023}}} ight) \hfill \\ M = 1 - \dfrac{1}{{2023}} = \dfrac{{2022}}{{2023}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Giá trị biểu thức A

    Cho a,b,c > 0. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} A = {\log _a}\left( {{b^2}} ight).{\log _b}\left( {\sqrt {bc} } ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = 2{\log _a}\left( b ight).\dfrac{1}{2}.{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( {bc} ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {{{\log }_b}\left( b ight) + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight).\left[ {1 + {{\log }_b}\left( c ight)} ight] - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( b ight).{\log _b}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) + {\log _a}\left( c ight) - {\log _a}\left( c ight) \hfill \\ A = {\log _a}\left( b ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c dương. Biết A;B;C di động trên các tia Ox;Oy,Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng khi a;b;c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016; 0; 0) tới mặt phẳng (P).

    +) Gọi (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn OA;OB;OC.

    Suy ra (\alpha):x - \frac{a}{2} = 0,(\beta):y - \frac{a}{2} = 0,(\gamma):z - \frac{a}{2} = 0

    +) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCthì I = (\alpha) \cap (\beta) \cap (\gamma).

    Tìm được I\left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} \right)

    +)a + b + c = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 1, do đó I \in (P):x+y + z = 1

    +) d\left( M;(P) \right) = \frac{|2016 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2015}{\sqrt{3}}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}}

    Ta có:

    A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}} = {\log _{{2^{2018}}}}{2^2} - \frac{1}{{1009}} + 2018.\ln e

    = \frac{1}{{1009}} - \frac{1}{{1009}} + 2018 = 2018

  • Câu 39: Thông hiểu

    Thể tích chóp tứ giác

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 40: Vận dụng

    Tổng 2 nghiệm BPT mũ

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

    Đáp án là:

    Gọi x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

    0 || không || Không || Tổng 2 nghiệm bằng 0

     Ta có: {2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} ight)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1}

    \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} ight)}} - {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1}

    Đặt t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \geqslant 2} ight), phương trình trên tương đương với

    8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} (vì t \geqslant 2).

    Từ đó suy ra {2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ {x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

     

    Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.

  • Câu 41: Nhận biết

    Đếm số nghiệm

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {x^3} + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset

    Vậy số nghiệm của PT là 0.

  • Câu 42: Nhận biết

    Hình nào không phải khối đa diện lồi

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Xét tính đúng sai của các kết luận

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 3;3brack và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây.

    Biết f(1) = 6 và g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2}.

    a) [NB] g(1) = 4 Đúng||Sai

    b) [TH] g'(x) = f'(x) - (x + 1). Đúng||Sai

    c) [TH] Phương trình g'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    d) [VD, VDC] Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2} trên đoạn \lbrack - 3;3brack là một số dương. Sai|||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 3;3brack và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây.

    Biết f(1) = 6 và g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2}.

    a) [NB] g(1) = 4 Đúng||Sai

    b) [TH] g'(x) = f'(x) - (x + 1). Đúng||Sai

    c) [TH] Phương trình g'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    d) [VD, VDC] Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2} trên đoạn \lbrack - 3;3brack là một số dương. Sai|||Đúng

    a) [NB] g(1) = 4

    Ta có g(1) = f(1) - \frac{(1 + 1)^{2}}{2} = f(1) - 2 = 4 \Rightarrow Khẳng định đúng

    b) [TH] g'(x) = f'(x) - (x + 1).

    g'(x) = f'(x) - (x + 1) \Rightarrow Khẳng định đúng

    c) [TH] Phương trình g'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

    Từ đồ thị hàm số y = f'(x) và y = x + 1 ta có g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Khẳng định đúng.

    d) [VD, VDC] Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2} trên đoạn \lbrack - 3;3brack là một số dương.

    Qua đồ thị hình lưới

    Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f'(x);\ y = x + 1;\ x = - 3;x = 1 có diện tích S_{1} > 4 \Leftrightarrow \int_{- 3}^{1}{\left| f'(x) - (x + 1) ight|dx > 4 \Leftrightarrow \int_{- 3}^{1}{\left| g'(x) ight|dx > 4}}\

    \Leftrightarrow g(1) - g( - 3) > 4 \Rightarrow g( - 3) < g(1) - 4 = 0

    Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f'(x);\ y = x + 1;\ x = 1;x = 3 có diện tích S_{2} < 4

    \Leftrightarrow \int_{1}^{3}{\left| f'(x) - (x + 1) ight|dx < 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{3}{\left| g'(x) ight|dx < 4}}

    \Leftrightarrow - g(3) + g(1) < 4 \Rightarrow g(3) > g(1) - 4 = 0.

    Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm y = g(x) trên \lbrack - 3;3brack

    Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2} trên đoạn \lbrack - 3;3brack là \min_{\lbrack - 3;3brack}g(x) = g( - 3) < 0.\Rightarrow Khẳng định sai.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức

    Chof\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}biết rằng f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}} với m và n là các số nguyên dương và phân số \frac{m}{n} tối giản. Tính giá trị biểu thức m - {n^2}.

    Ta có:

    f\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}

    = {5^{\sqrt {\dfrac{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {x^2} + {{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}

    = {5^{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x + 1} ight)}}}} = {5^{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}}}

    \begin{matrix} f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow {5^{\sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} }} = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow 2021 - \dfrac{1}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4084440}}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4084440} \\ {n = 2021} \end{array}} ight. \Rightarrow m - {n^2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 45: Nhận biết

    Xác định bán kính mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 9 có bán kính bằng:

    Bán kính của mặt cầu (S) là R = \sqrt{9} = 3.

  • Câu 46: Nhận biết

    Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 47: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có: \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

    Và \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 4 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

  • Câu 48: Nhận biết

    Tìm giá trị của n

    Cho 0 < a e 1 và biểu thức \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} viết dưới dạng {a^n}. Giá trị của n là:

    Ta có:

    \sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}

    Vậy n = \frac{2}{3}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết bất phương trình \log_{2}\left( 3^{x}- 3 ight)\log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1 có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị biểu thức a + b bằng:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 3 > 0 \\ 3^{x - 2} - \frac{3}{4} > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1 ight..

    log_{2}\left( 3^{x} - 3ight)log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1

    \Leftrightarrow log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight).\frac{1}{3}\left\lbrack log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) - 2 ightbrack - 1 \leq 0

    Đặt t = log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight)

    Ta có:

    \frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}t^{2} - \frac{2}{3}t - 1 \leq 0

    \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) \leq 3

    \Leftrightarrow \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 \Leftrightarrow log_{3}\frac{7}{2} \leq x \leq log_{3}11

    Suy ra tập nghiệm là S = \left\lbrack log_{3}\frac{7}{2};log_{3}11 ightbrack \Rightarrow a + b = log_{3}\frac{77}{2}.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
16 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này