Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cho các hàm số y = {\log _a}x;{\text{ }}y = {\log _b}x có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số y = {\log _a}x và y = {\log _b}x lần lượt tại A,B,C. Biết rằng CB = 2AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề nào sau đây đúng

    Ta có: A\left( {5;0} ight),B\left( {5;{{\log }_a}5} ight),C\left( {5;{{\log }_b}5} ight)

    Theo bài ra ta có: CB = 2AB

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {\log _b}5 - {\log _a}5 = 2{\log _a}5 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _b}5 = 3{\log _a}5 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _b}5 = \dfrac{1}{3}{\log _5}a \hfill \\ \Leftrightarrow a = {b^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    So sánh P và Q

    Cho P = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} và Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} ight)}^3}} với x và y là các số thực khác 0. So sánh P và Q?

    Ta có: {x^2};{y^2};\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}};\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} là những số thực dương

    Ta lại có:

    \begin{matrix} Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} ight)}^3}} \hfill \\ = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} = P \hfill \\ \Rightarrow P < Q \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng

    Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + (2m + 3)x + 2017 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để x = 1 là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

    Đạo hàm y' = x^{2} - 2(m + 2)x + (2m + 3)

    \ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m + 3 \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số có hai điểm cực trị x_{1},\ x_{2} khi và chỉ khi 2m + 3 eq 1 \Leftrightarrow m eq - 1. (*)

    Gọi A\left( x_{1};y_{1} ight) và B\left( x_2;y_2 ight) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

    Khi đó theo định lí Viet, ta có x_{1} + x_{2} = 2m + 4.

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \frac{2m + 4}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 1: không thỏa mãn (*).

    Nhận xét.

    Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị.

    Tôi cố tình ra giá trị m đúng ngay giá trị loại đi.

    Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: ''x_{0} là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (\Delta > 0) và y''\left( x_{0} ight) = 0''.

  • Câu 4: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 5. Khẳng định nào sau đây đúng:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    \begin{matrix} y' = 4{x^3} - 4x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Chọn đáp án đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

  • Câu 5: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm nghiệm nguyên MIN

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

     Điều kiện:

    {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) > 2

    \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất x=17.

  • Câu 7: Vận dụng

    Định giá trị m thỏa mãn bất phương trình

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) > f'(x) + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    Ta có:

    f(x) < me^{x} + 1 \Leftrightarrow f(x) - 1 < me^{x}

    \Leftrightarrow \frac{f(x) - 1}{e^{x}} < m.

    Xét hàm số g(x) = \frac{f(x) - 1}{e^{x}} có

    g'(x) = \frac{f'(x) - \left\lbrack f(x) - 1 ightbrack}{e^{x}} < 0;\forall x \in (0; + \infty)

    Bảng biến thiên

    Vậy bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi m \geq f(0) - 1.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính tổng

    Hai phương trình 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) và {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất x_1, x_2là . Tổng x_1 + x_2 là?

     Phương trình 1: 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 > 0 \hfill \\ 2x + 1 > 0 \hfill \\ 2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}{(3x - 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ {\log _5}5{(3x - 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5{(3x - 1)^2} = {(2x + 1)^3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 5(9{x^2} - 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ 8{x^3} - 33{x^2} + 36x - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{8} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_1} = 2

    Phương trình 2: {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)

    Phương trình \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 8 > 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 2 \vee x > 4 \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 + {\log _2}(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {\log _2}({x^2} - 2x - 8) = {\log _2}2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 2x - 8 = 2(x + 2) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ {x^2} - 4x - 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {x_2} = 6

    Vậy {x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8.

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định tất cả các khẳng định sai

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

    (i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

    (ii) Hàm số có cực tiểu tại x = 2.

    (iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - \infty; - 1);(1; + \infty).

    (iv) Hàm số xác định trên \mathbb{R}.

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 2 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang; \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}f(x) = \pm \infty nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.

    Hàm số có cực tiểu tại x = 2 đúng nên (ii) đúng.

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; - 1);(1;2) nên (iii) sai.

    Hàm số không xác định tại x = 1 nên (iv) sai.

    Vậy có 2 khẳng định sai.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tổng độ dài các cạnh của một tứ diện đều

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 11: Nhận biết

    Rút gọn biểu thức P

    Rút gọn biểu thức P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} với x > 0

    Ta có: P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.{x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{11}}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{4}}} 

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức {\log _2}5.{\log _5}64 là:

    Ta có: {\log _2}5.{\log _5}64 = {\log _2}64 = {\log _2}{2^6} = 6

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x)liên tục trên \mathbb{R} có đồ thị hàm số y = f'(x) cho như hình vẽ

    Hàm số g(x) = 2f\left( |x - 1| \right) - x^{2} + 2x + 2020 đồng biến trên khoảng nào?

    Ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm sốy = f'(x) tại các điểm x = - 1;\ \ x = 1;\ \ x = 3 như hình vẽ sau:

    Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có f'(x) > x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 3 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) < x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 1 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight..

    + Trường hợp 1: x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1, khi đó ta có g(x) = 2f(1 - x) - x^{2} + 2x + 2020.

    Ta có g'(x) = - 2f'(1 - x) + 2(1 - x).

    g'(x) > 0 \Leftrightarrow -2f'(1 - x) + 2(1 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(1 - x) < 1 -x\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 1 - x < 1 \\ 1 - x > 3 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 2 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện ta có g'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight..

    + Trường hợp 2: x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1, khi đó ta có g(x) = 2f(x - 1) - x^{2} + 2x + 2020.

    g'(x) = 2f'(x - 1) - 2(x - 1)

    g'(x) > 0 \Leftrightarrow2f'(x - 1) - 2(x - 1) > 0

    \Leftrightarrow f'(x - 1) > x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 < - 1 \\ 1 < x - 1 < 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ 2 < x < 4 \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện ta có g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4.

    Vậy hàm số g(x) = 2f\left( |x - 1| ight) - x^{2} + 2x + 2020 đồng biến trên khoảng (0;1).

  • Câu 14: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của BPT logarit

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} ight) > {\log _2}\left( {2x + 1} ight)  là:

    Điều kiện: \left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + 3x + 1 > 0 \hfill \\ 2x + 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 1 \vee x > - \frac{1}{2} \hfill \\ x > - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}.

    Ta có: {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} ight) > {\log _2}\left( {2x + 1} ight)

    \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} ight) > {\log _4}{\left( {2x + 1} ight)^2}

    \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 > 4{x^2} + 4x + 1

    \Leftrightarrow 2{x^2} + x < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 0 (thỏa mãn điều kiện)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = \left( { - \frac{1}{2};0} ight).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm tập nghiệm của PT logarit

    Phương trình \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 có tập nghiệm là?

    Điều kiện: x > 0

    \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có tập nghiệm là S={8;2}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định số cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} và có bảng xét dấu đạo hàm f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 17: Vận dụng

    Tìm các giá trị thực tham số m thỏa mãn điều kiện

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y = mx - m + 1cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 tại ba điểm A,B,C phân biệt sao AB = BC

    Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = mx - m + 1 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + x - mx + m + 1 = 0\ \ \ \ (1)

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2x - m - 1 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} - 2x - m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình x^{2} - 2x - m - 1 = 0có hai nghiệm phân biệt khác 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 + m + 1 > 0 \\ 1 - 2 - m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 2 \\ m eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > - 2.

    Với m > - 2 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 1,x_{1},x_{2} (x_{1},x_{2} là nghiệm của x^{2} - 2x - m - 1 = 0).

    Mà \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1 suy ra điểm có hoành độ x = 1luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB = BC

    Vậy m > - 2

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Tính xác suất thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Cho tập hợp A = \left\{ n\mathbb{\in Z}|0 \leq n \leq 20 ight\} và F là tập hợp các hàm số f(x) = x^{3} + \left( 2m^{2} - 5 ight)x^{2} + 6x - 8m^{2} có m \in A. Chọn ngẫu nhiên một hàm số f(x) \in F. Tính xác suất để đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục Ox?

    Không gian mẫu |\Omega| = 21

    Ta có: f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x^{2} + \left( 2m^{2} - 3 ight)x + 4m^{2} = 0(*) \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị của hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục Ox suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ {\left( {2{m^2} - 3} ight)^2} - 16{m^2} > 0 \hfill \\ {2^2} + \left( {2{m^2} - 3} ight).2 + 4{m^2} e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt {\dfrac{{7 + 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 2,58 \hfill \\ 0 \leqslant m < \sqrt {\dfrac{{7 - 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 0,58 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;3;4;...;20 ight\}

    Vậy xác suất cần tìm là P = \frac{19}{21}.

  • Câu 19: Nhận biết

    Điền đáp án

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính V biết khoảng cách

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 21: Vận dụng

    Tính V biết hình chiếu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc 60^0. Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

     

    Gọi M là trung điểm CD, suy ra OM \bot CD nên

    {60^0} = \widehat {\left( {SCD} ight),\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SM,OM} = \widehat {SMO}.

    Tam giác vuông SOM, có SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3.

    Kẻ KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO nên KH \bot \left( {ABCD} ight). 

    Tam giác vuông SOD, ta có \frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}

    = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Điều kiện xác định

    Điều kiện xác định của phương trình {\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}} là: 

     Biểu thức {\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}} và xác định 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x + 1}} > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 1 \vee x > 0 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 1

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn đáp án chính xác

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Giá trị của tham số m sao cho hàm số y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2)?

    Ta có: y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

    => 3{x^2} - 4mx - m - 1 \leqslant 0,x \in \left[ {0;2} ight]

    => 3{x^2} - 1 \leqslant 3\left( {4x + 1} ight) \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m,\left( {\forall x \in \left[ {0;2} ight]} ight)

    Xét hàm số g\left( x ight) = \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]

    Ta có: g'\left( x ight) = \frac{{6x\left( {4x + 1} ight) - 4\left( {3{x^2} - 1} ight)}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}} = \frac{{12{x^2} + 6x + 4}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]

    => g(x) đồng biến trên đoạn [0; 2]

    Ta có:

    \begin{matrix} g\left( x ight) = \dfrac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m;\forall x \in \left[ {0;2} ight] \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant g\left( 2 ight) = \dfrac{{11}}{9} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính thể tích

    Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB=2a  và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 3a

    Tam giác SBC vuông cân tại  S nên {S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}S{B^2} = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp V = \frac{1}{3}{S_{\Delta SBC}}.d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 2{a^3}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}trên tập xác định của nó.

    Tập xác định: D\mathbb{= R}.

    y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 5}}}{x^{2} + 5}

    = \frac{x^{2} + 5 - x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)}.

    y' = 0 \Leftrightarrow \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = 0

    \Leftrightarrow 5 - x = 0 \Leftrightarrow x = 5

    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên có \max_{\mathbb{R}}y = y(5) = \frac{\sqrt{30}}{5} khi x = 5.

    Hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} không có giá trị nhỏ nhất.

    Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết bất phương trình \log_{2}\left( 3^{x}- 3 ight)\log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1 có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị biểu thức a + b bằng:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 3 > 0 \\ 3^{x - 2} - \frac{3}{4} > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1 ight..

    log_{2}\left( 3^{x} - 3ight)log_{8}\left( 3^{x}2^{- 2} - \frac{3}{4} ight) \leq1

    \Leftrightarrow log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight).\frac{1}{3}\left\lbrack log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) - 2 ightbrack - 1 \leq 0

    Đặt t = log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight)

    Ta có:

    \frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}t^{2} - \frac{2}{3}t - 1 \leq 0

    \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq log_{2}\left( 3^{x} - 3 ight) \leq 3

    \Leftrightarrow \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 \Leftrightarrow log_{3}\frac{7}{2} \leq x \leq log_{3}11

    Suy ra tập nghiệm là S = \left\lbrack log_{3}\frac{7}{2};log_{3}11 ightbrack \Rightarrow a + b = log_{3}\frac{77}{2}.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:

    Điều kiện f\left( x ight) e m

    Để đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có đường tiệm cận đứng f\left( x ight) = m thì phải có nghiệm.

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight. với - 1 < a < 0 < b

    Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    => Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt

    Vậy đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Biểu diễn biểu thức theo tham số

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm số nghiệm thực của phương trình

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

    Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 2 là:

    Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = 2.

    Dựa vào đồ thị ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = - x^{3} + x^{2} + 5x - 5 là

    y' = - 3x^{2} + 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} ight..

    y'' = - 6x + 2.

    Ta có: y''( - 1) = 8 > 0 \Rightarrow Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1; y_{CT} = y( - 1) = - 8.

    Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( - 1; - 8).

  • Câu 32: Vận dụng

    Diện tích của thiết diện

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight)'{.5^x} + \left( {{5^x}} ight)'.\left( {{x^2} + 2x - 2} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Thể tích khối trụ

    Cho khối trụ có hai đáy là (O) và \left(O^\primeight). AB,CD lần lượt là hai đường kính của (O) và \left(O^\primeight), góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng?

     Thể tích trụ

    Ta chứng minh: V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d(AB,CD)\cdot\sin(AB,CD)..

    Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

    Khi đó  (AB,CD)=(AB,BE)\Rightarrow\sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)..

    Mà góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6 nên ta có:

    \sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)=\sin 30^0 =\frac 1 2

    Ta có d(D,(ABE))=d(AB, CD)

    V_{ABCD}=V_{ABDE}

    =\frac{1}{3}.d(D,(ABE)).S_{ABE}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Suy ra V_{ABCD}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Vậy d(AB,CD)=\dfrac{6V_{ABCD}}{AB.CD.\sin30^0}=\dfrac{180}{6.6.\dfrac{1}{2}}=10

    Chiều cao của lăng trụ bằng h = d(AB, CD)=10

    Áp dụng CT thể tích lăng trụ là: V=Sh=\pi .3^2.10=90 \pi

     

  • Câu 35: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Từ bảng biến thiên, ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty ightarrow đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;

    \lim_{x ightarrow \ ( - 2)^{+}}y = + \infty ightarrow x = - 2 là TCĐ;

    \lim_{x ightarrow \ 1^{+}}y = - \infty ightarrow x = 1 là TCĐ.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận.

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính tổng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \frac{{{2^x}}}{{{x^x} + 2}}. Tính tổng f\left( 0 ight) + f\left( {\frac{1}{{10}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} ight) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} ight) là:

    Với a + b = 2 ta có:

    f\left( a ight) + f\left( b ight) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}} = \frac{{{{2.2}^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1

    Nhận thấy \frac{1}{{10}} + \frac{{19}}{{10}} = 2... \Rightarrow P = f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + 9.1 = \frac{{59}}{6}

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm x

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

    Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty).

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính bán kính đáy

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Tính đường kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;1) và B(0 ;1 ; 1). Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

    Gọi I(t;0;0) trên Ox. Vì IA = IB \Rightarrow t = 2 \Rightarrow I(2;0;0)

    \Rightarrow R = IA = \sqrt{6} \Rightarrow đường kính bằng 2\sqrt{6}

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + ax + by + cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{19} đường thẳng d:\left\{\begin{matrix}x = 5 + t \\y = - 2 - 4t \\z = - 1- 4t\end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):3x - y - 3z - 1 = 0 Trong các số \left\{ a;b;c;d \right\} theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43 đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc mặt phẳng (P)?

    Ta có I \in d \Rightarrow I(5 + t;2 - 4t; - 1 - 4t)

    Do (S) tiếp xúc với (P) nên d\left( I;(P) \right) = R = \sqrt{19}

    \Leftrightarrow |19 + 19t| = 19 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = - 2 \end{matrix} \right.

    Mặt khác (S) có tâm I\left( \frac{- a}{2};\frac{- b}{2};\frac{- c}{2} \right); bán kính R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d} = \sqrt{19}

    Xét khi t = 0 \Rightarrow I(5; - 2; - 1) \Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\} = \left\{ - 10;4;2;47 \right\}

    Do \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d \ne 19 nên ta loại trường hợp này

    Xét khi t = 2 \Rightarrow \left\{ {a;b;c;d} \right\} = \left\{ { - 6; - 12; - 14;75} \right\}

    Do \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d \neq 19 nên thỏa mãn.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Gọi y_{CT} là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) = x^{2} + \frac{2}{x} trên (0; + \infty). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    f'(x) = 2x - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 2}{x^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in (0; + \infty)

    Qua điểm x = 1 thì hàm số đổi dấu từ '' - '' sang '' + '' trong khoảng (0; + \infty).

    Suy ra trên khoảng (0; + \infty) hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

    Vậy y_{CT} = \min_{(0; + \infty)}y.

  • Câu 44: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {3;5} ight\} là khối hai mươi mặt đều:

    Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: 20.\pi = 20\pi

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của x để hàm số có nghĩa?

    Tìm điều kiện của x để hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^\pi } có nghĩa?

     Ta có điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

  • Câu 46: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập số thực

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Do \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1 nên hàm số y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} ight)^x} đồng biến trên \mathbb{R} 

  • Câu 47: Thông hiểu

    Chia khối lăng trụ

    Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

    Chia khối lăng trụ

    Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

  • Câu 48: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho điểm I(0;0;3) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.\ . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A,\ B sao cho tam giác IAB vuông là:

    Gọi H( - 1 + t;2t;2 + t) \in d là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d \Rightarrow \overrightarrow{IH} = ( - 1 + t;2t; - 1 + t)

    Ta có vectơ chỉ phương của d: \overrightarrow{a_{d}} = (1;2;1) và IH\bot d

    \Rightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{a_{d}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + t + 4t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow - 2 + 6t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)

    \Rightarrow IH = \sqrt{\left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

    Vì tam giác IAB vuông tại Ivà IA = IB = R. Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I, do đó bán kính:

    R = IA = ABcos45^{0} = 2IH.\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}IH = \sqrt{2}.\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

    Vậy phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{8}{3}.

  • Câu 49: Vận dụng cao

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Khi m = 0, ta có \min_{(0; + \infty)}y = - 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

    c) Với mọi giá trị của m, ta luôn có \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4. Đúng||Sai

    d) Khi m = - 3 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack bằng 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Khi m = 0, ta có \min_{(0; + \infty)}y = - 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

    c) Với mọi giá trị của m, ta luôn có \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4. Đúng||Sai

    d) Khi m = - 3 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack bằng 1. Đúng||Sai

    Tổng quan đáp án

    a. Sai

    b. Đúng

    c. Đúng

    d. Đúng

    a) Khi m = 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (0; + \infty) bằng 2.

    Thay m = 0 vào y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}, ta có

    y = \frac{x^{2} + 1}{x} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0\Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \notin (0; + \infty)\end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    b) Ta có y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} + 2mx + m^{2} - 1}{(x + m)^{2}}.

    + y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - m - 1;\ (\ x \neq - m) \\ x = - m + 1;\ (\ x \neq - m) \end{matrix} \right..

    \Rightarrow y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x \neq - m,\ \ \forall m.

    Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

    c) + y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} +2mx + m^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - m - 1 \\x = - m + 1\end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \max_{( -\infty; - m)}y = - 2 - m;\min_{( - m; + \infty)}y = 2 - m

    \Rightarrow \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y= 4

    d) Khi m = - 3thay vào y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}, ta có y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3}.

    + Hàm số y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3} là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng ( - \infty;3) và (3; + \infty).

    Mặt khác \lbrack - 1;2\rbrack \subset ( - \infty;3) \Rightarrow Hàm số liên tục trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack.

    + Ta có y' = \frac{x^{2} - 6x + 8}{(x - 3)^{2}} > 0\ \ \forall x \in ( - 1;2) và y(2) = 1.

    Vì hàm số tăng trên ( - 1;2) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}y = y(2) = 1.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Xác định số phần tử của tập hợp T

    Cho hàm số y = \frac{mx + 2m + 3}{x + m} với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; + \infty). Hỏi tập hợp T có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Ta có: y' = \frac{m^{2} - (2m + 3)}{(x + m)^{2}} = \frac{m^{2} - 2m - 3}{(x + m)^{2}}

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (2; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 3 < 0 \\ - m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 3 \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2 ight\}

    \Rightarrow T = \left\{ 0;1;2 ight\}

    Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
8 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm