Tìm độ dài đường cao tứ diện
Cho tứ diện
có
. Tính độ dài đường cao
của tứ diện
?
Ta có:
.
Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán lớp 12 nha!
Tìm độ dài đường cao tứ diện
Cho tứ diện
có
. Tính độ dài đường cao
của tứ diện
?
Ta có:
.
Tính thể tích V
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng
. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay do hình phẳng
quay quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Thể tích cần tính là:
Chọn phương án đúng
Tích phân
có giá trị là:
Ta biến đổi:
, với
.
Đáp án đúng là .
Xác định nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Biết F(x) = x2 + 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x)
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Xác định mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hình thang
có hai đáy
; có tọa độ ba đỉnh
. Biết hình thang có diện tích bằng
. Giả sử đỉnh
, tìm mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có
//
nên
và
cùng phương, cùng chiều
So với điều kiện suy ra:
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Chọn phương án đúng
Tích phân
có giá trị là:
Xét tích phân
Ta biến đổi:.
Đặt.
Đổi cận .
Chọn đáp án đúng
Biết
, với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
.
Ta có:
Ta có:
Tính giá trị của biểu thức
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, với
, biết
. Tính
.
Ta có:
.
Do đó .
.
Suy ra .
Vậy .
Tìm tọa độ M
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Xác định giá trị tham số k
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).

Tính giá trị
để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Độ dài đường sinh
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Tìm giá trị của tích phân I
Cho hai tích phân
và
. Giá trị của tích phân
là:
Ta có ngay kết quả:
.
Đáp án đúng là .
Tính quãng đường chuyển động
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Chọn đáp án đúng
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Tính tích phân I
Biết
và
là hàm số lẻ. Khi đó
có giá trị bằng
Ta có:
là hàm số lẻ
Tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, biết
.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đã cho?
Ta có nên suy ra được tọa độ điểm B và C tương ứng theo hệ sau là:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Xác định diện tích S của hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Hình vẽ minh họa
Diện tích hình phẳng là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm
?
Đặt với
Ta có :
Xác định nguyên hàm
Tìm nguyên hàm
.
Đặt ;
Lúc này ta có
Chọn đáp án đúng
Hàm số
là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên hàm số
là họ nguyên hàm của hàm số
.
Tính giá trị biểu thức
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
và
. Phương trình mặt phẳng qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: .
Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng
có một VTPT là
nên có phương trình là:
.
Vậy .
Tính thể tích V
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
là:
Thể tích cần tính là:
Tính khoảng cách
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Tính giá trị của biểu thức M
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Tính tích vô hướng hai vectơ
Trong không gian
, cho các điểm
. Tích
bằng:
Ta có: . Khi đó
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian
, véctơ
vuông góc với hai véctơ
và
; đồng thời
tạo với tia
một góc tù và độ dài véctơ
bằng 3. Tìm véctơ
.
Ta có và
không cùng phương đồng thời
.
Do .
Mặt khác tạo với tia
một góc tù nên
.
Suy ra .
Vậy .
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
,
,
. Tìm tọa độ của vectơ
.
Ta có:
.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Nguyên hàm của hàm số
?
Nhận thấy là nghiệm bội ba của phương trình
, do đó ta biến đổi:
Từ đây ta có
Ta có
Tính cosin của hai vectơ
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Diện tích xung quanh
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Chọn kết luận đúng
Cho tích phân
và
. Tích phân
có giá trị là:
Quy tắc “nối đuôi” cho ta:
.
Đáp án đúng là .
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là mặt phẳng song song với mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì suy ra
Theo giả thiết ta có:
Vậy hoặc
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: