Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài học Lí thuyết toán 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số giới thiệu cho các em về khái niệm tính đơn điệu của hàm số và quy tắc xét tính đơn điệu đó. Bài học kèm theo một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Định nghĩa
Cho hàm số 
\(y=f(x)\) xác định trên \(K\), với \(K\) là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
- Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
2. Tính đơn điệu của hàm số
2.1. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\).
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì \(f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K\).
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì \(f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K\).
2.2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in K\) thì hàm số không đổi trên khoảng \(K\).
Chú ý:
- Nếu \(K\) là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
- Chẳng hạn: Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) trên khoảng \((a, b)\) thì hàm số đồng biến trên đoạn \([a;b]\) .
- Nếu \(f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K\) ( hoặc \(f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K\)) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số điểm hữu hạn của \(K\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(K\)( hoặc nghịch biến trên khoảng \(K\)).
3. Quy tắc xét tính đơn điệu
3.1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức \(P(x)\)
- Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức \(P(x)\), hoặc giá trị của x làm biểu thức \(P(x)\) không xác định.
- Bước 2: Sắp xếp các giá trị của \(x\) tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
- Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của \(P(x)\) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
3.2 . Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f(x)\) trên tập xác định
- Bước 1: Tìm tập xác định \(D\).
- Bước 2: Tính đạo hàm \(y' = f'(x)\).
- Bước 3: Tìm nghiệm của \(f'(x)\) hoặc những giá trị \(x\) làm cho \(f'(x)\) không xác định.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên.
- Bước 5: Kết luận.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}\)
Giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{2}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0{\text{, }}\forall x \ne 1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\)
3.3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số \(y=f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) cho trước.
Cho hàm số \(y=f(x,m)\) có tập xác định D, khoảng \((a;b) \subset D\):
- Hàm số nghịch biến trên \((a;b) \Leftrightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in (a;b)\)
- Hàm số đồng biến trên \((a;b)\Leftrightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in (a;b)\)
Chú ý: Xét riêng trường hợp hàm số \(y = \frac{{{a_1}x + {b_1}}}{{cx + d}}\) thì :
- Hàm số nghịch biến trên \((a;b) \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in (a;b)\)
- Hàm số đồng biến trên \((a;b) \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in (a;b)\)
Bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng :
- Bước 1: Đưa bất phương trình \(f'(x) \geqslant 0\) (hoặc \(f'(x) \leqslant 0\)), \(\forall x \in (a;b)\) về dạng \(g(x) \geqslant h(m)\) (hoặc \(g(x) \leqslant h(m)\)), \(\forall x \in (a;b)\).
- Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\) trên \((a;b)\).
- Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
Ví dụ:
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx - 4\) (1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).
Giải:
+) Tập xác định: D = R.
+) Tính đạo hàm, ta được \(y{\,^\prime } = 3{{\text{x}}^2} + 6{\text{x}} - m\).
Xét \(y'\) có \(\Delta ' = 3(m + 3)\):
- Nếu \(m \leqslant - 3\) thì \(\Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow y' \geq 0, \,\forall x \Rightarrow\) hàm số đồng biến trên R \(\Rightarrow m \leq -3\) thoả mãn YCBT.
- Nếu \(m>-3\) thì \(\Delta ' > 0 \Rightarrow PT \,\, y' =0\) PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\). Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;{x_1}),\,({x_2}; + \infty )\).
+) Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0) \Leftrightarrow 0 \leq x_1 < x_2\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta ' > 0 \hfill \\
P \geqslant 0 \hfill \\
S > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > - 3 \hfill \\
- m \geqslant 0 \hfill \\
- 2 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) (VN)
Vậy: \(m \leq -3\).
