Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Ứng dụng của tích phân trong hình học bao gồm định nghĩa, tính chất tích phân và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Diện tích hình phẳng
1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
\(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a, b]\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) được xác định:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}\)(1)
Như vậy, muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, ta sẽ xác định các yếu tố như sau: Giả sử nếu có \((H)\) là hình được giới hạn bởi:
\((H)\left\{ \begin{array}{l}
y = f(x)\\
y = 0\\
x = a\\
x = b
\end{array} \right.\)
Suy ra diện tích hình H là:
\(\boxed{S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} }\)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x= -1, x=2\) ?
Giải:
Ta có \(x^3 \leq 0\) trên đoạn \([-1;0]\) và \(x^3 \geq 0\) trên đoạn \([0;2]\).
Áp dụng công thức (1), ta được:
\(S=\int_{-1}^{2}|x^3|dx= \int_{-1}^{0}(-x^3)dx+ \int_{0}^{2}x^3dx\)
\(=-\dfrac{x^4}{4}|_{-1}^{0}+\dfrac{x^4}{4}|_{0}^{2} =\frac {17} 4\)
1.2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) liên tục trên đoạn \([a, b]\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), được xác định:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}\) (2)
Như vậy, muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta sẽ xác định các yếu tố như sau: Giả sử nếu có \((H)\) là hình được giới hạn bởi:
\((H)\left\{ \begin{array}{l}
({C_1}):y = {f_1}(x)\\
({C_2}):y = {f_2}(x)\\
x = a\\
x = b
\end{array} \right.\)
Suy ra diện tích hình H là:
\(\boxed{S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|dx} }\)
Chú ý:
- Nếu trên đoạn \([a, b]\), hàm số \(f(x)\) không đổi dấu thì: \(\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|\)
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = g(y) , x=h(y)\) và hai đường thẳng \(y=c,y=d\) được xác định: \(S = \int\limits_c^d {\left| {g(y) - h(y)} \right|dy}\)
Ví dụ: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = 1,y = x\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \geqslant 0,y \leqslant 1\) là
Giải:
Ta có
\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1;x - \frac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 0;1 - \frac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 2\)
Do đó, áp dụng công thức (2), ta được:
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx + \int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx = \frac{5}{6}}\)
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
2.1. Thể tích vật thể
Gọi \(B\) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại các điểm \(a\) và \(b\); \(S(x)\) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\) \((a \leqslant x \leqslant b)\) . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn \([a, b]\).Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:
\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}\)
Ta có hình vẽ minh họa với vật thể sau:
Khi đó, Công thức tính thể tích vật thể này là:
\(\boxed{V = \int\limits_a^b {S(x)dx} }\)
2.2. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), quanh trục Ox:
\(\left\{ \begin{gathered} (C):y = f(x) \hfill \\ (Ox):y = 0 \hfill \\ x = a \hfill \\ x = b \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(\boxed{{V_x} = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}dx} }\)
Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos 4x{\text{,}}\,\,{\text{Ox,}}\,\,{\text{x = 0,}}\,\,{\text{x = }}\frac{\pi }{8}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Giải:
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
\(V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\pi .{{\cos }^2}4xdx} = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=g(y)\), trục hoành và hai đường thẳng \(y=c, y=d\), quanh trục Oy:
\(\left\{ \begin{gathered}
(C):x = g(y) \hfill \\
(Oy):x = 0 \hfill \\
y = c \hfill \\
y = d \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\boxed{{V_y} = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {g(y)} \right]}^2}dy} }\)
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f(x), y=g(x)\), và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) , quanh trục Ox:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx}\)
Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x,\,\,y = 0,\,\,x = 2\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Giải:
Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = \ln x\) và \(y=0\) là điểm \(C(1;0)\).
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
\(V = \int\limits_1^2 {\pi .{{\ln }^2}xdx = \pi \left( {2{{\ln }^2}2 - 4\ln 2 + 2} \right)}\)
