Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = \cos4x có một nguyên hàm là F(x); F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C

    F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2
\Rightarrow C = 2

    Ta được F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2

    \Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}

    = - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C

  • Câu 2: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right) là:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =
\int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x}
ight)dx}}

    = 2\int_{}^{}{e^{x}dx +
\int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn kết luận đúng

    Cho \int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} =
\frac{1}{64}\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln m, với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} =
\frac{1}{64} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n +
1} = \frac{1}{64} \Rightarrow n = 3

    \int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} =
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(2x - 1)}{2x - 1} = \left. \
\frac{1}{2}\ln|2x - 1| ight|_{1}^{5}

    = \frac{1}{2}ln9 - \frac{1}{2}ln1 =
ln3

    \Rightarrow m = n = 3

  • Câu 4: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm F(x) = \int_{}^{}{\left( x
+ \sin x \right)dx} biết F(0) =
19 .

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( x + \sin x
ight)dx = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + C}

    F(0) = 19 \Rightarrow C = 20\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + 20

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx}  = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn \lbrack - 1;1brack. Có g( - 1) = 3 và tích phân I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2. Tính g(1).

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2
\Leftrightarrow g(1) - g( - 1) = - 2

    \Rightarrow g(1) = - 2 + g( - 1) = - 2 +
3 = 1

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2}  + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1}  + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx}  = \int {\left( {\sqrt {x + 2}  - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2}  - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1}  + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = \dfrac{2}{3}} \\   {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số: y = x^{2} - 3x
+ \frac{1}{x}

    \left( \frac{x^{3}}{3} -
\frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| \right)' = \frac{3x^{2}}{3} -
\frac{3.2x}{2} + \frac{1}{x} với \forall x > 0

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) =
\frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{\sin x}{\cos x - 3} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx =
\int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left|
\cos x - 3 \right| + C}}

  • Câu 10: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x}
ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; +
\infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{-
( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x
\in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 -
x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x -
2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} =
\frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C =
C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = -
1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1
\Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 =
\frac{7}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right) với x > 0.

    Ta có

    f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) =
x(1 + 2\ln x)

    = x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x =
x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2}
ight)'.\ln x

    = \left( x^{2}\ln x ight)'
\Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C

  • Câu 12: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Theo phương pháp đổi biến số (x
\rightarrow t), nguyên hàm của I =
\int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx là:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}\frac{2sinx +
2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x
\right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx.

    Đặt t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt =
\left( \sin x + \cos x \right)dx.

    \Rightarrow I =
\int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( -
\frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C.

  • Câu 13: Nhận biết

    Chọn phương án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f = e^{-
2017x} là:

    Ta có \int_{}^{}{e^{- 2017x}dx =
\frac{1}{- 2017}e^{- 2017x} + C}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức T

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)

     Ta có: f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {A + C = 0} \\   {B = 1} \\   {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {A =  - 1} \\   {B = 1} \\   {B = 1} \end{array}} ight.

    => F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }

    => F\left( x ight) =  - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C

    Khi đó: F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\   {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\   {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5

    => \left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}

    => {C_1} + {C_2} = 1

    => F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}

  • Câu 15: Vận dụng

    Tính quãng đường S của viên đạn

    Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.

    Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được là v^{2} - {v_{0}}^{2} = 2as

    \Rightarrow s = \frac{v^{2} -
{v_{0}}^{2}}{2a} = \frac{0 - 29,4^{2}}{- 2.9,8} = 44,1(m)

    Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là s = 44,1.2 = 88,2(m)

  • Câu 16: Vận dụng

    Tính quãng đường chất điểm đi được

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc {v_0} = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a\left( t \right) = {t^2} + 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

    Ta có:

    v = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}

    \Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} +
2t^{2}

    s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s =
15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}.

    Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

    s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} +
\frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m).

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Vận dụng cao

    Tính tích phân I

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục và dương trên \mathbb{R}, hình phẳng giới hạn bởi các đường y = g\left( x ight) = \left( {x - 1} ight)f\left( {{x^2} - 2x + 1} ight), trục hoành và x = 1;x = 2 có diện tích bằng 5. Tính tích phân I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx}

    Ta có: J = \int\limits_1^1 {\left| {\left( {x - 1} ight)f{{\left( {x - 1} ight)}^2}} ight|dx}  = 5

    Đặt t = x - 1 ta được:

    J = \int\limits_0^1 {t.f\left( {{t^2}} ight)dt}  = 5 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{t^2}} ight)d\left( {{t^2}} ight)}  = 10

    => I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx}  = 10

  • Câu 19: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = - 5t + 15(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Quãng đường vật đi từ lúc đạp phanh cho đến lúc dừng hẳn

    - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t =
3

    \Rightarrow \int_{3}^{0}{( - 5t + 15)dt}
= \left( - \frac{5t^{2}}{2} + 15t ight)|_{0}^{3}

    = - \left( - \frac{5}{2}.3^{2} + 15.3
ight) = 22,5(m)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Tính\int_{}^{}{\cos
x.sin^{2}x.dx}

    Ta có: \int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx =
\int_{}^{}{sin^{2}x.d\left( \sin x \right) = \frac{sin^{3}x}{3} +
C}}

  • Câu 21: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left(
2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx =
\int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} +
C

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9
\Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) -
f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 =
10

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính tích ab

    Cho I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2}
+ 1}}dx} = a\sqrt{2} + b. Giá trị a.b là:

    Ta có:

    Đặt t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt =
2xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 2 \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I =
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \sqrt{2} -
1

    \Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow a.b
= - 1.

  • Câu 24: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Thông hiểu

    Xác định hàm số f(x)

    Nếu \int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C} thì f(x) là hàm nào ?

    Ta có: \left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x.

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó:

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó G(x) = F(x) - C trên khoảng (a;b), với C là hằng số.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Tính {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}

     Cách 1: \int {f\left( x ight)}  = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx

    Đặt \sqrt {{{\ln }^2}x + 1}  = t

    \begin{matrix}   \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\   \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\   \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \int {f\left( x ight)}  = \int {t.t.dt}  = \int {{t^2}dt}  = \frac{{{t^3}}}{3} + C

    => F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    Mặt khác F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    => C = 0

    => F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

    => {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}

    Cách 2: F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}. Sử dụng máy tính cầm tay để tính.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm giá trị của tích phân I

    Cho hai tích phân \int_{- a}^{a}{f(x)dx =
m}\int_{- a}^{a}{g(x)dx =
n}. Giá trị của tích phân \int_{-
a}^{a}\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx là:

    Ta có ngay kết quả:

    \int_{-
a}^{a}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx = \int_{- a}^{a}{f(x)dx
-}\int_{- a}^{a}{g(x)dx =}m - n.

    Đáp án đúng là m - n.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Kết luận nào sau đây là đúng?

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm liên tục trên đoạn \left[ { - 3;3} ight] và đồ thị hàm số y = f'\left( x ight) (như hình vẽ). biết f\left( 1 ight) = 6g\left( x ight) = f\left( x ight) - \frac{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{2}. Kết luận nào sau đây là đúng?

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Hình vẽ minh họa:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Ta có:

    \begin{matrix}  g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \left( {x + 1} ight) \hfill \\  g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow f'\left( x ight) = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x =  - 3} \\   {x = 1} \\   {x = 3} \end{array}} ight.

    Từ đồ thị ta thấy

    \begin{matrix}  \int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{ABCD}}}  \hfill \\   \Leftrightarrow f\left( 1 ight) - f\left( { - 3} ight) > 6 \hfill \\   \Leftrightarrow f\left( { - 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => g\left( { - 3} ight) = f\left( { - 3} ight) - 2 < 0

    Mặt khác

    \begin{matrix}\int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{OEFG}}}  \hfill \\   \Leftrightarrow f\left( 3 ight) - f\left( 1 ight) > 2 \hfill \\   \Leftrightarrow f\left( 3 ight) > 8 \Rightarrow G\left( 3 ight) > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    => g\left( x ight) = 0 có duy nhất nghiệm trên \left[ { - 3;3} ight]

  • Câu 30: Vận dụng

    Chọn kết luận đúng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx}
eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) -
f(0)} bằng:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} =
k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx}
= \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x)
ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \
e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x)
ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} =
\int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} -
\int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} -
k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x)
ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) -
f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \
e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số y = x^3 + x có nguyên hàm là:

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx}  = \int {{x^3}dx}  + \int {xdx}  = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính giá trị của n

    Nếu \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}{\sin^{n}x\cos xdx} = \dfrac{1}{64} thì n bằng

    Ta có: I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x.cosxdx}

    Đặt \sin x = t. Đổi cận: x = 0 \Rightarrow t = 0

    x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t =
\frac{1}{2}

    \Rightarrow I =
\int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^{n}dt} = \left. \ \frac{t^{n + 1}}{n + 1}
ight|_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} ight)^{n +
1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64}

    \Rightarrow n = 3.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số a

    Cho I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} =
\frac{1}{4}ln3. Tìm giá trị của a

    Ta có:

    I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{\cos2x}{1 + 2\sin2x}dx} =
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\cos2xd2x}{1 + 2\sin2x} =
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(\sin2x)}{1 +
2sin2x}

    =
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(2\sin2x + 1)}{1 + 2\sin2x} =\left. \ \frac{1}{4}\ln|2 + \sin2x + 1|
ight|_{0}^{\frac{\pi}{a}}

    = \frac{1}{4}\ln\left| 2\sin\frac{2\pi}{a}
+ 1 ight| = \dfrac{1}{4}ln3.

    Suy ra: \left| 2sin\frac{2\pi}{a} + 1
ight| = 3.

    Trong các đáp án \Rightarrow a =
4.

  • Câu 34: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = x^{2} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

    \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow
F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x)
\Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x
\Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}

    Suy ra f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x}
- 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 -
4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 -
4x}{e^{2x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx
=}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}}
+ C

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

    \int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) -
\int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx =
e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} -
2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} =
F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2}
ight)' = 2x.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x -
2x^{2} + C}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính quãng đường của chất điểm

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v_{0} = 18(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t^{2} + 5t\left( m/s^{2}
ight). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{\left( t^{2} + 5t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} +
\frac{5t^{2}}{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} =
18 nên v_{(t = 0)} = 18 \Rightarrow
C = 18

    \Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} +
\frac{5t^{2}}{2} + 18

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{3}{v(t)dt} =
\int_{0}^{3}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18 ight)dt} =
\frac{333}{4}(m)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} -
x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} +
\frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x
+ 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x -
A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx}
= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} +
\frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1)
ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1
\Rightarrow H = 0.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \left(
5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}

    Ta có f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x
+ 6 ight)e^{x}= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' +
5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}

    Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên \Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6
ight)e^{x} + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 38: Nhận biết

    Xác định các mệnh đề đúng

    Cho hai hàm số f(x),g(x) là hàm số liên tục, có F(x),G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x),g(x). Xét các mệnh đề sau:

    (I). F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f(x) + g(x).

    (II). k.F(x) là một nguyên hàm của kf(x) với k \in \mathbb{R}.

    (III). F(x).G(x) là một nguyên hàm của f(x).g(x).

    Các mệnh đúng

    Các mệnh đề đúng là:

    (I) F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f(x) + g(x).

    (II). k.F(x) là một nguyên hàm của kf(x) với k \in \mathbb{R}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho f(x) = 1 + |x|. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa F(1) = 1 là:

    Ta có: f(x) = 1 + |x| = \left\lbrack
\begin{matrix}
1 + x;x \geq 0 \\
1 - x;x < 0 \\
\end{matrix} \right.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\lbrack
\begin{matrix}
x + \frac{x^{2}}{2} + C_{1};x \geq 0 \\
x - \frac{x^{2}}{2} + C_{2};x < 0 \\
\end{matrix} \right. mặt khác F(1) = 1

    \Leftrightarrow 1 + \frac{1^{2}}{2} +
C_{1} = 1(x = 1 > 0) \Leftrightarrow C_{1} = -
\frac{1}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\{ \begin{gathered}
  x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi  }}x \geqslant 0 \hfill \\
  x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{  khi  }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính quãng đường S

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 2t(m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = -
12\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường S(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

    Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m

    Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc v =
24(m/s), sau đó vận tốc của vật có phương trình v = 24 - 12t

    Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

    Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} =
24m

    Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là S =
S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo