VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \cos4x$ có một nguyên hàm là $F(x)$ ; $F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{4} + 2x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - 4\cos4x + 2x +C$
- C.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - \cos4x + 2x +C$
- D.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{16} + 2x + C$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C$

$F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2 \Rightarrow C = 2$

Ta được $F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right)$ là:
- A.
  $F(x) = 2e^{x} + \cot x + C$
- B.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x + C$
- C.
  $F(x) = 2e^{x} + \tan x + C$
- D.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}$

$= 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho $\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64}$ và $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln m$ , với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:
- A.
  $n > m$
- B.
  $1 < n + m < 5$
- C.
  $n < m$
- D.
  $n = m$
Ta có:

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64} \Rightarrow n = 3$

$\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(2x - 1)}{2x - 1} = \left. \ \frac{1}{2}\ln|2x - 1| ight|_{1}^{5}$

$= \frac{1}{2}ln9 - \frac{1}{2}ln1 = ln3$

$\Rightarrow m = n = 3$
Câu 4: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x) = \int_{}^{}{\left( x + \sin x \right)dx}$ biết $F(0) = 19$ .
- A. $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} + \cos x + 20$
- B. $F(x) = x^{2} + \cos x + 20$
- C. $F(x) = x^{2} - \cos x + 20$
- D. $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \cos x + 20$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( x + \sin x ight)dx = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + C}$

$F(0) = 19 \Rightarrow C = 20$ $\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + 20$
Câu 5: Thông hiểu
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}}$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = 0$ . Tìm F(x)
- A. $F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}$
- B. $F\left( x ight) = - \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}$
- C. $F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}$
- D. $F\left( x ight) = \frac{{ - 2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}$
$F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }$
$= \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }$
Mặt khác $F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}$
=> $F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}$
Câu 6: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $g(x)$ có đạo hàm trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ . Có $g( - 1) = 3$ và tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2$ . Tính $g(1)$ .
- A.
  1
- B.
  −5
- C.
  −6
- D.
  $- \frac{3}{2}$
Ta có:

$I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2 \Leftrightarrow g(1) - g( - 1) = - 2$

$\Rightarrow g(1) = - 2 + g( - 1) = - 2 + 3 = 1$
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức M

Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}$
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
- A. $M = \frac{{ - 2}}{3}$
- B. $M = \frac{3}{2}$
- C. $M = 0$
- D. $M = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$
$I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }$
=> $I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C$
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0$
Câu 8: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số: $y = x^{2} - 3x + \frac{1}{x}$ là
- A.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- D.
  $F(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x^{2}} + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| \right)' = \frac{3x^{2}}{3} - \frac{3.2x}{2} + \frac{1}{x}$ với $\forall x > 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là:
- A.
  $- \ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- B.
  $2ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- C.
  $- \frac{\ln\left| \cos x - 3 \right|}{2} + C$
- D.
  $4ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left| \cos x - 3 \right| + C}}$
Câu 10: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Biết $xe^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f( - x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)e^{x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ . Giá trị của $F( - 1)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5 - e}{2}$
- C.
  $\frac{7 - e}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Ta có: $f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Do đó $f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra $f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Nên $f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)$

$\Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2$

Vậy $F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C$

Từ đó $F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2$

$F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right)$ với $x > 0$ .
- A.
  $F(x) = ex^{2}.\ln(ex) + C$
- B.
  $F(x) = x^{2}.\ln(ex) + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {x^2}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = x\ln x + C$
Ta có

$f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)$

$= x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x$

$= \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C$
Câu 12: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:
- A.
  $2\sqrt[3]{t} + C$ .
- B.
  $6\sqrt[3]{t} + C$ .
- C.
  $3\sqrt[3]{t} + C$ .
- D.
  $12\sqrt[3]{t} + C$ .
Ta có:

$I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f = e^{- 2017x}$ là:
- A.
  $\frac{1}{2017}e^{- 2017x} + C$
- B.
  $e^{- 2017x} + C$
- C.
  $- 2017.e^{- 2017x} + C$
- D.
  $\frac{- 1}{2017}e^{- 2017x} + C$
Ta có $\int_{}^{}{e^{- 2017x}dx = \frac{1}{- 2017}e^{- 2017x} + C}$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$ , F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
- A. $\frac{1}{2} + \ln 2$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{5}{6} - \ln 2$
- D. $\frac{5}{6}$
Ta có: $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.$
=> $F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }$
=> $F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C$
Khi đó: $F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.$
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=> $\left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}$
=> ${C_1} + {C_2} = 1$
=> $F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}$
Câu 15: Vận dụng
Tính quãng đường S của viên đạn

Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.
- A.
  $S = 88,2(m)$
- B.
  $S = 88,5(m)$
- C.
  $S = 88(m)$
- D.
  $S = 89(m)$
Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được là $v^{2} - {v_{0}}^{2} = 2as$

$\Rightarrow s = \frac{v^{2} - {v_{0}}^{2}}{2a} = \frac{0 - 29,4^{2}}{- 2.9,8} = 44,1(m)$

Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là $s = 44,1.2 = 88,2(m)$
Câu 16: Vận dụng
Tính quãng đường chất điểm đi được

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15$ m/s thì tăng vận tốc với gia tốc $a\left( t \right) = {t^2} + 4t$ (m/s²). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
- A.
  68,25 m
- B.
  70,25 m
- C.
  69,75 m
- D.
  67,25 m
Ta có:

$v = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}$

$\Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} + 2t^{2}$

Mà $s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s = 15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}$ .

Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

$s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} + \frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m)$ .
Câu 17: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Vận dụng cao
Tính tích phân I

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ liên tục và dương trên $\mathbb{R}$ , hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = g\left( x ight) = \left( {x - 1} ight)f\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)$ , trục hoành và $x = 1;x = 2$ có diện tích bằng 5. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx}$
- A. $I=10$
- B. $I=5$
- C. $I=8$
- D. $I=20$
Ta có: $J = \int\limits_1^1 {\left| {\left( {x - 1} ight)f{{\left( {x - 1} ight)}^2}} ight|dx} = 5$
Đặt $t = x - 1$ ta được:
$J = \int\limits_0^1 {t.f\left( {{t^2}} ight)dt} = 5 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{t^2}} ight)d\left( {{t^2}} ight)} = 10$
=> $I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx} = 10$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v = - 5t + 15(m/s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
- A.
  20m
- B.
  10 m
- C.
  22,5m
- D.
  5m
Quãng đường vật đi từ lúc đạp phanh cho đến lúc dừng hẳn

$- 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

$\Rightarrow \int_{3}^{0}{( - 5t + 15)dt} = \left( - \frac{5t^{2}}{2} + 15t ight)|_{0}^{3}$

$= - \left( - \frac{5}{2}.3^{2} + 15.3 ight) = 22,5(m)$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx}$
- A.
  $\frac{3sinx - sin3x}{12} + C$
- B.
  $\frac{3cosx - cos3x}{12} + C$
- C.
  $\frac{sin^{3}x}{3} + C$
- D.
  $sinx.cos^{2}x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx = \int_{}^{}{sin^{2}x.d\left( \sin x \right) = \frac{sin^{3}x}{3} + C}}$
Câu 21: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)$ ?
- A.
  $2017e^{x} - \frac{2018}{x^{4}} + C$
- B.
  $2017e^{x} + \frac{2018}{x^{4}} + C$
- C.
  $2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C$
- D.
  $2017e^{x} - \frac{504,5}{x^{4}} + C$
Ta có: $\int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx$

$= 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C$
Câu 22: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ biết $f(0) = 1$ , $f'(x)$ liên tục trên $\lbrack 0;3brack$ và $\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9$ . Tính $f(3)$ ?
- A.
  $f(3) = 9$
- B.
  $f(3) = 10$
- C.
  $f(3) = 8$
- D.
  $f(3) = 7$
Ta có:

$\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9 \Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) - f(0) = 9$

$\Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 = 10$
Câu 23: Thông hiểu
Tính tích ab

Cho $I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx} = a\sqrt{2} + b$ . Giá trị a.b là:
- A.
  – 1
- B.
  – 2
- C.
  1
- D.
  2
Ta có:

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \sqrt{2} - 1$

$\Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow a.b = - 1$ .
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Nếu $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C}$ thì $f(x)$ là hàm nào ?
- A.
  $e^{x} + cos^{2}x$
- B.
  $e^{x} - sin2x$
- C.
  $e^{x} + cos2x$
- D.
  $e^{x} + sin2x$
Ta có: $\left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Giả sử $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Khi đó:
- A.
  $F(x) = G(x)$ trên khoảng $(a;b)$ .
- B.
  $G(x) = F(x) - C$ trên khoảng $(a;b)$ , với $C$ là hằng số.
- C.
  $F(x) = G(x) + C$ với mọi $x$ thuộc giao của hai miền xác định, $C$ là hằng số.
Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Giả sử $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Khi đó $G(x) = F(x) - C$ trên khoảng $(a;b)$ , với $C$ là hằng số.
Câu 27: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}$ và $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}$
- A. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{3}$
- B. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{9}$
- C. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{3}$
- D. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{9}$
Cách 1: $\int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx$
Đặt $\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t$
$\begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó $\int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C$
=> $F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
Mặt khác $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
=> C = 0
=> $F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
=> ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}$
Cách 2: $F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}$ . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Câu 28: Nhận biết
Tìm giá trị của tích phân I

Cho hai tích phân $\int_{- a}^{a}{f(x)dx = m}$ và $\int_{- a}^{a}{g(x)dx = n}$ . Giá trị của tích phân $\int_{- a}^{a}\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx$ là:
- A.
  $m - n$
- B.
  $n - m$
- C.
  $m + n$
- D.
  $2n - m$
Ta có ngay kết quả:

$\int_{- a}^{a}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx = \int_{- a}^{a}{f(x)dx -}\int_{- a}^{a}{g(x)dx =}m - n$ .

Đáp án đúng là $m - n$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Kết luận nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} ight]$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x ight)$ (như hình vẽ). biết $f\left( 1 ight) = 6$ và $g\left( x ight) = f\left( x ight) - \frac{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng?
- A. Phương trình $g\left( x ight) = 0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left[ { - 3;3} ight]$
- B. Phương trình $g\left( x ight) = 0$ có đúng một nghiệm thuộc $\left[ { - 3;3} ight]$
- C. Phương trình $g\left( x ight) = 0$ không có nghiệm thuộc $\left[ { - 3;3} ight]$
- D. Phương trình $g\left( x ight) = 0$ có đúng ba nghiệm thuộc $\left[ { - 3;3} ight]$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \left( {x + 1} ight) \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow f'\left( x ight) = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Từ đồ thị ta thấy $g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \\ {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.$
Từ đồ thị ta thấy
$\begin{matrix} \int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{ABCD}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 1 ight) - f\left( { - 3} ight) > 6 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( { - 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}$
=> $g\left( { - 3} ight) = f\left( { - 3} ight) - 2 < 0$
Mặt khác
$\begin{matrix}\int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{OEFG}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) - f\left( 1 ight) > 2 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) > 8 \Rightarrow G\left( 3 ight) > 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có bảng biến thiên như sau:
=> $g\left( x ight) = 0$ có duy nhất nghiệm trên $\left[ { - 3;3} ight]$
Câu 30: Vận dụng
Chọn kết luận đúng

Cho các hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0$ . Giá trị của biểu thức $\frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)}$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $- 2$
Đặt $\int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k$

Ta có:

$k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}$

$= \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k$

$\Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}$

Ta có:

$k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}$

$= \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k$

$\Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}$

Vậy $\frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1$
Câu 31: Nhận biết
Hàm số y = x^3 + x có nguyên hàm là:

Hàm số $y = {x^3} + x$ có nguyên hàm là:
- A. ${x^4} + {x^2} + C$
- B. $3{x^2} + 1 + C$
- C. ${x^3} + x + C$
- D. $\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$
Ta có: $\int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$
Câu 32: Thông hiểu
Tính giá trị của n

Nếu $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}{\sin^{n}x\cos xdx} = \dfrac{1}{64}$ thì n bằng
- A.
  3
- B.
  4
- C.
  5
- D.
  6
Ta có: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{sin^{n}x.cosxdx}$

Đặt $\sin x = t$ . Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$

$x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^{n}dt} = \left. \ \frac{t^{n + 1}}{n + 1} ight|_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64}$

$\Rightarrow n = 3$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tìm giá trị của tham số a

Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} = \frac{1}{4}ln3$ . Tìm giá trị của a là
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  6
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{\cos2x}{1 + 2\sin2x}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\cos2xd2x}{1 + 2\sin2x} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(\sin2x)}{1 + 2sin2x}$

$= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(2\sin2x + 1)}{1 + 2\sin2x} =\left. \ \frac{1}{4}\ln|2 + \sin2x + 1| ight|_{0}^{\frac{\pi}{a}}$

$= \frac{1}{4}\ln\left| 2\sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = \dfrac{1}{4}ln3$ .

Suy ra: $\left| 2sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = 3$ .

Trong các đáp án $\Rightarrow a = 4$ .
Câu 34: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F(x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ ?
- A.
  $\int {f'\left( x ight){e^{2x}} = - {x^2} + 2x + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - x^{2} + x + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = 2x^{2} - 2x + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - 2x^{2} + 2x + C}$
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

$\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}$ .

Từ giả thiết, ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$

Suy ra $f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C$

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx$ .

Ta có $\int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}$

Từ giả thiết: $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tính quãng đường của chất điểm

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_{0} = 18(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = t^{2} + 5t\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $3s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{117}{4}m$
- B.
  $S = \frac{333}{4}m$
- C.
  $S = \frac{63}{2}m$
- D.
  $S = 126m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 5t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 18$ nên $v_{(t = 0)} = 18 \Rightarrow C = 18$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{3}{v(t)dt} = \int_{0}^{3}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18 ight)dt} = \frac{333}{4}(m)$
Câu 36: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}$ . Tính giá trị biểu thức $H = 2a + b$ ?
- A.
  $H = 0$ .
- B.
  $H = 1$ .
- C.
  $H = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $H = 1$ .
Ta có:

$\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}$

$= \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}$

$= \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}$

$= \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0$ .
Câu 37: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}$ là
- A.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 6 ight)e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}\left( x^{2} + 1 ight) + 5x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = \left( {5{x^2} + 3x} ight){e^x} + C$
- D.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$
Ta có $f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}$ $= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}$

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên $\Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 38: Nhận biết
Xác định các mệnh đề đúng

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ là hàm số liên tục, có $F(x),G(x)$ lần lượt là nguyên hàm của $f(x),g(x)$ . Xét các mệnh đề sau:

(I). $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x).$

(II). $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ với $k \in \mathbb{R}$ .

(III). $F(x).G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).g(x).$

Các mệnh đúng là
- A.
  (I).
- B.
  (I) và (II).
- C.
  Cả 3 mệnh đề.
- D.
  (II).
Các mệnh đề đúng là:

(I) $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x).$

(II). $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ với $k \in \mathbb{R}$ .
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $f(x) = 1 + |x|$ . Một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thỏa $F(1) = 1$ là:
- A.
  $x^2+x+1$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{2} - x + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} - {x^2} + x + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
Ta có: $f(x) = 1 + |x| = \left\lbrack \begin{matrix} 1 + x;x \geq 0 \\ 1 - x;x < 0 \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó $\int_{}^{}{f(x)dx} = \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{x^{2}}{2} + C_{1};x \geq 0 \\ x - \frac{x^{2}}{2} + C_{2};x < 0 \\ \end{matrix} \right.$ mặt khác $F(1) = 1$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{1^{2}}{2} + C_{1} = 1(x = 1 > 0) \Leftrightarrow C_{1} = - \frac{1}{2}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left\{ \begin{gathered} x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Câu 40: Thông hiểu
Tính quãng đường S

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3