VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Với phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}$ bằng:
- A.
  $\sin t + C$ .
- B.
  $- t + C$ .
- C.
  $- \cos t + C$ .
- D.
  $t + C$ .
Ta biến đổi: $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rbrack \Rightarrow dx = 2costdt$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{dt = t + C}$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của a và b

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $\left( P ight):y = {x^2}$ và hai đường thẳng $y = a;y = b;\left( {0 < a < b} ight)$ (mô tả như hình vẽ). Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng $y=a$ (phần tô màu đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=b$ (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của $a,b$ thì ${S_1} = 2{S_2}$ ?
- A. $b = \sqrt[3]{2}a$
- B. $b = a$
- C. $b = \sqrt[3]{4}a$
- D. $b = \sqrt[3]{6}a$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=b$ là:
${x^2} = b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt b } \\ {x = - \sqrt b } \end{array}} ight.$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=a$ là:
${x^2} = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt a } \\ {x = - \sqrt a } \end{array}} ight.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P ight)$ và $y=b$ là:
$\begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt b } {{{\left( {b - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {bx - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt b } \hfill \\ = 2\left( {b\sqrt b - \dfrac{{b\sqrt b }}{3}} ight) = \dfrac{{4b\sqrt b }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P ight)$ và $y=a$ là:
$\begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt a } {{{\left( {a - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {ax - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt a } \hfill \\ = 2\left( {a\sqrt a - \dfrac{{a\sqrt a }}{3}} ight) = \dfrac{{4a\sqrt a }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó: ${S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \frac{{4b\sqrt b }}{3} = 2\frac{{4a\sqrt a }}{3} \Rightarrow b = \sqrt[3]{4}a$
Câu 3: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y = - 2x^{3} + x^{2} + x + 5$ và đồ thị $(C')$ của hàm số $y = x^{2} - x + 5$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta xét phương trình hoành độ giao điểm

$- 2x^{3} + x^{2} + x + 5 = x^{2} - x + 5$

$\Leftrightarrow - 2x^{3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lúc này ta có $S = \int_{- 1}^{1}{\left| - 2x^{3} + 2x ight|dx} = 1$

Ta bấm máy và cũng được kết quả như trên:
Câu 4: Thông hiểu
Tính tích phân I

Cho $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4$ và $\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 1$ .
- B.
  $I = 2$ .
- C.
  $I = 3$ .
- D.
  $I = 0$ .
Đặt $\left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.$ . Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}$ . Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ ; đồ thị hàm số $y = F(x)$ đi qua điểm $M(1;6)$ . Nguyên hàm $F(x)$ là
- A.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{4} - \frac{2}{5}$
- B.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}$
- C.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{5} + \frac{2}{5}$
- D.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{4} + \frac{2}{5}$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}dx = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right)$

$= \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = F(x)$

Mà đồ thị hàm số $y = F(x)$ đi qua điểm $M(1;6)$ khi đó:

$\frac{\left( 1^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = 6 \Rightarrow C = \frac{14}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}$
Câu 6: Vận dụng
Tìm giá trị của a thỏa mãn điều kiện

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = \frac{3}{5}\ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln \frac{2}{3}$ . Giá trị của a là:
- A. $a = \frac{1}{5}$
- B. $a = \frac{2}{5}$
- C. $a = \frac{3}{5}$
- D. $a = \frac{4}{5}$
Ta có:
$I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = a\int\limits_1^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx + \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx$
Xét
$\begin{matrix} {I_1} = a\int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx \hfill \\ = a\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{2}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} dx \hfill \\ = a\left. {\left( {2\ln \left| {x + 2} ight| - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = a\left( {2\ln 4 - 3\ln 3 + \ln 2} ight) \hfill \\ = 2a\ln \dfrac{4}{3} + a\ln \dfrac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét ${I_2} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} ight| - \ln \left| {x + 2} ight|} ight)} ight|_1^2 = - \ln \frac{4}{3} - \ln \frac{2}{3}$
$\Rightarrow I = {I_1} + I{}_2 = \left( {2a - 1} ight)\ln \frac{4}{3} + \left( {a - 1} ight)\ln \frac{2}{3}$
Theo đề bài: $I = \frac{3}{5}\ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln \frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{4}{5}$
Câu 7: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đáp án là:

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $A( - 1;0)$ và $A(2;1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = g(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $C(1;0)$ và $D(2; - 1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$ .

Giao điểm của hai parabol tại $x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}$

Do đó, diện tích của con cá là $S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}$
Câu 8: Vận dụng
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \frac{7}{6}$
- B.
  $I = \frac{17}{6}$
- C.
  $I = \frac{7}{6}$
- D.
  $I = - \frac{17}{6}$
Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx$ có giá trị là:

Ta có: $\underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$ .

Bảng xét dấu:

Ta có

: $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx$

$= \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{7}{6}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{1}{3}ln2$
- B.
  $I = \frac{1}{2}ln2$
- C.
  $I = \frac{1}{6}ln2$
- D.
  $I = ln2$
Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx}$ có giá trị là:

Ta biến đổi: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x\left( 9 - tan^{2}x ight)}dx}$ .

Nhận thấy: $\left( \tan x ight)' = \frac{1}{cos^{2}x}$ . Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{9 - t^{2}}dt} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{3 - t} + \frac{1}{3 + t} ight)dt}$

$= \left. \ \left( \frac{1}{6}\ln\left| \frac{3 + t}{3 - t} ight| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{6}ln2$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{1}{6}\ln 2$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = x + 2$
- C. $y = 4x - 4$
- D. $y = x$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác $f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8$
=> $xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2$
Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) - 2f(x) = 0$ . Tính $f( - 1)$ biết rằng $f(1) = 1$ ?
- A.
  $e^{- 4}$
- B.
  $e^{3}$
- C.
  $e^{4}$
- D.
  $e^{- 2}$
Vì $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên ta có:

$f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C$

$\Rightarrow \ln f(x) = 2x + C$

Cho $x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2$

Do đó $\ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}$
Câu 12: Vận dụng
Giá trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và $f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}$ . Giá trị của f(2) là:
- A. 5
- B. 20
- C. 10
- D. 15
Chọn f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2}$ => f(x) = 20
Câu 13: Vận dụng
Tính thể tích khối tròn xoay

Gọi (H) là hình phẳng xác định bởi $\left( C ight):y = \left| {{x^2} - 3x + 2} ight|;\left( D ight):y = x + 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
- A. $V = \frac{{256\pi }}{5}$
- B. $V = \frac{{146\pi }}{5}$
- C. $V = \frac{{231\pi }}{4}$
- D. $V = \frac{{217\pi }}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Tọa độ giao điểm của (C) và trục hoành là (1; 0) và (2; 0)
Tọa độ giao điểm của (C) và (D) là (0; 2) và (4; 6)
Dễ thấy $x + 2 \geqslant \left| {{x^2} - 3x + 2} ight| \geqslant 0;\left( {\forall x \in \left[ {0;4} ight]} ight)$
Thể tích cần tìm là:
$\begin{matrix} V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {{{\left( {x + 2} ight)}^2} - {{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)}^2}} ight]dx} \hfill \\ = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\left( { - {x^4} + 6{x^3} - 12{x^2} + 16x} ight)} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{{256\pi }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Hàm số f(x) = x^3 + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x)

Hàm số $f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2$ có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
- A. 12
- B. 6
- C. -8
- D. 20
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}$
Hàm số đi qua B(2; 10) => $\frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4$
=> $F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm giá trị của biểu thức

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} \right)\ln xdx} = ae^{2} + b$ , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của $2a - 3b$ là:
- A.
  $\frac{13}{2}$
- B.
  $\frac{13}{4}$
- C.
  $- \frac{13}{4}$
- D.
  $- \frac{13}{2}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{x\ln xdx} + \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx}$ , với $t = \ln x$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{\frac{x}{2}dx} + \int_{0}^{1}{dt} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{5}{4}$

$\Rightarrow a = \frac{1}{4},b = \frac{5}{4} \Rightarrow 2a - 3b = - \frac{13}{4}$ .

Đáp án đúng là $-\frac{13}{4}$ .
Câu 16: Nhận biết
Xác định nguyên hàm

Nguyên hàm $\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$ là:
- A.
  $- 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
- B.
  $- 2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$ .
- C.
  $2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
- D.
  $2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$

$= - 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {7^x}$ là
- A. ${7^x}\ln 7 + C$
- B. ${7^{x + 1}} + C$
- C. $\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}}$
- D. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$
Ta có:
$\int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C$
Câu 18: Thông hiểu
Xác định các hệ số a, b, c, d

Tìm a, b, c, d để $F(x) = \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d \right)e^{x}$ là một nguyên hàm của $f(x) = \left( 2x^{3} + 9x^{2} - 2x + 5 \right)e^{x}$ .
- A.
  $a = 3;b = 3;c = - 7;d = 13$
- B.
  $a = 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- C.
  $a = - 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- D.
  $a = 3;b = 3;c = - 8;d = 15$
Ta có $F'(x) = \left( 3ax^{2} + 2bx + c ight)e^{x} + \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d ight)e^{x}$

$= \left\lbrack ax^{3} + (3a + b)x^{2} + (2b + c)x + (c + d) ightbrack e^{x}$

$F'(x) = f(x),\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ 3a + b = 9 \\ 2b + c = - 2 \\ c + d = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ c = - 8 \\ d = 13 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị tích phân

Tích phân $\int_{0}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}xdx}$ có giá trị bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\frac{8}{3}$
- D.
  $\frac{10}{3}$
Thử giải bài toán bằng hai cách:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: Đặt $\sqrt{4 - x^{2}} = t$
Câu 20: Vận dụng
Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$
- A.
  $F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = - \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
- C.
  $F(x) = - 2x\sqrt{x^{2} - 1}.e^{- 2x} + C$
- D.
  $F(x) = \sqrt{x^{1} - 1}.e^{- x} + C$
Ta có

$f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x} = \frac{\left( x^{2} - 1 ight) + x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$

$= \left\lbrack \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}$ $= \left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} - 1} ight)' + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
Câu 21: Nhận biết
Tìm giá trị của tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ có giá trị là:
- A. $I = 1$
- B. $I = 0$
- C. $I = - 1$
- D. $I=-2$
Tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. {\left( { - \cos x} ight)} ight|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 22: Vận dụng
Tính tích phân

Cho hai hàm số $f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S_{1};S_{2}$ là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi $S_{1} + S_{2} = 3$ thì $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$
- B.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 3$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 6$
- D.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 6$
Phương trình hoành độ giao điểm

$(a - b)x^{3} + (b - a)x = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ký hiệu $S_{3}$ là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

Ta có:

$S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)$

$S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)$

Vì vậy $S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3$

$\Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3$
Câu 23: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = 0$
- C.
  $I = - 1$
- D.
  $I = 2$
Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ có giá trị là:

Cách 1: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Đáp án đúng là $I = 1$
Câu 24: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin^{4}x\cos x$ ??
- A.
  $F(x) = - \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- B.
  $F(x) = \sin^{5}x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- D.
  $F(x) = - \sin^{5}x +C$
Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C$
Câu 25: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1}$ là:
- A.
  $F(x) = \frac{1}{4}\cos2x + \ln|x + 1|+ C$
- B.
  $F(x) = - 4\cos2x + \ln|x + 1| +C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{4}\cos2x + \ln(x + 1)+ C$
- D.
  $F(x) = - \frac{1}{4}\cos2x + \ln|x +1| + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}$

$\Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C$
Câu 26: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $f(0) = 2017;f(2) = 2018$ . Tính $T = f(3) - f( - 1)$ ?
- A.
  $T = \ln4035$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = \ln2$
- D.
  $T = 1$
Trên khoảng $(1; + \infty)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}$

Mà $f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018$

Trên khoảng $( - \infty;1)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}$

Mà $f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1$ .
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $F(x) = (x - 1)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ .
- A.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = (4 - 2x)}e^{x} + C$
- B.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = \frac{2 - x}{2}e^{x} + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = (2 - x)e^{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f'(x)}e^{2x}dx = (x - 2)e^{x} + C$
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm $\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}$ .

Từ giả thiết, ta có $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}}$

$\Rightarrow f(x) = \frac{xe^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{x}{e^{x}}$ .

Suy ra $f'(x) = \frac{(x)'.e^{x} - x.\left( e^{x} ight)'}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x} - x.e^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x}(1 - x)}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = \int_{}^{}{\frac{1 - x}{e^{x}}.e^{2x}dx = \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx}}}$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = 1 - x \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = - dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx = (1 - x)e^{x} + \int_{}^{}{e^{x}dx}}$ $= (1 - x)e^{x} + e^{x} + C = (2 -x)e^{x} + C$ .

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có $\int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}$

Từ giả thiết: $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) = (x - 1)e^{x}}$

$\Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C}$ .
Câu 28: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 3 - 5\sin x$ và $f(0) = 10$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $f(x) = 3x + 5\cos x + 5$
- B.
  $f(x) = 3x + 5\cos x + 2$
- C.
  $f(x) = 3x - 5\cos x + 2$
- D.
  $f(x) = 3x - 5\cos x +15$
Ta có $f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(3 - 5\sin x)dx = 3x + 5\cos x + C}}$

Do $f(0) = 10$ nên $3.0 + 5cos0 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5$ .

Vậy $f(x) = 3x + 5\cos x + 5$ .
Câu 29: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = (x - 3)^{4}$ có nguyên hàm là $F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C$ với $a,b\mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = 25$
- C.
  $T = 50$
- D.
  $T = 10$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{(x - 3)^{5}}{5} + C = F(x)\ \$

Mà $F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow T = 5^{2} + 5^{2} = 50$
Câu 30: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh $AB =6,\ AC = 8$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AC$ . Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác $BMC$ quanh cạnh $AB$ là:
- A.
  $86\pi$
- B.
  $106\pi$
- C.
  $96\pi$
- D.
  $98\pi$
Hình vẽ minh họa
Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là
$V = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.AB -\frac{1}{3}\pi AM^{2}.AB$
$= \frac{1}{3}\pi.8^{2}.6 -\frac{1}{3}\pi.4^{2}.6 = 96\pi$
Câu 31: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- B.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
- C.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- D.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.$
Câu 32: Nhận biết
Tìm tích phân I

Tích phân $I = \int_{1}^{2}{2x.dx}$ có giá trị là:
- A.
  I = 1
- B.
  I = 2
- C.
  I = 3
- D.
  I = 4
Tích phân $I = \int_{1}^{2}{2x.dx}$ có giá trị là:

$I = \int_{1}^{2}{2x.dx} = 2.\int_{1}^{2}{x.dx} = \left. \ \left( 2.\frac{x^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = 3$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx}$ và đặt $t = \cos x$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $I = \left. \ - \frac{1}{12}t^{- 3} ight|_{\frac{1}{2}}^{1}$
- B.
  $I = \frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dt}{t^{4}}$
- C.
  $I = \frac{7}{12}$
- D.
  $I =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx}$
Ta có: $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx}$

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dt}{t^{4}} = \left. \ -\frac{1}{12}t^{- 3} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = -\frac{7}{16}$

Vậy khẳng định sai là: $I = \frac{7}{12}$ .
Câu 34: Nhận biết
Tìm giá trị tích phân

Giá trị của $\int_{0}^{3}{dx}$ bằng
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$
Câu 35: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = (x - 1)^{2}$ có nguyên hàm là $F(x) = \frac{x^{3}}{a} + bx^{2} + cx + C$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 10$
Ta có:

$f(x) = (x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C = F(x)\ \$

Theo bài ra ta có: $F(x) = \frac{x^{3}}{a} + bx^{2} + cx + C$ khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} = \frac{1}{3} \\ b = - 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow T = 3 - 1 + 1 = 3$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{49}{12}$
Câu 36: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s.

Khi xe dừng hẳn thì $v(t) = 0$ m/s nên $0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4$ s.

Nguyên hàm của hàm số vận tốc $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}$ , $C\mathbb{\in R}$ .

Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

$\int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40$ m.
Câu 37: Thông hiểu
Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện

Giá trị dương a sao cho $\int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \frac{a^{2}}{2} + a + ln3$ là
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  2
Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}$

$= \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x + 1)}$

$= \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2} ight|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| ight|_{0}^{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|$

$= \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a + 1|$

$\Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a + 2b = 8$
- B.
  $a + b = 8$
- C.
  $2a - b = 8$
- D.
  $a - b = 8$
Ta có: $\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

$= \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}$

$= 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C$

Suy ra $a = 5;b = - 3$ suy ra $a - b = 8$ .
Câu 39: Thông hiểu
Xác định tích phân

Tính tích phân $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$ ?
- A.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
- B.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{4038}$
- C.
  $B = \frac{5^{2018} - 1}{4036}$
- D.
  $B = 1$
Ta có: $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
Câu 40: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}$ là
- A.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x- 1}{x - 2} ight| + C$
- B.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$
- C.
  $F(x) = - 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
- D.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
Phân tích

Ta có:

$\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}$

$= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}$

Khi đó $(A + B)x - 2A - B = 4x - 3$ , đồng nhất hệ số thì ta được

$\left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Giải chi tiết

Ta có $\int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}$ $= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}$

$= - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C$

$= 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$ $= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

$\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }$ $= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2