VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Xác định nguyên hàm I

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
- B.
  $I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- C.
  $I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- D.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$

$= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)$

Ta lại có :

$I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx =}}\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x}}$ $= -\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\T = \dfrac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\\end{matrix} \right.$
Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án chính xác vào ô trống

Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $OO' = 7cm$ , $OA = 8cm$ , $OB = 16$ $cm$ , đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$ . Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.

Đáp án là:

Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $OO' = 7cm$ , $OA = 8cm$ , $OB = 16$ $cm$ , đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$ . Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.

Kí hiệu tọa độ các điểm như hình vẽ:

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là $V$ .

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng $OA = 8$ cm và đường cao $OO' = 7$ cm là $V_{1}$ .

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $AB$ và hai trục tọa độ quanh trục $Oy$ là $V_{2}$ .

Ta có $V = V_{1} + V_{2}$

$V_{1} = 7.8^{2}\pi = 448\pi$ $\left( cm^{3} ight)$ .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh $A$ nên nó có phương trình dạng $(P):y = a(x - 8)^{2}$ .

Vì $(P)$ qua điểm $B(0;16)$ nên $a = \frac{1}{4}$ .

Do đó, $(P):y = \frac{1}{4}(x - 8)^{2}$ .

Từ đó suy ra $x = 8 - 2\sqrt{y}$ (do $x < 8$ ).

Suy ra $V_{2} = \pi\int_{0}^{16}{\left( 8 - 2\sqrt{y} ight)^{2}dy} = \frac{512}{3}\pi$ $\left( cm^{3} ight)$ .

Do đó $V = V_{1} + V_{2} = \frac{512}{3}\pi + 448\pi = \frac{1856}{3}\pi \approx 1944$ $\left( cm^{3} ight)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin2x}{\cos x + cos3x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} + \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight)$
- B.
  $I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} ight)$
- C.
  $I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight)$
- D.
  $I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} - 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight)$
Ta biến đổi:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin2x}{\cos x + cos3x}dx}$ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{cos2x}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{2cos^{2}x - 1}dx}} = ... = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left. \ \left( \ln\frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1} ight) ight|_{1}^{\frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight)$ , với $t = \cos x$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 3x^{2} + 1$ thỏa $F(1) = 0$ là:
- A.
  $F(x) = x^{3} - 1$
- B.
  $F(x) = x^{3} + x - 2$
- C.
  $F(x) = x^{3} - 4$
- D.
  $F(x) = 2x^{3} - 2$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = x^{3} + x + C = F(x)$ mà $F(1) = 0$ khi đó:

$1^{3} + 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 2$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = x^{3} + x - 2$
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

Phần tô đậm được đính đá với giá thành $500.000đ/m^{2}$ . Phần còn lại được tô màu với giá thành $250.000đ/m^{2}$ .

Cho $AB = 4dm;BC = 8dm.$ Hỏi để trang trí $1000$ họa tiết như vậy cần số tiền bỏ ra là bao nhiêu?
- A.
  $106666667$ đồng
- B.
  $112548846$ đồng
- C.
  $126658533$ đồng
- D.
  $103555543$ đồng
Vì $AB = 4dm;BC = 8dm. \Rightarrow A( - 2;4),B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)$ .

Parabol là: $y = x^{2}$ hoặc $y = - x^{2}$

Diện tích phần tô đậm là $S_{1} = 4\int_{0}^{2}{x^{2}dx = \frac{32}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})}$

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32\begin{matrix} \\ \end{matrix}(m^{2})$

Diện tích phần trắng là $S_{2} = S - S_{1} = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})$

Tổng chi phí trang chí là: $T = \left( \frac{32}{3}.5000 + \frac{64}{3}.2500 \right).1000 \approx 106666667đ$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6$ ?
- A.
  $3\pi$
- B.
  $\pi - 1$
- C.
  $\pi$
- D.
  $2\pi$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1$

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

Diện tích hình phẳng là:

$V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|$

$= \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Khẳng định nào sau đây đúng.
- A.
  Chỉ có duy nhất một hằng số $C$ sao cho hàm số $y = F(x) + C$ là một nguyên hàm của hàm $f$ trên $K.$
- B.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .
- C.
  Chỉ có duy nhất hàm số $y = F(x)$ là nguyên hàm của $f$ trên $K.$
- D.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x$ thuộc $K$ và $C$ bất kỳ.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .”
Câu 8: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - 6x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} - 6x + C$
- B.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
- D.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
Ta có:

$f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
Câu 9: Nhận biết
Tìm giá trị tích phân

Giá trị của $\int_{0}^{3}{dx}$ bằng
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \frac{3}{2}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{5}{2}$
- B.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} - \frac{1}{2}$
- C.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{3}{2}$
- D.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + 2x$ suy ra $F(x)$ có dạng $e^{x} + x^{2} + C$

Theo bài ra ta có: $F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

Vậy $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}$ có giá trị bằng
- A.
  $I = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$
- B.
  $I = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $I = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $I = \frac{2}{3}$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}$

Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.
Câu 12: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:
- A.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- B.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- C.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- D.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}$ .

$\Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định giá trị của biểu thức

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $F(1) = \frac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$ bằng:
- A.
  $\frac{2019}{2020}$
- B.
  $\frac{2019.2021}{2020}$
- C.
  $2018\frac{1}{2020}$
- D.
  $- \frac{2019}{2020}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}$

Suy ra $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C$ mà $F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1$ .Hay $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1$

Ta có:

$T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$

$T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)$

$T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}$
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm của $f(x) = \frac{x}{sin^{2}x}$ là :
- A.
  $x\cot x - \ln|sinx|$
- B.
  $- x\cot x + \ln\left( \sin x \right)$
- C.
  $- x\tan x + \ln|cosx|$
- D.
  $x\tan x - \ln\left| \sin x \right|$
Ta có: $I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó: $I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}$ $= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C$
Câu 15: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 16: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $1$
- B.
  $-1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$
Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$
Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$
Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị của tích phân I

Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{x\cos x}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{7\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $I = \frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $I = \frac{7\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $I = \frac{7\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{x\cos x}dx$ có giá trị là:

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \cos xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \sin x \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \left. \ \left( x\sin x ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$

$= \left. \ \left( x\sin x ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} + \left. \ \left( \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng (H)

Cho hàm $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và đường thẳng $y = x$ (phần gạch chéo trong hình vẽ):

Diện tích hình $(H)$ bằng:
- A.
  $2f(2) - f(1) - f(3) + 1$
- B.
  $f(3) - f(1) + 1$
- C.
  $2f(3) - f(2) - f(1) + 1$
- D.
  $f(1) - f(3) + 4$
Diện tích phần gạch chéo là:

$S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}$

$= \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}$

$= 2f(2) - f(1) - f(3) + 1$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Biết rằng $I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} \right)dx} = \frac{a}{6} + b\sqrt{2}$ . Giá trị của $a - \frac{3}{4}b$ là:
- A.
  – 1
- B.
  – 2
- C.
  – 3
- D.
  – 4
Ta có:

$I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} ight) ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{6} + \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow a = - 1,b = \frac{4}{3} \Rightarrow a - \frac{3}{4}b = - 2$

Đáp án đúng là -2.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Tính quãng đường s của vật di chuyển được

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
- A.
  $s = 23,25$ (km)
- B.
  $s = 25,58$ (km)
- C.
  $s = 15,50$ (km)
- D.
  $s = 13,83$ (km)
Ta tìm được phương trình của parabol là

$(P):v(t) = - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4$ .

Khi $t = 1$ thì $v(1) = - \frac{5}{4} + 5 + 4 = \frac{31}{4}(km/h)$

Vậy $v(t) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4;\ \ \ 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{31}{4};\ \ \ 1 < \ t \leq 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

$s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4 ight)dt} + \frac{31}{4}.2$

$= \frac{73}{12} + \frac{31}{2} = \frac{259}{12} \approx 21,58(km/h)$
Câu 22: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho một mô hình $3D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

Chiều dài của đường hầm mô hình là $5cm$ , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y = 3 - \frac{2}{5}x$ (đơn vị là $cm$ ), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Đáp án: 29

Đáp án là:

Cho một mô hình $3D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

Chiều dài của đường hầm mô hình là $5cm$ , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y = 3 - \frac{2}{5}x$ (đơn vị là $cm$ ), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Đáp án: 29

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là $h$ và độ dài đáy $2h$ và chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ bên

Parabol $(P)$ có phương trình $(P):\ \ y = ax^{2} + h,\ \ (a < 0)$

Có $B(h;\ 0) \in (P) \Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\ \ (do\ h > 0)$

Diện tích $S$ của thiết diện: $S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h ight)\ dx} = \frac{4h^{2}}{3}$ , kết hợp chiều cao $h = 3 - \frac{2}{5}x$

Ta được diện tích thiết diện là $S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}$ .

Thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

$V = \int_{0}^{5}{S(x)\ dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}\ dx} \approx 28,888$

Vậy $V \approx 29\ \ \left( cm^{3} ight)$ .
Câu 23: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định một nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}$

$= \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số là $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$ .
Câu 25: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{x}$ .
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x\sqrt{x} + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt{x} + C}$
Ta có:

$\int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}$ .
Câu 26: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}$
- A. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- B. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
- C. $\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- D. $\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:
- A.
  $2\sqrt[3]{t} + C$ .
- B.
  $6\sqrt[3]{t} + C$ .
- C.
  $3\sqrt[3]{t} + C$ .
- D.
  $12\sqrt[3]{t} + C$ .
Ta có:

$I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin^{3}x.\cos x$ và $F(0) = \pi$ . Tìm $F\left( \frac{\pi}{2} \right)$ .
- A.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \pi$
- B.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{4} + \pi$
- C.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
- D.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) =\pi$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =\int_{}^{}{\sin^{3}x.\cos x.dx}}$

$= \int_{}^{}{\sin^{3}x.d\left( \sin x ight) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + C}$

$F(0) \Rightarrow \pi \Rightarrow C = \pi \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + \pi$

$\Rightarrow F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
Câu 29: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$ và $f(1) = 0$ . Giá trị tích phân $D = \int_{1}^{5}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $12\ln13 - 13$
- B.
  $13\ln13 - 12$
- C.
  $12\ln13 + 13$
- D.
  $13\ln13 + 12$
Từ giả thiết ta có:

$f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$

$\Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}$

$\Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)$

Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra $e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Vì $f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ nên $e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)$

$D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Theo công thức tích phân từng phần ta được:

$D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12$
Câu 30: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Biết rằng $\int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} - \cos\sqrt{x} ight)dx = A + Bx}$ với $A;B\mathbb{\in Z}$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A + B = 7$
- B.
  $A + B = 6$
- C.
  $A + B = 5$
- D.
  $A + B = 4$
Đặt $t = \sqrt{x} \Rightarrow t^{2} = x \Rightarrow 2tdt = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \pi^{2} \Rightarrow t = \pi \\ \end{matrix} ight.$ khi đó ta được:

$\int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} -\cos\sqrt{x} ight)dx =}\int_{0}^{\pi}{\left( \sin t - \cos tight)tdt} = I$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = t \\ dv = \left( \sin t - \cos t ight)dt \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dt \\ v = - \cos t - \sin t \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ t\left( - \cos t - \sin t ight) ight|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}{\left( \cos t + \sin t ight)dt} ightbrack$

$\Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ \pi + \left( \sin t - \cos t ight) ight|_{0}^{\pi} ightbrack = 4 + 2\pi$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 4 \\ B = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A + B = 6$
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + ab + b^{2}$ ?
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 12$
- C.
  $T = 14$
- D.
  $T = 15$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

$= \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}$

$= 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C$

Suy ra $a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13$
Câu 32: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai câu sau:

(I) $\int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C$ ,

trong đó $F(x)$ và $G(x)$ tương ứng là nguyên hàm của $f(x),\ \ g(x)$ .

(II) Mỗi nguyên hàm của $a.f(x)$ là tích của $a$ với một nguyên hàm của $f(x)$ .

Trong hai câu trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C. Cả hai câu đều đúng.
Các câu đúng là :

(I) $\int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C$ ,

trong đó $F(x)$ và $G(x)$ tương ứng là nguyên hàm của $f(x),\ \ g(x)$ .

(II) Mỗi nguyên hàm của $a.f(x)$ là tích của $a$ với một nguyên hàm của $f(x)$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

Họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = cot^{2}x$ là :
- A.
  $\cot x -x + C$
- B.
  $- \cot x - x + C$
- C.
  $\cot x + x + C$
- D.
  $\tan x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{cot^{2}xdx = \int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x + C}$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính quãng đường vật đi được

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 3t + 2$ , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm $t = 2(s)$ thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm $t = 30s$ thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
- A.
  1410 m
- B.
  1140 m
- C.
  300 m
- D.
  240 m
Ta có:

$S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(3t + 2)dt = \frac{3t^{2}}{2} + 2t + c$

$S(2) = 10 \Rightarrow \frac{3.2^{2}}{2} + 2.2 + c = 10 \Rightarrow c = 0$ .

$\Rightarrow S = \frac{3t^{2}}{2} + 2t$ .

Suy ra: Khi $t = 30$ s, vật đi được quãng đường

$s = \frac{3.30^{2}}{2} + 2.30 = 1410(m)$ m.
Câu 35: Thông hiểu
Tìm giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \ln\frac{3 +2\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $I = - \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $I = \ln\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $I = \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$
Tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ có giá trị là:

Đặt $u = x + \sqrt{x^{2} + 9} \Rightarrow du = \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} ight)dx$

$= \frac{x + \sqrt{x^{2} + 9}}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx = \frac{udx}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ $\Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +9}}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = 3 \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \int_{3}^{3 + 3\sqrt{2}}\frac{du}{u} = \left. \ \left( \ln|u| ight) ight|_{3}^{3 + 3\sqrt{2}} = \ln\left( 1 + \sqrt{2} ight)$ .
Câu 36: Thông hiểu
Xác định số cực trị của hàm số

Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 37: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}$ , biết rằng đồ thị hàm số $F(x)$ có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
- A.
  $e^{x^{3} - 3x} - e^{2}$
- B.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
- C.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - e^{2}}{3}$
- D.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - 1}{3}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{e^{x^{3} - 3x}d\left( x^{3} - 3x ight)}$

$= \frac{1}{3}e^{x^{3} - 3x} + C$

Mà $F'(x) = f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$F''(x) = 2xe^{x^{3} - 3x} + \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x};F''(1) > 0;F''(1) < 0$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là $A(1;0)$

Suy ra $F(1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}e^{- 2} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3e^{2}}$

Do đó $F(x) = \frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
Câu 38: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- B.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
- C.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- D.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $62$
- B.
  $26$
- C.
  $82$
- D.
  $28$
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 40: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}}$ , tính $n + a$ ?

Đáp án: 5

Đáp án là:

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}}$ , tính $n + a$ ?

Đáp án: 5

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.x^{2}\ \ \ (P)$ .

Do $(P)$ đi qua điểm có tọa độ $( - 6; - 18)$ suy ra: $- 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ .

Từ hình vẽ ta có: $\frac{AB}{CD} = \frac{b}{d}$ .

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol $(P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}b^{2}$ là:

$S_{1} = 2\int_{0}^{b}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}b^{2} ight) ightbrack dx}\left.= 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}b^{2}x ight) ight|_{0}^{b} = \frac{2}{3}b^{3}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $CD$ : $y = - \frac{1}{2}d^{2}$ là :

$S_{2} = 2\int_{0}^{d}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}d^{2} ight) ightbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}d^{2}x ight) ight|_{0}^{d} = \frac{2}{3}d^{3}$

Từ giả thiết suy ra $S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow d^{3} = 2b^{3} \Leftrightarrow \frac{b}{d} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Do đó $\frac{AB}{CD} = \frac{b}{d} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Rightarrow n = 3;a = 2$ nên $n + a = 5$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

43 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian