VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- B.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
Ta có: $S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx = 2$ và $\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx = - 1$ . Tính $I = \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) \right\rbrack dx}$ .
- A.
  $I = \frac{5}{2}$
- B.
  $I = \frac{7}{2}$
- C.
  $I = \frac{17}{2}$
- D.
  $I = \frac{11}{2}$
Ta có $I = \int_{- 1}^{2}\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) ightbrack dx$

$= \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx - 3\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx$

$\Rightarrow I = \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 - 3( - 1) = \frac{3}{2} + 4 + 3 = \frac{17}{2}$
Câu 4: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đáp án là:

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $A( - 1;0)$ và $A(2;1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = g(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $C(1;0)$ và $D(2; - 1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$ .

Giao điểm của hai parabol tại $x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}$

Do đó, diện tích của con cá là $S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hãy xác định hàm số $f(x)$ từ đẳng thức: $x^{2} + xy + C = \int_{}^{}{f(y)dy}$
- A.
  $f(x) = 2x$
- B.
  $f(x) = x$
- C.
  $f(x) = 2x + 1$
- D.
  Không tính được
Ta có: $\left( x^{2} + xy \right)' = x + C$

Vậy $f(x) = x$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $62$
- B.
  $26$
- C.
  $82$
- D.
  $28$
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{5x - 2}$ .
- A.
  $\int {\frac{{dx}}{{5x - 2}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = -\frac{1}{2}(\ln5x - 2) + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = 5\ln|5x- 2| + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = \ln|5x - 2| + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}$

$= \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}$
Câu 8: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ ?
- A.
  $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- B.
  $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- C.
  $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- D.
  $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$
Câu 9: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Đáp án là:

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x},y = x - 2.$

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.$

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x - 3)^{2}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{3} + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = (2x - 3)^{3} + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{6} + C}$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{2} + C}$
Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}$
Câu 11: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = 2x - 2$
- C. $y = x$
- D. $y = - x$
Ta có:
$\begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
$\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)$
Ta lại có: $f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1$
Câu 12: Thông hiểu
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x - 3)^2

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2}$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính giá trị của biểu thức $A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]$
- A. $A = 2$
- B. $A = 4$
- C. $A = 10$
- D. $A = - 4$
$F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}$
Ta có: $F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}$
$F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5$
=> $A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2$
Câu 13: Thông hiểu
Tính tích phân I

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.\sin xdx}$
- A.
  $I = 3$
- B.
  $I = 2$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = - 1$
Có hai cách để giải bài toán:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: Tích phân thành phần: $\left\{ \begin{matrix} \sin xdx = dv \\ x = u \\ \end{matrix} ight.$
Câu 14: Vận dụng cao
Xác định khẳng định chính xác nhất

Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 15: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x}{(1 - x)^{3}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{4(1- x)^{4}} + C$
- D.
  $F(x) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{4(1 - x)^{4}} + C$
Nhận thấy $x = 1$ là nghiệm bội ba của phương trình $(x - 1)^{3} = 0$ , do đó ta biến đổi:

$\frac{2x}{(1 - x)^{3}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{(1 - x)^{2}} + \frac{C}{(1 - x)^{3}}$

$=\frac{A\left( x^{2} - 2x + 1 ight) + B(1 - x) + C}{(1 - x)^{3}}$

$= \frac{Ax^{2} + ( - 2A - B)x + A + B + C}{(1 - x)^{3}}$

Từ đây ta có $\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ - 2A - B = 2 \\ A + B +C=0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = -2 \\ C = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $\int_{}^{}{\frac{2x}{(1 - x)^{3}}dx = \int_{}^{}\left( \frac{- 2}{(1 - x)^{2}} + \frac{2}{(1 - x)^{3}} ight)dx }$ $= \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C$
Câu 16: Thông hiểu
Cho giá trị của tích phân

Cho giá trị của tích phân ${I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = a$ , ${I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = b$ . Giá trị a.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A. $- \frac{2}{3}$
- B. $- \frac{2}{5}$
- C. $- \frac{1}{3}$
- D. $- \frac{1}{5}$
Ta có:
${I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\sin 3x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow a = - \frac{2}{3}$
$\begin{matrix} {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x} - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_e^{2e} \hfill \\ = \ln 2 - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow b = - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} + \ln 2 - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow a.b \approx - 0,2198$
Câu 17: Vận dụng
Chọn một nguyên hàm đúng

Một nguyên hàm của $f(x) = \frac{x}{cos^{2}x}$ là :
- A.
  $x\tan x - \ln|cosx|$
- B.
  $x\tan x + \ln(cosx)$
- C.
  $x\tan x + \ln|cosx|$
- D.
  $x\tan x - \ln\left| \sin x \right|$
Ta có: $I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{cos^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \tan x \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó:

$I = uv - \int_{}^{}{vdu} = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx}$

$= x\tan x + \ln\left| \cos x \right| + C$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{2}{3}} ightbrack + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} }$ $= \int_{}^{}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} ight)}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx }$ $= \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$

$= \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
Câu 19: Nhận biết
Tính tích phân I

Xác định tích phân $I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}$ ?
- A.
  $I = - \ln9$
- B.
  $I = \ln9$
- C.
  $I = - \ln3$
- D.
  $I = \ln3$
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}$

$= - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.e^{- x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ ?
- A.
  $- (x + 1)e^{- x} + 1$
- B.
  $- (x + 1)e^{- x} + 2$
- C.
  $(x + 1)e^{- x} + 1$
- D.
  $(x + 1)e^{- x} + 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}$

$= - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C$

$= - xe^{- x} - e^{- x} + C$ . Theo bài ra ta có: $F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2$

Vậy $- (x + 1)e^{- x} + 2$ là đáp án cần tìm.
Câu 21: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Hàm số $F(x) = e^{x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
- A.
  $f(x) = e^{x} - \frac{1}{sin^{2}x}$
- B.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{sin^{2}x}$
- C.
  $f(x) = e^{x}\left( 1 + \frac{e^{-x}}{cos^2x} \right)$
- D.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$
Ta có: $\left( e^{x} + \tan x + C \right)^{'} = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ .
Câu 22: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = 0$
- C.
  $I = - 1$
- D.
  $I = 2$
Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$ có giá trị là:

Cách 1: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Đáp án đúng là $I = 1$
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tích phân $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32$ . Tính tích phân $H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}$ ?
- A.
  $H = 64$
- B.
  $H = 8$
- C.
  $H = 16$
- D.
  $H = 32$
Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16$
Câu 24: Vận dụng
Tính thể tích của một vật thể

Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0;x = \pi$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt {\sin x}$
- A. $V = 8\sqrt 3$
- B. $V = 2\pi \sqrt 3$
- C. $V = 2\sqrt 3$
- D. $V = \sqrt 3$
Diện tích thiết diện là $S\left( x ight) = \frac{{{{\left( {2\sqrt {\sin x} } ight)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x$
Ta có thể tích cần tính là $V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx = \left. { - \sqrt 3 \cos x} ight|_0^\pi = } 2\sqrt 3$
Câu 25: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ ?
- A.
  $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- B.
  $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- C.
  $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- D.
  $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$
Câu 26: Nhận biết
Tìm kết luận sai

Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số $f$ xác định trên khoảng $D$ , câu nào là sai?

(I) $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $D$ nếu và chỉ nếu $\forall x \in D:F'(x) = f(x)$ .

(II) Nếu $f$ liên tục trên $D$ thì $f$ có nguyên hàm trên $D$ .

(III) Hai nguyên hàm trên $D$ của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
- A.
  Không có câu nào sai.
- B.
  Câu (I) sai.
- C.
  Câu (II) sai.
- D.
  Câu (III) sai.
Không có đáp án nào sai.
Câu 27: Vận dụng cao
Tính tổng S

Tính tổng $S = \frac{{{2^2}}}{2}C_{2018}^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_{2018}^2 + \frac{{{2^4}}}{4}C_{2018}^3 + .... + \frac{{{2^{2019}}}}{{2019}}C_{2018}^{2018}$
- A. $S = \frac{{{3^{2019}} + 4039}}{{2019}}$
- B. $S = \frac{{{3^{2018}} + 4039}}{{2019}}$
- C. $S = \frac{{{3^{2018}} - 4039}}{{2019}}$
- D. $S = \frac{{{3^{2019}} - 4039}}{{2019}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {\left( {1 + x} ight)^{2018}} = 1 + C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {1 + x} ight)^{2018}} - 1 = C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]dx = \int\limits_0^2 {\left( {C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}}} ight)dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \left. {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]} ight|_0^2 = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{{{x^3}}}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019}}C_{2019}^{2019}} ight)} ight|_0^2 \hfill \\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{{3^{2019}}}}{{2019}} - 2 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{3^{2019}} - 4039}}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {7^x}$ là
- A. ${7^x}\ln 7 + C$
- B. ${7^{x + 1}} + C$
- C. $\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}}$
- D. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$
Ta có:
$\int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C$
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right)$ có nguyên hàm là $F(x) = ax^{2} + \frac{b}{c}x^{5} + C$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = \frac{a + b + c}{a.b.c}$ .
- A.
  $T = \frac{1}{3}$
- B.
  $T = \frac{2}{5}$
- C.
  $T = \frac{1}{5}$
- D.
  $T = \frac{7}{3}$
Ta có: $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right) = 2x + 6x^{4}$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = x^{2} + \frac{6x^{5}}{5} + C$ khi đó $a = 1;b = 6;c = 5$

$\Rightarrow T = \frac{1 + 6 + 5}{1.6.5} = \frac{2}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $T = \frac{2}{5}$
Câu 30: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tích phân $\int_{0}^{1}{xe^{- x^{2}}dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e - 1}{2}$
- B.
  $\frac{e + 1}{2e}$
- C.
  $\frac{e + 1}{2}$
- D.
  $\frac{e - 1}{2e}$
Ta có:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: $I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx} = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}$

$= - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{- x^{2}}d\left( - x^{2} ight)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}} ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e - 1}{2e}$
Câu 31: Vận dụng
Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$
- A.
  $F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = - \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
- C.
  $F(x) = - 2x\sqrt{x^{2} - 1}.e^{- 2x} + C$
- D.
  $F(x) = \sqrt{x^{1} - 1}.e^{- x} + C$
Ta có

$f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x} = \frac{\left( x^{2} - 1 ight) + x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$

$= \left\lbrack \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}$ $= \left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} - 1} ight)' + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$
Câu 32: Thông hiểu
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}$ . Tìm F(x).
- A. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}$
- B. $F\left( x ight) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}$
- C. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}$
- D. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
$F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }$
Theo bài ra ta có:
$F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
=> $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
Câu 33: Vận dụng cao
Tính thể tích V

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 34: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 35: Vận dụng
Tính diện tích nhỏ nhất

Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}$
- B.
  $1$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $\frac{2}{5}$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0$

Vì $\Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R}$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2}$ với $x_{1} < x_{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}$

$= \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|$

$= \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là $\frac{4}{3}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}$
- A. $F\left( x ight) = \frac{3}{4}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C$
- B. $F\left( x ight) = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C$
- C. $F\left( x ight) = \frac{x}{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }} + C$
- D. $F\left( x ight) = \sqrt {x + 1} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + C$
Đặt $t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$
$F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }$
$= \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C$
Câu 38: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx =}F(x) + C.$
- B.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f(x).$
- C.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
- D.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = F'(x).$
Mệnh đề sai $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$ . Khi đó số điểm cực trị của hàm số $F(x)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Ta có: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Do $x = - 2;x = 1$ là nghiệm bội 1 còn $x = 2$ là nghiệm bội 2 nên hàm số $F(x)$ có hai điểm cực trị.
Câu 40: Nhận biết
Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3

Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t ight) = {t^2} + 5t\left( {m/s} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A. $S = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$
- B. $S = \frac{{314}}{3}\left( m ight)$
- C. $S = \frac{{185}}{4}\left( m ight)$
- D. $S = \frac{{253}}{4}\left( m ight)$
Ta có: $v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt = \int {\left( {{t^2} + 5t} ight)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)}$
Do khi bắt đầu tăng tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ nên
${v_{\left( {t = 0} ight)}} = 15 \Rightarrow C = 18 \Rightarrow v\left( t ight) = v\left( t ight) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15\left( {m/s} ight)$
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:
$S = \int\limits_0^3 {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15} ight)dt} = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

28 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3