VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng

Cho biết $I = \int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $m - 7n$ bằng:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $91$
Đặt $u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}$ . Khi đó $x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx = 3u^{2}du$

Đổi cận

$I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1 ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} - u ight)du}$ $= \left. \ \frac{3}{2}\left( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{141}{20}$ . Suy ra $m = 141;n = 20$ . Do đó $m - 7n = 1$ .
Câu 2: Vận dụng
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = - \ln \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- B. $I = - \ln \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- C. $I = \ln \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- D. $I = \ln \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
Đặt $u = x + \sqrt {{x^2} + 9}$
$\Rightarrow du = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} ight)dx = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx = \frac{{udx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow u = 3 \hfill \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow I = \int\limits_3^{3 + 3\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}} = \left. {\left( {\ln \left| u ight|} ight)} ight|_3^{3 + 3\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } ight)$
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{x(x + 1)^{10}dx}$ . Nếu đặt $t=x+1$ thì $\int_{}^{}{f(t)dt}$ là
- A.
  $\frac{{{t^{10}}}}{{10}} + \frac{{{t^9}}}{9} + C$
- B.
  $\frac{{{t^{10}}}}{{10}} - \frac{{{t^9}}}{9} + C$
- C.
  $\frac{{{t^{12}}}}{{12}} + \frac{{{t^{11}}}}{{11}} + C$
- D.
  $\frac{{{t^{12}}}}{{12}} - \frac{{{t^{11}}}}{{11}} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{x(x + 1)^{10}dx} = \int_{}^{}{(t - 1).t^{10}dx}$

$= \int_{}^{}{\left( t^{11} - t^{10} \right)dx} = \frac{t^{12}}{12} - \frac{t^{11}}{11} + C$
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 5: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:
- A.
  $- \ln|t| + \ln|u| + C$ .
- B.
  $\ln|t| - \ln|u| + C$ .
- C.
  $\ln|t| + \ln|u| + C$ .
- D.
  $- \ln|t| - \ln|u| + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}$ .

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}$ .

Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C$
Câu 6: Vận dụng cao
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = x + 2$
- C. $y = 4x - 4$
- D. $y = x$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác $f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8$
=> $xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2$
Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 7: Vận dụng cao
Tìm số hữu tỉ a thỏa mãn đẳng thức

Biết $I = \int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + ae + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight)$ , a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A. 9
- B. -6
- C. -9
- D. 6
Ta có:
$I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {3{{\ln }^2}x + x} ight)}}{x}dx}$
Đặt $t = {\ln ^3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}{\ln ^2}x + 1$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow I = \int\limits_3^{1 + 3e} {\sqrt t } dt = \frac{2}{3}\left. {\left( {\sqrt {{t^3}} } ight)} ight|_3^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( {\sqrt {{{\left( {1 + 3e} ight)}^3}} - 3\sqrt 3 } ight)$
$= \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + 9e + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight) \Rightarrow a = 9$
Câu 8: Vận dụng
Xác định hàm số

Cho $F(x) = \ln\left( \ln\left( \ln x \right) \right)$ . Hỏi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f(x) = \frac{1}{x.ln\left( \ln x ight)}$
- B.
  $f(x) = \frac{1}{\ln\left( \ln\left( \ln x ight) ight)}$
- C.
  $f(x) = \frac{1}{\ln x.\ln\left( \ln x ight)}$
- D.
  $f(x) = \frac{1}{x.\ln x.\ln\left( \ln x ight)}$
Để tìm $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm $F(x)$ từ đó suy ra $f(x)$ .

Ta có

$F'(x) = \left\lbrack \ln\left( \ln\left( \ln x ight) ight) ightbrack'$

$= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\left\lbrack \ln\left( \ln x ight) ightbrack'$ $= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}\left( \ln x ight)'$

$= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}.\frac{1}{x} = \frac{1}{x.\ln x.\ln\left( \ln x ight)} = f(x)$ .
Câu 9: Nhận biết
Thực hiện tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{5}{2}$
- B. $I = \frac{7}{2}$
- C. $I = \frac{9}{2}$
- D. $I = \frac{{11}}{2}$
Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 10: Nhận biết
Tìm tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6$ ?
- A.
  $3\pi$
- B.
  $\pi - 1$
- C.
  $\pi$
- D.
  $2\pi$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1$

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

Diện tích hình phẳng là:

$V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|$

$= \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi$
Câu 12: Thông hiểu
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}$ . Tìm F(x).
- A. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}$
- B. $F\left( x ight) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}$
- C. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}$
- D. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
$F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }$
Theo bài ra ta có:
$F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
=> $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
Câu 13: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x) = \int_{}^{}{\left( x + \sin x \right)dx}$ biết $F(0) = 19$ .
- A. $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} + \cos x + 20$
- B. $F(x) = x^{2} + \cos x + 20$
- C. $F(x) = x^{2} - \cos x + 20$
- D. $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \cos x + 20$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( x + \sin x ight)dx = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + C}$

$F(0) = 19 \Rightarrow C = 20$ $\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + 20$
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Biết $xe^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f( - x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)e^{x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ . Giá trị của $F( - 1)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5 - e}{2}$
- C.
  $\frac{7 - e}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Ta có: $f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Do đó $f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra $f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Nên $f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)$

$\Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2$

Vậy $F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C$

Từ đó $F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2$

$F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Biết F(x) = x2 + 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x)

Biết F(x) = x²+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
- A. $f\left( 3 ight) = 6$
- B. $f\left( 3 ight) = 10$
- C. $f\left( 3 ight) = 22$
- D. $f\left( 3 ight) = 15$
$f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10$
Câu 16: Nhận biết
Tính tích phân

Giá trị của $D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx}$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $2^{2017} + 1$
- C.
  $2^{2017} - 1$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ và $F(4) + F( - 1) = 8$ . Giá trị biểu thức $Q = F( - 2) + F(12)$ bằng:
- A.
  $Q = 20$
- B.
  $Q = \frac{281}{16}$
- C.
  $Q = 27$
- D.
  $Q = \frac{121}{8}$
Ta có: $F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {2x + 1} + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$F(4) + F( - 1) = 8$ $\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8$ $\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)$

Do đó: $Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 + 1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ là:
- A.
  24 m/s
- B.
  23 m/s
- C.
  7 m/s
- D.
  8 m/s
Ta có $v = S' = 8t^{3} - 1$

Khi $t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ quay quanh trục hoành?
- A.
  $\frac{64\pi}{9}$
- B.
  $\frac{10\pi}{3}$
- C.
  $\frac{8\pi}{3}$
- D.
  $\frac{8\pi^{2}}{3}$
Xét $(E)$ có $a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2$ . Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ $( - 2;0),(2;0)$

Vì $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Do đó thể tích khối tròn xoay là $V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $f(0) = 2017;f(2) = 2018$ . Tính $T = f(3) - f( - 1)$ ?
- A.
  $T = \ln4035$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = \ln2$
- D.
  $T = 1$
Trên khoảng $(1; + \infty)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}$

Mà $f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018$

Trên khoảng $( - \infty;1)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}$

Mà $f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tính quãng đường của chất điểm

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_{0} = 18(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = t^{2} + 5t\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $3s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{117}{4}m$
- B.
  $S = \frac{333}{4}m$
- C.
  $S = \frac{63}{2}m$
- D.
  $S = 126m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 5t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 18$ nên $v_{(t = 0)} = 18 \Rightarrow C = 18$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{3}{v(t)dt} = \int_{0}^{3}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18 ight)dt} = \frac{333}{4}(m)$
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = cos3x.cosx$ . Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ bằng 0 khi $x = 0$ là:
- A.
  $3sin3x + \sin x$
- B.
  $\frac{sin4x}{8} + \frac{sin2x}{4}$
- C.
  $\frac{sin4x}{2} + \frac{sin2x}{4}$
- D.
  $\dfrac{cos4x}{8} +\dfrac{cos2x}{4}$
Ta có:

$F(x) =\int_{}^{}{\cos3x.\cos x.dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{(cos2x + cos4x)dx} = \frac{1}{8}sin4x + \frac{1}{4}sin2x + C$

$F(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}sin0 + \frac{1}{4}sin0 + C = 0$

$\Leftrightarrow C = 0$

Vậy $F(x) = \frac{cos4x}{8} + \frac{cos2x}{4}$
Câu 23: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng

Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và hai điểm $A;B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Hình vẽ minh họa
Gọi $A\left( a;a^{2} ight)$ và $(P):y = x^{2}$ là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
$(b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4$
$\Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $y = (b + a)x - ab$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}$
$= \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}$
Mặt khác $(b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4$ nên $|b -a| \leq 2$ do $1 + (b + a)^{2} \geq1$
Suy ra $S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}$
Vậy $S_{\max} = \frac{4}{3}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Câu 24: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức T

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018$ . Giá trị của biểu thức $T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight]$ là bao nhiêu?
- A. $1 + {\ln ^2}2$
- B. $2\ln 2$
- C. ${\ln ^2}2$
- D. 0
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.$
Khi đó
$\begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $f(0) = 0$ . Biết rằng $\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)d(x)}$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $f(0) = 0$ . Biết rằng $\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)d(x)}$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 27: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = 2x - 2$
- C. $y = x$
- D. $y = - x$
Ta có:
$\begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
$\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)$
Ta lại có: $f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1$
Câu 28: Thông hiểu
Tìm giá trị biểu thức

Cho hàm số $F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Giá trị biểu thức $a + 2b + 4c$ bằng:
- A.
  $1011$
- B.
  $- 3035$
- C.
  $1007$
- D.
  $- 5053$
Ta có: $F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}$

$= \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}$

Theo bài ra ta có:

$\Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035$
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\cos^{3}x}{\sin x}dx}$ bằng
- A.
  $\frac{1}{4} -\ln\sqrt{2}$
- B.
  $- \frac{1}{4} - \ln\sqrt{2}$
- C.
  $\frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$
- D.
  $- \frac{1}{4} + \ln\sqrt{2}$
Ta có:

Cách 1: Thử nghiệm

Cách 2: Đặt $\sin x = t$ .

Đáp án cần tìm $- \frac{1}{4} +\ln\sqrt{2}$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện

Giá trị dương a sao cho $\int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \frac{a^{2}}{2} + a + ln3$ là
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  2
Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}$

$= \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x + 1)}$

$= \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2} ight|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| ight|_{0}^{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|$

$= \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a + 1|$

$\Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 31: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 32: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm của $f(x) = \frac{x}{sin^{2}x}$ là :
- A.
  $x\cot x - \ln|sinx|$
- B.
  $- x\cot x + \ln\left( \sin x \right)$
- C.
  $- x\tan x + \ln|cosx|$
- D.
  $x\tan x - \ln\left| \sin x \right|$
Ta có: $I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó: $I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}$ $= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C$
Câu 33: Thông hiểu
Tính diện tích của hình phẳng

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ . Chọn khẳng định đúng:
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x + C}$ .
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan x + C}$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan|x| + C}$ .
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x}$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x} \right)dx =}\ln|x| + \tan x + C$
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C}$ . Khi đó $\int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{dx}}$ bằng:
- A.
  $\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + C$
- B.
  $x^{4} - x^{2} + C$
- C.
  $\frac{2}{3}x^{3} - x + C$
- D.
  Không được tính
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C} \Rightarrow f(x) = 2x - 1$

$\Rightarrow f\left( x^{2} \right) = 2\left( x^{2} \right) - 1 = 2x^{2} - 1$

$\int {f\left( {{x^2}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - x + C$
Câu 36: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 37: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ là:
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x - \ln\left( e^{x} + 1 ight)} + C$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln\left( e^{x} + 1 ight)} + C$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{\ln\left( e^{x} + 1 ight)}{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x\ln\left( e^{x} + 1 ight) + C}$
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài toán bằng bảng ở trên như sau:

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{x}} = \frac{\left( 1 + e^{x} ight) - e^{x}}{1 + e^{x}} = 1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

$= x' - \frac{\left( 1 + e^{x} ight)'}{1 + e^{x}} = x' - \left( \ln\left( e^{x} + 1 ight) ight)'$

$= \left( x - \ln\left( e^{x} + 1 ight) ight)' \Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = x - \ln\left( e^{x} + 1 ight) + C}$
Câu 38: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ ?
- A.
  $F(x) = - \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- B.
  $F(x) = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
- C.
  $F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- D.
  $F(x) = - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
Ta có: $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
Câu 39: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F(x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ ?
- A.
  $\int {f'\left( x ight){e^{2x}} = - {x^2} + 2x + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - x^{2} + x + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = 2x^{2} - 2x + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - 2x^{2} + 2x + C}$
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

$\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}$ .

Từ giả thiết, ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$

Suy ra $f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C$

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx$ .

Ta có $\int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}$

Từ giả thiết: $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x.cosx

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0$ . Tính $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight)$ .
- A. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}$
- B. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = 0$
- C. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}$
- D. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
$\begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4