VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x - 2)^{2} - 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,\ x = 2$ .
- A.
  $S = \frac{2}{3}$
- B.
  $S = \frac{1}{3}$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = \frac{4}{3}$
Xét phương trình $(x - 2)^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.$ .

Ta có:

$S = \int_{1}^{2}{\left| (x - 2)^{2} - 1 \right|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 4x + 3 \right|dx}$

$= \left| \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 3 \right)dx} \right| = \frac{2}{3}.$
Câu 3: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tích phân $I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- B.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- C.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- D.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx}$ có gái trị là:

Ta có:

$I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}$

Suy ra $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}$ .

Đặt $u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}$

$= \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)$

Xét $I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight)$ .

Xét $I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$ .

Đáp án đúng là $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Câu 5: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3$ bằng:
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $\frac{98}{3}$
- D.
  $21$
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

$S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}$
Câu 6: Vận dụng cao
Xác định khẳng định chính xác nhất

Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 3t + 2$ , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm $t = 2s$ thì vật đi được quãng đường là $10m$ . Hỏi tại thời điểm $t = 30s$ thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
- A.
  $240m$
- B.
  $1140m$
- C.
  $300m$
- D.
  $1410m$
Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 2s$ đến $t = 30s$

$S = \int_{2}^{30}{v(t)dt} = \int_{2}^{30}{(3t + 2)dt} = 1400m = S(30) - S(2)$

$\Rightarrow S(30) = 1400m + S(2) = 1410m$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^{4} + 5}{x + 1}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x - 6ln|x + 1| + C$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C}$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x - 6ln|x + 1| + C}$
Ta có $\int_{}^{}{\frac{x^{4} + 5}{x + 1}dx = \int_{}^{}{\frac{\left( x^{4} - 1 ight) + 6}{x + 1}dx}}$

$= \int_{}^{}{\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + 1 ight) + \frac{6}{x + 1} ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{\left( x^{3} - x^{2} + x - 1 ight)dx + 6\int_{}^{}\frac{d(x + 1)}{x + 1}}$

$= \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C$
Câu 9: Vận dụng
Xác định hàm số f(x)

Xác định hàm số f(x) biết rằng $f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4$
- A. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$
- B. $\frac{{{x^2} + 1}}{2} + 1$
- C. $\frac{{{x^2}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
- D. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1$
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Nguyên hàm $\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx}$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ .
- B.
  $- cos2x + \sin x + C$ .
- C.
  $- \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ .
- D.
  $- cos2x - \sin x + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} = - \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C$ .
Câu 12: Thông hiểu
Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số

Hàm số $F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A. $f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
- B. $f\left( x ight) = - 2\cos x + 3\sin x$
- C. $f\left( x ight) = - 2\cos x - 3\sin x$
- D. $f\left( x ight) = 2\cos x - 3\sin x$
$F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1) = 3$ và $x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$ với mọi $x > 0$ . Tính $f(2)$ ?
- A.
  $f(2) = 6$
- B.
  $f(2) = 2$
- C.
  $f(2) = 5$
- D.
  $f(2) = 3$
Ta có:

$x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$

$\Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1$

$\Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1$

$\Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C$

Với $x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0$

Do đó $xf(x) = 2x^{2} + x$

Vậy $2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ là:
- A.
  24 m/s
- B.
  23 m/s
- C.
  7 m/s
- D.
  8 m/s
Ta có $v = S' = 8t^{3} - 1$

Khi $t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm theo yêu cầu

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$ ?
- A.
  $3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$ .
- B.
  $\frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$ .
- C.
  $3\sqrt{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
- D.
  $3\sqrt{2}\sin x.cosx.sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$

$= 3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$

$= \frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$

$= \frac{3\sqrt{2}}{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx}$ .
- A.
  $I = - (2x + 1)e^{- x} + C$
- B.
  $I = - (2x - 1)e^{- x} + C$
- C.
  $I = - (2x + 3)e^{- x} + C$
- D.
  $I = - (2x - 3)e^{- x} + C$
Đặt $u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx$ ;

$e^{- x}dx = dv \Rightarrow v = - e^{- x}$

Lúc này ta có

$\int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx = - (2x - 1).e^{- x} + \int_{}^{}{2e^{- x}dx}}$

$= - (2x - 1).e^{- x} - 2e^{- x} + C = - (2x + 1)e^{- x} + C$
Câu 17: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:
- A.
  $2\sqrt[3]{t} + C$ .
- B.
  $6\sqrt[3]{t} + C$ .
- C.
  $3\sqrt[3]{t} + C$ .
- D.
  $12\sqrt[3]{t} + C$ .
Ta có:

$I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ quay quanh trục hoành?
- A.
  $\frac{64\pi}{9}$
- B.
  $\frac{10\pi}{3}$
- C.
  $\frac{8\pi}{3}$
- D.
  $\frac{8\pi^{2}}{3}$
Xét $(E)$ có $a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2$ . Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ $( - 2;0),(2;0)$

Vì $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Do đó thể tích khối tròn xoay là $V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}$
Câu 19: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

Họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = cot^{2}x$ là :
- A.
  $\cot x -x + C$
- B.
  $- \cot x - x + C$
- C.
  $\cot x + x + C$
- D.
  $\tan x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{cot^{2}xdx = \int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x + C}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 1)^{3}}dx}$ có giá trị là
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{8}$
- C.
  $- \frac{1}{8}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Ta có: Thử máy tính.

Gợi ý: $I = \int_{0}^{1}{\left\lbrack \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{3}} ightbrack d(x + 1)}$
Câu 21: Vận dụng
Chọn kết luận đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức $E;F;G;H$ xác định bởi $E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $F < E < G < H$
- B.
  $H < E < F < G$
- C.
  $E < H < G < F$
- D.
  $G < H < E < F$
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

$E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2$

$F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3$

$0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2$

$- 1 < H = f'(1) < 0$ (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

Như vậy $E < H < G < F$
Câu 22: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên $\left( {0; + \infty } ight)$ và thỏa mãn f(1) = 1, $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $2 < f\left( 5 ight) < 3$
- B. $1 < f\left( 5 ight) < 2$
- C. $4 < f\left( 5 ight) < 5$
- D. $3 < f\left( 5 ight) < 4$
Ta có: $f\left( x ight) > 0$ và $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}$
=> $\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}$
=> $\int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C$
Mà f(1) = 1 => $C = - \frac{4}{3}$ và $f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79$
Câu 23: Vận dụng
Tìm giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ , $f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f( - 2)$ là:
- A.
  $- 4$
- B.
  $4$
- C.
  $- 24$
- D.
  $24$
Ta có:

$f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}$

$\Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C$

Mặt khác $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy $f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}$

$\Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24$ .
Câu 24: Thông hiểu
Tính tích phân

Tính tích phân $I =\int_{0}^{\pi}{\cos^{3}x.\sin xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{\pi^{4}}{4}$
- B.
  $- \pi^{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Đặt $x = \pi - t$ . Ta có:

$I = - \int_{\pi}^{0}{\cos^{3}(\pi -t).\sin(\pi - t)dt} = - \int_{0}^{\pi}{\cos^{3}t.\sin tdt}$ suy ra $2I = 0 \Rightarrow I = 0$ .
Câu 25: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất $v = 50m/s$ , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m

Đáp án là:

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất $v = 50m/s$ , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m

Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng $(P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)$

Do $(P)$ đi qua gốc $O$ nên $c = 0$

$(P)$ có đỉnh là $I(10;50)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $(P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t$

Xe dừng lại khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.$

Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là $S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m$
Câu 26: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}}{\frac{x + 1}{x^{2}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = 1 - \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2}}$
- B.
  $I = 1 - \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$
- C.
  $I = 1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2}}$
- D.
  $I = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$
Ta có:

$I = \int_{e}^{e^{2}}{\frac{x + 1}{x^{2}}dx} = \int_{e}^{e^{2}}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} ight)dx}$ $= \left. \ \left( \ln|x| - \frac{1}{x} ight) ight|_{e}^{e^{2}} = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$ .

Đáp án đúng là $I = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{{{e^2}}}$ .
Câu 27: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Nếu $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C}$ thì $f(x)$ là hàm nào ?
- A.
  $e^{x} + cos^{2}x$
- B.
  $e^{x} - sin2x$
- C.
  $e^{x} + cos2x$
- D.
  $e^{x} + sin2x$
Ta có: $\left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tìm số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$ . Khi đó số điểm cực trị của hàm số $F(x)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $5$
Ta có: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Do $x = - 2;x = 1$ là nghiệm bội 1 còn $x = 2$ là nghiệm bội 2 nên hàm số $F(x)$ có hai điểm cực trị.
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$
Câu 30: Nhận biết
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:
- A. $I = 1$
- B. $I = 2$
- C. $I = -2$
- D. $I = -1$
Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - 2$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 31: Vận dụng cao
Tính tỉ số hai cạnh

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng
- A.
  $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
- C.
  $\frac{AB}{CD} = 2$
- D.
  $\frac{AB}{CD} = \sqrt[3]{2}$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.x^{2}$ $(P)$ .

$(P)$ đi qua điểm có tọa độ $( - 6; - 18)$ suy ra: $- 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ .

Từ hình vẽ ta có: $\frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$ .

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2}$ là

$S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD$ $y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2}$ là

$S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}$

Từ giả thiết suy ra $S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Vậy $\frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}$ là
- A.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 6 ight)e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}\left( x^{2} + 1 ight) + 5x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = \left( {5{x^2} + 3x} ight){e^x} + C$
- D.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$
Ta có $f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}$ $= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}$

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên $\Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 33: Thông hiểu
Tìm giá trị tích phân

Cho $\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2$ . Hãy tính $\int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $- 3$
Đặt $t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ ta có:

$2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4$

Vậy $\int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ là:
- A.
  $\ln\left| \cot\frac{x}{2} \right| + C$
- B.
  $\ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- C.
  $- \ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- D.
  $\ln\left| \sin x\right| +C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}$

$= \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right)$ có nguyên hàm là $F(x) = ax^{2} + \frac{b}{c}x^{5} + C$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = \frac{a + b + c}{a.b.c}$ .
- A.
  $T = \frac{1}{3}$
- B.
  $T = \frac{2}{5}$
- C.
  $T = \frac{1}{5}$
- D.
  $T = \frac{7}{3}$
Ta có: $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right) = 2x + 6x^{4}$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = x^{2} + \frac{6x^{5}}{5} + C$ khi đó $a = 1;b = 6;c = 5$

$\Rightarrow T = \frac{1 + 6 + 5}{1.6.5} = \frac{2}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $T = \frac{2}{5}$
Câu 36: Vận dụng cao
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2x - \sin x}}{{2 - 2\cos x}}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 + \ln 2} ight)$
- B. $I = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 2\ln \sqrt 2 - \ln 2} ight)$
- C. $I = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 - \ln 2} ight)$
- D. $I = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 2\ln \sqrt 2 + \ln 2} ight)$
Ta biến đổi: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2x - \sin x}}{{2 - 2\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{1 - \cos x}}dx} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}dx}$
Xét ${I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{1 - \cos x}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}dx}$
Đặt $\left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}dx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = - 2\cot \frac{x}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( { - 2x.\cot \frac{x}{2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\cot \frac{x}{2}dx} } ight] = \frac{1}{2}\left[ { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 } ight]$
Xét ${I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}dx}$
Đặt $t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \hfill \\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| t ight|} ight)} ight|} _{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{2}\ln 2$
$I = {I_1} - {I_2} = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 - \ln 2} ight)$
Câu 37: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 38: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b)$ và $C$ là hằng số thì $\int_{}^{}{f(x)dx} = F(x) + C$ .
- B.
  Mọi hàm số liên tục trên $(a;b)$ đều có nguyên hàm trên $(a;b)$ .
- C.
  $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)$ .
- D.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{/} = f(x)$ .
Đáp án sai là: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)$
Câu 39: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ ?
- A.
  $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- B.
  $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- C.
  $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- D.
  $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$
Câu 40: Thông hiểu
Tính vận tốc của khinh khí cầu

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao $162m$ so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $v(t) = 10t - t^{2}$ , trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $v(t)$ được tính theo đơn vị mét/phút $(m/p)$ . Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là:
- A.
  $7(m/p)$
- B.
  $9(m/p)$
- C.
  $5(m/p)$
- D.
  $3(m/p)$
Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s = 162m$

Ta có: $S = \int_{0}^{t_{0}}{\left( 10t - t^{2} ight)dt} = \left. \ \left( 5t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{t_{0}} = 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3}$ (với $t_{0}$ là thời điểm vật tiếp đất)

Cho $5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} = 162 \Leftrightarrow t_{0} = 9$ (Do $v(t) = 10t - t^{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 10$ )

Khi đó vận tốc của vật là: $v(9) = 10.9 - 9^{2} = 9(m/p)$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

33 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian