VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

Phần tô đậm được đính đá với giá thành $500.000đ/m^{2}$ . Phần còn lại được tô màu với giá thành $250.000đ/m^{2}$ .

Cho $AB = 4dm;BC = 8dm.$ Hỏi để trang trí $1000$ họa tiết như vậy cần số tiền bỏ ra là bao nhiêu?
- A.
  $106666667$ đồng
- B.
  $112548846$ đồng
- C.
  $126658533$ đồng
- D.
  $103555543$ đồng
Vì $AB = 4dm;BC = 8dm. \Rightarrow A( - 2;4),B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)$ .

Parabol là: $y = x^{2}$ hoặc $y = - x^{2}$

Diện tích phần tô đậm là $S_{1} = 4\int_{0}^{2}{x^{2}dx = \frac{32}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})}$

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32\begin{matrix} \\ \end{matrix}(m^{2})$

Diện tích phần trắng là $S_{2} = S - S_{1} = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})$

Tổng chi phí trang chí là: $T = \left( \frac{32}{3}.5000 + \frac{64}{3}.2500 \right).1000 \approx 106666667đ$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x \right)dx} = \left. \ \left( a\cos3x + bx\sin + c\sin2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}}$ . Giá trị của $3a + 2b + 4c$ là:
- A.
  – 1
- B.
  1
- C.
  – 2
- D.
  2
Ta có:

$I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \frac{1 + \cos2x}{2} ight)dx}$

$= \left. \ \left( - \frac{1}{3}cos3x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin2x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$\Rightarrow a = - \frac{1}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{4} \Rightarrow 3a + 2c + 4c = 1$
Câu 3: Nhận biết
Tìm kết quả đúng

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x \ln3}$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \ln(3x)$ .
- C.
  $y = \log_{3}x$ .
- D.
  $y = \ln\frac{x}{3}$ .
Ta có: $y = \log_{3}x$ $\Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hãy xác định hàm số $f(x)$ từ đẳng thức: $x^{2} + xy + C = \int_{}^{}{f(y)dy}$
- A.
  $f(x) = 2x$
- B.
  $f(x) = x$
- C.
  $f(x) = 2x + 1$
- D.
  Không tính được
Ta có: $\left( x^{2} + xy \right)' = x + C$

Vậy $f(x) = x$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị k của vận tốc

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $k\left( {m/s} ight)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t ight) = - 4t + k\left( {m/s} ight)$ . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 56m. Tính giá trị của $k$ ?
- A. $k = 20\left( {m/s} ight)$
- B. $k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)$
- C. $k = 12\sqrt 3 \left( {m/s} ight)$
- D. $k = 4\sqrt {26} \left( {m/s} ight)$
Khi dừng hẳn $- 4t + k = 0 \Rightarrow t = \frac{k}{4}\left( s ight)$
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
$S = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {\left( { - 4t + k} ight)dt}$
$= \left. {\left( { - 2{t^2} + kt} ight)} ight|_0^{\frac{k}{4}} = \frac{{ - {k^2}}}{8} + \frac{{{k^2}}}{4} = 56 \Rightarrow k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)$
Câu 6: Vận dụng cao
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = x + 2$
- C. $y = 4x - 4$
- D. $y = x$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác $f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8$
=> $xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2$
Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 7: Vận dụng
Tính tổng các giá trị tham số m

Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn $\int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $16$
- D.
  $24$
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$

$\Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0$

Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
$\left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight.$ .

Áp dụng hệ thứ Vi- et $\Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}$
Câu 8: Vận dụng
Tìm tập nghiệm của phương trình

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3}$ thỏa mãn $F(0) = - \frac{1}{3}ln4$ . Tổng các nghiệm của phương trình $3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $- 2$
- D.
  $4$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}$

$= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C$

$= \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C$

Theo bài ra ta có:

$F(0) = - \frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow C = 0$

Ta có:

$3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Câu 9: Vận dụng
Tính thể tích của vật thể

Cho một mô hình $3 - D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\ (cm)$ ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức $y = 3 - \frac{2}{5}x$ $(cm)$ , với $x(cm)$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị $cm^{3}$ ) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )
- A.
  $V \approx 29\left( cm^{3} \right)$
- B.
  $V \approx 25\left( cm^{3} \right)$
- C.
  $V \approx 32\left( cm^{3} \right)$
- D.
  $V \approx 35\left( cm^{3} \right)$
Xét một thiết diện parabol có chiều cao là $h$ và độ dài đáy $2h$ và chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ trên.

Parabol $(P)$ có phương trình $(P):y = ax^{2} + h,(a < 0)$

Có $B(h;0) \in (P)$ $\Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h$ $\Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}(do\ h > 0)$

Diện tích $S$ của thiết diện: $S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h \right)dx} = \frac{4h^{2}}{3}$ , $h = 3 - \frac{2}{5}x$

$\Rightarrow S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}$

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: $V = \int_{0}^{5}{S(x)dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}dx} \approx 28,888$

$\Rightarrow V \approx 29\ \ \left( cm^{3} \right)$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tích phân $\int_{0}^{1}{xe^{- x^{2}}dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e - 1}{2}$
- B.
  $\frac{e + 1}{2e}$
- C.
  $\frac{e + 1}{2}$
- D.
  $\frac{e - 1}{2e}$
Ta có:

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: $I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx} = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}$

$= - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{- x^{2}}d\left( - x^{2} ight)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}} ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e - 1}{2e}$
Câu 11: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm U

Họ nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}$ là:
- A.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
- B.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- C.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- D.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \cos x \right) \\dv = \dfrac{dx}{sin^{2}x} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = - \tan xdx \\v = - \cot x \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - \int_{}^{}{dx = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 5;3brack$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Biết rằng $F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}$ . Xác định tích phân $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2$
- B.
  $I = 11$
- C.
  $I = 19$
- D.
  $\frac{7}{2}$
Ta có: $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Biết rằng $A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ . Xác định $T = 4B - 2A$ ?
- A.
  $T = x - 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- B.
  $T = x + 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- C.
  $T = 3x - \ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- D.
  $T = 2x - \ln\left| \sin x + \cos x ight| + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm $\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx}$ .
- A.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
- B.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- C.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- D.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{2\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
Vì lũy thừa của $\sin x$ là số lẻ nên ta đổi biến $u = \cos x \Rightarrow du = \left( \cos x ight)'dx$ .

$\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx = - \int_{}^{}{\left( 1 - \cos^{2}x ight)^{2}.\cos^{2}x.\left( \cos ight)'dx}}$

$= - \int_{}^{}{\left( 1 - u^{2} ight)^{2}.u^{2}du}$

$= \int_{}^{}{\left( 2u^{4} - u^{2} - u^{6} ight)du}$

$= \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{7}}{7} + C$

$= \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\left( \ln x \right)^{2}} - \frac{1}{\ln x}$ là
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{\ln^{3}x} + \frac{1}{\ln^{2}x} + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{\ln^{3}x} - \frac{1}{\ln^{2}x} + C}$
- C.
  $\int {f\left( x ight)dx = \frac{x}{{\ln x}} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{- x}{\ln x} + C}$
Ta có $f(x) = \frac{1}{\left( \ln x ight)^{2}} - \frac{1}{\ln x} = \frac{1 - \ln x}{\left( \ln x ight)^{2}}$

$= \frac{( - x)'.\ln x - ( - x).\left( \ln x ight)'}{\left( \ln x ight)^{2}} = \left( \frac{- x}{\ln x} ight)'$

$\Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = \frac{- x}{\ln x} + C}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x) = 2x+ \frac{1}{\sin^2x}$ thỏa mãn $F(\frac{\pi}{4}) = - 1$ là:
- A.
  $F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}$
- B.
  $F(x) = cotx - x^{2} + \frac{\pi^{2}}{16}$
- C.
  $F(x) = - cotx + x^{2}$
- D.
  $F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( 2x +\frac{1}{sin^{2}x} \right)dx = x^2- \cot x} + C$

$F\left( \frac{\pi}{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \cot\frac{\pi}{4} + C = - 1$

$\Leftrightarrow C = \frac{\pi^{2}}{16}$

Vậy $F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}$
Câu 17: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Nguyên hàm $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- B.
  $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- C.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$ .
- D.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$
Câu 19: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}$
- A. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- B. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
- C. $\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- D. $\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = cos3x.cosx$ . Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ bằng 0 khi $x = 0$ là:
- A.
  $3sin3x + \sin x$
- B.
  $\frac{sin4x}{8} + \frac{sin2x}{4}$
- C.
  $\frac{sin4x}{2} + \frac{sin2x}{4}$
- D.
  $\dfrac{cos4x}{8} +\dfrac{cos2x}{4}$
Ta có:

$F(x) =\int_{}^{}{\cos3x.\cos x.dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{(cos2x + cos4x)dx} = \frac{1}{8}sin4x + \frac{1}{4}sin2x + C$

$F(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}sin0 + \frac{1}{4}sin0 + C = 0$

$\Leftrightarrow C = 0$

Vậy $F(x) = \frac{cos4x}{8} + \frac{cos2x}{4}$
Câu 21: Nhận biết
Tính vận tốc chuyển động

Cho một vật chuyển động có phương trình là: $s = 2t^{3} - \frac{2}{t} + 3$ (t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng $t = 2s$ là:
- A.
  3 m/s
- B.
  $\frac{49}{2}$ m/s
- C.
  12 m/s
- D.
  $\frac{47}{2}$ m/s
Ta có $v = s' = 6t^{2} + \frac{2}{t^{2}}$

Với $t = 2 \Rightarrow v = 6.2^{2} + \frac{2}{2^{2}} = \frac{49}{2}$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính thể tích của mô hình

Để hoàn thành bài tập làm mô hình của lớp, bạn Minh làm một mô hình có dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của mô hình (như hình vẽ), đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A, . $OO' = 5cm;OA = 10cm;OB = 20cm$ Tính thể tích của mô hình.
- A. $\frac{{1000\pi }}{3}$
- B. $500\pi$
- C. $\frac{{2500\pi }}{3}$
- D. $\frac{{2000\pi }}{3}$
Kí hiệu hình vẽ:
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng $OA = 10cm$ và đường cao là $OO' = 5cm$ là V₁
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là V₂.
Ta có: $V = {V_1} + {V_2}$
${V_1} = {5.10^2}\pi = 500\pi \left( {c{m^3}} ight)$
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng $\left( P ight):y = a{\left( {x - 10} ight)^2}$
Vì $(P)$ qua điểm $B\left( {0;20} ight)$ nên $a = \frac{1}{5}$
=> $\left( P ight):y = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} ight)^2} \Rightarrow x = 10 - \sqrt {5y}$ (vì $x < 10$ )
=> ${V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } ight)}^2}dy}$
$= \pi \left( {3000 - \frac{{8000}}{3}} ight) = \frac{{1000\pi }}{3}$
=> $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000\pi }}{3} + 500\pi$
$= \frac{{2500\pi }}{3}\left( {c{m^3}} ight)$
Câu 23: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Với phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}$ bằng:
- A.
  $\sin t + C$ .
- B.
  $- t + C$ .
- C.
  $- \cos t + C$ .
- D.
  $t + C$ .
Ta biến đổi: $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rbrack \Rightarrow dx = 2costdt$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{dt = t + C}$ .
Câu 24: Vận dụng
Tính nguyên hàm của I

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .
- A.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- B.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- C.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- D.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} ight)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight| ight) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Câu 25: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 26: Nhận biết
Tìm tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$
Câu 27: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s.

Khi xe dừng hẳn thì $v(t) = 0$ m/s nên $0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4$ s.

Nguyên hàm của hàm số vận tốc $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}$ , $C\mathbb{\in R}$ .

Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

$\int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40$ m.
Câu 28: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\int_{- 1}^{1}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{1}{x^{3}dx} ight|$
- B.
  $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
- C.
  $\int_{- 2}^{3}{\left| e^{x}(x + 1) ight|dx} = \int_{- 2}^{3}{e^{x}(x + 1)^{3}dx}$
- D.
  $\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - cos^{2}x}dx} = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$
Ta có: $x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Do $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
Câu 29: Vận dụng cao
Tổng các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn điều kiện

Biết ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a$ và ${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$ , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Biết ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a$ và ${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$ . Giá trị của a + b + c là:
Ta có:
${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \int\limits_0^1 {tdt} = 1$ , với $t = \tan x$
${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$
$\Rightarrow a = 1,b = \frac{1}{3},c = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b + c = 2$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định số nghiệm nguyên âm của phương trình

Số nghiệm nguyên âm của phương trình: $x^{3} - ax + 2 = 0$ với $a = \int_{1}^{3e}{\frac{1}{x}dx}$ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có:

$a = \int_{1}^{3e}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \left( \ln|x| ight) ight|_{1}^{3e} = 3 \Rightarrow x^{3} - 3x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$

Số nghiệm nguyên âm của phương trình: $x^{3} - ax + 2 = 0$ với $a = \int_{1}^{3e}{\frac{1}{x}dx}$ là: 2
Câu 31: Thông hiểu
Chọn hàm số thích hợp

Cho $F(x) = \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x -3}{x + 3} \right| + \frac{1}{12}$ . Hỏi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} - 9}}$
- B.
  $f(x) = \frac{1}{x - 9}$
- C.
  $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} + \frac{x}{12}$
- D.
  $f(x) = \frac{1}{x^{2} + 9} + \frac{x}{12}$
Cách 1: Ta có

$F'(x) = \left( \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x - 3}{x + 3} ight| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \frac{1}{6}.\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{6}.\frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}.\frac{6}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

Áp dụng công thức trên ta có ngay $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Giá trị biểu thức $F( - 1) - F(3)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $18$
- C.
  $8$
- D.
  $32$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 2$ tức là

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)$

$\Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32$

Do đó

$F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)$

$= - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18$
Câu 33: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 1$ là:
- A.
  $\cos x + C$
- B.
  $\cos x + x + C$
- C.
  $- \cos x + C$
- D.
  $- \cos x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C$
Câu 34: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 35: Vận dụng cao
Giá trị của biểu thức T

Biết $F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }}$ trên khoảng $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight)$ . Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
- A. 5
- B. 6
- C. 7
- D. 8
$\begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Vận dụng cao
Tính tỉ số hai cạnh

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng
- A.
  $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
- C.
  $\frac{AB}{CD} = 2$
- D.
  $\frac{AB}{CD} = \sqrt[3]{2}$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.x^{2}$ $(P)$ .

$(P)$ đi qua điểm có tọa độ $( - 6; - 18)$ suy ra: $- 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ .

Từ hình vẽ ta có: $\frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$ .

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2}$ là

$S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD$ $y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2}$ là

$S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}$

Từ giả thiết suy ra $S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Vậy $\frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .
Câu 37: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 38: Thông hiểu
Tính quãng đường xe phải đi

Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc $v = 10t$ (m/s) t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?
- A.
  10m
- B.
  20m
- C.
  30m
- D.
  40m
Ta có: $s = \int_{}^{}{10t.dt} \Rightarrow s = 5t^{2}$ .

Khi $v = 20m/s \Rightarrow t = 2 \Rightarrow s = 5.2^{2} = 20(m)$ .
Câu 39: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm

Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^{5}$ .Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $5x^4+C$ .
- B.
  $\frac{1}{6}x^6+C$ .
- C.
  $x^6+C$ .
- D.
  $6x^6+C$ .
Ta có $\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

28 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian