VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$ và $f(2) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x - 1$
- B.
  $y = 2x - 4$
- C.
  $y = 4x$
- D.
  $y = - 6x - 12$
Ta có: $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C$

Lại có $f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8$

Từ đó suy ra $xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

$y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)$

$\Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 2: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0$ . Giá trị của $e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}$

$= \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}$ $= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C$

Lại có $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0$

$\Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3$

Do đó: ${e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx}$
- A.
  $\frac{3sinx - sin3x}{12} + C$
- B.
  $\frac{3cosx - cos3x}{12} + C$
- C.
  $\frac{sin^{3}x}{3} + C$
- D.
  $sinx.cos^{2}x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx = \int_{}^{}{sin^{2}x.d\left( \sin x \right) = \frac{sin^{3}x}{3} + C}}$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \frac{3}{2}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{5}{2}$
- B.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} - \frac{1}{2}$
- C.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{3}{2}$
- D.
  $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + 2x$ suy ra $F(x)$ có dạng $e^{x} + x^{2} + C$

Theo bài ra ta có: $F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

Vậy $F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Khẳng định nào sau đây đúng.
- A.
  Chỉ có duy nhất một hằng số $C$ sao cho hàm số $y = F(x) + C$ là một nguyên hàm của hàm $f$ trên $K.$
- B.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .
- C.
  Chỉ có duy nhất hàm số $y = F(x)$ là nguyên hàm của $f$ trên $K.$
- D.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x$ thuộc $K$ và $C$ bất kỳ.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .”
Câu 7: Thông hiểu
Xác định hàm số

Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Xác định thể tích V

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ như hình vẽ:
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể đó.?
- A.
  $V = \sqrt{3}$
- B.
  $V = 3\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \pi$
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt{1 - x^{2}}$
Do đó, diện tích của thiết diện: $S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)$
$V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}$
$= \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Với a ≠ 0 khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $\int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C$ . Với $a e 0$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = F\left( {ax + b} ight) + C$
- B. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = aF\left( {ax + b} ight) + C$
- C. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{{ax + b}}F\left( {ax + b} ight) + C$
- D. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C$
Xét $\int {f\left( {ax + b} ight)dx}$ , đặt t = ax + b
=> $I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x$
=> $\int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x - 3)^{2}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{3} + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = (2x - 3)^{3} + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{6} + C}$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{2} + C}$
Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}$
Câu 11: Nhận biết
Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3

Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t ight) = {t^2} + 5t\left( {m/s} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A. $S = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$
- B. $S = \frac{{314}}{3}\left( m ight)$
- C. $S = \frac{{185}}{4}\left( m ight)$
- D. $S = \frac{{253}}{4}\left( m ight)$
Ta có: $v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt = \int {\left( {{t^2} + 5t} ight)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)}$
Do khi bắt đầu tăng tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ nên
${v_{\left( {t = 0} ight)}} = 15 \Rightarrow C = 18 \Rightarrow v\left( t ight) = v\left( t ight) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15\left( {m/s} ight)$
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:
$S = \int\limits_0^3 {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15} ight)dt} = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}$ là
- A.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 6 ight)e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}\left( x^{2} + 1 ight) + 5x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = \left( {5{x^2} + 3x} ight){e^x} + C$
- D.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$
Ta có $f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}$ $= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}$

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên $\Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 13: Thông hiểu
Xác định tích phân I

Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}\left( ax^{3} + \frac{b}{x + 2} \right)dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = - bln3$
- B.
  $I = \frac{a}{2} - bln3$
- C.
  $I = \frac{a}{2} + bln3$
- D.
  $I = bln3$
Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}\left( ax^{3} + \frac{b}{x + 2} ight)dx$ có giá trị là:

$I = \int_{- 1}^{1}\left( ax^{3} + \frac{b}{x + 2} ight)dx = \left. \ \left( \frac{a}{4}x^{4} + b\ln|x + 2| ight) ight|_{- 1}^{1} = bln3$ .

Đáp án đúng là $I = bln3$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
- A.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \left( \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ } \right)^{2}}.$
- B.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = 2\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- C.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx.\int_{}^{}\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- D.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Ta có:

$\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Khi đó:

$\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin^{3}x.\cos x$ và $F(0) = \pi$ . Tìm $F\left( \frac{\pi}{2} \right)$ .
- A.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \pi$
- B.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{4} + \pi$
- C.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
- D.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) =\pi$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =\int_{}^{}{\sin^{3}x.\cos x.dx}}$

$= \int_{}^{}{\sin^{3}x.d\left( \sin x ight) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + C}$

$F(0) \Rightarrow \pi \Rightarrow C = \pi \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + \pi$

$\Rightarrow F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
Câu 16: Vận dụng cao
Số điểm cực trị của hàm số

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight)$ . Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 5
- B. 4
- C. 3
- D. 2
$\begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0$ có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có 5 điểm cực trị
Câu 17: Vận dụng cao
Chọn công thức đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}$ biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của $3e^2F(x)$ ?
- A. ${e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}$
- B. $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
- C. ${e^{{x^3} - 3x}} + {e^2}$
- D. $e^{{x^3} - 3x} - 1$
Ta có:
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }$
Mà $F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
$\begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=> $F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}$ Hay $3e^2F(x) =$ $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
Câu 18: Vận dụng
Tính thể tích của vật

Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;\left( {0 \leqslant x \leqslant 1} ight)$ là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh $x$ và $\ln \left( {{x^2} + 1} ight)$ . Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x=1$ .
- A. $\ln 2 - 1$
- B. $\frac{1}{2}\left( {\ln 2 - 1} ight)$
- C. $\ln 2 - \frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{2}\ln 2 - 1$
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là $S\left( x ight) = x.\ln \left( {{x^2} + 1} ight)$
Ta có thể tích cần tính là:
$\begin{matrix} V = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {{x^2} + 1} ight)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\ln \left( {{x^2} + 1} ight)d\left( {{x^2} + 1} ight)} \hfill \\ = \left. {\frac{1}{2}.\left( {{x^2} + 1} ight)\ln \left( {{x^2} + 1} ight)} ight|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} ight)d\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} ight)} ight)} \hfill \\ = \ln 2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {2xd\left( x ight) = \ln 2 - \dfrac{1}{2}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ ?
- A.
  $m \in ( - 1;3)$
- B.
  $m \in ( - \infty; - 1)$
- C.
  $m\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 4;5 ight\}$
- D.
  $m \in ( - \infty;3)$
Tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ tồn tại khi và chỉ khi hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$

Mà hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0;4),(4;5),(5; + \infty)$

Nên hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$ khi và chỉ khi

$0 < 1 + m < 4 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \Rightarrow m \in ( - 1;3)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm cuả hàm số

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}$
- A. $\int {f\left( x ight)dx} = \frac{1}{2}\ln \left( {2x + 1} ight) + C$
- B. $\int {f\left( x ight)dx} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x + 1} ight)}^2}}} + C$
- C. $\int {f\left( x ight)dx} = \ln \left| {2x + 1} ight| + C$
- D. $\int {f\left( x ight)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C$
$\int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C$
Câu 21: Vận dụng
Tìm tập nghiệm S của phương trình

Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}}$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4$ . Tìm tập nghiệm S của phương trình $3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2$
- A. $S = \left\{ 2 ight\}$
- B. $S = \left\{ { - 2;2} ight\}$
- C. $S = \left\{ {2;1} ight\}$
- D. $S = \left\{ { - 2;1} ight\}$
$F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}$
Đặt $t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx$
$\int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}$
$= \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}$
$= \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C$
$F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0$
Ta có:
$\begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 22: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bới đường cong $y = \sqrt {{x^2} + 1}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
- A. $V = \frac{{4\pi }}{3}$
- B. $V = 2\pi$
- C. $V = \frac{4}{3}$
- D. $V = 2$
Thể tích cần tìm là: $v = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^2}dx} = \frac{{4\pi }}{3}$
Câu 23: Nhận biết
Xác định hàm số theo yêu cầu

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \sin(2x + 1)$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \cos(2x + 1)$ .
- B.
  $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - 2cos(2x + 1)$ .
- C.
  $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}\cos(2x + 1)$ .
- D.
  $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)$ .
Ta có:

$\left( \frac{1}{2}x^{2} - \cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 2sin(2x + 1)$ .

$\left( \frac{1}{2}x^{2} - 2cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 4sin(2x + 1)$ .

$\left( \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x - \sin(2x + 1)$ .

$\left( \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x + \sin(2x + 1)$ .

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \sin(2x + 1)$ .
Câu 24: Nhận biết
Xác định các mệnh đề đúng

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ là hàm số liên tục, có $F(x),G(x)$ lần lượt là nguyên hàm của $f(x),g(x)$ . Xét các mệnh đề sau:

(I). $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x).$

(II). $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ với $k \in \mathbb{R}$ .

(III). $F(x).G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).g(x).$

Các mệnh đúng là
- A.
  (I).
- B.
  (I) và (II).
- C.
  Cả 3 mệnh đề.
- D.
  (II).
Các mệnh đề đúng là:

(I) $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x).$

(II). $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ với $k \in \mathbb{R}$ .
Câu 25: Vận dụng
Xác định số cực trị của đồ thị hàm số

Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ . Hỏi đồ thị của hàm số $y = F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ nên suy ra $F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$

Ta có: $F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)$

Xét hàm số $g(x) = x - \cos x$ trên $\lbrack - 1;1brack$ , ta có: $g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack$ suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\lbrack - 1;1brack$ .

Vậy phương trình $g(x) = x - \cos x = 0$ có nhiều nhất một nghiệm trên $\lbrack - 1;1brack$ (2)

Mặt khác ta có hàm số $g(x) = x - \cos x$ liên tục trên $(0;1)$ và $\left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên $g(0)g(1) < 0$ .

Suy ra tồn tại $x_{0} \in (0;1)$ sao cho $g\left( x_{0} ight) = 0$ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình $F'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất $x_{0} eq 0$ .

Đồng thời vì $x_{0}$ là nghiệm bội lẻ nên $F'(x)$ đổi dấu qua $x = x_{0}$

Vậy đồ thị hàm số $y = F(x)$ có một điểm cực trị.
Câu 26: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = 3x + \cos 3x$
- A. $3\left( {1 + \sin 3x} ight) + C$
- B. $\frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C$
- C. $\frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{\sin 3x}}{3} + C$
- D. $3{x^2} + \sin 3x + C$
Ta có: $\int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}$
Câu 27: Vận dụng
Tính thể tích của vật thể

Cho một mô hình $3 - D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\ (cm)$ ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức $y = 3 - \frac{2}{5}x$ $(cm)$ , với $x(cm)$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị $cm^{3}$ ) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )
- A.
  $V \approx 29\left( cm^{3} \right)$
- B.
  $V \approx 25\left( cm^{3} \right)$
- C.
  $V \approx 32\left( cm^{3} \right)$
- D.
  $V \approx 35\left( cm^{3} \right)$
Xét một thiết diện parabol có chiều cao là $h$ và độ dài đáy $2h$ và chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ trên.

Parabol $(P)$ có phương trình $(P):y = ax^{2} + h,(a < 0)$

Có $B(h;0) \in (P)$ $\Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h$ $\Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}(do\ h > 0)$

Diện tích $S$ của thiết diện: $S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h \right)dx} = \frac{4h^{2}}{3}$ , $h = 3 - \frac{2}{5}x$

$\Rightarrow S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}$

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: $V = \int_{0}^{5}{S(x)dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}dx} \approx 28,888$

$\Rightarrow V \approx 29\ \ \left( cm^{3} \right)$
Câu 28: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm U

Họ nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}$ là:
- A.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
- B.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- C.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- D.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \cos x \right) \\dv = \dfrac{dx}{sin^{2}x} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = - \tan xdx \\v = - \cot x \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - \int_{}^{}{dx = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Chọn hàm số thích hợp

Cho $F(x) = \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x -3}{x + 3} \right| + \frac{1}{12}$ . Hỏi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} - 9}}$
- B.
  $f(x) = \frac{1}{x - 9}$
- C.
  $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} + \frac{x}{12}$
- D.
  $f(x) = \frac{1}{x^{2} + 9} + \frac{x}{12}$
Cách 1: Ta có

$F'(x) = \left( \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x - 3}{x + 3} ight| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'$

$= \frac{1}{6}.\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{6}.\frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}.\frac{6}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

Áp dụng công thức trên ta có ngay $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Biết rằng $f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}}$ và $3f(0) = 4$ . Tìm hàm số $f(x)$ ?
- A.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
- B.
  $\frac{1 + x^{2}}{3} + 1$
- C.
  $\frac{x^{2}\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
- D.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
Ta có: $f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C$

Mà $3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
Câu 31: Vận dụng
Tính tích phân chứa tham số

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- B. $I = - \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- C. $I = - \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- D. $I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
Ta có:
$I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} dx$
Đặt $u = x + \sqrt {{x^2} + 4} \Rightarrow du = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$
$I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_2^{1 + \sqrt 5 } {\frac{1}{u}du} = \left. {\frac{a}{{\sqrt 3 }}\left( {\ln u} ight)} ight|_2^{1 + \sqrt 5 } = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
Câu 32: Vận dụng cao
Xác định giá trị tích phân

Tích phân $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{5\pi}{3}$
- B.
  $I = \frac{5\pi}{6}$
- C.
  $I = - \frac{5\pi}{3}$
- D.
  $I = - \frac{5\pi}{6}$
Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

Cách 1:

Ta có: $\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x$ và $4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x)$ .

$I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}$ .

Xét $I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Đặt $t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0$ .

$\Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 33: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}$
- A.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{2} +C$
- B.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x +\sin2x}{2} +C$
- C.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
- D.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
$I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}$

Đặt $x - 1 = u \Rightarrow dx = du$ .

$\sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x$

Khi đó $I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}$

$= \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{2}{3}} ightbrack + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} }$ $= \int_{}^{}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} ight)}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx }$ $= \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$

$= \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số a thỏa mãn điều kiện

Cho $\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = \frac{1}{3}\ln a$ ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  4
- D.
  5
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = ... = \int_{1}^{2}{\frac{1}{3t}dt} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{1}^{2} = \frac{1}{3}ln2 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 36: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \cos4x$ có một nguyên hàm là $F(x)$ ; $F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{4} + 2x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - 4\cos4x + 2x +C$
- C.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - \cos4x + 2x +C$
- D.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{16} + 2x + C$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C$

$F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2 \Rightarrow C = 2$

Ta được $F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm $\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx}$ .
- A.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
- B.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- C.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- D.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{2\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
Vì lũy thừa của $\sin x$ là số lẻ nên ta đổi biến $u = \cos x \Rightarrow du = \left( \cos x ight)'dx$ .

$\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx = - \int_{}^{}{\left( 1 - \cos^{2}x ight)^{2}.\cos^{2}x.\left( \cos ight)'dx}}$

$= - \int_{}^{}{\left( 1 - u^{2} ight)^{2}.u^{2}du}$

$= \int_{}^{}{\left( 2u^{4} - u^{2} - u^{6} ight)du}$

$= \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{7}}{7} + C$

$= \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$ .
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 3x^{2} + 1$ thỏa $F(1) = 0$ là:
- A.
  $F(x) = x^{3} - 1$
- B.
  $F(x) = x^{3} + x - 2$
- C.
  $F(x) = x^{3} - 4$
- D.
  $F(x) = 2x^{3} - 2$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = x^{3} + x + C = F(x)$ mà $F(1) = 0$ khi đó:

$1^{3} + 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 2$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = x^{3} + x - 2$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 200 - 20t(m/s)$ . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?
- A.
  5 s
- B.
  8 s
- C.
  15 s
- D.
  10 s
Khi tàu dừng hẳn: $v = 0 \Rightarrow t = 10(s)$

$S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(200 - 2t)dt \Rightarrow s = 200t - t^{2}$

$S = 750 \Rightarrow 200t - t^{2} = 750 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 15 > 0(ktm) \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta t = 10 - 5 = 5(s)$
Câu 40: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}}$ bằng:
- A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C$
- B. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{1010}} + C$
- C. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C$
- D. $4038{\left( {2x + 1} ight)^{2018}} + C$
$\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}$
$= \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

31 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian