VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}}$ , tính $n + a$ ?

Đáp án: 5

Đáp án là:

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\ \ m$ , chiều rộng chân đế $12\ \ m$ . Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$ , $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}}$ , tính $n + a$ ?

Đáp án: 5

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.x^{2}\ \ \ (P)$ .

Do $(P)$ đi qua điểm có tọa độ $( - 6; - 18)$ suy ra: $- 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ .

Từ hình vẽ ta có: $\frac{AB}{CD} = \frac{b}{d}$ .

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol $(P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}b^{2}$ là:

$S_{1} = 2\int_{0}^{b}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}b^{2} ight) ightbrack dx}\left.= 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}b^{2}x ight) ight|_{0}^{b} = \frac{2}{3}b^{3}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $CD$ : $y = - \frac{1}{2}d^{2}$ là :

$S_{2} = 2\int_{0}^{d}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}d^{2} ight) ightbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}d^{2}x ight) ight|_{0}^{d} = \frac{2}{3}d^{3}$

Từ giả thiết suy ra $S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow d^{3} = 2b^{3} \Leftrightarrow \frac{b}{d} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Do đó $\frac{AB}{CD} = \frac{b}{d} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Rightarrow n = 3;a = 2$ nên $n + a = 5$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{2} + 3x + C$
- B.
  $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
- C.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{3} + 3x + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}f(x)dx = 2x + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} + 3x \right)' = x^{2} + 3;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .

Vậy đáp án cần tìm là $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
- A.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \left( \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ } \right)^{2}}.$
- B.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = 2\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- C.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx.\int_{}^{}\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- D.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Ta có:

$\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Khi đó:

$\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Câu 4: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:
- A.
  $2\sqrt[3]{t} + C$ .
- B.
  $6\sqrt[3]{t} + C$ .
- C.
  $3\sqrt[3]{t} + C$ .
- D.
  $12\sqrt[3]{t} + C$ .
Ta có:

$I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C$ .
Câu 5: Thông hiểu
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

Cho hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b,(a < b)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{f(x)dx} ight|$
- D.
  $S = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}$

$= - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

Vậy đáp án cần tìm là: $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm câu sai

Câu nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $F'(t) = f(t)$ thì $F^{/}\left( u(x) \right) = f\left( u(x) \right)$ .
- B.
  $\int_{}^{}{f(t)\ dt} = F(t) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( u(x) \right)u'(x)\ dx} = F\left( u(x) \right) + C$ .
- C.
  Nếu $G(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(t)$ thì $G\left( u(x) \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( u(x) \right).u^{/}(x)$ .
- D.
  $\int_{}^{}{f(t)\ dt} = F(t) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(u)\ du} = F(u) + C$ với $u = u(x)$ .
Câu sai cần tìm là: Nếu $F'(t) = f(t)$ thì $F^{/}\left( u(x) \right) = f\left( u(x) \right)$ .
Câu 7: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0$ và $f(3) = 1$ . Biết $\int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2}$ với $a;b \in \mathbb{R}^{+}$ . Giá trị của biểu thức $a + b$ là:
- A.
  $35$
- B.
  $29$
- C.
  $11$
- D.
  $7$
Tính $I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x + 1)}dx$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}$

$= 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 - \frac{3}{2}$

Tính $J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u_{J} = x \\ dv_{J} = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du_{J} = dx \\ v_{J} = f(x) \\ \end{matrix} ight.$ khi đó

$J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left. \ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx$

Mà $\int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0$

$\Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0$

$\Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 32 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 35$
Câu 8: Thông hiểu
Xác định giá trị nguyên của tham số a

Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax - 2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1$ . Giá trị nguyên của a là:
- A.
  $a = 5$
- B.
  $a = 6$
- C.
  $a = 7$
- D.
  $a = 8$
Ta có: $\left( ax^{2} - 4x ight)' = 2ax - 4 = 2(ax - 2)$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2ax - 4}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx$ .

Đặt $t = ax^{2} - 4x \Rightarrow dt = (2ax - 4)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8 \\ x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = \frac{1}{2}\int_{a - 4}^{4a - 8}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{a - 4}^{4a - 8} = \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4}$

Theo đề bài:

$I = 2\sqrt{3} - 1 \Leftrightarrow \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4} = 2\sqrt{3} - 1$

$\Leftrightarrow ..... \Leftrightarrow a = 5$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight)$ là:
- A.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2}$
- B.
  $2x^{2}\ln x + x^{2}$
- C.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2} + C$
- D.
  $2x^{2}\ln x + x^{2} + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}$

$= \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x}$ và $f(4) = \ln\frac{16}{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = 2^{x} + 2\sqrt{x^{3}} +\frac{16}{\ln2} - 32$
- B.
  $f(x) = 2^{x}\ln2 + \sqrt{x^{3}} -8$
- C.
  $f(x) = 2^{x} + \sqrt{x^{3}} +\frac{16}{\ln2} - 24$
- D.
  $f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}$

$= \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C$ .

Theo bài ra ta có:

$f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16$

Vậy $f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C$ với $a;b$ là các số hữu tỉ. Khi đó $a - b$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1$ .
Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Thông hiểu
Thể tích V của khối tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bời các đường thẳng $y = 0;y = x\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)} ;x = 1$ xung quanh trục Ox là:
- A. $V = \frac{{5\pi }}{6}$
- B. $V = \frac{\pi }{6}\left( {12\ln 2 - 5} ight)$
- C. $V = \frac{{5\pi }}{{18}}$
- D. $V = \frac{\pi }{{18}}\left( {12\ln 2 - 5} ight)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $Ox$ là $x\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)} = 0 \Rightarrow x = 0$
Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx}$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln \left( {1 + x} ight)} \\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}} \\ {v = \dfrac{{{x^3} + 1}}{3}} \end{array}} ight.$
Ta có:
$\begin{matrix} V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx} \hfill \\ = \pi \left\{ {\left. {\dfrac{{{x^3} + 1}}{3}\ln \left( {x + 1} ight)} ight|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 1} ight)dx} } ight\} \hfill \\ = \dfrac{{\pi \left( {12\ln 2 - 5} ight)}}{{18}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin^{3}x.\cos x$ và $F(0) = \pi$ . Tìm $F\left( \frac{\pi}{2} \right)$ .
- A.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \pi$
- B.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{4} + \pi$
- C.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
- D.
  $F\left( \frac{\pi}{2} ight) =\pi$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =\int_{}^{}{\sin^{3}x.\cos x.dx}}$

$= \int_{}^{}{\sin^{3}x.d\left( \sin x ight) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + C}$

$F(0) \Rightarrow \pi \Rightarrow C = \pi \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + \pi$

$\Rightarrow F\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} + \pi$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là:
- A.
  $- \ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- B.
  $2ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- C.
  $- \frac{\ln\left| \cos x - 3 \right|}{2} + C$
- D.
  $4ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left| \cos x - 3 \right| + C}}$
Câu 16: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ ?
- A.
  $F(x) = 2x + 3 + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$ .
- D.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
Ta có: $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$

Xét từng đáp án ta thấy:

$\left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x \right)' = x^{2} + 3x + 2$ .

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên $\left( {0; + \infty } ight)$ và thỏa mãn f(1) = 1, $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $2 < f\left( 5 ight) < 3$
- B. $1 < f\left( 5 ight) < 2$
- C. $4 < f\left( 5 ight) < 5$
- D. $3 < f\left( 5 ight) < 4$
Ta có: $f\left( x ight) > 0$ và $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}$
=> $\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}$
=> $\int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C$
Mà f(1) = 1 => $C = - \frac{4}{3}$ và $f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79$
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Giá trị biểu thức $F( - 1) - F(3)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $18$
- C.
  $8$
- D.
  $32$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 2$ tức là

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)$

$\Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32$

Do đó

$F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)$

$= - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18$
Câu 20: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- B.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
- C.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- D.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.$
Câu 21: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:
- A.
  $- \ln|t| + \ln|u| + C$ .
- B.
  $\ln|t| - \ln|u| + C$ .
- C.
  $\ln|t| + \ln|u| + C$ .
- D.
  $- \ln|t| - \ln|u| + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}$ .

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}$ .

Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C$
Câu 22: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}$
- A. $- \frac{1}{{2{e^{2x}}}} + \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
- B. $\frac{1}{{2{e^{2x}}}} + \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
- C. $\frac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C$
- D. $- \frac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C$
$\begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính số tiền cần xây cầu

Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết $1\ m^{3}$ khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.
- A.
  $42m^{3}$
- B.
  $40\ m^{3}$
- C.
  $45m^{3}$
- D.
  $47m^{3}$
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

.

Gọi $\left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1}$ là Parabol đi qua hai điểm $A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)$

Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2$ .

Gọi $\left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2}$ là Parabol đi qua hai điểm $C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)$

Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}$ .

Ta có thể tích của bê tông là:

$V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}$ .

Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: $5.40 = 200$ triệu đồng
Câu 24: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}$ ?
- A.
  $S = \frac{5}{4}$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = \frac{3\pi}{2}$
- D.
  $S = 1$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}$

Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm thương số giữa b và c

Biết tích phân $I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = a$ . Giá trị của $I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = bln2 - cln5$ . Thương số giữa b và c là:
- A.
  – 2
- B.
  – 4
- C.
  2
- D.
  4
Ta có:

$I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{\frac{5}{8}}^{2}$ .

$= \frac{4}{3}ln2 - \frac{1}{3}ln5 \Rightarrow b = \frac{4}{3},c = - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{b}{c} = - 4$
Câu 26: Thông hiểu
Tính tích phân

Tích phân $I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $\frac{e^{2}}{2}$
- C.
  $\frac{e^{2} - 3}{4}$
- D.
  $\frac{e^{2} - 3}{2}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x ight)dx} = - \int_{1}^{e}{2x.lnxdx} + \int_{1}^{e}{2xdx}$

$= e^{2} - 1 - 2\int_{1}^{e}{x.lnxdx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}dx = du \\ \frac{x^{2}}{2} = v \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{e}{x\ln xdx} = \int_{1}^{e}{udv} = \left. \ uv ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{vdu}$

$= \left. \ \ln x.\frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}$

$\Rightarrow I = e^{2} - 1 - \frac{e^{2} + 1}{2} = \frac{e^{2} - 3}{2}$
Câu 27: Vận dụng
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} ight)}^2}}}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} ight)}^2}}}dx}$
- B. $I = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} ight) + \frac{3}{8}$
- C. $I = - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} ight) + \frac{3}{8}$
- D. $I = - \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} ight) + \frac{3}{8}$
Ta có:
$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} ight)}^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} ight)}^2}}}dx} I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight)} ight]}^2}}}dx}$
Đặt $u = x + \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi }{6} \Rightarrow dx = du$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow u = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \left( {u - \frac{\pi }{6}} ight)}}{{4{{\sin }^2}u}}du} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin u.\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}\cos u}}{{4{{\sin }^2}u}}du}$
$= \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 .\sin u - \cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} = \frac{1}{8}\left( {\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} } } ight)$
Xét ${I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du}$
Đặt $t = \cos u,u \in \left[ {0;\pi } ight] \Rightarrow dt = - \sin udu$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} u = - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_1} = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\frac{{\sqrt 3 dt}}{{1 - {t^2}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} ight)} dt$
$= \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left. {\left( {ln\left| {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} ight|} ight)} ight|_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} ight)$
Xét ${I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du}$
Đặt $t = \sin u,u \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dt = \cos udu$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} u = - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \hfill \\ u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
${I_2} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{{t^2}}}du} = \left. {\left( { - \frac{1}{t}} ight)} ight|_{ - \frac{1}{2}}^1 = - 3$
$\Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( {{I_1} - {I_2}} ight) = - \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} ight) + \frac{3}{8}$
Câu 28: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx =}F(x) + C.$
- B.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f(x).$
- C.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
- D.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = F'(x).$
Mệnh đề sai $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Thể tích $V$ của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 1$ khi quay quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{9}{15}$
- B.
  $V = \frac{8\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{8}{15}$
- D.
  $V = \frac{9\pi}{15}$
Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ và trục hoành là:

$x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( x^{4} + x^{2} ight)dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{8\pi}{15}$
Câu 30: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3} + 3x + 2$ là hàm số nào trong các hàm số sau?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{3} + 3x^{2} + 2x + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C$ .
- D.
  $F(x) = 3x^{2} + 3x + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)' = \frac{4x^{3}}{4} + \frac{3.2x}{2} + 2 = x^{3} + 3x + 2$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ nên $\int_{}^{}{f(x)dx} = F(x)$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C$
Câu 31: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = - 3x^{2} +2x - 1$ bằng
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)}\ dx = 6x +2$ .
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)}\ dx = - 6x +2$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)}\ dx = x^{3} + x^{2}- x + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C$
Câu 32: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Giả sử $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Khi đó:
- A.
  $F(x) = G(x)$ trên khoảng $(a;b)$ .
- B.
  $G(x) = F(x) - C$ trên khoảng $(a;b)$ , với $C$ là hằng số.
- C.
  $F(x) = G(x) + C$ với mọi $x$ thuộc giao của hai miền xác định, $C$ là hằng số.
Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Giả sử $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ . Khi đó $G(x) = F(x) - C$ trên khoảng $(a;b)$ , với $C$ là hằng số.
Câu 33: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 3x$
- A. $3\sin 3x + C$
- B. $\frac{{\sin 3x}}{3} + C$
- C. $\sin 3x + C$
- D. $\cos 3x + C$
Ta có: $\int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C$
Câu 34: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C.
  Cả hai đều đúng.
- D.
  Cả hai đều sai.
Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."
Câu 35: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}$ là
- A.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x- 1}{x - 2} ight| + C$
- B.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$
- C.
  $F(x) = - 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
- D.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
Phân tích

Ta có:

$\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}$

$= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}$

Khi đó $(A + B)x - 2A - B = 4x - 3$ , đồng nhất hệ số thì ta được

$\left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Giải chi tiết

Ta có $\int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}$ $= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}$

$= - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C$

$= 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$ $= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

$\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }$ $= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C$
Câu 36: Vận dụng
Tìm quãng đường vật chuyển động

Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc $a = 0,3$ (m/s²). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.
- A.
  12000m
- B.
  240 m
- C.
  864000 m
- D.
  3200 m
Ta có $v(t) = \int_{}^{}{0,3dt} = 0,3t$ (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

$\int_{0}^{40.60}{0,3tdt} = \frac{0,3}{2}.t^{2}|_{0}^{2400} = 864000(m)$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
- A.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \left( \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ } \right)^{2}}.$
- B.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = 2\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- C.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}dx = \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx.\int_{}^{}\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)dx\ }}.$
- D.
  $\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Ta có:

$\left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

$= 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Khi đó:

$\int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}$ $= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }$ ${- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}$
Câu 38: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}$
- A.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{2} +C$
- B.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x +\sin2x}{2} +C$
- C.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
- D.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
$I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}$

Đặt $x - 1 = u \Rightarrow dx = du$ .

$\sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x$

Khi đó $I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}$

$= \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C$
Câu 39: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ quay quanh trục hoành?
- A.
  $\frac{64\pi}{9}$
- B.
  $\frac{10\pi}{3}$
- C.
  $\frac{8\pi}{3}$
- D.
  $\frac{8\pi^{2}}{3}$
Xét $(E)$ có $a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2$ . Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ $( - 2;0),(2;0)$

Vì $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Do đó thể tích khối tròn xoay là $V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}$
Câu 40: Vận dụng
Tính nguyên hàm của I

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .
- A.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- B.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- C.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- D.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} ight)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight| ight) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1