Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} ?

    Ta có f(x) = \frac{e^{x} +
x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}

    = \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x}
= \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack
e^{x}

    \Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Hàm số f(x) = x^3 + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x)

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\
y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\
\end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x -
2} với các trục tọa độ là: S =
\int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x
- 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2}
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x
+ 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left(
x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x +
C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right) với x > 0.

    Ta có

    f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) =
x(1 + 2\ln x)

    = x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x =
x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2}
ight)'.\ln x

    = \left( x^{2}\ln x ight)'
\Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx}  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^3} + 2x} ight)dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Xét {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}

    Đặt \left\{ \begin{gathered}  u = x \hfill \\  dv = \cos xdx \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  du = dx \hfill \\  v = \sin x \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x\sin x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  = \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, thỏa mãn F(0) = \frac{1}{\ln2}. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, ta có: F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + CF(0) = \frac{1}{\ln2}

    \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)

    T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)

    T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}  = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} =  - 2

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \left(
5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}

    Ta có f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x
+ 6 ight)e^{x}= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' +
5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}

    Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên \Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6
ight)e^{x} + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 11: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Đáp án là:

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

    Ta có: A(30;0),B(0;20)

    \Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2}
+ 20

    Khi đó diện tích phần parabol là:

    4\int_{0}^{30}{\left( \frac{-
1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)

    Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: 60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2}
ight)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{\sin x}{\cos x - 3} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx =
\int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left|
\cos x - 3 \right| + C}}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} ?

    Ta có f(x) = \frac{e^{x} +
x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}

    = \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x}
= \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack
e^{x}

    \Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 14: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x -
3)^{2} .

    Ta có \int_{}^{}{f(x)dx =
\frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

    Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cot^{2}x là :

    Ta có: \int_{}^{}{cot^{2}xdx =
\int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x +
C}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0
ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x)
= 3x^{2}f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
= f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) =
3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) +
xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x)
ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x)
ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} +
C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C
\Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8
\Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = -
2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} -
8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( -
2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2)
\Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 17: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} +
2.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho biết \int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} =
x\cos(\pi x). Tính f(4).

    Ta có:

    \int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = \left. \
\frac{t^{3}}{3} ight|_{0}^{f(x)} = \frac{f^{3}(x)}{3} \Rightarrow
\frac{f^{3}(x)}{3} = x.cos(\pi x)

    Thay x = 4 \Rightarrow \frac{f^{3}(4)}{3}
= 4.cos(4\pi)

    \Rightarrow f^{3}(4) = 12 \Rightarrow
f(4) = \sqrt[3]{12}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) =
\frac{x}{sin^{2}x} là :

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\
\end{matrix} \right.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - \cot x \\
\end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x
+ 1)dx} có giá trị là:

    Xét giá trị tích phân I =
\int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x + 1)dx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u = \ln(x + 1) \\
dv = (2x + 1)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = \frac{1}{x + 1}dx \\
v = x^{2} + x \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \left. \ \left\lbrack
\left( x^{2} + x ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} -
\int_{0}^{1}{xdx}

    = \left. \ \left\lbrack \left( x^{2} + x
ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} - \left. \ \left(
\frac{x^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = 2ln2 -
\frac{1}{2}

    Đáp án đúng là I = 2ln2 -
\frac{1}{2}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Nguyên hàm của hàm số x.lnx

    Ta có \int_{}^{}{x.lnx}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
\ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\
dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\
\end{matrix} ight.

    Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

    \int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv
- \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x -
\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}

    = \frac{x^{2}.lnx}{2} -
\int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} +
C}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 23: Vận dụng

    Tính giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} có giá trị là:

     Ta có: \left( {3 + 3x - {x^2}} ight)' = 3 - 2x3 + 4x = 9 - 2\left( {3 - 2x} ight)

    \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{7 - 2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}

    = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}  - \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}

    Xét {I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {4 - {{\left( {x - 1} ight)}^2}} }}dx}

    Đặt x - 1 = 2\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered}  x = 0 \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{6} \hfill \\  x = 1 \Rightarrow t = 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{14\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}dt}  = \frac{{7\pi }}{6}

    Xét  {I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}

    Đặt t = 3 + 2x - {x^2} \Rightarrow dt = \left( {2 - 2x} ight)dx

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered}  x = 0 \Rightarrow t = 3 \hfill \\  x = 1 \Rightarrow t = 4 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow {I_2} = \int\limits_3^4 {\frac{2}{{\sqrt t }}dt}  = 4\left. {\left( {{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_3^4 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } ight)

    I = {I_1} - {I_2} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3  - 8

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx}  = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln
x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 \right)}{x}dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln
x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left(
2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} =
\int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} +
\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}.

    Xét I_{1} =
\int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt =
\frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow t = 1 \\
x = e \Rightarrow t = 2 \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} =
{\int_{1}^{2}{\sqrt{t}dt = \left. \ \left( \frac{2}{3}\sqrt{t^{3}}
ight) ight|}}_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Xét I_{2}\int_{1}^{e}{\frac{\ln
x}{x}dx}.

    Đặt t = \ln x \Rightarrow dt =
\frac{1}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow t = 0 \\
x = e \Rightarrow t = 1 \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \int_{0}^{1}{dt} =
1.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} =
\frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

    Vậy đáp án cần chọn là: I =
\frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \left(
5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}

    Ta có f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x
+ 6 ight)e^{x}= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' +
5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}

    Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên \Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6
ight)e^{x} + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 27: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tìm H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left(
x\sin x + \cos x \right)^{2}}?

    Ta có : H =
\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =
\int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x
\right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow H = - \frac{x}{\cos
x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} +
\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos
x \right)} + \tan x + C

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho đồ thị hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị f'\left( x ight) trên \left[ { - 3;2} ight] như hình vẽ. Tính giá trị của f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight). Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol y = a{x^2} + bx + cf\left( { - 3} ight) = 0.

    Tính giá trị của biểu thức

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho đồ thị hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị f'\left( x ight) trên \left[ { - 3;2} ight] như hình vẽ. Tính giá trị của f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight). Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol y = a{x^2} + bx + cf\left( { - 3} ight) = 0.

    Tính giá trị của biểu thức

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 29: Nhận biết

    Công thức tính thể tích khối tròn xoay

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên đoạn \left[ {a;b} ight]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 30: Nhận biết

    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3}
+ 3x + 2 \right)dx}có giá trị là:

    Thực hiện giải toán theo hai bước sau:

    Cách 1: I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} +
3x + 2 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{3}{2}x^{2}
+ 2x ight) ight|_{- 1}^{1} = 4.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C =  - \frac{4}{3}f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 32: Vận dụng

    Tìm họ nguyên hàm U

    Họ nguyên hàm của I =
\int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx} là:

    Ta đặt:

    \left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \cos x \right) \\dv = \dfrac{dx}{sin^{2}x} \\\end{matrix} \right.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = - \tan xdx \\v = - \cot x \\\end{matrix} \right..

    \Rightarrow I = - \cot x.ln\left( \cos x
\right) - \int_{}^{}{dx = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - x +
C}.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = -
dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = -
\int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 -
x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 34: Vận dụng

    Xác định nguyên hàm I

    Theo phương pháp đổi biến số với t = \cos
x,u = \sin x, nguyên hàm của I =
\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} là:

    Ta có:\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x
\right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos
x}{\sin x}dx}}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos
x}dx}.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin
xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} +
C_{1}.

    Xét I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin
x}dx}.

    Đặt u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx
\Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| +
C_{2}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t|
+ \ln|u| + C

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) >
0;\forall x\mathbb{\in R}f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in
R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x +
C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow
f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 36: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm

    Nguyên hàm \int_{}^{}{\left\lbrack
\sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) +
\cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}

    = - 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) +
C.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm hàm số không thích hợp

    Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}?

    Dễ nhận thấy \frac{x^{2}}{x + 1} + 1 =
\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}

    \frac{x^{2}}{x + 1} - 1 = \frac{x^{2} - x
- 1}{x + 1}

    Ta thấy 3 phương án \frac{x^{2} - x -
1}{x + 1}, \frac{x^{2} + x + 1}{x +
1}, \frac{x^{2}}{x + 1} có cùng đạo hàm.

    Vậy phương án \frac{x^{2} + x - 1}{x +
1} sai.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix}  \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx}  = \int {1.dx}  \hfill \\   \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C =  - 1 \hfill \\   \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f'\left( 1 ight) = 1} \\   {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 39: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Nguyên hàm \int_{}^{}\left\lbrack
sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx là:

    Ta có:

    \int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) +
\cos x \right\rbrack dx

    = \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 -
\cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx

    = \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} -
\frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx

    = \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x +
C

  • Câu 40: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} +
4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)
ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{-
e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x}
ight)dx} .

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo