VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Số điểm cực trị của hàm số

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight)$ . Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 5
- B. 4
- C. 3
- D. 2
$\begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0$ có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có 5 điểm cực trị
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $\int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = a(x - 1)^{2022} + b(x - 1)^{2021} + C$ , với $a,b \in \mathbb{Q}$ . Tính giá trị $S = \frac{{a - b}}{{ab}}$ ?
- A.
  $S=4043$
- B.
  $S=2^{2020}$
- C.
  $S=2020$
- D.
  $S=-2020$
Ta có:

$x(1 - x)^{2020} = (1 - x)^{2021} - (1 - x)^{2020}$

Khi đó:

$\int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = - \frac{1}{2022}(1 - x)^{2022} - \frac{1}{2021}(1 - x)^{2021} + C$

$= - \frac{1}{2022}(x - 1)^{2022} + \frac{1}{2021}(x - 1)^{2021} + C$

$\Rightarrow a = - \frac{1}{2022};b = \frac{1}{2021} \Rightarrow S = \frac{- \frac{1}{2022} - \frac{1}{2021}}{- \frac{1}{2022} + \frac{1}{2021}} = 4043$
Câu 3: Vận dụng
Tính tổng các nghiệm của phương trình

Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}$ thỏa mãn F(2) = 0
- A. $1 - 2\sqrt 3$
- B. $- \sqrt 3$
- C. $2\sqrt 3$
- D. $1 - \sqrt 3$
$\begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=> $F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2$
Xét phương trình F(x) = x ta có:
$\begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng $x = 1 - \sqrt 3$
Câu 4: Thông hiểu
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}$ . Tìm F(x).
- A. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}$
- B. $F\left( x ight) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}$
- C. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}$
- D. $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
$F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }$
Theo bài ra ta có:
$F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
=> $F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$
Câu 5: Vận dụng
Tính thể tích của một vật thể

Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0;x = \pi$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt {\sin x}$
- A. $V = 8\sqrt 3$
- B. $V = 2\pi \sqrt 3$
- C. $V = 2\sqrt 3$
- D. $V = \sqrt 3$
Diện tích thiết diện là $S\left( x ight) = \frac{{{{\left( {2\sqrt {\sin x} } ight)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x$
Ta có thể tích cần tính là $V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx = \left. { - \sqrt 3 \cos x} ight|_0^\pi = } 2\sqrt 3$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$ ?
- A.
  $F(x) = 1 + \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{2}{x + 1} + C$
- D.
  $F(x) = 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
Câu 7: Thông hiểu
Tính diện tích của hình phẳng

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị của tích phân

Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 \right)}{x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 3}{3}$
- B.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$
- C.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 5}{3}$
- D.
  $I = \frac{4\sqrt{2} - 3}{3}$
Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx}$ có giá trị là:

Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} + \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$ .

Đặt $t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = {\int_{1}^{2}{\sqrt{t}dt = \left. \ \left( \frac{2}{3}\sqrt{t^{3}} ight) ight|}}_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ .

Xét $I_{2}\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}$ .

Đặt $t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{2} = \int_{0}^{1}{dt} = 1$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$ .

Vậy đáp án cần chọn là: $I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\ln\left( \sin x + 2\cos xight)}{\cos^{2}x}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\pi$ với $a;b;c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức $S = a.b.c$ bằng
- A.
  $S = \frac{15}{8}$
- B.
  $S = \frac{5}{8}$
- C.
  $S = \frac{5}{4}$
- D.
  $S = \frac{17}{8}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \sin x + 2\cos x ight) \\dv = \dfrac{dx}{\cos x} \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{\cos x - 2\sin x}{\sin x + 2\cos x} \\v = \tan x + 2 = \dfrac{\sin x + 2\cos x}{\cos x} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$I = \left. \ \left( \tan x + 2ight)\ln\left( \sin x + 2\cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( 1 - 2\frac{\sin x}{\cos x}ight)dx}$

$I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\left. \ \left\lbrack x + 2\ln\left( \cos x ight) ightbrackight|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\frac{\pi}{4} - 2\ln\frac{\sqrt{2}}{2}$

$I = 3\ln3 - \dfrac{5}{2}\ln2 -\dfrac{1}{4}\pi \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - \frac{5}{2} \\c = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{15}{8}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 11: Vận dụng
Xác định họ các nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}$ trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } ight)$
- A. $2\ln \left( {x + 1} ight) - \frac{3}{{x + 1}} + C$
- B. $2\ln \left( {x + 1} ight) + \frac{3}{{x + 1}} + C$
- C. $2\ln \left( {x + 1} ight) + \frac{2}{{x + 1}} + C$
- D. $2\ln \left( {x + 1} ight) - \frac{2}{{x + 1}} + C$
$f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}$
$\int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C$
Câu 12: Thông hiểu
Tính thời gian đi đến trường

Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 40t + 100(m/p)$ . Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là $120m$ . Biết quãng đường từ nhà đến trường là $3km$ . Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
- A.
  $9$ phút
- B.
  $15$ phút
- C.
  $10$ phút
- D.
  $12$ phút
Ta có: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C$

Vì $S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0$

Để học sinh đó đến trường thì $S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy đáp án cần tìm là $10$ phút.
Câu 13: Nhận biết
Thực hiện tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{5}{2}$
- B. $I = \frac{7}{2}$
- C. $I = \frac{9}{2}$
- D. $I = \frac{{11}}{2}$
Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 14: Nhận biết
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
Dựa vào hình vẽ ta được: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Tích phân $I = \int_{1}^{2}{x\ln xdx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = 2ln2 - \frac{5}{4}$
- B.
  $I = 2ln2 + \frac{3}{4}$
- C.
  $I = 2ln2 + \frac{5}{4}$
- D.
  $I = 2ln2 - \frac{3}{4}$
Xét tích phân $I = \int_{1}^{2}{x\ln xdx}$ ta có:

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \ln x \\ dv = xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{1}{x}dx \\ v = \frac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}.lnx ight) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{2}dx}$ $= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}.lnx ight) ight|_{1}^{2} - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} ight) ight|_{1}^{2} = 2ln2 - \frac{3}{4}$

Đáp án đúng là $I = 2ln2 - \frac{3}{4}$ .
Câu 16: Vận dụng
Tính tổng các giá trị tham số m

Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn $\int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $16$
- D.
  $24$
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1$

$\Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0$

Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
$\left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight.$ .

Áp dụng hệ thứ Vi- et $\Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Xác định giá trị S đúng nhất

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3}(m/s)$ . Tính quãng đường vật đó đi được trong $4$ giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
- A.
  $1,64m$
- B.
  $11,01m$
- C.
  $11,81m$
- D.
  $11,18m$
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:

$S = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left( \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3} ight)dt} \approx 11,81(m)$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Hàm số $F(x) = e^{x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
- A.
  $f(x) = e^{x} - \frac{1}{sin^{2}x}$
- B.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{sin^{2}x}$
- C.
  $f(x) = e^{x}\left( 1 + \frac{e^{-x}}{cos^2x} \right)$
- D.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$
Ta có: $\left( e^{x} + \tan x + C \right)^{'} = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f = e^{- 2017x}$ là:
- A.
  $\frac{1}{2017}e^{- 2017x} + C$
- B.
  $e^{- 2017x} + C$
- C.
  $- 2017.e^{- 2017x} + C$
- D.
  $\frac{- 1}{2017}e^{- 2017x} + C$
Ta có $\int_{}^{}{e^{- 2017x}dx = \frac{1}{- 2017}e^{- 2017x} + C}$
Câu 20: Vận dụng
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = - \ln \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- B. $I = - \ln \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- C. $I = \ln \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
- D. $I = \ln \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$
Đặt $u = x + \sqrt {{x^2} + 9}$
$\Rightarrow du = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} ight)dx = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx = \frac{{udx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow u = 3 \hfill \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow I = \int\limits_3^{3 + 3\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}} = \left. {\left( {\ln \left| u ight|} ight)} ight|_3^{3 + 3\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } ight)$
Câu 21: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f'(x)$ thỏa mãn $f(2) = - \frac{1}{25}$ và $f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f(1)$ bằng?
- A.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{41}}{\mathbf{100}}$ .
- B.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$ .
- C.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{391}}{\mathbf{400}}$ .
- D.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{40}}$ .
Ta có:

$f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}$

Theo bài ra ta có: $f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}$
Câu 22: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Nguyên hàm $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- B.
  $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- C.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$ .
- D.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$
Câu 23: Thông hiểu
Tính tích phân

Tích phân $I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx}$ bằng
- A.
  $\frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $\frac{e^{2}}{2}$
- C.
  $\frac{e^{2} - 3}{4}$
- D.
  $\frac{e^{2} - 3}{2}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x ight)dx} = - \int_{1}^{e}{2x.lnxdx} + \int_{1}^{e}{2xdx}$

$= e^{2} - 1 - 2\int_{1}^{e}{x.lnxdx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}dx = du \\ \frac{x^{2}}{2} = v \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{e}{x\ln xdx} = \int_{1}^{e}{udv} = \left. \ uv ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{vdu}$

$= \left. \ \ln x.\frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}$

$\Rightarrow I = e^{2} - 1 - \frac{e^{2} + 1}{2} = \frac{e^{2} - 3}{2}$
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 26: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 27: Thông hiểu
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x.cosx

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0$ . Tính $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight)$ .
- A. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}$
- B. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = 0$
- C. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}$
- D. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
$\begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Vận dụng cao
Tính quãng đường người chạy được

Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với $I\left( \frac{1}{2};8 \right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy
- A.
  $s = 4,0$ (km)
- B.
  $s = 2,3$ (km)
- C.
  $s = 4,5$ (km)
- D.
  $s = 5,3$ (km)
Ta tìm được phương trình của parabol là

$(P):v(t) = - 32t^{2} + 32t$

Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

$s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}$

$= \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)$
Câu 29: Thông hiểu
Với a ≠ 0 khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $\int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C$ . Với $a e 0$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = F\left( {ax + b} ight) + C$
- B. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = aF\left( {ax + b} ight) + C$
- C. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{{ax + b}}F\left( {ax + b} ight) + C$
- D. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C$
Xét $\int {f\left( {ax + b} ight)dx}$ , đặt t = ax + b
=> $I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x$
=> $\int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}$
Câu 30: Vận dụng
Xác định hàm số f(x)

Xác định hàm số f(x) biết rằng $f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4$
- A. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$
- B. $\frac{{{x^2} + 1}}{2} + 1$
- C. $\frac{{{x^2}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
- D. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1$
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm $\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx}$ .
- A.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
- B.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- C.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- D.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{2\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
Vì lũy thừa của $\sin x$ là số lẻ nên ta đổi biến $u = \cos x \Rightarrow du = \left( \cos x ight)'dx$ .

$\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx = - \int_{}^{}{\left( 1 - \cos^{2}x ight)^{2}.\cos^{2}x.\left( \cos ight)'dx}}$

$= - \int_{}^{}{\left( 1 - u^{2} ight)^{2}.u^{2}du}$

$= \int_{}^{}{\left( 2u^{4} - u^{2} - u^{6} ight)du}$

$= \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{7}}{7} + C$

$= \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$ .
Câu 32: Nhận biết
Tính tích phân

Cho $\int_{0}^{1}{f(x)dx = 2}$ và $\int_{0}^{1}{g(x)dx = 5}$ , khi đó $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) - 2g(x) \right\rbrack dx}$ bằng
- A.
  $- 3$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $- 8$ .
- D.
  $1$ .
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) - 2g(x) ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{1}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{1}{g(x)dx}$

$= 2 - 2.5 = - 8$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x \right)dx} = \left. \ \left( a\cos3x + bx\sin + c\sin2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}}$ . Giá trị của $3a + 2b + 4c$ là:
- A.
  – 1
- B.
  1
- C.
  – 2
- D.
  2
Ta có:

$I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \frac{1 + \cos2x}{2} ight)dx}$

$= \left. \ \left( - \frac{1}{3}cos3x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin2x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$\Rightarrow a = - \frac{1}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{4} \Rightarrow 3a + 2c + 4c = 1$
Câu 34: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}}$ bằng:
- A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C$
- B. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{1010}} + C$
- C. $\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C$
- D. $4038{\left( {2x + 1} ight)^{2018}} + C$
$\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}$
$= \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C$
Câu 35: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ ?
- A.
  $F(x) = 2x + 3 + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$ .
- D.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
Ta có: $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$

Xét từng đáp án ta thấy:

$\left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x \right)' = x^{2} + 3x + 2$ .

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
Câu 36: Thông hiểu
Tìm giá trị của biểu thức I

Tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$
- B.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$
- C.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$
- D.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx$ .

Đặt $u = x + \sqrt{x^{2} + 4} \Rightarrow du = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$I = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{2}^{1 +\sqrt{5}}{\frac{1}{u}du}$ $= \left. \ \frac{a}{\sqrt{3}}\left( \ln uight) ight|_{2}^{1 + \sqrt{5}}$ $= \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ight|$ .
Câu 37: Nhận biết
Tính tích phân

Giá trị của tích phân $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx}$ bằng:
- A.
  $1 - e$
- B.
  $e - 1$
- C.
  $- e$
- D.
  $e$
Ta có: $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .
Câu 38: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- B.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
- C.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- D.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.$
Câu 39: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tích phân $I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- B.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- C.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- D.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx}$ có gái trị là:

Ta có:

$I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}$

Suy ra $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}$ .

Đặt $u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}$

$= \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)$

Xét $I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight)$ .

Xét $I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$ .

Đáp án đúng là $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho $\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64}$ và $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln m$ , với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:
- A.
  $n > m$
- B.
  $1 < n + m < 5$
- C.
  $n < m$
- D.
  $n = m$
Ta có:

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64} \Rightarrow n = 3$

$\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(2x - 1)}{2x - 1} = \left. \ \frac{1}{2}\ln|2x - 1| ight|_{1}^{5}$

$= \frac{1}{2}ln9 - \frac{1}{2}ln1 = ln3$

$\Rightarrow m = n = 3$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

42 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian