VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ , có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
- B.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $BP$ .
- C.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $NM$ .
- D.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn cong $AB$ .
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hai hàm số $F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x}$ và $f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}$ . Biết $a;b$ là các số thực để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Tính $S = a + b$ ?
- A.
  $S = - 6$
- B.
  $S = 12$
- C.
  $S = 6$
- D.
  $S = 4$
Từ giả thiết ta có:

$F'(x) = f(x)$

$\Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn $\int_{0}^{m}\frac{x^{2}dx}{x + 1} = ln2 - \frac{1}{2}$ ?
- A.
  $m = 3$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m > 3$
Thử các đáp án, suy ra $m = 1$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{3x - 7}{x + 2}$
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x - 13ln|x + 2| + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x + 2| + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 13ln|x + 2| + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 7ln|x + 2| + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{3x - 7}{x + 2}dx = \int_{}^{}{\frac{3(x + 2) - 13}{x + 2}dx}}}$

$= \int_{}^{}{\left( 3 - \frac{13}{x + 2} ight)dx = \int_{}^{}{3dx - 13\int_{}^{}\frac{d(x + 2)}{x + 2}}}$

$= 3x - 13ln|x + 2| + C$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định một nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C.
  Cả hai đều đúng.
- D.
  Cả hai đều sai.
Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1) = 3$ và $x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$ với mọi $x > 0$ . Tính $f(2)$ ?
- A.
  $f(2) = 6$
- B.
  $f(2) = 2$
- C.
  $f(2) = 5$
- D.
  $f(2) = 3$
Ta có:

$x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$

$\Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1$

$\Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1$

$\Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C$

Với $x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0$

Do đó $xf(x) = 2x^{2} + x$

Vậy $2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x}$ ?
- A.
  $F(x) = e^{x}.\ln2x + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}.\ln x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {e^{ - x}}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = - e^{x}.\ln x + C$
Ta có $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}$

$= \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$
- B.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 2$
- C.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1$
- D.
  $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 1$
Ta có:

$\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 ight)dx$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x ightbrack ight|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$

Đáp án đúng là $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ .
Câu 10: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

Phần tô đậm được đính đá với giá thành $500.000đ/m^{2}$ . Phần còn lại được tô màu với giá thành $250.000đ/m^{2}$ .

Cho $AB = 4dm;BC = 8dm.$ Hỏi để trang trí $1000$ họa tiết như vậy cần số tiền bỏ ra là bao nhiêu?
- A.
  $106666667$ đồng
- B.
  $112548846$ đồng
- C.
  $126658533$ đồng
- D.
  $103555543$ đồng
Vì $AB = 4dm;BC = 8dm. \Rightarrow A( - 2;4),B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)$ .

Parabol là: $y = x^{2}$ hoặc $y = - x^{2}$

Diện tích phần tô đậm là $S_{1} = 4\int_{0}^{2}{x^{2}dx = \frac{32}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})}$

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32\begin{matrix} \\ \end{matrix}(m^{2})$

Diện tích phần trắng là $S_{2} = S - S_{1} = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})$

Tổng chi phí trang chí là: $T = \left( \frac{32}{3}.5000 + \frac{64}{3}.2500 \right).1000 \approx 106666667đ$
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi $y = \ln x,y = 0,x = e$ là $V = \pi(a + be)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- 1$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Phương trình hoành độ giao điểm $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có:

$V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}$

$= \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack$

$= \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack$

$= \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}$

$= \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)$

Vậy $a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1$
Câu 12: Thông hiểu
Biết F(x) = x2 + 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x)

Biết F(x) = x²+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
- A. $f\left( 3 ight) = 6$
- B. $f\left( 3 ight) = 10$
- C. $f\left( 3 ight) = 22$
- D. $f\left( 3 ight) = 15$
$f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10$
Câu 13: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai câu sau:

(I) $\int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C$ ,

trong đó $F(x)$ và $G(x)$ tương ứng là nguyên hàm của $f(x),\ \ g(x)$ .

(II) Mỗi nguyên hàm của $a.f(x)$ là tích của $a$ với một nguyên hàm của $f(x)$ .

Trong hai câu trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C. Cả hai câu đều đúng.
Các câu đúng là :

(I) $\int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C$ ,

trong đó $F(x)$ và $G(x)$ tương ứng là nguyên hàm của $f(x),\ \ g(x)$ .

(II) Mỗi nguyên hàm của $a.f(x)$ là tích của $a$ với một nguyên hàm của $f(x)$ .
Câu 14: Vận dụng
Tính nguyên hàm của I

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .
- A.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- B.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- C.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- D.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} ight)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight| ight) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Câu 15: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 16: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức $f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A. f(4) + g(4) = 1
- B. f(4) + g(4) = ln2
- C. f(4) + g(4) = ln3
- D. f(4) + g(4) = 2ln2
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 18: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 19: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {7^x}$ là
- A. ${7^x}\ln 7 + C$
- B. ${7^{x + 1}} + C$
- C. $\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}}$
- D. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$
Ta có:
$\int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C$
Câu 20: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + ax + b$ , biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$ . Đúng||Sai

c) Khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ thì có $3$ giá trị của $x$ để $F(x) = 0$ . Sai||Đúng

d) Nếu $F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0$ thì $a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + ax + b$ , biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$ . Đúng||Sai

c) Khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ thì có $3$ giá trị của $x$ để $F(x) = 0$ . Sai||Đúng

d) Nếu $F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0$ thì $a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}$ . Sai||Đúng

Ta có $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{ax^{2}}{2} + bx + C$

a) ĐÚNG.

Vì khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$

b) ĐÚNG.

Vì khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

c) SAI

Do khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ ta được $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

d) SAI

Với $F(1) = 2,\ \ F( - 1) = 1,\ \ F(0) = 0$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{2} + b + c = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{2} + b + c = \frac{4}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{2}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.$

Vậy $a^{2} + b^{2} = \frac{40}{9}$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số a thỏa mãn điều kiện

Cho $\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = \frac{1}{3}\ln a$ ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  4
- D.
  5
Ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = ... = \int_{1}^{2}{\frac{1}{3t}dt} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{1}^{2} = \frac{1}{3}ln2 \Rightarrow a = 2$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$
Câu 23: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số: $y = x^{2} - 3x + \frac{1}{x}$ là
- A.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- D.
  $F(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x^{2}} + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| \right)' = \frac{3x^{2}}{3} - \frac{3.2x}{2} + \frac{1}{x}$ với $\forall x > 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$
Câu 24: Vận dụng
Tìm tập nghiệm của phương trình

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3}$ thỏa mãn $F(0) = - \frac{1}{3}ln4$ . Tổng các nghiệm của phương trình $3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $- 2$
- D.
  $4$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}$

$= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C$

$= \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C$

Theo bài ra ta có:

$F(0) = - \frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow C = 0$

Ta có:

$3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Câu 25: Vận dụng cao
Tính thể tích V

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 26: Thông hiểu
Tính tích phân

Tính tích phân $I =\int_{0}^{\pi}{\cos^{3}x.\sin xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{\pi^{4}}{4}$
- B.
  $- \pi^{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Đặt $x = \pi - t$ . Ta có:

$I = - \int_{\pi}^{0}{\cos^{3}(\pi -t).\sin(\pi - t)dt} = - \int_{0}^{\pi}{\cos^{3}t.\sin tdt}$ suy ra $2I = 0 \Rightarrow I = 0$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$ ?
- A.
  $F(x) = 1 + \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{2}{x + 1} + C$
- D.
  $F(x) = 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
Câu 28: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - 6x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} - 6x + C$
- B.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
- D.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
Ta có:

$f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
Câu 29: Thông hiểu
Tính tích phân chứa tham số a

Tích phân $I = \int\limits_1^a {\left( {\frac{a}{x} + \frac{x}{a}} ight)dx}$ , với $a e 0$ có giá trị là:
- A. $I = a\ln \left| a ight| + \frac{{{a^2} + 1}}{{2a}}$
- B. $I = a\ln a + \frac{{{a^2} + 1}}{{2a}}$
- C. $I = a\ln \left| a ight| + \frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}$
- D. $I = a\ln a + \frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}$
Ta có:
$\begin{matrix} I = \int\limits_1^a {\left( {\dfrac{a}{x} + \dfrac{x}{a}} ight)dx} = \left. {\left( {a\ln \left| x ight| + \dfrac{{{x^2}}}{{2a}}} ight)} ight|_1^a \hfill \\ = a\ln \left| a ight| + \dfrac{a}{2} - \dfrac{1}{{2a}} = a\ln \left| a ight| + \dfrac{{{a^2} - 1}}{{2a}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right)$ với $x > 0$ .
- A.
  $F(x) = ex^{2}.\ln(ex) + C$
- B.
  $F(x) = x^{2}.\ln(ex) + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {x^2}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = x\ln x + C$
Ta có

$f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)$

$= x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x$

$= \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C$
Câu 31: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Đáp án là:

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Gọi phương trình parabol $(P):y = ax^{2} + bx + c$ .

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $(P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}$

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).$

Số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.
Câu 32: Thông hiểu
Tính tích phân

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$ và $\int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6$ . Tính tích phân $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}$ ?
- A.
  $C = 3$
- B.
  $C = - 2$
- C.
  $C = 4$
- D.
  $C = 9$
Ta có: $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}$ .

Ta có:

$C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}$

Đặt $t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2$

Ta có:

$C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}$

Đặt $t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1$ .

Vậy $C = C_{1} + C_{2} = 3$
Câu 33: Vận dụng cao
Tìm số hữu tỉ a thỏa mãn đẳng thức

Biết $I = \int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + ae + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight)$ , a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
- A. 9
- B. -6
- C. -9
- D. 6
Ta có:
$I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {3{{\ln }^2}x + x} ight)}}{x}dx}$
Đặt $t = {\ln ^3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}{\ln ^2}x + 1$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow I = \int\limits_3^{1 + 3e} {\sqrt t } dt = \frac{2}{3}\left. {\left( {\sqrt {{t^3}} } ight)} ight|_3^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( {\sqrt {{{\left( {1 + 3e} ight)}^3}} - 3\sqrt 3 } ight)$
$= \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + 9e + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight) \Rightarrow a = 9$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx = 2$ và $\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx = - 1$ . Tính $I = \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) \right\rbrack dx}$ .
- A.
  $I = \frac{5}{2}$
- B.
  $I = \frac{7}{2}$
- C.
  $I = \frac{17}{2}$
- D.
  $I = \frac{11}{2}$
Ta có $I = \int_{- 1}^{2}\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) ightbrack dx$

$= \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx - 3\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx$

$\Rightarrow I = \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 - 3( - 1) = \frac{3}{2} + 4 + 3 = \frac{17}{2}$
Câu 35: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 36: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right)$ là:
- A.
  $F(x) = 2e^{x} + \cot x + C$
- B.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x + C$
- C.
  $F(x) = 2e^{x} + \tan x + C$
- D.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}$

$= 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x ight).{e^{2x}}$
- A. $\left( {x - 2} ight).{e^x} + C$
- B. $\left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
- C. $\frac{{2 - x}}{2}.{e^x} + C$
- D. $\left( {4 - 2x} ight).{e^x} + C$
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ nên:
$\begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Hay $f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}$
Xét $I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.$
Khi đó
$I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
Câu 38: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $a;b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$ . Tính giá trị biểu thức $H = 3a + b$ ?
- A.
  $H = - \frac{2}{3}$
- B.
  $H = \frac{1}{3}$
- C.
  $H = \frac{4}{3}$
- D.
  $H = \frac{2}{3}$
Ta có:

$I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}$

$= \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}$

$\Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$

$\Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}$
Câu 40: Vận dụng
Xác định hàm số f(x)

Xác định hàm số f(x) biết rằng $f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4$
- A. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$
- B. $\frac{{{x^2} + 1}}{2} + 1$
- C. $\frac{{{x^2}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
- D. $\frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} - 1$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1$
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

45 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian