Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} =
\frac{1}{\sqrt[n]{a}} , tính n +
a?

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} =
\frac{1}{\sqrt[n]{a}} , tính n +
a?

    Đáp án: 5

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Phương trình Parabol có dạng y = a.x^{2}\
\ \ (P).

    Do (P) đi qua điểm có tọa độ ( - 6; - 18) suy ra: - 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = -
\frac{1}{2} \Rightarrow (P):y = -
\frac{1}{2}x^{2}.

    Từ hình vẽ ta có: \frac{AB}{CD} =
\frac{b}{d}.

    Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol (P):y = - \frac{1}{2}x^{2} và đường thẳng AB:y = - \frac{1}{2}b^{2} là:

    S_{1} = 2\int_{0}^{b}{\left\lbrack -
\frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}b^{2} ight) ightbrack
dx}\left.= 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}b^{2}x
ight) ight|_{0}^{b} = \frac{2}{3}b^{3}.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y = - \frac{1}{2}x^{2} và đường thẳng CD :y =
- \frac{1}{2}d^{2} là :

    S_{2} = 2\int_{0}^{d}{\left\lbrack -
\frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}d^{2} ight) ightbrack
dx}\left. \  = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}d^{2}x
ight) ight|_{0}^{d} = \frac{2}{3}d^{3}

    Từ giả thiết suy ra S_{2} = 2S_{1}
\Leftrightarrow d^{3} = 2b^{3} \Leftrightarrow \frac{b}{d} =
\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

    Do đó \frac{AB}{CD} = \frac{b}{d} =
\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Rightarrow n = 3;a = 2 nên n + a = 5.

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số f(x) = x^{2} + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

    \left( \frac{x^{3}}{3} + 3x
\right)' = x^{2} + 3;\forall x\mathbb{\in R} nên \int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x +
C.

    Vậy đáp án cần tìm là \int_{}^{}f(x)dx =
\frac{x^{3}}{3} + 3x + C.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

    Ta có:

    \left( 2x - 1 + \frac{1}{x}
\right)^{2}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x -
1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} +
\frac{1}{x^{2}}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }{- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}

  • Câu 4: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Theo phương pháp đổi biến số (x
\rightarrow t), nguyên hàm của I =
\int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx là:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}\frac{2sinx +
2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x
\right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx.

    Đặt t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt =
\left( \sin x + \cos x \right)dx.

    \Rightarrow I =
\int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( -
\frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

    Cho hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b,(a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

    Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}
= \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} +
\int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}

    = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} +
\int_{c}^{b}{f(x)dx}

    Vậy đáp án cần tìm là: S = -
\int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Câu nào sau đây sai?

    Câu sai cần tìm là: Nếu F'(t) =
f(t) thì F^{/}\left( u(x) \right) =
f\left( u(x) \right).

  • Câu 7: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x)
ightbrack dx = 0f(3) =
1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in
\mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x +
1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}
- x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 -
\frac{3}{2}

    Tính J =
\int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u_{J} = x \\
dv_{J} = f'(x)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du_{J} = dx \\
v_{J} = f(x) \\
\end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left.
\ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1)
+ xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 32 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 8: Thông hiểu

    Xác định giá trị nguyên của tham số a

    Tích phân I = \int_{1}^{2}\frac{ax -
2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1. Giá trị nguyên của a là:

    Ta có: \left( ax^{2} - 4x ight)' =
2ax - 4 = 2(ax - 2).

    \Rightarrow I =
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2ax - 4}{\sqrt{ax^{2} -
4x}}dx.

    Đặt t = ax^{2} - 4x \Rightarrow dt = (2ax
- 4)dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8 \\
x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \\
\end{matrix} ight..

    Ta có:

    I = \frac{1}{2}\int_{a - 4}^{4a -
8}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{a -
4}^{4a - 8} = \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4}

    Theo đề bài:

    I = 2\sqrt{3} - 1
\Leftrightarrow \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4} = 2\sqrt{3} -
1

    \Leftrightarrow ..... \Leftrightarrow a =
5.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left(
1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  u = 1 + \ln x \hfill \\
  dv = 4xdx \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  du = \frac{1}{x}dx \hfill \\
  v = 2{x^2} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x
ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2}
+ C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x}f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} +
3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} =
a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x
- 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} -
1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} =
\frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2}
\Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Thông hiểu

    Thể tích V của khối tròn xoay

    Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bời các đường thẳng y = 0;y = x\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)} ;x = 1 xung quanh trục Ox là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (C)Oxx\sqrt {\ln \left( {x + 1} ight)}  = 0 \Rightarrow x = 0

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {u = \ln \left( {1 + x} ight)} \\   {dv = {x^2}dx} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}} \\   {v = \dfrac{{{x^3} + 1}}{3}} \end{array}} ight.

    Ta có:

    \begin{matrix}  V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln \left( {x + 1} ight)dx}  \hfill \\   = \pi \left\{ {\left. {\dfrac{{{x^3} + 1}}{3}\ln \left( {x + 1} ight)} ight|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 1} ight)dx} } ight\} \hfill \\   = \dfrac{{\pi \left( {12\ln 2 - 5} ight)}}{{18}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin^{3}x.\cos x và F(0) = \pi. TìmF\left( \frac{\pi}{2} \right).

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =\int_{}^{}{\sin^{3}x.\cos x.dx}}

    = \int_{}^{}{\sin^{3}x.d\left( \sin x
ight) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + C}

    F(0) \Rightarrow \pi \Rightarrow C = \pi
\Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}\sin^{4}x + \pi

    \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{2} ight)
= \frac{1}{4} + \pi

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{\sin x}{\cos x - 3} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx =
\int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left|
\cos x - 3 \right| + C}}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x
+ 2

    Xét từng đáp án ta thấy:

    \left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2}
+ 2x \right)' = x^{2} + 3x + 2.

    Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2) là: F(x) =
\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 17: Thông hiểu

    Xác định họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x +
2}{\sqrt{x + 1}} là:

    Đặt t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} =
x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x +
2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t}
ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} =
\frac{2t^{3}}{3} + 2t + C

    = \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} +
2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C =  - \frac{4}{3}f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\
4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 +
C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2}
ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) =
- 14 + 32 = 18

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm I =
\int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx?

    Đặt: T =
\int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}

    \Rightarrow I + T =
\int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx +
\int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}

    = \int_{}^{}\frac{sin^{4}x +
cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)

    Mặt khác:

    I - T =
\int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx -
\int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}} = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x +
cos^{4}x}dx

    \Leftrightarrow I - T =
\int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 -
2sin^{2}x.cos^{2}x}dx} =
\int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx

    \Leftrightarrow I - T =
\int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} +
sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)

    Từ (1);(2) ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.

  • Câu 21: Vận dụng

    Xác định nguyên hàm I

    Theo phương pháp đổi biến số với t = \cos
x,u = \sin x, nguyên hàm của I =
\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} là:

    Ta có:\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x
\right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos
x}{\sin x}dx}}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos
x}dx}.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin
xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} +
C_{1}.

    Xét I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin
x}dx}.

    Đặt u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx
\Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| +
C_{2}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t|
+ \ln|u| + C

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix}  \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx}  = \int {{e^{ - 2x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx =  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)}  + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\   =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x  + C =  - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x  + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} +
b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{
\begin{matrix}
0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\
2 = b \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a_{1} = - \frac{8}{361} \\
b_{1} = 2 \\
\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = -
\frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} +
b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{
\begin{matrix}
0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} = b_{2} \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a_{2} = - \frac{1}{40} \\
b_{2} = \frac{5}{2} \\
\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = -
\frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( -
\frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx -
\int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx
\right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x =
\frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x =
\frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}
ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm thương số giữa b và c

    Biết tích phân I_{1} =
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = a. Giá trị của I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3}
+ x}dx} = bln2 - cln5. Thương số giữa bc là:

    Ta có:

    I_{1} =
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( \cos x
ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} =
\frac{1}{2}.

    \Rightarrow I_{2} =
\int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} =
\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} =
\frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight)
ight|_{\frac{5}{8}}^{2}.

    = \frac{4}{3}ln2 - \frac{1}{3}ln5
\Rightarrow b = \frac{4}{3},c = - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{b}{c} =
- 4

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính tích phân

    Tích phân I =
\int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx} bằng

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x
ight)dx} = - \int_{1}^{e}{2x.lnxdx} + \int_{1}^{e}{2xdx}

    = e^{2} - 1 -
2\int_{1}^{e}{x.lnxdx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
\ln x = u \\
xdx = dv \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{x}dx = du \\
\frac{x^{2}}{2} = v \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{e}{x\ln xdx} =
\int_{1}^{e}{udv} = \left. \ uv ight|_{1}^{e} -
\int_{1}^{e}{vdu}

    = \left. \ \ln x.\frac{x^{2}}{2}
ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx

    = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} +
\frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}

    \Rightarrow I = e^{2} - 1 - \frac{e^{2} +
1}{2} = \frac{e^{2} - 3}{2}

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} ight)}^2}}}dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} ight)}^2}}}dx}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} ight)}^2}}}dx} I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight)} ight]}^2}}}dx}

    Đặt u = x + \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi }{6} \Rightarrow dx = du

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered}  x =  - \frac{\pi }{3} \Rightarrow u =  - \frac{\pi }{6} \hfill \\  x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow u = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \left( {u - \frac{\pi }{6}} ight)}}{{4{{\sin }^2}u}}du}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin u.\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}\cos u}}{{4{{\sin }^2}u}}du}

    = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 .\sin u - \cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du}  = \frac{1}{8}\left( {\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} } } ight)

    Xét {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du}

    Đặt t = \cos u,u \in \left[ {0;\pi } ight] \Rightarrow dt =  - \sin udu

    Đổi cận  \left\{ \begin{gathered}  u =  - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\  u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\frac{{\sqrt 3 dt}}{{1 - {t^2}}}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} ight)} dt

    = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left. {\left( {ln\left| {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} ight|} ight)} ight|_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3  + 2}}{{ - \sqrt 3  + 2}}} ight)

    Xét  {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du}

    Đặt t = \sin u,u \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dt = \cos udu

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered}  u =  - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t =  - \frac{1}{2} \hfill \\  u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    {I_2} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{{t^2}}}du}  = \left. {\left( { - \frac{1}{t}} ight)} ight|_{ - \frac{1}{2}}^1 =  - 3

    \Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( {{I_1} - {I_2}} ight) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3  + 2}}{{ - \sqrt 3  + 2}}} ight) + \frac{3}{8}

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Mệnh đề sai \left( \int_{}^{}{f(x)dx}
\right)^{'} = f'(x).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đường y = x\sqrt{x^{2} + 1} và trục hoành là:

    x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x
= 0

    Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{x^{2}
+ 1} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( x^{4} + x^{2}
ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} +
\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{8\pi}{15}

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^{3} + 3x +
2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

    \left( \frac{x^{4}}{4} +
\frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)' = \frac{4x^{3}}{4} + \frac{3.2x}{2} +
2 = x^{3} + 3x + 2 với mọi x\mathbb{\in R}nên \int_{}^{}{f(x)dx} = F(x)

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) =
\frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = - 3x^{2} +2x - 1 bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C

  • Câu 32: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó:

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó G(x) = F(x) - C trên khoảng (a;b), với C là hằng số.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx}  = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 34: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Xét hai khẳng định sau:

    (I) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có đạo hàm trên đoạn đó.

    (II) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

    Trong hai khẳng định trên:

    Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."

  • Câu 35: Vận dụng

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{4x
- 3}{x^{2} - 3x + 2}

    Phân tích

    Ta có:

    \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}

    =
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x -
2)}

    Khi đó (A + B)x - 2A - B = 4x -
3, đồng nhất hệ số thì ta được

    \left\{ \begin{matrix}
A + B = 4 \\
2A + B = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
A = - 1 \\
B = 5 \\
\end{matrix} ight.

    Giải chi tiết

    Ta có \int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x
+ 2}dx}= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}

    = - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C

    = 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x
- 1} ight| + C= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| +
C

    Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

    \int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3}
+ 3x^{2} - 2x}dx }= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| -
\frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C

  • Câu 36: Vận dụng

    Tìm quãng đường vật chuyển động

    Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc a = 0,3 (m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{0,3dt} =
0,3t (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

    Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

    \int_{0}^{40.60}{0,3tdt} =
\frac{0,3}{2}.t^{2}|_{0}^{2400} = 864000(m)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

    Ta có:

    \left( 2x - 1 + \frac{1}{x}
\right)^{2}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x -
1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} +
\frac{1}{x^{2}}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }{- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}

  • Câu 38: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}

    I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}

    Đặt x - 1 = u \Rightarrow dx =
du.

    \sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x

    Khi đó I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}

    = \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E)a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( -
2;0),(2;0)

    \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1
\Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} =
\pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 -
\frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 40: Vận dụng

    Tính nguyên hàm của I

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{x\ln(2x -
1)dx}.

    Đặt u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du =
\frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}

    Khi đó

    \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x -
1}}dx

    = \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| -
\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}

    = \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| -
\int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)}
ight)dx}

    = \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left(
\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight|
ight) + C

    = \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| -
\frac{x(x + 1)}{4} + C

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo