VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 2x - 2$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 3$
- A. $S = \frac{4}{3}$
- B. $S = 5$
- C. $S=6$
- D. $S=1$
Diện tích S của hình phẳng trên là: $S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx}$
Ta có: $- {x^2} + 2x - 2 \leqslant 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]$
=> $S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} ight)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} ight)} ight|_0^3 = 6\left( {dvdt} ight)}$
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn công thức đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}$ biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của $3e^2F(x)$ ?
- A. ${e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}$
- B. $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
- C. ${e^{{x^3} - 3x}} + {e^2}$
- D. $e^{{x^3} - 3x} - 1$
Ta có:
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }$
Mà $F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
$\begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=> $F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}$ Hay $3e^2F(x) =$ $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
Câu 3: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}$ và $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}$
- A. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{3}$
- B. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{9}$
- C. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{3}$
- D. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{9}$
Cách 1: $\int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx$
Đặt $\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t$
$\begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó $\int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C$
=> $F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
Mặt khác $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
=> C = 0
=> $F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
=> ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}$
Cách 2: $F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}$ . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Câu 4: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 1$ và $x = 3$ bằng
- A.
  $19$
- B.
  $\frac{2186\pi}{7}$
- C.
  $20$
- D.
  $18$
Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20$
Câu 5: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin^{4}x\cos x$ ??
- A.
  $F(x) = - \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- B.
  $F(x) = \sin^{5}x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- D.
  $F(x) = - \sin^{5}x +C$
Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C$
Câu 6: Vận dụng cao
Tính tích phân lượng giác

Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\left( {{e^x}\cos x + 1} ight)\cos x}}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2} ight)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} ight|$
- B. $I = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} - 2} ight)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} ight|$
- C. $I = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2} ight)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} + 2}}} ight|$
- D. $I = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} - 2} ight)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} + 2}}} ight|$
Ta biến đổi: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}.\left( {\cos x - \sin x} ight)}}{{\left( {{e^x}\cos x + 1} ight){e^x}\cos x}}dx}$
Đặt $t = {e^x}\cos x \Rightarrow dt = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} ight)dx$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}} \hfill \\ x = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow t = - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$I = \int\limits_{\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}}^{ - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}} {\frac{1}{{t\left( {t + 1} ight)}}dt} = \left. {\left( {\ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} ight|} ight)} ight|_{\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}}^{ - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}}$
$= \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} ight| - \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}}}{{{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2}}} ight| = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2} ight)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} ight|$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Cho $f'(x) = 2x - cos2x$ . Tìm $f(x)$ biết $f(0) = 0$ .
- A.
  $f(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
- B.
  $f(x) = x^{2} + \frac{1}{2}sin2x$ .
- C.
  $f(x) = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
- D.
  $f(x) = x^{2} + sin2x$ .
Ta có

$f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{(2x - cos2x)dx} = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x + C$ .

Mà $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$ . Vậy $f(x) = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x - 3)^{2}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{3} + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = (2x - 3)^{3} + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{6} + C}$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{2} + C}$
Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính thể tích chiếc lu

Một khối cầu có bán kính $5dm$ , người ta cắt bỏ $2$ phần bằng $2$ mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu $3dm$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
- A.
  $132\pi\left( dm^{3} ight)$
- B.
  $41\pi\left( dm^{3} ight)$
- C.
  $\frac{100\pi}{3}\left( dm^{3} ight)$
- D.
  $43\pi\left( dm^{3} ight)$
Hình vẽ minh họa

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2}$ quay quanh trục Ox.

Thể tích cái lu bằng;

$V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)$
Câu 10: Vận dụng cao
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 \right)\cos x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
- B.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} - 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
- C.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} + 2} ight|$
- D.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} - 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} + 2} ight|$
Xét tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)\cos x}dx}$

Ta biến đổi: $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{e^{x}.\left( \cos x - \sin x ight)}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)e^{x}\cos x}dx}$ .

Đặt $t = e^{x}\cos x \Rightarrow dt = e^{x}\left( \cos x - \sin x ight)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{\pi}{3}} \\ x = \dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \end{matrix} ight.$ .

$I =\int_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \left. \ \left( \ln\left| \frac{t}{t + 1} ight| ight) ight|_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}$

$= \ln\left| \frac{e^{\frac{2\pi}{3}}}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight| - \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{e^{\frac{\pi}{3}} + 2} ight| = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm giá trị của x

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + x(m/s)$ . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được $50m$ . Tìm $x$ ?
- A.
  $x = 12,5$ .
- B.
  $x = 15$ .
- C.
  $x = 25$ .
- D.
  $x = 20$ .
Khi dừng hẳn $v(t) = - 4t + x = 0 \Rightarrow t = \frac{x}{4}(s)$

Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: $S = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{v(t)dt} = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{( - 4t + x)dt}$

$= \left. \ \left( - 2t^{2} + xt ight) ight|_{0}^{\frac{x}{4}} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 50$

$\Leftrightarrow x^{2} = 400 \Leftrightarrow x = 20(m/s)$
Câu 12: Nhận biết
Công thức tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} ight]$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức:
- A. $V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- B. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- C. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- D. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f\left( x ight)dx}$
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính quãng đường vật đi được

Một vật chuyển động với vận tốc $10(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = 3t + t^{2}\left( m/s^{2} ight)$ Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{4000}{3}m$
- B.
  $S = \frac{4350}{3}m$
- C.
  $S = \frac{4300}{3}m$
- D.
  $S = 1433m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 3t + t^{2} ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường đi được bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10 ight)dt} = \frac{4300}{3}(m)$
Câu 14: Vận dụng
Tính số tiền thu được

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn $28\ cm$ , trục nhỏ $25\ cm$ . Biết cứ $1000\ cm^{3}$ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá $20000$ đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
- A.
  $183259$ đồng
- B.
  $152348$ đồng
- C.
  $167584$ đồng
- D.
  $177946$ đồng
Đường elip có trục lớn $28\ cm$ , trục nhỏ $25\ cm$ có phương trình:

$\frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( \frac{25}{2} \right)^{2}} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = \left( \frac{25}{2} \right)^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow y = \pm \frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}}$ .

Do đó thể tích quả dưa là

$V = \pi\int_{- 14}^{14}{\left(\frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2}dx}$ $= \pi\left(\frac{25}{2} \right)^{2}\int_{- 14}^{14}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}\right)^{2}dx}$

$= \pi\left( \frac{25}{2}\right)^{2}.\left. \ \left( x - \frac{x^{3}}{3.14^{2}} \right)\right|_{- 14}^{14}$ $= \pi\left( \frac{25}{2} \right)^{2}.\frac{56}{3} =\frac{8750\pi}{3}\ cm^{3}$ .

Do đó tiền bán nước thu được là $\frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259$ đồng.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq 0)$ , biết rằng $F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{2} + \frac{3}{4x} - \frac{7}{4}$
- B.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} - \frac{3}{2x} - \frac{7}{4}$
- C.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}$
- D.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{2} - \frac{3}{2x} - \frac{1}{2}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\left( ax + \frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} + c}$

Theo bài ra ta có:

$F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.$ . Vậy $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn công thức thích hợp

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và thỏa mãn $0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack a;bbrack$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh $Ox$ hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường: $y = f(x),y = g(x),x = a,x = b$ . Khi đó $V$ được tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$
- C.
  $V = \left( \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight)^{2}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi $y = f(x),y = g(x)$ (với $0 < g(x) < f(x)$ ) và hai đường thẳng $x = a,x = b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.e^{- x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ ?
- A.
  $- (x + 1)e^{- x} + 1$
- B.
  $- (x + 1)e^{- x} + 2$
- C.
  $(x + 1)e^{- x} + 1$
- D.
  $(x + 1)e^{- x} + 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}$

$= - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C$

$= - xe^{- x} - e^{- x} + C$ . Theo bài ra ta có: $F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2$

Vậy $- (x + 1)e^{- x} + 2$ là đáp án cần tìm.
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $\int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = a(x - 1)^{2022} + b(x - 1)^{2021} + C$ , với $a,b \in \mathbb{Q}$ . Tính giá trị $S = \frac{{a - b}}{{ab}}$ ?
- A.
  $S=4043$
- B.
  $S=2^{2020}$
- C.
  $S=2020$
- D.
  $S=-2020$
Ta có:

$x(1 - x)^{2020} = (1 - x)^{2021} - (1 - x)^{2020}$

Khi đó:

$\int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = - \frac{1}{2022}(1 - x)^{2022} - \frac{1}{2021}(1 - x)^{2021} + C$

$= - \frac{1}{2022}(x - 1)^{2022} + \frac{1}{2021}(x - 1)^{2021} + C$

$\Rightarrow a = - \frac{1}{2022};b = \frac{1}{2021} \Rightarrow S = \frac{- \frac{1}{2022} - \frac{1}{2021}}{- \frac{1}{2022} + \frac{1}{2021}} = 4043$
Câu 19: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}$ là
- A.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x- 1}{x - 2} ight| + C$
- B.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$
- C.
  $F(x) = - 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
- D.
  $F(x) = 4\ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$
Phân tích

Ta có:

$\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}$

$= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}$

Khi đó $(A + B)x - 2A - B = 4x - 3$ , đồng nhất hệ số thì ta được

$\left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Giải chi tiết

Ta có $\int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}$ $= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}$

$= - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C$

$= 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C$ $= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C$

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

$\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }$ $= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm giá trị của biểu thức

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} \right)\ln xdx} = ae^{2} + b$ , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của $2a - 3b$ là:
- A.
  $\frac{13}{2}$
- B.
  $\frac{13}{4}$
- C.
  $- \frac{13}{4}$
- D.
  $- \frac{13}{2}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{x\ln xdx} + \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx}$ , với $t = \ln x$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{\frac{x}{2}dx} + \int_{0}^{1}{dt} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{5}{4}$

$\Rightarrow a = \frac{1}{4},b = \frac{5}{4} \Rightarrow 2a - 3b = - \frac{13}{4}$ .

Đáp án đúng là $-\frac{13}{4}$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Tính số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn

Một khu vườn được quy hoạch để trồng hoa hồng được giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn bán kính (phần tô màu trong hình vẽ). Hỏi số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn? Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần ít nhất 300.000 đồng.
- A. 971.239 đồng
- B. 962.245 đồng
- C. 914.758 đồng
- D. 972.188 đồng
Nửa đường tròn $(T)$ có phương trình $y = \sqrt {2 - {x^2}}$
Xét parabol $(P)$ có trục đối xứng $Oy$ nên có phương trình dạng $y = a{x^2} + c$
$(P)$ cắt $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 1} ight)$ => $c = - 1$
$(P)$ cắt $(T)$ tại điểm $\left( {1;1} ight)$ thuộc $(T)$ => $a + c = 1 \Rightarrow a = 2$
Phương trình $(P)$ là: $y = 2{x^2} - 1$
Diện tích miền phẳng $D$ (phần tô màu trong hình là:
$\begin{matrix} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - 2{x^2} + 1} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} = {I_1} + {I_2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = \frac{2}{3}$
Xét ${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx}$ đặt $x = \sqrt 2 \sin t;t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight]$
=> $dx = \sqrt 2 \cos tdt$
Ta có: $x \in \left[ {1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} ight]$
Khi đó ta có:
$\begin{matrix} {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}t} .\sqrt 2 \cos tdt} \hfill \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} ight)dt} \hfill \\ = \left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 1 + \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{\pi }{2}\left( {{m^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Số tiền trồng hoa tối thiểu là: $300000.\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} ight) \approx 971239$ đồng
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Hãy xác định hàm số $f(x)$ từ đẳng thức: $x^{2} + xy + C = \int_{}^{}{f(y)dy}$
- A.
  $f(x) = 2x$
- B.
  $f(x) = x$
- C.
  $f(x) = 2x + 1$
- D.
  Không tính được
Ta có: $\left( x^{2} + xy \right)' = x + C$

Vậy $f(x) = x$ .
Câu 23: Nhận biết
Xác định nguyên hàm

$\int_{}^{}{x^{2}dx}$ bằng
- A.
  $2x + C$ .
- B.
  $\frac{1}{3}x^{3} + C$ .
- C.
  $x^{3} + C$ .
- D.
  $3x^{3} + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C$ .
Câu 24: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức $f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A. f(4) + g(4) = 1
- B. f(4) + g(4) = ln2
- C. f(4) + g(4) = ln3
- D. f(4) + g(4) = 2ln2
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Vận dụng

Tính thể tích nước

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 26: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

Một khối cầu có bán kính là $6\ dm$ , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3\ dm$ để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu $dm^{3}$ (làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 622

Đáp án là:

Một khối cầu có bán kính là $6\ dm$ , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3\ dm$ để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu $dm^{3}$ (làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 622

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$ , xét đường tròn $(C)$ : $(x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36$

Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $(C)$ quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu có bán kính bằng 6.

Nếu cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi nửa trên trục $Ox$ của $(C)$ , trục $Ox$ , hai đường thẳng $x = 0;\ x = 3$ quay xung quanh $Ox$ ta sẽ được khối tròn xoay chính là 1 phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

Ta có $(x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{36 - (x - 6)^{2}}$

Suy ra nửa trên trục $Ox$ của $(C)$ có phương trình $y = \sqrt{36 - (x - 6)^{2}} = \sqrt{12x - x^{2}}$

Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $(H)$ quay quanh $Ox$ là $V_{1} = \pi\int_{0}^{3}\left( 12x - x^{2} ight) = 45\pi$ .

Thể tích khối cầu là $V_{2} = \frac{4}{3}\pi.6^{3} = 288\pi$ .

Thể tích cần tìm là $V = V_{2} - 2V_{1} = 198\pi \approx 622$ .
Câu 27: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm theo yêu cầu

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$ ?
- A.
  $3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$ .
- B.
  $\frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$ .
- C.
  $3\sqrt{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
- D.
  $3\sqrt{2}\sin x.cosx.sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}$

$= 3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C$

$= \frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C$

$= \frac{3\sqrt{2}}{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C$ .
Câu 28: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Nếu $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4$ . Khi đó $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Ta có: $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6$ .
Câu 29: Thông hiểu
Cho giá trị của tích phân

Cho giá trị của tích phân ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} = a$ , ${I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = b}$ . Giá trị của biểu thức $P = a - b$ là:
- A. $P = \frac{7}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- B. $P = \frac{3}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- C. $P = \frac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- D. $P = \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln 3$
Ta có:
$\begin{matrix} {I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {x + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}$
${I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = \left. {\left( {\ln \left| x ight|} ight)} ight|} _e^{{e^2}} = 1 \Rightarrow b = 1$
$P = a - b = \frac{3}{2} + \ln 2 - \ln 3$
Câu 30: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{19 + 17\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
- B.
  $I = \frac{19 + 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$
- C.
  $I = \frac{- 19 + 17\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
- D.
  $I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$
Ta nhận thấy: $\left( \cos x ight)' = - \sin x$ . Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

$I = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\left( 1 - \cos^{2}x ight)\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx}$

$\Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{t^{2} - 1}{\sqrt{t}}dt} = {\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( t^{\frac{3}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} ight)dx }}$

$\left. { = \left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}$

Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx}$ có giá trị là: $I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm giá trị biểu thức

Cho hàm số $F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Giá trị biểu thức $a + 2b + 4c$ bằng:
- A.
  $1011$
- B.
  $- 3035$
- C.
  $1007$
- D.
  $- 5053$
Ta có: $F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}$

$= \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}$

Theo bài ra ta có:

$\Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035$
Câu 32: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm

Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^{5}$ .Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $5x^4+C$ .
- B.
  $\frac{1}{6}x^6+C$ .
- C.
  $x^6+C$ .
- D.
  $6x^6+C$ .
Ta có $\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ và $F(\pi) + F( - 1) = 1$ . Giá trị biểu thức $T = F(2\pi) + F( - 5)$ bằng:
- A.
  $T = 17$
- B.
  $T = 2\pi + 3$
- C.
  $T = 8$
- D.
  $T = \pi - 1$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 0$ tức là

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**)$ . Từ (*) và (**) suy ra $C_{1} = C_{2} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$T = F(2\pi) + F( - 5) = 17$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

Số nghiệm dương của phương trình: $x^{3} + ax + 2 = 0$ , với $a = \int_{0}^{1}{2xdx}$ , a và b là các số hữu tỉ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có: $a = \int_{0}^{1}{2xdx} = \left. \ \left( x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = 1 \Rightarrow x^{3} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Số nghiệm dương của phương trình: $x^{3} + ax - 2 = 0$ , với $a = \int_{0}^{1}{2xdx}$ là: 1
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Nguyên hàm của hàm số $x.lnx$ là
- A.
  $\frac{{{x^2}.\ln x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có $\int_{}^{}{x.lnx}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\ dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

$\int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}$

$= \frac{x^{2}.lnx}{2} - \int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C}$ .
Câu 36: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx$ là:
- A.
  $2\sqrt[3]{t} + C$ .
- B.
  $6\sqrt[3]{t} + C$ .
- C.
  $3\sqrt[3]{t} + C$ .
- D.
  $12\sqrt[3]{t} + C$ .
Ta có:

$I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C$ .
Câu 37: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}$
- A. $\frac{1}{{12}}.{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- B. $- \frac{1}{{12}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- C. $- \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- D. $\frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
$\int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx$
Đặt $t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx$
=> $\int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}$
=> $\frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
Câu 38: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx =}F(x) + C.$
- B.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f(x).$
- C.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
- D.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = F'(x).$
Mệnh đề sai $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).$
Câu 39: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3} + 3x + 2$ là hàm số nào trong các hàm số sau?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{3} + 3x^{2} + 2x + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C$ .
- D.
  $F(x) = 3x^{2} + 3x + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)' = \frac{4x^{3}}{4} + \frac{3.2x}{2} + 2 = x^{3} + 3x + 2$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ nên $\int_{}^{}{f(x)dx} = F(x)$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C$
Câu 40: Thông hiểu
Tính diện tích của hình phẳng

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3