VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Tính thể tích V

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( C ight):y = {x^2} + 4x$ và đường thẳng $d:y = x$ . Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay do hình phẳng $(H)$ quay quanh trục hoành.
- A. $V = \frac{{81\pi }}{{10}}$
- B. $V = \frac{{81\pi }}{5}$
- C. $V = \frac{{108\pi }}{5}$
- D. $V = \frac{{108\pi }}{{10}}$
Phương trình hoành độ giao điểm là: $- {x^2} + 4x = x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 3} \end{array}} ight.$
Thể tích cần tính là:
$V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {4x - {x^2}} ight)}^2} - {x^2}} ight|dx} = \frac{{108\pi }}{3}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (2 - x)e^{\frac{x}{2}}$ và hai trục tọa độ là
- A.
  $2e^{2} - 10$
- B.
  $2e^{2} + 10$
- C.
  $\pi\left( 2e^{2} - 10 ight)$
- D.
  $\pi\left( 2e^{2} + 10 ight)$
Ta có:

$y = (2 - x)e^{\frac{x}{2}}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Thể tích $V = \pi\int_{0}^{2}{(2 - x)^{2}e^{x}dx}$

Sử dụng phương pháp tích phân thành phần

$\Rightarrow V = \pi\left( 2e^{2} - 10 ight)$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}$ . Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ ; đồ thị hàm số $y = F(x)$ đi qua điểm $M(1;6)$ . Nguyên hàm $F(x)$ là
- A.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{4} - \frac{2}{5}$
- B.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}$
- C.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{5} + \frac{2}{5}$
- D.
  $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{4} + \frac{2}{5}$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}dx = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right)$

$= \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = F(x)$

Mà đồ thị hàm số $y = F(x)$ đi qua điểm $M(1;6)$ khi đó:

$\frac{\left( 1^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = 6 \Rightarrow C = \frac{14}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}$
Câu 4: Vận dụng
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx$ là:
- A.
  $\frac{1}{8}\left( 2x^{2} - xsin2x -cos2x \right)+ C$ .
- B.
  $\frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C$ .
- C.
  $\frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C$ .
Ta biến đổi:

$I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx = \int_{}^{}{x\left( \frac{1 - cos2x}{2} \right)dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{xdx - \frac{1}{2}\int_{}^{}{xcos2x}}dx = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{xcos2xdx}}{︸}} + C_{1}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\int_{}^{}{\mathbf{x}\mathbf{cos2}\mathbf{xdx}}$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = cos2x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \frac{1}{2}sin2x \\ \end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{xcos2xdx} = \frac{1}{2}xsin2x - \frac{1}{2}\int_{}^{}{sin2xdx =}$ $\frac{1}{2}xsin2x + \frac{1}{4}cos2x + C$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C$ $= \frac{1}{8}\left( 2x^{2} - 2xsin2x - cos2x \right) + C$

$= - \frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm thể tích V của vật thể

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3,$ biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1 \leq x \leq 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $3x$ và $x^{2}$ .
- A.
  $V = 60$
- B.
  $V = 54$
- C.
  $V = 71$
- D.
  $V = 63$
Ta có diện tích thiết diện: $S(x) = 3x.x^{2} = 3x^{3}$ .

Khi đó $V = \int_{1}^{3}{3x^{3}dx} = \frac{3}{4}x^{4}\left| \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right.\ = 60$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Xác định khẳng định chính xác nhất

Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính tích ab

Cho $I = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx} = a\sqrt{2} + b$ . Giá trị a.b là:
- A.
  – 1
- B.
  – 2
- C.
  1
- D.
  2
Ta có:

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \sqrt{2} - 1$

$\Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow a.b = - 1$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ , có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
- B.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $BP$ .
- C.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $NM$ .
- D.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn cong $AB$ .
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
Câu 9: Thông hiểu
Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số

Hàm số $F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A. $f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
- B. $f\left( x ight) = - 2\cos x + 3\sin x$
- C. $f\left( x ight) = - 2\cos x - 3\sin x$
- D. $f\left( x ight) = 2\cos x - 3\sin x$
$F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị k của vận tốc

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $k\left( {m/s} ight)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t ight) = - 4t + k\left( {m/s} ight)$ . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 56m. Tính giá trị của $k$ ?
- A. $k = 20\left( {m/s} ight)$
- B. $k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)$
- C. $k = 12\sqrt 3 \left( {m/s} ight)$
- D. $k = 4\sqrt {26} \left( {m/s} ight)$
Khi dừng hẳn $- 4t + k = 0 \Rightarrow t = \frac{k}{4}\left( s ight)$
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
$S = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {\left( { - 4t + k} ight)dt}$
$= \left. {\left( { - 2{t^2} + kt} ight)} ight|_0^{\frac{k}{4}} = \frac{{ - {k^2}}}{8} + \frac{{{k^2}}}{4} = 56 \Rightarrow k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)$
Câu 11: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ ?
- A.
  $F(x) = 2x + 3 + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$ .
- D.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$ .
Ta có: $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$

Xét từng đáp án ta thấy:

$\left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x \right)' = x^{2} + 3x + 2$ .

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định hàm số

Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tìm $H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}$ ?
- A.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- B.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C$ .
- C.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- D.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x+ C$ .
Ta có : $H = \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$
Câu 14: Thông hiểu
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x.cosx

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0$ . Tính $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight)$ .
- A. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}$
- B. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = 0$
- C. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}$
- D. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
$\begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $65$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $20$ giây.Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $65$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $20$ giây.Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .

Ta có: $\int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C$ với $C$ là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 5t^{2} + 20t + C$ .

$\mathbf{\cdot}$ Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$ .

Suy ra $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .

$\mathbf{\cdot}$ Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ . Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

$\mathbf{\cdot}$ Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $65\ km/h \approx 18\ m/s$ .

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m)$ .

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $18 + 20 \approx 38\ (\ m)$ .

Do $38 < 50$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Câu 16: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) =e^{x}$ là:
- A.
  $\frac{e^{x + 1}}{x + 1} +C$ .
- B.
  $e^{x} + C$ .
- C.
  $\frac{e^{x}}{x} +C$ .
- D.
  $x \cdot e^{x - 1} +C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + ab + b^{2}$ ?
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 12$
- C.
  $T = 14$
- D.
  $T = 15$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

$= \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}$

$= 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C$

Suy ra $a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13$
Câu 18: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = 2x - 2$
- C. $y = x$
- D. $y = - x$
Ta có:
$\begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
$\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)$
Ta lại có: $f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Nếu $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C}$ thì $f(x)$ là hàm nào ?
- A.
  $e^{x} + cos^{2}x$
- B.
  $e^{x} - sin2x$
- C.
  $e^{x} + cos2x$
- D.
  $e^{x} + sin2x$
Ta có: $\left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x$ .
Câu 20: Thông hiểu
Xác định tỉ số của a và b

Cho gá trị của tích phân $I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} \right)dx = a$ , $I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x \right)dx = b$ . Giá trị của $\frac{a}{b}$ là:
- A.
  $P = - \frac{4}{65}$
- B.
  $P = \frac{12}{65}$
- C.
  $P = - \frac{12}{65}$
- D.
  $P = \frac{4}{65}$
Ta có:

$I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{2}x^{4} ight) ight|_{- 1}^{1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = \frac{2}{5}$ .

$I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{13}{6} \Rightarrow b = - \frac{13}{6}$ .

$\Rightarrow P = \frac{a}{b} = - \frac{12}{65}$ .

Đáp án đúng là $P = - \frac{12}{65}$ .
Câu 21: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Tích phân $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$ được phân tích thành:
- A.
  $\int_{c}^{b}{f(x)} + \int_{c}^{a}{- f(x)}dx$
- B.
  $\int_{c}^{b}{f(x)} - \int_{c}^{a}{- f(x)}dx$
- C.
  $\int_{c}^{b}{f(x)} + \int_{c}^{a}{f(x)}dx$
- D.
  $- \int_{c}^{b}{f(x)} + \int_{c}^{a}{f(x)}dx$
Ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)}dx = \int_{c}^{b}{f(x)}dx + \int_{a}^{c}{f(x)}dx = \int_{c}^{b}{f(x)}dx - \int_{c}^{a}{f(x)}dx$ .

Đáp án đúng là $\int_{c}^{b}{f(x)} + \int_{c}^{a}{- f(x)}dx$ .
Câu 22: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}$ ?
- A.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$
- D.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .
Câu 23: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 24: Vận dụng
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{{7\pi }}{6} - 4\sqrt 3 + 8$
- B. $I = \frac{{7\pi }}{6} - 4\sqrt 3 - 8$
- C. $I = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8$
- D. $I = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 + 8$
Ta có: $\left( {3 + 3x - {x^2}} ight)' = 3 - 2x$ và $3 + 4x = 9 - 2\left( {3 - 2x} ight)$
$\Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{7 - 2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
$= \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
Xét ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {4 - {{\left( {x - 1} ight)}^2}} }}dx}$
Đặt $x - 1 = 2\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = 2\cos tdt$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{14\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}dt} = \frac{{7\pi }}{6}$
Xét ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
Đặt $t = 3 + 2x - {x^2} \Rightarrow dt = \left( {2 - 2x} ight)dx$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_2} = \int\limits_3^4 {\frac{2}{{\sqrt t }}dt} = 4\left. {\left( {{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_3^4 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } ight)$
$I = {I_1} - {I_2} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 \right|dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{4}{3}$
- B.
  $I = \frac{1}{2}$
- C.
  $I = - \frac{4}{3}$
- D.
  $I = - \frac{1}{2}$
Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 ight|dx$ có giá trị là:

$\underset{f(x)}{\overset{x^{3} + x^{2} - x - 1}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 1$

Bảng xét dấu:

Ta có:

$I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 ight|dx = - \int_{- 1}^{1}\left( x^{3} + x^{2} - x - 1 ight)dx$

$= - \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - x ight) ight|_{- 1}^{1} = \frac{4}{3}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{4}{3}$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Khẳng định nào sau đây đúng.
- A.
  Chỉ có duy nhất một hằng số $C$ sao cho hàm số $y = F(x) + C$ là một nguyên hàm của hàm $f$ trên $K.$
- B.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .
- C.
  Chỉ có duy nhất hàm số $y = F(x)$ là nguyên hàm của $f$ trên $K.$
- D.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x$ thuộc $K$ và $C$ bất kỳ.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .”
Câu 27: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Vận dụng cao
Tính tích phân I

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ liên tục và dương trên $\mathbb{R}$ , hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = g\left( x ight) = \left( {x - 1} ight)f\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)$ , trục hoành và $x = 1;x = 2$ có diện tích bằng 5. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx}$
- A. $I=10$
- B. $I=5$
- C. $I=8$
- D. $I=20$
Ta có: $J = \int\limits_1^1 {\left| {\left( {x - 1} ight)f{{\left( {x - 1} ight)}^2}} ight|dx} = 5$
Đặt $t = x - 1$ ta được:
$J = \int\limits_0^1 {t.f\left( {{t^2}} ight)dt} = 5 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{t^2}} ight)d\left( {{t^2}} ight)} = 10$
=> $I = \int\limits_0^1 {f\left( x ight)dx} = 10$
Câu 29: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin^{4}x\cos x$ ??
- A.
  $F(x) = - \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- B.
  $F(x) = \sin^{5}x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- D.
  $F(x) = - \sin^{5}x +C$
Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C$
Câu 30: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Mệnh đề đúng

b) Cho $v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s)$ . Mệnh đề sai

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Mệnh đề đúng

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m)$ . Mệnh đề sai
Câu 31: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$ và $f(2) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ là:
- A.
  $y = 7x - 9$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = 4x - 4$
- D.
  $y = x$
Ta có: $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Theo bài ra ta có: $f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0$

Suy ra $\frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x$

Vậy $g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1$

Ta có: $g'(3) = 7;g(3) = 12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

$y = g'(3)(x - 3) + g(3)$

$\Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9$
Câu 32: Vận dụng
Xác định hàm số

Cho $F(x) = \ln\left( \ln\left( \ln x \right) \right)$ . Hỏi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f(x) = \frac{1}{x.ln\left( \ln x ight)}$
- B.
  $f(x) = \frac{1}{\ln\left( \ln\left( \ln x ight) ight)}$
- C.
  $f(x) = \frac{1}{\ln x.\ln\left( \ln x ight)}$
- D.
  $f(x) = \frac{1}{x.\ln x.\ln\left( \ln x ight)}$
Để tìm $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm $F(x)$ từ đó suy ra $f(x)$ .

Ta có

$F'(x) = \left\lbrack \ln\left( \ln\left( \ln x ight) ight) ightbrack'$

$= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\left\lbrack \ln\left( \ln x ight) ightbrack'$ $= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}\left( \ln x ight)'$

$= \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}.\frac{1}{x} = \frac{1}{x.\ln x.\ln\left( \ln x ight)} = f(x)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Cho $F(x) = (x - 1)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ ?
- A.
  $(x - 2)e^{x} + C$
- B.
  $\frac{2 - x}{2}e^{x} + C$
- C.
  $(2 - x)e^{x} + C$
- D.
  $(4 - 2x)e^{x} + C$
Ta có: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ nên

$F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}$

Hay $f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}$

Xét $I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx$ , đặt $\left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó

$I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx$

$= xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C$
Câu 34: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng (H)

Cho hàm $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và đường thẳng $y = x$ (phần gạch chéo trong hình vẽ):

Diện tích hình $(H)$ bằng:
- A.
  $2f(2) - f(1) - f(3) + 1$
- B.
  $f(3) - f(1) + 1$
- C.
  $2f(3) - f(2) - f(1) + 1$
- D.
  $f(1) - f(3) + 4$
Diện tích phần gạch chéo là:

$S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}$

$= \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}$

$= 2f(2) - f(1) - f(3) + 1$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $y = - e^{- x} + \frac{1}{2}x^{2} - 5x + 1$
- B.
  $y = - e^{- x} + x^{2} - 5x$
- C.
  $y = - e^{- x} + 2$
- D.
  $y = e^{- x} + x^{2} - 5x + 3$
Ta có: $f'(x) = - e^{- x} + 2$ nên $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số $y = - e^{- x} + 2$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tính thể tích theo yêu cầu

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 3$ . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ( $1 \leq x \leq 3$ ) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^{2} - 2$ . Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
- A.
  $V = 156$ .
- B.
  $V = 156\pi$ .
- C.
  $V = 312$ .
- D.
  $V = 312\pi$ .
Diện tích thiết diện là: $S(x) = 3x.\left( 3x^{2} - 2 ight) = 9x^{3} - 6x$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int_{1}^{3}{\left( 9x^{3} - 6x ight)dx = 156}$
Câu 37: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 38: Vận dụng cao
Tìm các số hữu tỉ a, b thỏa mãn điều kiện

Biết $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$ , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của $\frac{a}{b}$ là:
- A. $\frac{1}{{12}}$
- B. $\frac{1}{{24}}$
- C. $- \frac{1}{{12}}$
- D. $- \frac{1}{{24}}$
Biết $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$ . Giá trị của $\frac{a}{b}$ là:
Ta có:
$I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}x\sin 2x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} = - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{1}{{24}} \hfill \\ b = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{12}}$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Biết rằng $A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ . Xác định $T = 4B - 2A$ ?
- A.
  $T = x - 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- B.
  $T = x + 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- C.
  $T = 3x - \ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- D.
  $T = 2x - \ln\left| \sin x + \cos x ight| + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C$
Câu 40: Vận dụng
Tìm tích phân I

Tích phân $I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $I = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
- C.
  $I = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
- D.
  $I = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
Tích phân $I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx}$ có giá trị là:

$I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{- 3 - x^{2} + 2x}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{1 - (x - 2)^{2}}dx}$ .

Đặt $x - 2 = \sin t,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = \cos tdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - sin^{2}t}.costdt} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{cos^{2}tdt}$

$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 + cos2t}{2}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( x + \frac{1}{2}sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

Đáp án đúng là $I = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

28 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3