Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Tính thể tích chi tiết máy
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác
là các hình vuông cạnh
. Tứ giác
là hình chữ nhật có
. Mặt bên
được mài nhẵn theo đường parabol
có đỉnh parabol nằm trên cạnh
. Tính thể tích của chi tiết máy gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Gọi hình chiếu của trên
và
là
và
.
Vật thể được chia thành hình lập phương có cạnh
, thể tích
và phần còn lại có thể tích
.
Khi đó thể tích vật thể .
Đặt hệ trục sao cho
trùng với
,
trùng với
,
trùng với tia
song song với
.
Khi đó Parabol có phương trình dạng
, đi qua điểm
do đó
.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với và đi qua điểm
ta được thiết diện là hình chữ nhật
có cạnh là
và
Do đó diện tích
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có .
Từ đó
Xét tính đúng sai của các khẳng định
Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
.Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
.Sai||Đúng
c)
.Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
.Sai||Đúng
Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
.Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
.Sai||Đúng
c)
.Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
.Sai||Đúng
Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần. Ô tô đang chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. (Đúng).
Để tìm thời gian mà ô tô dừng lại, ta đặt v=0 nghĩa là: −5t+20=0 hay t=4 (s)
Vậy khi t=4, vận tốc là 0 m/s, điều này cho thấy ô tô đã dừng lại.
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5 s.
Điều này không chính xác. Từ phần (a), chúng ta đã xác định thời gian để ô tô dừng lại là 4 giây, không phải 5 giây.
c)
Công thức tích phân này là chính xác, vì:
Với C là hằng số tích phân.
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400 m.
Để tính quãng đường, chúng ta cần tích phân hàm vận tốc để tìm quãng đường đi được. Quãng đường s từ t = 0 đến t=4 giây được tính bằng:
Do đó, quãng đường ô tô đi được là 40 m, không phải 400 m.
Tóm lại:
(a) Đúng.
(b) Sai, thời gian là 4 giây.
(c) Đúng.
(d) Sai, quãng đường là 40 m.
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Xác định tích phân
Tính tích phân
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Xác định tham số a
Tích phân
. Giá trị của a là:
Tích phân . Giá trị của alà:
Ta có:
.
Theo đề bài, ta có: .
Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)
Nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn điều kiện
là
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là:
Xác định nguyên hàm I
Theo phương pháp đổi biến số với
, nguyên hàm của
là:
Ta có:.
Xét .
Đặt .
Xét .
Đặt .
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Tính giá trị nhỏ nhất của tích phân
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
với
. Đặt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
?
Gọi sao cho
. Ta có:
Mà
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được bằng
khi
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Ta có:
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
Ta lại có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Xác định giá trị nguyên của tham số a
Tích phân
. Giá trị nguyên của a là:
Ta có: .
.
Đặt .
Đổi cận .
Ta có:
Theo đề bài:
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm ![]()
Đặt .
Khi đó
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Thực hiện tính tích phân chứa tham số
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Tính giá trị biểu thức
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Tính tích phân
Tích phân
bằng:
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
. Một nguyên hàm của hàm số
bằng 0 khi
là:
Ta có:
Vậy
Chọn đáp án thích hợp
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có .
Đặt
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có
.
Chọn đáp án đúng
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi
là:
Ta có
Khi .
Tính tích phân
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết
.
Ta có:
Mà
Vậy đáp án cần tìm là:
Xác định số cực trị của hàm số
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Tính tích phân
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Tính giá trị biểu thức
Biết
với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
bằng:
Giả sử . Đặt
, đổi cận
Tìm tích phân
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Chọn phương án đúng
Tìm nguyên hàm ![]()
Ta có
Áp dụng vào bài ta chọn .
Tính tổng các nghiệm phương trình
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Xét sự đúng sai của các mệnh đề sau
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Tính giá trị biểu thức S
Biết
, với
. Tính giá trị
?
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Xác định mệnh đề sai
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: