VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x}$ ?
- A.
  $F(x) = e^{x}.\ln2x + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}.\ln x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {e^{ - x}}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = - e^{x}.\ln x + C$
Ta có $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}$

$= \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 2: Thông hiểu
Hàm số f(x) = x^3 + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x)

Hàm số $f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2$ có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
- A. 12
- B. 6
- C. -8
- D. 20
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}$
Hàm số đi qua B(2; 10) => $\frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4$
=> $F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6$
Câu 3: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ với các trục tọa độ?
- A.
  $S = 2\ln\frac{3}{2} -1$
- B.
  $S = 5\ln\frac{3}{2} -1$
- C.
  $S = 3\ln\frac{5}{2} -1$
- D.
  $S = 3\ln\frac{3}{2} - 1$
Xét $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ với các trục tọa độ là: $S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}$ .

Vì biểu thức $\frac{x + 1}{x - 2}$ không đổi dấu trên miền $\lbrack - 1;0brack$ nên:

$S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1$
Câu 4: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ ?
- A.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
- B.
  $2x + 3 + C$
- C.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$
- D.
  $\frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$
Ta có: $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$

$\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right)$ với $x > 0$ .
- A.
  $F(x) = ex^{2}.\ln(ex) + C$
- B.
  $F(x) = x^{2}.\ln(ex) + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {x^2}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = x\ln x + C$
Ta có

$f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)$

$= x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x$

$= \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C$
Câu 6: Vận dụng cao
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- B. $I = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} - \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- C. $I = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} - \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $I = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Ta có:
$I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{x^3} + 2x} ight)\cos x + x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^3} + 2x} ight)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}$
$= \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}$
Xét ${I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}$
Đặt $\left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \cos xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = \sin x \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x\sin x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$\Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + {x^2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{{5{\pi ^4}}}{{324}} + \frac{{2{\pi ^2}}}{9} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Biết $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx$ tương ứng bằng
- A.
  $\frac{3}{2}e^{2x} - 4e^{x} + C$
- B.
  $3e^{2x} - 4e^{x} + C$
- C.
  $6e^{x} + 4x + C$
- D.
  $6e^{x} - 4x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4$

$\Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4$

$\Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C$
Câu 9: Nhận biết
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:
- A. $I = 1$
- B. $I = 2$
- C. $I = -2$
- D. $I = -1$
Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - 2$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}$ là
- A.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 6 ight)e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}\left( x^{2} + 1 ight) + 5x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = \left( {5{x^2} + 3x} ight){e^x} + C$
- D.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$
Ta có $f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}$ $= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}$

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên $\Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 11: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: 3200 $m^{2}$

Đáp án là:

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: 3200 $m^{2}$

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Ta có: $A(30;0),B(0;20)$

$\Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2} + 20$

Khi đó diện tích phần parabol là:

$4\int_{0}^{30}{\left( \frac{- 1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)$

Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: $60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2} ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là:
- A.
  $- \ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- B.
  $2ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- C.
  $- \frac{\ln\left| \cos x - 3 \right|}{2} + C$
- D.
  $4ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left| \cos x - 3 \right| + C}}$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x}$ ?
- A.
  $F(x) = e^{x}.\ln2x + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}.\ln x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = {e^{ - x}}.\ln x + C$
- D.
  $F(x) = - e^{x}.\ln x + C$
Ta có $f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}$

$= \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x - 3)^{2}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{3} + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = (2x - 3)^{3} + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{6} + C}$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{2} + C}$
Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

Họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = cot^{2}x$ là :
- A.
  $\cot x -x + C$
- B.
  $- \cot x - x + C$
- C.
  $\cot x + x + C$
- D.
  $\tan x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{cot^{2}xdx = \int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x + C}$ .
Câu 16: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$ và $f(2) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x - 1$
- B.
  $y = 2x - 4$
- C.
  $y = 4x$
- D.
  $y = - 6x - 12$
Ta có: $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C$

Lại có $f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8$

Từ đó suy ra $xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

$y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)$

$\Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $y = - e^{- x} + \frac{1}{2}x^{2} - 5x + 1$
- B.
  $y = - e^{- x} + x^{2} - 5x$
- C.
  $y = - e^{- x} + 2$
- D.
  $y = e^{- x} + x^{2} - 5x + 3$
Ta có: $f'(x) = - e^{- x} + 2$ nên $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số $y = - e^{- x} + 2$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho biết $\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = x\cos(\pi x)$ . Tính $f(4)$ .
- A.
  $f(4) = 2\sqrt{3}$
- B.
  $f(4) = - 1$
- C.
  $f(4) = \frac{1}{2}$
- D.
  $f(4) = \sqrt[3]{12}$
Ta có:

$\int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = \left. \ \frac{t^{3}}{3} ight|_{0}^{f(x)} = \frac{f^{3}(x)}{3} \Rightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = x.cos(\pi x)$

Thay $x = 4 \Rightarrow \frac{f^{3}(4)}{3} = 4.cos(4\pi)$

$\Rightarrow f^{3}(4) = 12 \Rightarrow f(4) = \sqrt[3]{12}$ .
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm của $f(x) = \frac{x}{sin^{2}x}$ là :
- A.
  $x\cot x - \ln|sinx|$
- B.
  $- x\cot x + \ln\left( \sin x \right)$
- C.
  $- x\tan x + \ln|cosx|$
- D.
  $x\tan x - \ln\left| \sin x \right|$
Ta có: $I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó: $I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}$ $= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C$
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x + 1)dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = ln2 - \frac{1}{2}$
- B.
  $I = 2ln2 - \frac{1}{2}$
- C.
  $I = 2ln2 - 1$
- D.
  $I = ln2 - 1$
Xét giá trị tích phân $I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x + 1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \ln(x + 1) \\ dv = (2x + 1)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{1}{x + 1}dx \\ v = x^{2} + x \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \left. \ \left\lbrack \left( x^{2} + x ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{xdx}$

$= \left. \ \left\lbrack \left( x^{2} + x ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = 2ln2 - \frac{1}{2}$

Đáp án đúng là $I = 2ln2 - \frac{1}{2}$ .
Câu 21: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Nguyên hàm của hàm số $x.lnx$ là
- A.
  $\frac{{{x^2}.\ln x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có $\int_{}^{}{x.lnx}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\ dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

$\int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}$

$= \frac{x^{2}.lnx}{2} - \int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C}$ .
Câu 22: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1$ .
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ quanh trục hoành.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1$ .
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ quanh trục hoành.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{{7\pi }}{6} - 4\sqrt 3 + 8$
- B. $I = \frac{{7\pi }}{6} - 4\sqrt 3 - 8$
- C. $I = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8$
- D. $I = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 + 8$
Ta có: $\left( {3 + 3x - {x^2}} ight)' = 3 - 2x$ và $3 + 4x = 9 - 2\left( {3 - 2x} ight)$
$\Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{7 - 2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
$= \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
Xét ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {4 - {{\left( {x - 1} ight)}^2}} }}dx}$
Đặt $x - 1 = 2\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = 2\cos tdt$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{14\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}dt} = \frac{{7\pi }}{6}$
Xét ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} ight)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$
Đặt $t = 3 + 2x - {x^2} \Rightarrow dt = \left( {2 - 2x} ight)dx$
Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow {I_2} = \int\limits_3^4 {\frac{2}{{\sqrt t }}dt} = 4\left. {\left( {{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_3^4 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } ight)$
$I = {I_1} - {I_2} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8$
Câu 24: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 3x$
- A. $3\sin 3x + C$
- B. $\frac{{\sin 3x}}{3} + C$
- C. $\sin 3x + C$
- D. $\cos 3x + C$
Ta có: $\int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C$
Câu 25: Vận dụng cao
Tính giá trị của tích phân

Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 \right)}{x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 3}{3}$
- B.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$
- C.
  $I = \frac{4\sqrt{2} + 5}{3}$
- D.
  $I = \frac{4\sqrt{2} - 3}{3}$
Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx}$ có giá trị là:

Ta có:

$I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} + \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$ .

Đặt $t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = {\int_{1}^{2}{\sqrt{t}dt = \left. \ \left( \frac{2}{3}\sqrt{t^{3}} ight) ight|}}_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ .

Xét $I_{2}\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}$ .

Đặt $t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{2} = \int_{0}^{1}{dt} = 1$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$ .

Vậy đáp án cần chọn là: $I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}$ .
Câu 26: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x}$ là
- A.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 6 ight)e^{x} + C$
- B.
  $F(x) = e^{x}\left( x^{2} + 1 ight) + 5x + C$
- C.
  $F\left( x ight) = \left( {5{x^2} + 3x} ight){e^x} + C$
- D.
  $F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$
Ta có $f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}$ $= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}$

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên $\Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Câu 27: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tìm $H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}$ ?
- A.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- B.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C$ .
- C.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- D.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x+ C$ .
Ta có : $H = \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$
Câu 28: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ có đồ thị $f'\left( x ight)$ trên $\left[ { - 3;2} ight]$ như hình vẽ. Tính giá trị của $f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight)$ . Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ và $f\left( { - 3} ight) = 0$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ có đồ thị $f'\left( x ight)$ trên $\left[ { - 3;2} ight]$ như hình vẽ. Tính giá trị của $f\left( { - 1} ight) + f\left( 1 ight)$ . Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ và $f\left( { - 3} ight) = 0$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 29: Nhận biết
Công thức tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} ight]$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức:
- A. $V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- B. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- C. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
- D. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f\left( x ight)dx}$
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 \right)dx}$ có giá trị là:
- A.
  I = 1
- B.
  I = 2
- C.
  I = 3
- D.
  I = 4
Thực hiện giải toán theo hai bước sau:

Cách 1: $I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{1} = 4$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 31: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên $\left( {0; + \infty } ight)$ và thỏa mãn f(1) = 1, $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $2 < f\left( 5 ight) < 3$
- B. $1 < f\left( 5 ight) < 2$
- C. $4 < f\left( 5 ight) < 5$
- D. $3 < f\left( 5 ight) < 4$
Ta có: $f\left( x ight) > 0$ và $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}$
=> $\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}$
=> $\int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C$
Mà f(1) = 1 => $C = - \frac{4}{3}$ và $f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79$
Câu 32: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm U

Họ nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}$ là:
- A.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
- B.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- C.
  $\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C$ .
- D.
  $- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \cos x \right) \\dv = \dfrac{dx}{sin^{2}x} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = - \tan xdx \\v = - \cot x \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - \int_{}^{}{dx = - \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C}$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $\int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}$
- B.
  $\int_{0}^{1}{\cos(1 - x)dx} = - \int_{0}^{1}{\cos xdx}$
- C.
  $\int_{0}^{\pi}{\cos\frac{x}{2}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx}$
- D.
  $\int_{0}^{\pi}{\sin\frac{x}{2}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$
Đặt $t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}$ .

Vậy khẳng định đúng $\int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}$ .
Câu 34: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:
- A.
  $- \ln|t| + \ln|u| + C$ .
- B.
  $\ln|t| - \ln|u| + C$ .
- C.
  $\ln|t| + \ln|u| + C$ .
- D.
  $- \ln|t| - \ln|u| + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}$ .

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}$ .

Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) - 2f(x) = 0$ . Tính $f( - 1)$ biết rằng $f(1) = 1$ ?
- A.
  $e^{- 4}$
- B.
  $e^{3}$
- C.
  $e^{4}$
- D.
  $e^{- 2}$
Vì $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên ta có:

$f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C$

$\Rightarrow \ln f(x) = 2x + C$

Cho $x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2$

Do đó $\ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}$
Câu 36: Nhận biết
Xác định nguyên hàm

Nguyên hàm $\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$ là:
- A.
  $- 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
- B.
  $- 2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$ .
- C.
  $2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
- D.
  $2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}$

$= - 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm hàm số không thích hợp

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$
- B.
  $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$
- C.
  $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$
- D.
  $\frac{x^{2}}{x + 1}$
Dễ nhận thấy $\frac{x^{2}}{x + 1} + 1 = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

$\frac{x^{2}}{x + 1} - 1 = \frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$

Ta thấy 3 phương án $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$ , $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ , $\frac{x^{2}}{x + 1}$ có cùng đạo hàm.

Vậy phương án $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$ sai.
Câu 38: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = 2x - 2$
- C. $y = x$
- D. $y = - x$
Ta có:
$\begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
$\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)$
Ta lại có: $f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Nguyên hàm $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- B.
  $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- C.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$ .
- D.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$
Câu 40: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{- e^{x} + 4x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
- A.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- B.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- C.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

$V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$

Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

26 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Lớp 12
Khóa học Lớp 12
Toán 12 (cũ)

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 (cũ)

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Đề thi học kì 1 Toán 12 Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5