VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức $f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A. f(4) + g(4) = 1
- B. f(4) + g(4) = ln2
- C. f(4) + g(4) = ln3
- D. f(4) + g(4) = 2ln2
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 3: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7$ và $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
- A.
  $y = x - 4$
- B.
  $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$
- C.
  $y = 2x - 7$
- D.
  $y = 3x - 10$
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(0) = 2;f'(0) = 0$

Xét tích phân $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}$ . Đặt $u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)$

$\Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1$

Xét tích phân $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}$ . Đặt $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}$

$= \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}$

$= 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}$

$= 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)$

Theo bài ra suy ra

$4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7$

$\Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1$

Như vậy $f(3) = - 1;f'(3) = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 3$ là: $y = x - 4$ .
Câu 4: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F(x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ ?
- A.
  $\int {f'\left( x ight){e^{2x}} = - {x^2} + 2x + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - x^{2} + x + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = 2x^{2} - 2x + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - 2x^{2} + 2x + C}$
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

$\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}$ .

Từ giả thiết, ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$

Suy ra $f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C$

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx$ .

Ta có $\int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}$

Từ giả thiết: $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm công thức nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x - 8\sin x\cos x$ thỏa mãn $F(\pi) = 2$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 4\cos2x - \pi^{2} -2$
- B.
  $F(x) = x^{2} - 2\cos2x - \pi^{2} +4$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
- D.
  $F(x) = x^{2} - 4\cos2x - \pi^{2} +6$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C$

Theo bài ra ta có: $F(\pi) = 2$

$\Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}$

Vậy $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ . Chọn khẳng định đúng:
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x + C}$ .
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan x + C}$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan|x| + C}$ .
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x}$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x} \right)dx =}\ln|x| + \tan x + C$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{x}$ .
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x\sqrt{x} + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt{x} + C}$
Ta có:

$\int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ và $\int_{- 2}^{0}{f(x)dx} = a;\int_{0}^{3}{f(x)dx} = b$ .

Tính diện tích của phần được gạch chéo theo $a;b$ .
- A.
  $\frac{a + b}{2}$
- B.
  $a - b$
- C.
  $b - a$
- D.
  $a + b$
Từ đồ thị ta suy ra $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 2;0brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 0;3brack \\ \end{matrix} ight.$

Do đó, diện tích phần gạch chéo là

$S = \int_{- 2}^{0}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$

$= \int_{- 2}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{3}{f(x)dx} = a - b$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 10: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của a và b

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $\left( P ight):y = {x^2}$ và hai đường thẳng $y = a;y = b;\left( {0 < a < b} ight)$ (mô tả như hình vẽ). Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng $y=a$ (phần tô màu đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=b$ (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của $a,b$ thì ${S_1} = 2{S_2}$ ?
- A. $b = \sqrt[3]{2}a$
- B. $b = a$
- C. $b = \sqrt[3]{4}a$
- D. $b = \sqrt[3]{6}a$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=b$ là:
${x^2} = b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt b } \\ {x = - \sqrt b } \end{array}} ight.$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P ight)$ và đường thẳng $y=a$ là:
${x^2} = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt a } \\ {x = - \sqrt a } \end{array}} ight.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P ight)$ và $y=b$ là:
$\begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt b } {{{\left( {b - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {bx - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt b } \hfill \\ = 2\left( {b\sqrt b - \dfrac{{b\sqrt b }}{3}} ight) = \dfrac{{4b\sqrt b }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P ight)$ và $y=a$ là:
$\begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt a } {{{\left( {a - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {ax - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt a } \hfill \\ = 2\left( {a\sqrt a - \dfrac{{a\sqrt a }}{3}} ight) = \dfrac{{4a\sqrt a }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó: ${S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \frac{{4b\sqrt b }}{3} = 2\frac{{4a\sqrt a }}{3} \Rightarrow b = \sqrt[3]{4}a$
Câu 11: Vận dụng
Tìm giá trị a thỏa mãn điều kiện

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = \ln 2$ . Giá trị của a là:
- A. $a = \frac{{\ln 2}}{{1 - \ln 2}}$
- B. $a = \frac{{\ln 2}}{{2 - 2\ln 2}}$
- C. $a = \frac{{\ln 2}}{{1 + \ln 2}}$
- D. $a = \frac{{\ln 2}}{{2 + 2\ln 2}}$
Ta có:
$I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = 2a\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = 2a\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 = 2a\left( {1 - \ln 2} ight)$
Mà $I = \ln 2 \Leftrightarrow 2a\left( {1 - \ln 2} ight) = \ln 2 \Leftrightarrow a = \frac{{\ln 2}}{{2 - 2\ln 2}}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right)$ có nguyên hàm là $F(x) = ax^{2} + \frac{b}{c}x^{5} + C$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = \frac{a + b + c}{a.b.c}$ .
- A.
  $T = \frac{1}{3}$
- B.
  $T = \frac{2}{5}$
- C.
  $T = \frac{1}{5}$
- D.
  $T = \frac{7}{3}$
Ta có: $f(x) = 2x\left( 1 + 3x^{3} \right) = 2x + 6x^{4}$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = x^{2} + \frac{6x^{5}}{5} + C$ khi đó $a = 1;b = 6;c = 5$

$\Rightarrow T = \frac{1 + 6 + 5}{1.6.5} = \frac{2}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $T = \frac{2}{5}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0$ . Giá trị của $e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}$

$= \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}$ $= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C$

Lại có $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0$

$\Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3$

Do đó: ${e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3$
Câu 14: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {7^x}$ là
- A. ${7^x}\ln 7 + C$
- B. ${7^{x + 1}} + C$
- C. $\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}}$
- D. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$
Ta có:
$\int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) + C.}$ Khi đó với a ≠ 0, ta có $\int_{}^{}{f(ax + b)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{{2a}}F(ax + b) + C$
- B.
  $F(ax + b) + C$
- C.
  $\frac{1}{a}F(ax + b) + C$
- D.
  $F(ax + b) + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn khẳng định chưa chính xác

Hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x) = e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x) + 1}{e^{x}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}e^{x} - e^{- x} + C$
- B.
  $e^{x} - e^{- x} + C$
- C.
  $2e^{x} - e^{- x} + C$
- D.
  $2e^{x} + e^{- x} + C$
Ta có: $f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}$

$= 2e^{x} - e^{- x} + C$
Câu 17: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một vật chuyển động với gia tốc $a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right)$ .

a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng $0$ . Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $v(t) = 2sint\ (\ m/s)$ .Đúng||Sai

b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ là $1\ m/s$ .Sai||Đúng

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 0\ \ (\ s)$ đến thời điểm $t = \pi\ (s)$ là $4\ m$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ (s) đến thời điểm $t = \frac{3\pi}{4}$ (s) là $2\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một vật chuyển động với gia tốc $a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right)$ .

a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng $0$ . Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $v(t) = 2sint\ (\ m/s)$ .Đúng||Sai

b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ là $1\ m/s$ .Sai||Đúng

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 0\ \ (\ s)$ đến thời điểm $t = \pi\ (s)$ là $4\ m$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ (s) đến thời điểm $t = \frac{3\pi}{4}$ (s) là $2\ m$ . Sai||Đúng

a) Ta có $v(t) = \int_{}^{}a(t)dt = \int_{}^{}2\cos t\ dt = 2sint + C$ .

Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có $v(0) = 0$ hay $C = 0$ . Vậy $v(t) = 2sint$

Suy ra đúng.

b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ là $v\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2sin\frac{\pi}{2} = 2(\ m/s)$ .

Suy ra sai.

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 0\ \ (\ s)$ đến thời điểm $t = \pi\ (s)$ là

$\int_{0}^{\pi}v(t)dt = \int_{0}^{\pi}2\sin t\ dt = - \left. \ 2cost \right|_{0}^{\pi} = - 2cos\pi - ( - 2cos0) = 4\ (\ m).$

Suy ra đúng.

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = \frac{\pi}{2}$ (s) đến thời điểm $t = \frac{3\pi}{4}$ (s) là

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{v(t)dt} = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{2sintdt} = - \left. \ 2cost \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = - 2cos\frac{3\pi}{4} - \left( - 2cos\frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2}\ (\ m).$

Suy ra Sai.
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên $\left( {0; + \infty } ight)$ và thỏa mãn f(1) = 1, $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $2 < f\left( 5 ight) < 3$
- B. $1 < f\left( 5 ight) < 2$
- C. $4 < f\left( 5 ight) < 5$
- D. $3 < f\left( 5 ight) < 4$
Ta có: $f\left( x ight) > 0$ và $f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}$
=> $\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}$
=> $\int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C$
Mà f(1) = 1 => $C = - \frac{4}{3}$ và $f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79$
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Tích phân $I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx \right)dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{a}{2} + \frac{b}{3}$
- B.
  $I = \frac{a}{3} + \frac{b}{3}$
- C.
  $I = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$
- D.
  $I = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$
Tích phân $I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx ight)dx$ có giá trị là:

$I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{a}{3}x^{3} + \frac{b}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$ .
Câu 20: Vận dụng
Tính giá trị của tích phân

Tích phân $I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} + \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} + \frac{4}{15}$
- B.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} - \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} + \frac{4}{15}$
- C.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} + \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} - \frac{4}{15}$
- D.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} - \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} - \frac{4}{15}$
Tích phân $I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx$ có giá trị là:

$I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx = \int_{0}^{a}{(x + 1)\sqrt{x + 1}}dx - \int_{0}^{a}\sqrt{x + 1}dx$

$= \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{3}{2}}dx - \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a} - \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a}$

$\ = \frac{2}{5}\sqrt{(x + 1)^{5}} - \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} + \frac{4}{15}$

Đáp án đúng là $I = \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^5}} }}{5} - \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^3}} }}{3} + \frac{4}{{15}}$ .
Câu 21: Thông hiểu
Xác định quãng đường ô tô di chuyển

Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a(t) = 6 - 2t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
- A.
  $\frac{45}{2}m$
- B.
  $18m$
- C.
  $36m$
- D.
  $\frac{27}{7}m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{(6 - 2t)dt} = 6t - t^{2} + C$

Khi đó $v_{\max} \Leftrightarrow t = 3$ do ban đầu ô tô đang dừng nên $v(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: $S = \int_{0}^{3}{\left( 6t - t^{2} ight)dt} = 18m$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + ab + b^{2}$ ?
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 12$
- C.
  $T = 14$
- D.
  $T = 15$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

$= \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}$

$= 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C$

Suy ra $a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13$
Câu 23: Thông hiểu
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x.cosx

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0$ . Tính $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight)$ .
- A. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}$
- B. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = 0$
- C. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}$
- D. $F\left( {\frac{\pi }{6}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
$\begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + ax + 2} ight)} dx$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}$
- B. $I = \frac{9}{4} - \frac{a}{2}$
- C. $I = \frac{7}{4} + \frac{a}{2}$
- D. $I = \frac{9}{4} + \frac{a}{2}$
$\begin{matrix} I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + ax + 2} ight)} dx \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{a}{2}{x^2} + 2x} ight)} ight|_{ - 1}^0 \hfill \\ = \dfrac{7}{4} - \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Nhận biết
Tính nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3} -x$ là
- A.
  $\frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{2}x^{2} +C$
- B.
  $3x^{2} - 1 + C$
- C.
  $\frac{x^{4}}{4} + C$
- D.
  $x^{4} + x^{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{(x^{3} - x)dx =\frac{x^{4}}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + C$
Câu 26: Nhận biết
Tìm giá trị tích phân lượng giác

Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{2}{3}$
- B.
  $I = \frac{3}{4}$
- C.
  $I = - \frac{3}{4}$
- D.
  $I = - \frac{2}{3}$
Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx}$ có giá trị là:

Cách 1: $I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx}$ $= \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \frac{1}{3}\sin3x ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} = - \frac{3}{4}$ .

Đáp án đúng là $I = - \frac{3}{4}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 27: Nhận biết
Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x^{2} + x^{3} - 4$ thỏa mãn điều kiện $F(0) = 0$ là
- A.
  $F(x) = 4$
- B.
  $F(x) = 2x^{3} - 4x^{4}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
- D.
  $F(x) = x^{3} - x^{4} + 2x$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{4}x^{4} - 4x + C = F(x)$

Theo bài ra ta có: $F(0) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.0^{3} + \frac{1}{4}.0^{4} - 4.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
Câu 28: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f'(x)$ thỏa mãn $f(2) = - \frac{1}{25}$ và $f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f(1)$ bằng?
- A.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{41}}{\mathbf{100}}$ .
- B.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$ .
- C.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{391}}{\mathbf{400}}$ .
- D.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{40}}$ .
Ta có:

$f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}$

Theo bài ra ta có: $f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}$
Câu 29: Vận dụng
Giá trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và $f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}$ . Giá trị của f(2) là:
- A. 5
- B. 20
- C. 10
- D. 15
Chọn f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2}$ => f(x) = 20
Câu 30: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ , với $f(x) = 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x}$ , biết $F(0) = 2$ . Tính $F\left( \frac{\pi}{3} \right)$ .
- A.
  $\frac{13}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- B.
  $\frac{7}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- C.
  $- \frac{3}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- D.
  $- \frac{5}{2} - 4\sqrt{3}$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x} \right)dx}$

$= 3\int_{}^{}{\sin xdx} + 4\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= - 3cosx + 4tanx + C$ .

Do đó $F(x) = - 3cosx + 4tanx + C$ .

$F(0) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5$ .

Suy ra $F(x) = - 3cosx + 4tanx + 5$ .

Vậy $F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 3cos\frac{\pi}{3} + 4tan\frac{\pi}{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt{3}$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 \right)dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}$
- B.
  $I = \frac{9}{4} - \frac{a}{2}$
- C.
  $I = \frac{7}{4} + \frac{a}{2}$
- D.
  $I = \frac{9}{4} + \frac{a}{2}$
Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx$ có giá trị là:

$I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx$

$= \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{a}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}$ .

Đáp án đúng là $I\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}$
- A.
  $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$
- B.
  $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} ight| + C$
- C.
  $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} ight| + C$
- D.
  $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$
Ta có

$\int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}$

$= \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}$

$= \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C$

Áp dụng vào bài ta chọn $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$ .
Câu 33: Vận dụng cao
Tính diện tích các cánh hoa

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40cm$ . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.
- A.
  $\frac{400}{3}\left( cm^{2} \right)$
- B.
  $\frac{500}{3}\left( cm^{2} \right)$
- C.
  $100\left( cm^{2} \right)$
- D.
  $150\left( cm^{2} \right)$
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng $10cm = 1dm$ ), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình $y = \frac{x^{2}}{2}$ , $y = - \frac{x^{2}}{2}$ , $x = - \frac{y^{2}}{2}$ , $x = \frac{y^{2}}{2}$ .

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2}}{2}$ , $y = \sqrt{2x}$ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ .

Do đó diện tích một cánh hoa bằng

$\int_{0}^{2}{\left( \sqrt{2x} - \frac{x^{2}}{2} \right)dx}$ $= \left. \ \left. \ \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(2x)^{3}} - \frac{x^{3}}{6} \right) \right| \right|_{0}^{2}$

$= \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right) = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right)$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính điện lượng chạy qua tiết diện thẳng

Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động $LC$ lí tưởng có phương trình $i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight)$ . Ngoài ra $i = q'(t)$ với $q$ là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc $t = 0$ , điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian $\frac{\pi}{2\omega}$ là
- A.
  $\frac{I_{0}\pi}{\omega\sqrt{2}}$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{I_{0}\pi\sqrt{2}}{\omega}$
- D.
  $\frac{I_{0}}{\omega}$
Điện lượng cần tìm là:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}$

$= \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm câu sai

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Chọn phương án sai.
- A.
  $F(x) = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + 10$
- B.
  $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$
- C.
  $F(x) = \frac{\ln(2x - 3)^{2}}{4} + 5$
- D.
  $F(x) = \frac{\ln\left| x - \frac{3}{2} ight|}{2} + 1$
Ta có $F(x) = \int_{}^{}\frac{1}{2x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{2}.\frac{1}{(2x - 3)}d(2x - 3)}$

$= \frac{\ln|2x - 3|}{2} + C$

Từ đây ta thấy $F(x) = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + 10$ đúng.

Với $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$ ta thấy

$\frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10 = \frac{ln2 + \ln|2x - 3|}{4} + 10 eq F(x)$ , vậy $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$ sai.
Câu 36: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \cos4x$ có một nguyên hàm là $F(x)$ ; $F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{4} + 2x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - 4\cos4x + 2x +C$
- C.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - \cos4x + 2x +C$
- D.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{16} + 2x + C$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C$

$F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2 \Rightarrow C = 2$

Ta được $F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C$
Câu 37: Vận dụng
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \frac{7}{6}$
- B.
  $I = \frac{17}{6}$
- C.
  $I = \frac{7}{6}$
- D.
  $I = - \frac{17}{6}$
Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx$ có giá trị là:

Ta có: $\underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$ .

Bảng xét dấu:

Ta có

: $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx$

$= \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{7}{6}$ .
Câu 38: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\cos ^2}x$
- A. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
- B. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\cos 2x}}{4} + C$
- C. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\cos 2x}}{5} + C$
- D. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
$f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}$
$\int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Câu 39: Nhận biết
Xác định họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn công thức đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho vật thể $(H)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$ với $a < b$ . Gọi $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ . Biết hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ , khi đó thể tích $V$ của vật thể $(H)$ được cho bởi công thức:
- A.
  $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- D.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Vì $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ ta có: $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$ không phải là $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

33 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian