VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
Dựa vào hình vẽ ta được: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Tính thể tích chi tiết máy

Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác $ABCD,CDPQ$ là các hình vuông cạnh $2,5\ cm$ . Tứ giác $ABEF$ là hình chữ nhật có $BE = 3,5\ cm$ . Mặt bên $PQEF$ được mài nhẵn theo đường parabol $(P)$ có đỉnh parabol nằm trên cạnh $EF$ . Tính thể tích của chi tiết máy gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A.
  $17cm^{3}$
- B.
  $18cm^{3}$
- C.
  $19cm^{3}$
- D.
  $20cm^{3}$
Gọi hình chiếu của $P,\ Q$ trên $AF$ và $BE$ là $R$ và $S$ .

Vật thể được chia thành hình lập phương $ABCD.PQRS$ có cạnh $2,5\ cm$ , thể tích $V_{1} = \frac{125}{8}\ cm^{3}$ và phần còn lại có thể tích $V_{2}$ .

Khi đó thể tích vật thể $V = V_{1} + V_{2} = \frac{125}{8} + V_{2}$ .

Đặt hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với $F$ , $Ox$ trùng với $FA$ , $Oy$ trùng với tia $Fy$ song song với $AD$ .

Khi đó Parabol $(P)$ có phương trình dạng $y = ax^{2}$ , đi qua điểm $P\left( 1;\frac{5}{2} \right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}x^{2}$ .

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M(x;0;0),\ 0 \leq x \leq 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}x^{2}$ và $MK = \frac{5}{2}$

Do đó diện tích $S(x) = \frac{25}{4}x^{2}$

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có $V_{2} = \int_{0}^{1}{\frac{25}{4}x^{2}dx} = \frac{25}{12}$ .

Từ đó $V = \frac{125}{8} + \frac{25}{12} = \frac{425}{24}cm^{3}$
Câu 3: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ .Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ .Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ .Sai||Đúng

Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần. Ô tô đang chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v = - 5t + 20v$ (m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. (Đúng).

Để tìm thời gian mà ô tô dừng lại, ta đặt v=0 nghĩa là: −5t+20=0 hay t=4 (s)

Vậy khi t=4, vận tốc là 0 m/s, điều này cho thấy ô tô đã dừng lại.

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5 s.

Điều này không chính xác. Từ phần (a), chúng ta đã xác định thời gian để ô tô dừng lại là 4 giây, không phải 5 giây.

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$

Công thức tích phân này là chính xác, vì:

$\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ Với C là hằng số tích phân.

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400 m.

Để tính quãng đường, chúng ta cần tích phân hàm vận tốc để tìm quãng đường đi được. Quãng đường s từ t = 0 đến t=4 giây được tính bằng:

$s = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( - \frac{5}{2}t^{2} - 20t \right) \right|_{0}^{4} = 40(m)$

Do đó, quãng đường ô tô đi được là 40 m, không phải 400 m.

Tóm lại:

(a) Đúng.

(b) Sai, thời gian là 4 giây.

(c) Đúng.

(d) Sai, quãng đường là 40 m.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\cos ^2}x$
- A. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
- B. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\cos 2x}}{4} + C$
- C. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\cos 2x}}{5} + C$
- D. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
$f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}$
$\int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Câu 5: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định tích phân

Tính tích phân $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$ ?
- A.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
- B.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{4038}$
- C.
  $B = \frac{5^{2018} - 1}{4036}$
- D.
  $B = 1$
Ta có: $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
Câu 7: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - 6x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} - 6x + C$
- B.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
- D.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
Ta có:

$f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
Câu 8: Thông hiểu
Xác định tham số a

Tích phân $I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x + \cos x}{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}dx} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ . Giá trị của a là:
- A.
  $a=-\frac{\pi}{2}$
- B.
  $a = - \frac{\pi}{4}$
- C.
  $a = \frac{\pi}{3}$
- D.
  $a = \frac{\pi}{6}$
Tích phân $I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x + \cos x}{\left( \sin x - \cos x ight)^{2}}dx} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ . Giá trị của alà:

Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x + \cos x}{\left( \sin x - \cos x ight)^{2}}dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- 1}^{\sin a - \cos a}$

$= \frac{1}{\cos a - \sin a} - 1,\ t = \sin x - \cos x$ .

Theo đề bài, ta có: $\frac{1}{\cos a - \sin a} - 1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\overset{casio}{ightarrow}a = \frac{\pi}{3}$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x^{2} + x^{3} - 4$ thỏa mãn điều kiện $F(0) = 0$ là
- A.
  $F(x) = 4$
- B.
  $F(x) = 2x^{3} - 4x^{4}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
- D.
  $F(x) = x^{3} - x^{4} + 2x$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{4}x^{4} - 4x + C = F(x)$

Theo bài ra ta có: $F(0) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.0^{3} + \frac{1}{4}.0^{4} - 4.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
Câu 10: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:
- A.
  $- \ln|t| + \ln|u| + C$ .
- B.
  $\ln|t| - \ln|u| + C$ .
- C.
  $\ln|t| + \ln|u| + C$ .
- D.
  $- \ln|t| - \ln|u| + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}$ .

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}$ .

Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x}$ và $f(4) = \ln\frac{16}{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = 2^{x} + 2\sqrt{x^{3}} +\frac{16}{\ln2} - 32$
- B.
  $f(x) = 2^{x}\ln2 + \sqrt{x^{3}} -8$
- C.
  $f(x) = 2^{x} + \sqrt{x^{3}} +\frac{16}{\ln2} - 24$
- D.
  $f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}$

$= \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C$ .

Theo bài ra ta có:

$f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16$

Vậy $f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 13: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 14: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của tích phân

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ với $f(a) = 0$ . Đặt $M = \max_{\lbrack a;bbrack}\left| f(x) ight|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$ ?
- A.
  $M(b - a)$
- B.
  $M^{2}(b - a)$
- C.
  $\frac{M^{2}}{b - a}$
- D.
  $\frac{M}{b - a}$
Gọi $x_{0} \in \lbrack a;bbrack$ sao cho $\left| f\left( x_{0} ight) ight| = M$ . Ta có:

$\left( \int_{a}^{x_{0}}{f'(x)dx} ight)^{2} \leq \int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}.\int_{a}^{x_{0}}{dx}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack f\left( x_{0} ight) - f(a) ightbrack^{2} \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$

$\Leftrightarrow f^{2}\left( x_{0} ight) \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$

$\Leftrightarrow M^{2} \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$

Mà $\left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx} \leq (b - a)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$

Suy ra $M^{2} \leq (b - a)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$

$\Rightarrow \int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx} \geq \frac{M^{2}}{b - a}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $f'(x) = 1$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}$ đạt được bằng $\frac{M^{2}}{b - a}$ khi $f'(x) = 1$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x ight).{e^{2x}}$
- A. $\left( {x - 2} ight).{e^x} + C$
- B. $\left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
- C. $\frac{{2 - x}}{2}.{e^x} + C$
- D. $\left( {4 - 2x} ight).{e^x} + C$
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ nên:
$\begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Hay $f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}$
Xét $I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.$
Khi đó
$I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
Câu 16: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = 2x - 2$
- C. $y = x$
- D. $y = - x$
Ta có:
$\begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
$\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)$
Ta lại có: $f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định giá trị nguyên của tham số a

Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax - 2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1$ . Giá trị nguyên của a là:
- A.
  $a = 5$
- B.
  $a = 6$
- C.
  $a = 7$
- D.
  $a = 8$
Ta có: $\left( ax^{2} - 4x ight)' = 2ax - 4 = 2(ax - 2)$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2ax - 4}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx$ .

Đặt $t = ax^{2} - 4x \Rightarrow dt = (2ax - 4)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8 \\ x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$I = \frac{1}{2}\int_{a - 4}^{4a - 8}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{a - 4}^{4a - 8} = \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4}$

Theo đề bài:

$I = 2\sqrt{3} - 1 \Leftrightarrow \sqrt{4a - 8} - \sqrt{a - 4} = 2\sqrt{3} - 1$

$\Leftrightarrow ..... \Leftrightarrow a = 5$ .
Câu 18: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}$
- A.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{2} +C$
- B.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x +\sin2x}{2} +C$
- C.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
- D.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
$I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}$

Đặt $x - 1 = u \Rightarrow dx = du$ .

$\sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x$

Khi đó $I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}$

$= \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C$
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình phẳng $(S)$ được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $\left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},$ $\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}$ . Tính diện tích hình phẳng $(S)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(S)$ được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $\left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},$ $\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}$ . Tính diện tích hình phẳng $(S)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 21: Thông hiểu
Thực hiện tính tích phân chứa tham số

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx}$ có giá trị là:
- A. $I = - a\ln 2$
- B. $I = - 2\ln 2$
- C. $I = 2\ln 2$
- D. $I = a\ln 2$
Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx} = a\int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx - 2a\int\limits_0^1 {xdx} }$
$= a\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 - a\left. {\left( {{x^2}} ight)} ight|_0^1 = a\left( {1 - \ln 2} ight) - a = - a\ln 2$
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}$ và $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}$
- A. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{3}$
- B. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{9}$
- C. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{3}$
- D. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{9}$
Cách 1: $\int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx$
Đặt $\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t$
$\begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó $\int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C$
=> $F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
Mặt khác $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
=> C = 0
=> $F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
=> ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}$
Cách 2: $F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}$ . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Câu 23: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx}$ bằng:
- A.
  $I = \frac{2}{\ln3}$
- B.
  $I = \frac{3}{\ln3}$
- C.
  $I = \frac{9}{5}$
- D.
  $I = 2\ln3$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}$
Câu 24: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = cos3x.cosx$ . Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ bằng 0 khi $x = 0$ là:
- A.
  $3sin3x + \sin x$
- B.
  $\frac{sin4x}{8} + \frac{sin2x}{4}$
- C.
  $\frac{sin4x}{2} + \frac{sin2x}{4}$
- D.
  $\dfrac{cos4x}{8} +\dfrac{cos2x}{4}$
Ta có:

$F(x) =\int_{}^{}{\cos3x.\cos x.dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{(cos2x + cos4x)dx} = \frac{1}{8}sin4x + \frac{1}{4}sin2x + C$

$F(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}sin0 + \frac{1}{4}sin0 + C = 0$

$\Leftrightarrow C = 0$

Vậy $F(x) = \frac{cos4x}{8} + \frac{cos2x}{4}$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Nguyên hàm của hàm số $x.lnx$ là
- A.
  $\frac{{{x^2}.\ln x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có $\int_{}^{}{x.lnx}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\ dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

$\int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}$

$= \frac{x^{2}.lnx}{2} - \int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C}$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ là:
- A.
  24 m/s
- B.
  23 m/s
- C.
  7 m/s
- D.
  8 m/s
Ta có $v = S' = 8t^{3} - 1$

Khi $t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s)$ .
Câu 27: Nhận biết
Tính tích phân

Giá trị của tích phân $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx}$ bằng:
- A.
  $1 - e$
- B.
  $e - 1$
- C.
  $- e$
- D.
  $e$
Ta có: $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 4}$ , biết $F(0) = 8$ .
- A.
  $F(x) = \frac{1}{3}\sqrt{3x + 4} + \frac{38}{3}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{16}{3}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{9}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{56}{9}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{8}{3}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 4}dx = \int_{}^{}{(3x + 4)^{\frac{1}{2}}dx = \frac{2}{9}.(3x + 4)^{\frac{3}{2}} + C}}$

$= \frac{2}{9}.(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + C$

Mà $F(0) = 8 \Rightarrow C = \frac{56}{9}$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{2}{9}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{56}{9}$
Câu 29: Thông hiểu
Xác định số cực trị của hàm số

Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 30: Vận dụng
Tính tích phân

Cho hai hàm số $f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S_{1};S_{2}$ là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi $S_{1} + S_{2} = 3$ thì $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$
- B.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 3$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 6$
- D.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 6$
Phương trình hoành độ giao điểm

$(a - b)x^{3} + (b - a)x = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ký hiệu $S_{3}$ là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

Ta có:

$S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)$

$S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)$

Vì vậy $S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3$

$\Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3$
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết $\int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a^{2} + b^{2}$ bằng:
- A.
  $25$
- B.
  $41$
- C.
  $20$
- D.
  $34$
Giả sử $I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}$ . Đặt $t = x + 3 \Rightarrow dt = dx$ , đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}$

$= \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34$
Câu 32: Nhận biết
Tìm tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$ .
- A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{2}{3}} ightbrack + C}$
- B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
- C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
- D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} }$ $= \int_{}^{}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} ight)}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx }$ $= \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$

$= \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}$
- A.
  $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$
- B.
  $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} ight| + C$
- C.
  $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} ight| + C$
- D.
  $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$
Ta có

$\int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}$

$= \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}$

$= \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C$

Áp dụng vào bài ta chọn $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tính tổng các nghiệm phương trình

Giả sử $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C$ với $C$ là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình $g(x) = 0$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $- 3$
Ta có: $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}$

Đặt $t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx$

$\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C$

$\Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1$

Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ và $x_{1} + x_{2} = - 3$ .
Câu 36: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{2} + 3x + C$
- B.
  $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
- C.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{3} + 3x + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}f(x)dx = 2x + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} + 3x \right)' = x^{2} + 3;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .

Vậy đáp án cần tìm là $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
Câu 37: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các mệnh đề sau

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}$

Ta có: $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} = \int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$

Ta có: $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx}$

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = a \Rightarrow t = a^{2} \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx$
Câu 38: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Biết $\int_{}^{}{3x^{2}(2020 + x^{3})^{2019}dx} = a(2020 + x^{3})^{b} + C$ , với $a \in \mathbb{Q};{\text{ }}b \in \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $S = \frac{1}{{{{\left( {a.b} \right)}^{2020}}}}$ ?
- A.
  $S=2020$
- B.
  $S=1$
- C.
  $S=4$
- D.
  $S=2019$
Ta có:

$\int_{}^{}{3x^{2}(2020 + x^{3})^{2019}dx} = \int_{}^{}{(2020 + x^{3})^{2019}d\left( x^{3} + 2020 \right)} = \frac{1}{2020}(2020 + x^{3})^{2020} + C$

$\Rightarrow a = \frac{1}{2020};b = 2020$

$\Rightarrow S = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{2020}}.2020} \right)}^{2020}}}} = 1$
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x -\sin2x$ ?
- A.
  $x^{2} + \frac{1}{2}cos2x + C$
- B.
  $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $\frac{x^{2}}{2} + \cos2x +C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x +C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C$
Câu 40: Thông hiểu
Xác định mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4$ . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =f(x)$ và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
- B.
  $S = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx}ight| + 2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$
- C.
  $S = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
- D.
  $S = 2\left| \int_{0}^{2}{f(x)dx}ight|$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$
$= 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$
$= 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$ ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: $S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

42 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian