VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Xác định thể tích vật thể

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 3$ , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(0 \leq x \leq 3)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2\sqrt{9 - x^{2}}$ .
- A.
  18
- B.
  19
- C.
  20
- D.
  21
Ta có:

$V = \int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}dx} = 18$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} \right)dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = - \frac{15a}{16} + ln2$
- B.
  $I = \frac{15a}{16} - ln2$
- C.
  $I = \frac{15a}{16} + ln2$
- D.
  $I = - \frac{15a}{16} - ln2$
Ta có:

$I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} ight)dx$ $= \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{4} + \ln|x| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{15a}{16} - ln2$ .

Đáp án đúng là $I = \frac{15a}{16} + ln2$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm câu sai

Các khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(t)\ dt} = F(t) + C$ .
- B.
  $\left\lbrack \int_{}^{}{f(x)\ dx} \right\rbrack^{/} = f(x)$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(u)\ dx} = F(u) + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}{kf(x)\ dx} = k\int_{}^{}{f(x)\ dx}$ ( $k$ là hằng số).
Dáp án sai là : $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(u)\ dx} = F(u) + C$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính thể tích V1

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$ . Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc $30^{0}$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_{1}$ và $V_{2}$ , với $V_{1} < V_{2}$ . Tính thể tích $V_{1}$ .
- A.
  $\frac{2\sqrt{5}R^{3}}{3}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{3}R^{3}}{3}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}R^{3}}{9}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}R^{3}}{12}$
Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích $V_{1}$ như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ , $x \in \lbrack - R;R\rbrack$ .

Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $M$ có hoành độ $x$ , cắt hình nêm theo thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và có $\widehat{PMN} = 30^{0}$ .

Ta có $NM = y = \sqrt{R^{2} - x^{2}} \Rightarrow NP = MN.tan30^{0} = \frac{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ .

$\Delta MNP$ có diện tích $S(x) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{R^{2} - x^{2}}{\sqrt{3}}$ .

Thể tích hình nêm là

$V_{1} = \int_{-R}^{R}{S(x)}dx = \frac{1}{2}\int_{- R}^{R}\frac{R^{2} -x^{2}}{\sqrt{3}}dx$ $= \frac{1}{2\sqrt{3}}\left. \ \left( R^{2}x -\frac{1}{3}x^{3} \right) \right|_{- R}^{R} =\frac{2\sqrt{3}R^{3}}{9}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $a;b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$ . Tính giá trị biểu thức $H = 3a + b$ ?
- A.
  $H = - \frac{2}{3}$
- B.
  $H = \frac{1}{3}$
- C.
  $H = \frac{4}{3}$
- D.
  $H = \frac{2}{3}$
Ta có:

$I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}$

$= \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}$

$\Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$

$\Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 7: Thông hiểu
Tính tích phân I

Cho tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}dx}$ nếu đặt $t = \sqrt{x + 1}$ thì $I = \int_{1}^{2}{f(t)dt}$ trong đó
- A.
  $f(t) = t^{2} + t$
- B.
  $f(t) = 2t^{2} + 2t$
- C.
  $f(t) = t^{2} - t$
- D.
  $f(t) = 2t^{2} - 2t$
Ta có: $I = \int_{0}^{3}{\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}dx}$

$t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$I = \int_{0}^{3}{\frac{x\left( 1 - \sqrt{x + 1} ight)}{1 - (x + 1)}dx} = \int_{0}^{3}{\left( \sqrt{x + 1} - 1 ight)dx}$

$I = 2\int_{1}^{2}{(t - 1)tdt} = \int_{1}^{2}{\left( t^{2} - 1 ight)2dt} \Rightarrow f(t) = 2t^{2} - 2t$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Nguyên hàm của hàm số $x.lnx$ là
- A.
  $\frac{{{x^2}.\ln x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $\frac{x^{2}.\ln x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có $\int_{}^{}{x.lnx}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\ dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

$\int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}$

$= \frac{x^{2}.lnx}{2} - \int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $62$
- B.
  $26$
- C.
  $82$
- D.
  $28$
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 10: Nhận biết
Giá trị của tích phân

Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a$ . Biểu thức có giá trị $P = 2a - 1$ là:
- A. $P = 1 - \ln 2$
- B. $P = 2 - 2\ln 2$
- C. $P = 1 - 2\ln 2$
- D. $P = 2 - \ln 2$
Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a$ . Biểu thức $P = 2a - 1$ có giá trị là:
Ta có:
$\begin{matrix} I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}} dx \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 \hfill \\ = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow a = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow P = 2a - 1 = 1 - 2\ln 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Với phương pháp đổi biến số $(x \rightarrow t)$ , nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}$ bằng:
- A.
  $\sin t + C$ .
- B.
  $- t + C$ .
- C.
  $- \cos t + C$ .
- D.
  $t + C$ .
Ta biến đổi: $I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rbrack \Rightarrow dx = 2costdt$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{dt = t + C}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Xác định hàm số

Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính thể tích tròn xoay

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0;x = 3$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(0 \leq x \leq 3)$ là hình chữ nhật có kích thước là $x$ và $2\sqrt{9 - x^{2}}$ ?
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 9$
- C.
  $V = 18$
- D.
  $V = 54$
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(0 \leq x \leq 3)$ là hình chữ nhật có kích thước là $x$ và $2\sqrt{9 - x^{2}}$

Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là: $S(x) = 2x\sqrt{9 - x^{2}}$

⇒ Thể tích vật thể tròn xoay: $V = \int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}}dx = 18$
Câu 14: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ ?
- A.
  $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- B.
  $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- C.
  $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- D.
  $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$
Câu 15: Nhận biết
Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x^{2} + x^{3} - 4$ thỏa mãn điều kiện $F(0) = 0$ là
- A.
  $F(x) = 4$
- B.
  $F(x) = 2x^{3} - 4x^{4}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
- D.
  $F(x) = x^{3} - x^{4} + 2x$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{4}x^{4} - 4x + C = F(x)$

Theo bài ra ta có: $F(0) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.0^{3} + \frac{1}{4}.0^{4} - 4.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{x^{4}}{4} - 4x$
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hai hàm số $f(x)$ và $f( - x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$ . Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = \frac{\pi}{20}$
- B.
  $I = \frac{\pi}{10}$
- C.
  $I = - \frac{\pi}{20}$
- D.
  $I = - \frac{\pi}{10}$
Đặt $t = - x \Rightarrow dt = - dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}$

Theo bài ra ta có:

$2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

Đặt $x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}$

$= \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {\cos ^2}x$
- A. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
- B. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} - \frac{{\cos 2x}}{4} + C$
- C. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\cos 2x}}{5} + C$
- D. $F\left( x ight) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C$
$f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}$
$\int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Câu 18: Nhận biết
Tìm câu sai

Các khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(t)\ dt} = F(t) + C$ .
- B.
  $\left\lbrack \int_{}^{}{f(x)\ dx} \right\rbrack^{/} = f(x)$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(u)\ dx} = F(u) + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}{kf(x)\ dx} = k\int_{}^{}{f(x)\ dx}$ ( $k$ là hằng số).
Dáp án sai là : $\int_{}^{}{f(x)\ dx} = F(x) + C \Rightarrow \int_{}^{}{f(u)\ dx} = F(u) + C$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ là:
- A.
  $\ln\left| \cot\frac{x}{2} \right| + C$
- B.
  $\ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- C.
  $- \ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- D.
  $\ln\left| \sin x\right| +C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}$

$= \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}$
Câu 20: Nhận biết
Xác định nguyên hàm

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 25^{x}$ ?
- A.
  $F_{1}(x) = 25^{x}$ .
- B.
  $F_{2}(x) =25^{x}ln25$ .
- C.
  $F_{3}(x) = \frac{25^{x}}{log25}$ .
- D.
  $F_{4}(x) = \frac{25^{x}}{ln25}$ .
Vì: $\left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}$
Câu 21: Vận dụng cao
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 \right)\cos x}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
- B.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} - 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
- C.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} + 2} ight|$
- D.
  $I = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} - 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} + 2} ight|$
Xét tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)\cos x}dx}$

Ta biến đổi: $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{e^{x}.\left( \cos x - \sin x ight)}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)e^{x}\cos x}dx}$ .

Đặt $t = e^{x}\cos x \Rightarrow dt = e^{x}\left( \cos x - \sin x ight)dx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{\pi}{3}} \\ x = \dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \end{matrix} ight.$ .

$I =\int_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \left. \ \left( \ln\left| \frac{t}{t + 1} ight| ight) ight|_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}$

$= \ln\left| \frac{e^{\frac{2\pi}{3}}}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight| - \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{e^{\frac{\pi}{3}} + 2} ight| = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$
Câu 23: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:
- A.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- B.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- C.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- D.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}$ .

$\Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C$ .
Câu 24: Vận dụng cao
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
- A. $y = x - 1$
- B. $y = x + 2$
- C. $y = 4x - 4$
- D. $y = x$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác $f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8$
=> $xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2$
Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.$
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
$y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 25: Thông hiểu
Cho giá trị của tích phân

Cho giá trị của tích phân ${I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} + 2{x^3}} ight)} dx = a$ , ${I_2} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {{x^2} + 3x} ight)} dx = b$ .
Giá trị của $\frac{a}{b}$ là:
- A. $P = - \frac{4}{{65}}$
- B. $P = \frac{{12}}{{65}}$
- C. $P = - \frac{{12}}{{65}}$
- D. $P = \frac{4}{{65}}$
Ta có:
${I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} + 2{x^3}} ight)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{2}{x^4}} ight)} ight|_{ - 1}^1 = \frac{2}{5} \Rightarrow a = \frac{2}{5}$
${I_2} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {{x^2} + 3x} ight)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2}} ight)} ight|_{ - 2}^{ - 1} = - \frac{{13}}{6} \Rightarrow b = - \frac{{13}}{6}$
$\Rightarrow P = \frac{a}{b} = - \frac{{12}}{{65}}$
Câu 26: Nhận biết
Tính giá trị của c

Giả sử $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln c$ . Giá trị của c là
- A.
  9
- B.
  3
- C.
  81
- D.
  8
Ta có: $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = ln3$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq 0)$ , biết rằng $F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{2} + \frac{3}{4x} - \frac{7}{4}$
- B.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} - \frac{3}{2x} - \frac{7}{4}$
- C.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}$
- D.
  $F(x) = \frac{3x^{2}}{2} - \frac{3}{2x} - \frac{1}{2}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\left( ax + \frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} + c}$

Theo bài ra ta có:

$F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.$ . Vậy $F(x) = \frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}$ .
Câu 28: Vận dụng
Xác định tất cả các giá trị tham số a

Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn $\left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}$ .
- A.
  2
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  3
Ta có:

$I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}$

Đặt $\sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0$

$\Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx$

$\Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx$

$\Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}$

$= - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2$

Mà $I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0$

$\Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$

Suy ra, đáp án là 2.
Câu 29: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm $R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}$ ?
- A.
  $R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- B.
  $R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- C.
  $R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
- D.
  $R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$ với $t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)$ .
Đặt $x = 2cos2t$ với $t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt$ $= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}$

$\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}$ $= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C$
Câu 30: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Biết $xe^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f( - x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)e^{x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ . Giá trị của $F( - 1)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5 - e}{2}$
- C.
  $\frac{7 - e}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Ta có: $f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Do đó $f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra $f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Nên $f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)$

$\Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2$

Vậy $F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C$

Từ đó $F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2$

$F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}$
Câu 31: Thông hiểu
Tính tích phân I

Cho $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4$ và $\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 1$ .
- B.
  $I = 2$ .
- C.
  $I = 3$ .
- D.
  $I = 0$ .
Đặt $\left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.$ . Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1$
Câu 32: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 33: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$ , F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
- A. $\frac{1}{2} + \ln 2$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{5}{6} - \ln 2$
- D. $\frac{5}{6}$
Ta có: $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.$
=> $F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }$
=> $F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C$
Khi đó: $F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.$
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=> $\left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}$
=> ${C_1} + {C_2} = 1$
=> $F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}$
Câu 34: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x,u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}$ là:
- A.
  $- \ln|t| + \ln|u| + C$ .
- B.
  $\ln|t| - \ln|u| + C$ .
- C.
  $\ln|t| + \ln|u| + C$ .
- D.
  $- \ln|t| - \ln|u| + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}$ .

Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}$ .

Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C$
Câu 35: Vận dụng cao
Xác định nguyên hàm I

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
- B.
  $I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- C.
  $I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- D.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$

$= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)$

Ta lại có :

$I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx =}}\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x}}$ $= -\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\T = \dfrac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\\end{matrix} \right.$
Câu 36: Thông hiểu
Tính thời gian đi đến trường

Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 40t + 100(m/p)$ . Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là $120m$ . Biết quãng đường từ nhà đến trường là $3km$ . Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
- A.
  $9$ phút
- B.
  $15$ phút
- C.
  $10$ phút
- D.
  $12$ phút
Ta có: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C$

Vì $S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0$

Để học sinh đó đến trường thì $S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy đáp án cần tìm là $10$ phút.
Câu 37: Thông hiểu
Tính quãng đường mà ô tô đi được

Một ô tô đang chạy với vận tốc $36km/h$ thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc $a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường mà ô tô đi được sau $6$ giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $90m$
- B.
  $246m$
- C.
  $58m$
- D.
  $102m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 36(km/h) = 10(m/s)$

$\Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} = \int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} = 90m$
Câu 38: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$ ?
- A.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
- B.
  $2x + 3 + C$
- C.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$
- D.
  $\frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}x^{2} + 2x + C$
Ta có: $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$

$\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Giá trị biểu thức $F( - 1) - F(3)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $18$
- C.
  $8$
- D.
  $32$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 2$ tức là

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)$

$\Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32$

Do đó

$F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)$

$= - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18$
Câu 40: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx}$ là:
- A.
  $\frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
- B.
  $\frac{3x^{4}}{4} - 3x^{3} + 2020 + C$
- C.
  $\frac{27x^{4}}{4} - x^{3} + 2020 + C$
- D.
  $\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$

Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx} = \frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

48 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian