VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}}{\frac{x + 1}{x^{2}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = 1 - \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2}}$
- B.
  $I = 1 - \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$
- C.
  $I = 1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2}}$
- D.
  $I = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$
Ta có:

$I = \int_{e}^{e^{2}}{\frac{x + 1}{x^{2}}dx} = \int_{e}^{e^{2}}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} ight)dx}$ $= \left. \ \left( \ln|x| - \frac{1}{x} ight) ight|_{e}^{e^{2}} = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}}$ .

Đáp án đúng là $I = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{{{e^2}}}$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ nếu:
- A.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ .
- B.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $f^{/}(x) = F(x)$ .
- C.
  Với mọi $x \in \lbrack a;b\rbrack$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ .
- D.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ , ngoài ra $F^{/}\left( a^{+} \right) = f(a)$ và $F^{/}\left( b^{-} \right) = f(b)$ .
Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ nếu với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ , ngoài ra $F^{/}\left( a^{+} \right) = f(a)$ và $F^{/}\left( b^{-} \right) = f(b)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Biết rằng $A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ . Xác định $T = 4B - 2A$ ?
- A.
  $T = x - 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- B.
  $T = x + 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- C.
  $T = 3x - \ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
- D.
  $T = 2x - \ln\left| \sin x + \cos x ight| + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tổng a và b

Cho $I = \int_{0}^{1}\frac{1}{3 + 2x - x^{2}}dx = (a - b)ln2 + bln3$ . Giá trị a + b là:
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{1}{3 + 2x -x^{2}}dx = \int_{0}^{1}\left( \frac{\frac{1}{4}}{x + 1} +\frac{\frac{1}{4}}{3 - x} ight)$

$= \frac{1}{4}\left. \ \left( \ln|x + 1| - \ln|x - 3| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{4}ln3$

$\Rightarrow a = b = \frac{1}{4} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}$
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị của tích phân

Tích phân $I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} + \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} + \frac{4}{15}$
- B.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} - \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} + \frac{4}{15}$
- C.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} + \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} - \frac{4}{15}$
- D.
  $I = \frac{2\sqrt{(a + 1)^{5}}}{5} - \frac{2\sqrt{(a + 1)^{3}}}{3} - \frac{4}{15}$
Tích phân $I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx$ có giá trị là:

$I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx = \int_{0}^{a}{(x + 1)\sqrt{x + 1}}dx - \int_{0}^{a}\sqrt{x + 1}dx$

$= \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{3}{2}}dx - \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a} - \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a}$

$\ = \frac{2}{5}\sqrt{(x + 1)^{5}} - \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} + \frac{4}{15}$

Đáp án đúng là $I = \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^5}} }}{5} - \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^3}} }}{3} + \frac{4}{{15}}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Cho hàm số $f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ , ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ . Tính giá trị biểu thức $S = m + n + p$ ?
- A.
  $S = \frac{1}{3}$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = \frac{13}{6}$
- D.
  $S = \frac{7}{6}$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ nên $\left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)$

$\Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^{2} - 2x$ và $y = - x^{2}$ quay quanh trục Ox.
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{4\pi}{3}$
- C.
  $\frac{\pi}{3}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 2x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

$y = x^{2} - 2x;y = - x^{2}$ quay quanh trục Ox được tính bởi công thức

$V = \pi\int_{0}^{1}\left| \left( x^{2} - 2x ight)^{2} - \left( - x^{2} ight)^{2} ight|dx$

Ta thấy trên $\lbrack 0;1brack$ thì $\left( - x^{2} ight)^{2} \leq \left( x^{2} - 2x ight)^{2}$ , do vậy ta có công thức

$V = \pi\int_{0}^{1}\left\lbrack - x^{4} + \left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight) ightbrack dx$

$= \pi\int_{0}^{1}\left( - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx = \left. \ \pi.\left( - x^{4} + \frac{4}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{\pi}{3}$ (đvtt)
Câu 8: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ là:
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x - \ln\left( e^{x} + 1 ight)} + C$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln\left( e^{x} + 1 ight)} + C$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{\ln\left( e^{x} + 1 ight)}{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x\ln\left( e^{x} + 1 ight) + C}$
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài toán bằng bảng ở trên như sau:

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{x}} = \frac{\left( 1 + e^{x} ight) - e^{x}}{1 + e^{x}} = 1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

$= x' - \frac{\left( 1 + e^{x} ight)'}{1 + e^{x}} = x' - \left( \ln\left( e^{x} + 1 ight) ight)'$

$= \left( x - \ln\left( e^{x} + 1 ight) ight)' \Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = x - \ln\left( e^{x} + 1 ight) + C}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{4}{\cos^{2}3x}$ biết $F\left( \frac{\pi}{9} \right) = \sqrt{3}$ .
- A.
  $F(x) = \frac{4}{3}\tan3x -\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $F(x) = 4\tan3x -3\sqrt{3}$
- C.
  $F(x) = \frac{4}{3}\tan3x +\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $F(x) = - \dfrac{4}{3}\tan3x -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có $F(x) =\int_{}^{}{\dfrac{4}{\cos^{2}3x}dx = \dfrac{4}{3}.\tan3x + C}$

Mà $F\left( \dfrac{\pi}{9} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}.\tan\frac{\pi}{3} + C = \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow C = - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 10: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\cos3x$ .
- A.
  $\int_{}^{}{\cos3xdx = 3\sin3x +C}$
- B.
  $\int_{}^{}{\cos3xdx = \frac{\sin3x}{3}+ C}$
- C.
  $\int {\cos 3xdx = - \frac{{\sin 3x}}{3} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{cos3xdx = \sin3x +C}$
Ta có $\int_{}^{}{\cos3xdx = \frac{1}{3}\int_{}^{}{d(\sin3x)} = \frac{\sin3x}{3}} + C$
Câu 11: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong $y = x^{2}$ với $x \geq 0$ , đường thẳng $y = 2 - x$ và trục hoành bằng
- A.
  2
- B.
  $\frac{7}{6}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} = 2 - x \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $\Rightarrow S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - (2 - x) ight|d_{x}} = \frac{7}{6}$
Câu 12: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
- A.
  $s = 24,25$ (km)
- B.
  $s = 26,75$ (km)
- C.
  $s = 24,75$ (km)
- D.
  $s = 25,25$ (km)
Ta tìm được phương trình của parabol là

$(P):y = - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 6$

Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

$s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{3}{4}t^{2} + 3t + 6 ight)dt} = \left( - \frac{x^{3}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 6x ight)|_{0}^{3}$

$= \frac{99}{4} = 24,75(km)$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết $\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b$ với $a;b\mathbb{\in Z}$ . Xác định giá trị biểu thức $P = ab$ ?
- A.
  $P = 4$
- B.
  $P = - 8$
- C.
  $P = 8$
- D.
  $P = - 4$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight.$ khi đó ta có:

$\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}$

$= \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8$ .
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}$ và $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}$
- A. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{3}$
- B. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{9}$
- C. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{3}$
- D. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{9}$
Cách 1: $\int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx$
Đặt $\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t$
$\begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó $\int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C$
=> $F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
Mặt khác $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
=> C = 0
=> $F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
=> ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}$
Cách 2: $F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}$ . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}$ , biết rằng đồ thị hàm số $F(x)$ có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
- A.
  $e^{x^{3} - 3x} - e^{2}$
- B.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
- C.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - e^{2}}{3}$
- D.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - 1}{3}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{e^{x^{3} - 3x}d\left( x^{3} - 3x ight)}$

$= \frac{1}{3}e^{x^{3} - 3x} + C$

Mà $F'(x) = f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$F''(x) = 2xe^{x^{3} - 3x} + \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x};F''(1) > 0;F''(1) < 0$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là $A(1;0)$

Suy ra $F(1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}e^{- 2} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3e^{2}}$

Do đó $F(x) = \frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
Câu 16: Nhận biết
Tìm giá trị của tích phân I

Tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ có giá trị là:
- A. $I = 1$
- B. $I = 0$
- C. $I = - 1$
- D. $I=-2$
Tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ có giá trị là:
$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. {\left( { - \cos x} ight)} ight|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1$
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Câu 17: Thông hiểu
Tính tổng các nghiệm phương trình

Giả sử $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C$ với $C$ là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình $g(x) = 0$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $- 3$
Ta có: $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}$

Đặt $t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx$

$\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C$

$\Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1$

Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ và $x_{1} + x_{2} = - 3$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm tích phân

Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 19: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}$
- A.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{2} +C$
- B.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x +\sin2x}{2} +C$
- C.
  $I = \frac{(1 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
- D.
  $I = \frac{(2 - 2x)\cos2x + \sin2x}{4} +C$
$I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}$

Đặt $x - 1 = u \Rightarrow dx = du$ .

$\sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x$

Khi đó $I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}$

$= \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C$
Câu 20: Vận dụng
Tính thể tích của một vật thể

Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0;x = \pi$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt {\sin x}$
- A. $V = 8\sqrt 3$
- B. $V = 2\pi \sqrt 3$
- C. $V = 2\sqrt 3$
- D. $V = \sqrt 3$
Diện tích thiết diện là $S\left( x ight) = \frac{{{{\left( {2\sqrt {\sin x} } ight)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x$
Ta có thể tích cần tính là $V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx = \left. { - \sqrt 3 \cos x} ight|_0^\pi = } 2\sqrt 3$
Câu 21: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f'(x)$ thỏa mãn $f(2) = - \frac{1}{25}$ và $f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f(1)$ bằng?
- A.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{41}}{\mathbf{100}}$ .
- B.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$ .
- C.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{391}}{\mathbf{400}}$ .
- D.
  $\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{40}}$ .
Ta có:

$f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}$

Theo bài ra ta có: $f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9$

Vậy $f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}$
Câu 22: Nhận biết
Tính giá trị của c

Giả sử $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln c$ . Giá trị của c là
- A.
  9
- B.
  3
- C.
  81
- D.
  8
Ta có: $\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = ln3$
Câu 23: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b)$ và $C$ là hằng số thì $\int_{}^{}{f(x)dx} = F(x) + C$ .
- B.
  Mọi hàm số liên tục trên $(a;b)$ đều có nguyên hàm trên $(a;b)$ .
- C.
  $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)$ .
- D.
  $\left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{/} = f(x)$ .
Đáp án sai là: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)$
Câu 24: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C.
  Cả hai đều đúng.
- D.
  Cả hai đều sai.
Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."
Câu 25: Vận dụng
Tính tích phân chứa tham số

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx$ có giá trị là:
- A. $I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- B. $I = - \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- C. $I = - \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} ight|$
- D. $I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
Ta có:
$I = \int\limits_0^1 {\frac{a}{{\sqrt {3{x^2} + 12} }}} dx = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} dx$
Đặt $u = x + \sqrt {{x^2} + 4} \Rightarrow du = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$
$I = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\int\limits_2^{1 + \sqrt 5 } {\frac{1}{u}du} = \left. {\frac{a}{{\sqrt 3 }}\left( {\ln u} ight)} ight|_2^{1 + \sqrt 5 } = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} ight|$
Câu 26: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 27: Vận dụng
Tính tổng các nghiệm của phương trình

Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}$ thỏa mãn F(2) = 0
- A. $1 - 2\sqrt 3$
- B. $- \sqrt 3$
- C. $2\sqrt 3$
- D. $1 - \sqrt 3$
$\begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=> $F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2$
Xét phương trình F(x) = x ta có:
$\begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng $x = 1 - \sqrt 3$
Câu 28: Nhận biết
Tính tích phân

Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 29: Vận dụng cao
Xác định khẳng định chính xác nhất

Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ là:
- A.
  24 m/s
- B.
  23 m/s
- C.
  7 m/s
- D.
  8 m/s
Ta có $v = S' = 8t^{3} - 1$

Khi $t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s)$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 32: Vận dụng cao
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x ight).{e^{2x}}$
- A. $\left( {x - 2} ight).{e^x} + C$
- B. $\left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
- C. $\frac{{2 - x}}{2}.{e^x} + C$
- D. $\left( {4 - 2x} ight).{e^x} + C$
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight).{e^{2x}}$ nên:
$\begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Hay $f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}$
Xét $I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.$
Khi đó
$I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C$
Câu 33: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $1$
- B.
  $-1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$
Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$
Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$
Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{x}{x + 1}dx = a$ . Biểu thức $P = 2a - 1$ có giá trị là:
- A.
  $P = 1 - ln2$
- B.
  $P = 2 - 2ln2$
- C.
  $P = 1 - 2ln2$
- D.
  $P = 2 - ln2$
Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{x}{x + 1}dx = a$ .

Biểu thức $P = 2a - 1$ có giá trị là:

Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{x}{x + 1}dx = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{1}{x + 1} ight)dx}$ $= \left. \ \left( x - \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2$

$\Rightarrow a = 1 - ln2 \Rightarrow P = 2a - 1 = 1 - 2ln2$ .
Câu 36: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho $\int_{1}^{e}{\left( 1 + x\ln x \right)dx = ae^{2} + be + c.}$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng.
- A.
  $a + b = c.$
- B.
  $a + b = - c.$
- C.
  $a - b = c.$
- D.
  $a - b = - c.$
Ta có $\int_{1}^{e}{\left( 1 + x\ln x ight)dx = ae^{2} + be + c}$

$= \int_{1}^{e}{1dx} + \int_{1}^{e}{x\ln xdx} = e - 1 + \int_{1}^{e}{x\ln xdx}$

Tính $J = \int_{1}^{e}{x\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \ln x \\ dv = xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{1}{x}dx \\ v = \frac{x^{2}}{2}dx \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $J = \left. \ \frac{x^{2}}{2}\ln x ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{\frac{x}{2}dx = \frac{e^{2}}{2} - \left. \ \frac{x^{2}}{4} ight|_{1}^{e}}$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}$

Vậy $\int_{1}^{e}{\left( 1 + x\ln x ight)dx =}e - 1 + \int_{1}^{e}{x\ln xdx}$ $= e - 1 + \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + e - \frac{3}{4}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{2} + 3x + C$
- B.
  $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
- C.
  $\int_{}^{}f(x)dx = x^{3} + 3x + C$ .
- D.
  $\int_{}^{}f(x)dx = 2x + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} + 3x \right)' = x^{2} + 3;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .

Vậy đáp án cần tìm là $\int_{}^{}f(x)dx = \frac{x^{3}}{3} + 3x + C$ .
Câu 38: Vận dụng
Tính nguyên hàm của I

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .
- A.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- B.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- C.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- D.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} ight)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight| ight) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Câu 39: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- B.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
- C.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C$ .
- D.
  $I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$

$= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)$

Mặt khác:

$I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}$ $= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$ $= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx$

$\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}$ $= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.$
Câu 40: Thông hiểu
Tính tích phân I

Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 \right)dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}$
- B.
  $I = \frac{9}{4} - \frac{a}{2}$
- C.
  $I = \frac{7}{4} + \frac{a}{2}$
- D.
  $I = \frac{9}{4} + \frac{a}{2}$
Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx$ có giá trị là:

$I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx$

$= \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{a}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}$ .

Đáp án đúng là $I\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

39 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian