VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ và các đường thẳng $y = 2;y = - 2x - 4$ như hình vẽ:
- A.
  $S = \frac{1}{4}$
- B.
  $S = 3\ln3 - 2$
- C.
  $S = - \frac{5}{4} +3\ln2$
- D.
  $\frac{1}{4} + 3\ln2$
Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét $- 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Xét $\frac{x - 1}{x + 2} = 2 \Leftrightarrow x = - 5$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left( \frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x - 4 - 2)dx}$

$= - \frac{5}{4} + 3\ln2$
Câu 2: Vận dụng

Tính thể tích nước

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Vận dụng cao
Xác định giá trị tích phân

Tích phân $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{5\pi}{3}$
- B.
  $I = \frac{5\pi}{6}$
- C.
  $I = - \frac{5\pi}{3}$
- D.
  $I = - \frac{5\pi}{6}$
Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

Cách 1:

Ta có: $\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x$ và $4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x)$ .

$I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}$ .

Đặt $x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}$ .

Xét $I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ .

Đặt $t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0$ .

$\Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x \right)\ln xdx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{e^{2} + 1}{4}$
- B.
  $I = \frac{e^{2} + 3}{4}$
- C.
  $I = \frac{e^{2} + 5}{4}$
- D.
  $I = \frac{e^{2} + 7}{4}$
Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx}$ có giá trị là:

$I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx} + \int_{1}^{e}{x\ln xdx}$

$= \int_{0}^{1}{d\left( \ln x ight)} + \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \frac{1}{2}\int_{1}^{e}{xdx}$

$= 1 + \frac{e^{2}}{2} - \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{2} ight) ight|_{1}^{e} = \frac{e^{2} + 5}{4}$

Đáp án đúng là $I = \frac{e^{2} + 5}{4}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Chọn kết quả đúng

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm³ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)
- A.
  183.000 đồng
- B.
  180.000 đồng
- C.
  185.000 đồng
- D.
  190.000 đồng
Hình vẽ minh họa

Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

Suy ra elip: $\frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{12,5^{2}} = 1$ . Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

$\Rightarrow V = \left| \pi\int_{- 14}^{14}{12,5^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} ight)dx} ight| = \frac{8750\pi}{3}$

Số tiền thu được là:

$20000.\frac{8750\pi}{3} \approx 183259 \approx 183000$ đồng.
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx}$ có giá trị là:
- A.
  I = ln2
- B.
  I = ln2 – 1
- C.
  I = 1 – ln2
- D.
  I = – ln2
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx}$ có giá trị là:

Cách 1: $I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx} = \left. \ \left( \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{1} = ln2$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 7: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng $\left( H ight)$ giới hạn với các đường $y = {x^2};y = 0;x = 2$ . Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi $\left( H ight)$ quay quanh trục $Ox$ ?
- A. $V = \frac{8}{3}$
- B. $V = \frac{{32}}{5}$
- C. $V = \frac{{8\pi }}{3}$
- D. $V = \frac{{32\pi }}{5}$
Thể tích cần tìm là:
$V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} = \left. {\pi .\frac{{{x^5}}}{5}} ight|_0^2 = \frac{{32\pi }}{5}$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{5x - 2}$ .
- A.
  $\int {\frac{{dx}}{{5x - 2}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = -\frac{1}{2}(\ln5x - 2) + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = 5\ln|5x- 2| + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = \ln|5x - 2| + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}$

$= \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}$
Câu 9: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần. Ô tô đang chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v = - 5t + 20v$ ( m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. (Đúng).

Để tìm thời gian mà ô tô dừng lại, ta đặt v=0 nghĩa là: −5t+20=0 hay t=4 (s)

Vậy khi t=4, vận tốc là 0 m/s, điều này cho thấy ô tô đã dừng lại.

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5 s.

Điều này không chính xác. Từ phần (a), chúng ta đã xác định thời gian để ô tô dừng lại là 4 giây, không phải 5 giây.

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$

Công thức tích phân này là chính xác, vì:

$\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ Với C là hằng số tích phân.

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400 m.

Để tính quãng đường, chúng ta cần tích phân hàm vận tốc để tìm quãng đường đi được. Quãng đường s từ t = 0 đến t=4 giây được tính bằng:

$s = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( - \frac{5}{2}t^{2} - 20t \right) \right|_{0}^{4} = 40(m)$

Do đó, quãng đường ô tô đi được là 40 m, không phải 400 m.

Tóm lại:

(a) Đúng.

(b) Sai, thời gian là 4 giây.

(c) Đúng.

(d) Sai, quãng đường là 40 m.
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Biết $xe^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f( - x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)e^{x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ . Giá trị của $F( - 1)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5 - e}{2}$
- C.
  $\frac{7 - e}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Ta có: $f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Do đó $f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra $f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Nên $f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)$

$\Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2$

Vậy $F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C$

Từ đó $F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2$

$F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $( - \infty;0)$ thỏa mãn $F( - 2) = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$
- B.
  $F(x) = \ln|x| + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
- C.
  $F(x) = \ln|x| + ln2;\forall x \in ( - \infty;0)$
- D.
  $F(x) = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$

Lại có $F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2$

Do đó $F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)$

Vậy $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$ .
Câu 13: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số: $y = x^{2} - 3x + \frac{1}{x}$ là
- A.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$ .
- B.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- C.
  $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + \ln x + C$ .
- D.
  $F(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x^{2}} + C$ .
Vì $\left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| \right)' = \frac{3x^{2}}{3} - \frac{3.2x}{2} + \frac{1}{x}$ với $\forall x > 0$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C$
Câu 14: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = 3{x^2} + 1$
- A. ${x^3} + C$
- B. $\frac{{{x^3}}}{3} + x + C$
- C. $6x + C$
- D. ${x^3} + x + C$
Ta có:
$\int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C$
Câu 15: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:
- A.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- B.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- C.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- D.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}$ .

$\Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 \right)dx}$ có giá trị là:
- A.
  I = 1
- B.
  I = 2
- C.
  I = 3
- D.
  I = 4
Thực hiện giải toán theo hai bước sau:

Cách 1: $I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{1} = 4$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 17: Vận dụng cao
Số điểm cực trị của hàm số

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight)$ . Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 5
- B. 4
- C. 3
- D. 2
$\begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0$ có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số $F\left( {{x^2} + x} ight)$ có 5 điểm cực trị
Câu 18: Vận dụng
Xác định giá trị tích phân I

Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x \right)dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \sqrt{2} - 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$
- B.
  $I = \sqrt{2} - 1 - \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$
- C.
  $I = - \sqrt{2} + 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$
- D.
  $I = - \sqrt{2} + 1 - \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x ight)dx}$ :

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x ight) \\ dv = dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}dx \\ v = x \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I = \left. \ \left( x.ln\left( \sqrt{x^{2} + 1} - x ight) ight) ight|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx}$ .

Xét $I_{1} = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx}$ .

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{1}^{2} = \sqrt{2} - 1$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + \left. \ \left( x.ln\left( \sqrt{x^{2} + 1} - x ight) ight) ight|_{0}^{1} = \sqrt{2} - 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$ .

Đáp án đúng là $I = \sqrt{2} - 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ và $F(\pi) + F( - 1) = 1$ . Giá trị biểu thức $T = F(2\pi) + F( - 5)$ bằng:
- A.
  $T = 17$
- B.
  $T = 2\pi + 3$
- C.
  $T = 8$
- D.
  $T = \pi - 1$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 0$ tức là

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**)$ . Từ (*) và (**) suy ra $C_{1} = C_{2} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$T = F(2\pi) + F( - 5) = 17$
Câu 20: Thông hiểu
Tính tổng các nghiệm phương trình

Giả sử $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C$ với $C$ là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình $g(x) = 0$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $- 3$
Ta có: $\int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}$

Đặt $t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx$

$\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C$

$\Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1$

Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ và $x_{1} + x_{2} = - 3$ .
Câu 21: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight)$ là:
- A.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2}$
- B.
  $2x^{2}\ln x + x^{2}$
- C.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2} + C$
- D.
  $2x^{2}\ln x + x^{2} + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}$

$= \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C$
Câu 22: Thông hiểu
Giá trị của tích phân

Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A. $- \frac{{\ln 2}}{2}$
- B. $\ln 2 - 1$
- C. $\frac{3}{2} - \ln 4$
- D. $- \frac{{\ln 3}}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx} \hfill \\ {\text{ }} = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{\left( {x - 1} ight)\left( {{x^2} - 2x - 2} ight)}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 2} ight)}}dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 2}}dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x - 4 + \dfrac{6}{{x + 2}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left| {x + 2} ight|} ight)} ight|_{ - 1}^0 \hfill \\ = 6\ln 2 - \dfrac{9}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Xác định các hệ số a, b, c, d

Tìm a, b, c, d để $F(x) = \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d \right)e^{x}$ là một nguyên hàm của $f(x) = \left( 2x^{3} + 9x^{2} - 2x + 5 \right)e^{x}$ .
- A.
  $a = 3;b = 3;c = - 7;d = 13$
- B.
  $a = 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- C.
  $a = - 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- D.
  $a = 3;b = 3;c = - 8;d = 15$
Ta có $F'(x) = \left( 3ax^{2} + 2bx + c ight)e^{x} + \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d ight)e^{x}$

$= \left\lbrack ax^{3} + (3a + b)x^{2} + (2b + c)x + (c + d) ightbrack e^{x}$

$F'(x) = f(x),\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ 3a + b = 9 \\ 2b + c = - 2 \\ c + d = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ c = - 8 \\ d = 13 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định một nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}$

$= \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số là $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$ .
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4$ . Tính giá trị của biểu thức $N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)$
- A. $N = 3\ln 3 + 4\ln 4 + 6$
- B. $N = 2\ln 3 + 3\ln 4 - 5$
- C. $N = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7$
- D. $N = \ln 3 + 3\ln 4 + 9$
$f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} ight| + C$
=> $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.$
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\ {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 3} \\ {{C_1} = 4} \end{array}} ight.$
=> $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.$
=> $N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}$
$= 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7$
Câu 26: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx}$
- A.
  $\frac{3sinx - sin3x}{12} + C$
- B.
  $\frac{3cosx - cos3x}{12} + C$
- C.
  $\frac{sin^{3}x}{3} + C$
- D.
  $sinx.cos^{2}x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx = \int_{}^{}{sin^{2}x.d\left( \sin x \right) = \frac{sin^{3}x}{3} + C}}$
Câu 27: Thông hiểu
Xác định công thức diện tích hình phẳng

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$ .
- B.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$ .
- C.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
- D.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} + \int_{4}^{0}{f(x)dx}$ .
Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} + \int_{4}^{0}{f(x)dx}$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Tìm $\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx}$ .
- A.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
- B.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- C.
  $\frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{\cos^{7}x}{7} + C$
- D.
  $\frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{2\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{7}x}{7} + C$
Vì lũy thừa của $\sin x$ là số lẻ nên ta đổi biến $u = \cos x \Rightarrow du = \left( \cos x ight)'dx$ .

$\int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx = - \int_{}^{}{\left( 1 - \cos^{2}x ight)^{2}.\cos^{2}x.\left( \cos ight)'dx}}$

$= - \int_{}^{}{\left( 1 - u^{2} ight)^{2}.u^{2}du}$

$= \int_{}^{}{\left( 2u^{4} - u^{2} - u^{6} ight)du}$

$= \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{7}}{7} + C$

$= \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C$ .
Câu 29: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx}$ là:
- A.
  $\frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
- B.
  $\frac{3x^{4}}{4} - 3x^{3} + 2020 + C$
- C.
  $\frac{27x^{4}}{4} - x^{3} + 2020 + C$
- D.
  $\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$

Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx} = \frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
Câu 30: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 200 - 20t(m/s)$ . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?
- A.
  5 s
- B.
  8 s
- C.
  15 s
- D.
  10 s
Khi tàu dừng hẳn: $v = 0 \Rightarrow t = 10(s)$

$S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(200 - 2t)dt \Rightarrow s = 200t - t^{2}$

$S = 750 \Rightarrow 200t - t^{2} = 750 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 15 > 0(ktm) \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta t = 10 - 5 = 5(s)$
Câu 31: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}$ và $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}$ . Tính ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}$
- A. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{3}$
- B. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{8}{9}$
- C. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{3}$
- D. ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = \frac{1}{9}$
Cách 1: $\int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx$
Đặt $\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t$
$\begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó $\int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C$
=> $F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
Mặt khác $F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C$
=> C = 0
=> $F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
=> ${\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}$
Cách 2: $F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}$ . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Câu 32: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 33: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {7^x}$ là
- A. ${7^x}\ln 7 + C$
- B. ${7^{x + 1}} + C$
- C. $\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}}$
- D. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$
Ta có:
$\int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C$
Câu 34: Thông hiểu
Hàm số f(x) = x^3 + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x)

Hàm số $f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2$ có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
- A. 12
- B. 6
- C. -8
- D. 20
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}$
Hàm số đi qua B(2; 10) => $\frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4$
=> $F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6$
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Biết $\int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b$ . Khi đó $P = a + 2b$ có giá trị bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $40$
- C.
  $50$
- D.
  $30$
Ta có:

$I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}$

$= \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}$ $= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40$
Câu 36: Thông hiểu
Giá trị của tích phân

Giá trị của tích phân $I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx = a$ . Biểu thức $P = a - 1$ có giá trị là:
- A. $P = e + \frac{1}{2}{e^2} + \frac{1}{2}{e^4}$
- B. $P = - e + \frac{1}{2}{e^2} + \frac{1}{2}{e^4}$
- C. $P = - e - \frac{1}{2}{e^2} + \frac{1}{2}{e^4}$
- D. $P = e + \frac{1}{2}{e^2} - \frac{1}{2}{e^4}$
Giá trị của tích phân $I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx = a$ . Biểu thức $P = a - 1$ có giá trị là:
Ta có:
$\begin{matrix} I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\dfrac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx \hfill \\ = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{1}{x} + 1 + x} ight)} dx \hfill \\ = \left. {\left( {\ln \left| x ight| + x + \dfrac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_e^{{e^2}} \hfill \\ = 1 - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow a = 1 - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\\Leftrightarrow a - 1 = - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow P = - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Thông hiểu
Cho giá trị của tích phân

Cho giá trị của tích phân ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} = a$ , ${I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = b}$ . Giá trị của biểu thức $P = a - b$ là:
- A. $P = \frac{7}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- B. $P = \frac{3}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- C. $P = \frac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3$
- D. $P = \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln 3$
Ta có:
$\begin{matrix} {I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {x + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}$
${I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = \left. {\left( {\ln \left| x ight|} ight)} ight|} _e^{{e^2}} = 1 \Rightarrow b = 1$
$P = a - b = \frac{3}{2} + \ln 2 - \ln 3$
Câu 38: Vận dụng
Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho đường cong (C) $y = {x^3}$ . Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
- A. $\left( {0;\frac{1}{2}} ight)$
- B. $\left( {\frac{1}{2};1} ight)$
- C. $\left( {1;\frac{3}{2}} ight)$
- D. $\left( {\frac{3}{2};2} ight)$
Ta có: $y' = 3{x^2}$
Ta có: $A \in \left( C ight) \Rightarrow A\left( {a;{a^3}} ight);a > 0$
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3{a^2}\left( {x - a} ight) + {a^3}$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
$\begin{matrix} {x^3} = 3{a^2}\left( {x - a} ight) + {a^3} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - a} ight)^2}\left( {x + 2a} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = - 2a} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
$\begin{matrix} S = 27 \hfill \\ \Rightarrow \int\limits_{ - 2a}^a {\left| {{x^3} - 3{a^2}\left( {x - a} ight) - {a^3}} ight|dx = 27} \hfill \\ \Rightarrow \left| {\int\limits_{ - 2a}^a {\left( {{x^3} - 3{a^2}\left( {x - a} ight) - {a^3}} ight)dx} } ight| = 27 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}{x^2}}}{2} + 2{a^3}x} ight)} ight|_{ - 2a}^a} ight| = 27 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{27}}{4}{a^4} = 27 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \sqrt 2 \left( {tm} ight)} \\ {a = - \sqrt 2 \left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow a = \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ là:
- A.
  24 m/s
- B.
  23 m/s
- C.
  7 m/s
- D.
  8 m/s
Ta có $v = S' = 8t^{3} - 1$

Khi $t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s)$ .
Câu 40: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức $f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A. f(4) + g(4) = 1
- B. f(4) + g(4) = ln2
- C. f(4) + g(4) = ln3
- D. f(4) + g(4) = 2ln2
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

48 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian