VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Xác định khẳng định chính xác nhất

Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

Số nghiệm dương của phương trình: $x^{3} + ax + 2 = 0$ , với $a = \int_{0}^{1}{2xdx}$ , a và b là các số hữu tỉ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có: $a = \int_{0}^{1}{2xdx} = \left. \ \left( x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = 1 \Rightarrow x^{3} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Số nghiệm dương của phương trình: $x^{3} + ax - 2 = 0$ , với $a = \int_{0}^{1}{2xdx}$ là: 1
Câu 3: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$ .
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$ .
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 4: Nhận biết
Công thức tính thể tích V của vật thể tròn xoay

Cho $(H)$ là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ và đồ thị của hai hàm số $y = f\left( x ight);y = g\left( x ight)$ . Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay $(H)$ quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A. $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}$
- B. $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left| {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight|}^2}dx}$
- C. $V = \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}$
- D. $V = \int\limits_a^b {{{\left| {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight|}^2}dx}$
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm điều kiện của a

Đẳng thức $\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2} \right)dx} = \sin a$ xảy ra nếu
- A.
  $a = \pi$
- B.
  $a = \sqrt{\pi}$
- C.
  $a = \sqrt{3\pi}$
- D.
  $a = \sqrt{2\pi}$
Ta có:

$\int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2}ight)dx} = \sin a$

$\Leftrightarrow \sin\left( a + a^{2} ight) - \sin a^{2} = \sin a$

Trong 4 phương án, chỉ có phương án $a = \sqrt{2\pi}$ thỏa mãn.
Câu 6: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $65$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $20$ giây.Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $65$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $20$ giây.Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ .

Ta có: $\int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C$ với $C$ là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 5t^{2} + 20t + C$ .

$\mathbf{\cdot}$ Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$ .

Suy ra $s(t) = - 5t^{2} + 20t$ .

$\mathbf{\cdot}$ Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ . Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

$\mathbf{\cdot}$ Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $65\ km/h \approx 18\ m/s$ .

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m)$ .

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $18 + 20 \approx 38\ (\ m)$ .

Do $38 < 50$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho giá trị của tích phân $I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin2x + \cos x \right)dx} = a$ , $I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \cos2x + \sin x \right)dx} = b$ . Giá trị của a + b là:
- A.
  $P = \frac{3}{4} + \sqrt{3}$
- B.
  $P = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $P = \frac{3}{4} - \sqrt{3}$
- D.
  $P = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
Cách 1:

Ta có:

$I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}{\left( sin2x + \cos x ight)dx}$ $= \left. \ \left( - \frac{1}{2}cos2x + \sin x ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}$ $= \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow a = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\left( cos2x + \sin x ight)dx}$ $= \left. \ \left( \frac{1}{2}sin2x - \cos x ight) ight|_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\Rightarrow P = a + b = \frac{3}{4} + \sqrt{3}$ .

Đáp án đúng là $P = \frac{3}{4} + \sqrt{3}$ .

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra.
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$ , F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
- A. $\frac{1}{2} + \ln 2$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{5}{6} - \ln 2$
- D. $\frac{5}{6}$
Ta có: $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}$
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.$
=> $F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }$
=> $F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C$
Khi đó: $F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.$
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=> $\left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}$
=> ${C_1} + {C_2} = 1$
=> $F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 2x - 1$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ , biết rằng $F(1) = 4$ thì:
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{49}{12}$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + 1$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + 2$
- D.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + C = F(x)$

Theo bài ra ta có: $F(1) = 4$

$\Leftrightarrow \frac{1^{4}}{4} - \frac{1^{3}}{3} + 1^{2} - 1 + C = 4 \Leftrightarrow C = \frac{49}{12}$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{49}{12}$
Câu 10: Vận dụng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}$
- A. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- B. $\frac{1}{{b - a}}\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
- C. $\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C$
- D. $\ln \left| {\frac{{x + b}}{{x + a}}} ight| + C$
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Tính tích phân: $I = \int_{1}^{5}\frac{dx}{x\sqrt{3x + 1}}$ được kết quả $I = aln3 + bln5$ . Giá trị $a^{2} + ab + 3b^{2}$ là
- A.
  4
- B.
  1
- C.
  0
- D.
  5
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}\frac{dx}{x\sqrt{3x + 1}}$

Đặt $\sqrt{3x + 1} = t \Rightarrow 3x = t^{2} \Rightarrow 3dx = 2tdt$

Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 2$

$x = 5 \Rightarrow t = 4$

$I = \frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{tdt}{t\left( \frac{t^{2} - 1}{3} ight)} = 2\int_{2}^{4}\frac{dt}{(t - 1)(t + 1)}$

$= \int_{2}^{4}\left( \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} ight)dt$

$= \left. \ \left( \ln|t - 1| - \ln|t + 1| ight) ight|_{2}^{4} = 2ln3 - ln5$

$\Rightarrow a = 2;b = - 1 \Rightarrow a^{2} + ab + 3b^{2} = 5$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định hàm số f(x)

Cho $f'(x) = 2x - cos2x$ . Tìm $f(x)$ biết $f(0) = 0$ .
- A.
  $f(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
- B.
  $f(x) = x^{2} + \frac{1}{2}sin2x$ .
- C.
  $f(x) = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
- D.
  $f(x) = x^{2} + sin2x$ .
Ta có

$f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{(2x - cos2x)dx} = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x + C$ .

Mà $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$ . Vậy $f(x) = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{3x - 7}{x + 2}$
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = x - 13ln|x + 2| + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x + 2| + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 13ln|x + 2| + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 7ln|x + 2| + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{3x - 7}{x + 2}dx = \int_{}^{}{\frac{3(x + 2) - 13}{x + 2}dx}}}$

$= \int_{}^{}{\left( 3 - \frac{13}{x + 2} ight)dx = \int_{}^{}{3dx - 13\int_{}^{}\frac{d(x + 2)}{x + 2}}}$

$= 3x - 13ln|x + 2| + C$
Câu 14: Vận dụng
Tính nguyên hàm của I

Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .
- A.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- B.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- C.
  $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
- D.
  $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} =\frac{x^{2}}{2}.\ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} ight)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.\ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.\ln\left| (2x - 1) ight| ight) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$
Câu 15: Vận dụng
Tìm quãng đường vật đi được

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t = 0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t(5 - t)$ (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
- A.
  $\frac{125}{12}$ (m)
- B.
  $\frac{125}{9}$ (m)
- C.
  $\frac{125}{3}$ (m)
- D.
  $\frac{125}{6}$ (m)
Ta có: $S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}{t(5 - t)}dt \Rightarrow S = \frac{5t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3}$

Khi vật dừng lại $\Rightarrow v = t(5 - t) = 0 \Rightarrow t = 5$

Khi đó $S = \frac{5.5^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{6}(m)$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ là:
- A.
  $\ln\left| \cot\frac{x}{2} \right| + C$
- B.
  $\ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- C.
  $- \ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- D.
  $\ln\left| \sin x\right| +C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}$

$= \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Tìm giá trị thực của $F(\pi) = - \frac{1}{2} \cdot$ để $F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = - x^{2} + 2x - 3$ .
- A.
  $f(x) = (ax + b).cosx$ .
- B.
  $S = 3$ .
- C.
  $S = 4$ .
- D.
  $S = 5$ .
Để $F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = - x^{2} + 2x - 3$ .

Ta có: $F'(x) = f(x)$

Hay $\left( mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 \right)' = - x^{2} + 2x - 3$

$\begin{matrix} \left( {m{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)' = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2x - 3 = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m = - 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = (2x + 1)^{5}$ có nguyên hàm là $F(x) = \frac{a}{b}(2x + c)^{6} + C$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = \frac{a + b + c}{a.b.c}$ .
- A.
  $T = \frac{5}{3}$
- B.
  $T = \frac{3}{5}$
- C.
  $T = \frac{6}{7}$
- D.
  $T = \frac{7}{6}$
Ta có:

$\left\lbrack \frac{a}{b}(2x + c)^{6} \right\rbrack' = \frac{6.a}{b}.2.(2x + c)^{5} = \frac{12.a}{b}.(2x + c)^{5}$

Đồng bộ hệ số ta có: $\left\{ \begin{matrix} \frac{12.a}{b} = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{1}{12} \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 12 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.$ (vì $a,b,c\mathbb{\in Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản)

Khi đó: $T = \frac{1 + 12 + 1}{1.12.1} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính diện tích các cánh hoa

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40cm$ . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.
- A.
  $\frac{400}{3}\left( cm^{2} \right)$
- B.
  $\frac{500}{3}\left( cm^{2} \right)$
- C.
  $100\left( cm^{2} \right)$
- D.
  $150\left( cm^{2} \right)$
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng $10cm = 1dm$ ), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình $y = \frac{x^{2}}{2}$ , $y = - \frac{x^{2}}{2}$ , $x = - \frac{y^{2}}{2}$ , $x = \frac{y^{2}}{2}$ .

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2}}{2}$ , $y = \sqrt{2x}$ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ .

Do đó diện tích một cánh hoa bằng

$\int_{0}^{2}{\left( \sqrt{2x} - \frac{x^{2}}{2} \right)dx}$ $= \left. \ \left. \ \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(2x)^{3}} - \frac{x^{3}}{6} \right) \right| \right|_{0}^{2}$

$= \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right) = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right)$ .
Câu 21: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục nhận giá trị dương trên $(0; +\infty)$ và thỏa mãn $f(1) =1$ ; $f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0$ . Giá trị $f(3)$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $2,9$
- B.
  $3,2$
- C.
  $3,7$
- D.
  $2,5$
Vì $\left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$
$\Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C$
Mà $f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17$
Câu 22: Thông hiểu
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

Cho hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b,(a < b)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{f(x)dx} ight|$
- D.
  $S = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}$

$= - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

Vậy đáp án cần tìm là: $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$ .
Câu 23: Nhận biết
Tìm m thỏa mãn yêu cầu

Đặt $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của tham số $m$ để $I = 4$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 2$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1$

Do $I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .
Câu 24: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y = - 2x^{3} + x^{2} + x + 5$ và đồ thị $(C')$ của hàm số $y = x^{2} - x + 5$ ?
- A.
  $S = 0$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = 3$
Phương trình hoành độ giao điểm

$- 2x^{3} + x^{2} + x + 5 = x^{2} - x + 5$

$\Leftrightarrow - 2x^{3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{1}{\left| 2x^{3} - 2x ight|dx}$

$= \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight|$

$= 1$
Câu 25: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Giả sử $f(x);g(x)$ là các hàm số bất kì liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a;b;c$ là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx} = 0$
- B.
  $\int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
Theo tính chất tích phân ta có:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0$

$\int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}$

$\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}$

$= \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}$

$= \int_{a}^{b}{f(x)dx}$

Vậy mệnh đề sai: $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}$
Câu 26: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x - 7$ .
- B.
  $f(x) = 5x^{2} + 4x + 7$ .
- C.
  $f(x) = \frac{5x^{2}}{4} + \frac{4x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2}$ .
- D.
  $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Ta có: $\left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7$ nên hàm số $F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 15x^{2} + 8x - 7$ .
Câu 27: Thông hiểu
Với a ≠ 0 khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $\int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C$ . Với $a e 0$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = F\left( {ax + b} ight) + C$
- B. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = aF\left( {ax + b} ight) + C$
- C. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{{ax + b}}F\left( {ax + b} ight) + C$
- D. $\int {f\left( {ax + b} ight)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C$
Xét $\int {f\left( {ax + b} ight)dx}$ , đặt t = ax + b
=> $I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x$
=> $\int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}$
Câu 28: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Cho $F(x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ ?
- A.
  $\int {f'\left( x ight){e^{2x}} = - {x^2} + 2x + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - x^{2} + x + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = 2x^{2} - 2x + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x} = - 2x^{2} + 2x + C}$
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

$\int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}$ .

Từ giả thiết, ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$

Suy ra $f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C$

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx$ .

Ta có $\int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}$

Từ giả thiết: $\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x$ .

Vậy $\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}$ .
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ . Chọn khẳng định đúng:
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x + C}$ .
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan x + C}$ .
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln x + \tan|x| + C}$ .
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x| + \tan x}$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x} \right)dx =}\ln|x| + \tan x + C$
Câu 30: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Biết hàm số $f(x) = (x - 3)^{4}$ có nguyên hàm là $F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C$ với $a,b\mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = 25$
- C.
  $T = 50$
- D.
  $T = 10$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{(x - 3)^{5}}{5} + C = F(x)\ \$

Mà $F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow T = 5^{2} + 5^{2} = 50$
Câu 31: Vận dụng
Xác định thời điểm chất điểm di chuyển xa nhất

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian $t\left( s ight)$ là $a\left( t ight) = 2t - 7\left( {m/{s^2}} ight)$ . Biết vận tốc ban đầu bằng $10m/s$ , hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
- A. $2s$
- B. $6s$
- C. $4s$
- D. $1s$
Vận tốc của vật được tính theo công thức $v\left( t ight) = 10 + {t^2} - 7t\left( {m/s} ight)$
=> Quãng đường vật di chuyển được tính theo công thức:
$S\left( t ight) = \int {v\left( t ight)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7t}}{2} + 10t\left( m ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} S'\left( t ight) = {t^2} - 7t + 10 \hfill \\ \Rightarrow S'\left( t ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0} \\ {t = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S\left( 0 ight) = 0} \\ {S\left( 2 ight) = \dfrac{{26}}{6}} \\ {S\left( 5 ight) = \dfrac{{25}}{6}} \\ {S\left( 6 ight) = 6} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {MaxS\left( t ight)}\limits_{\left[ {0;6} ight]} = S\left( 2 ight) = \dfrac{{26}}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Hàm số $F(x) = e^{x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
- A.
  $f(x) = e^{x} - \frac{1}{sin^{2}x}$
- B.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{sin^{2}x}$
- C.
  $f(x) = e^{x}\left( 1 + \frac{e^{-x}}{cos^2x} \right)$
- D.
  $f(x) = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$
Ta có: $\left( e^{x} + \tan x + C \right)^{'} = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a\ln b + c$ trong đó $a;b;c$ là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $a + b + c$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}$

$= \left. \ \left( x - \ln\left| x^{2} + 1 ight| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2$

Khi đó $a = - 1;b = 2;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2$
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là $v(t) = 3t^{2} + 5(m/s)$ . Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ $4$ đến giây thứ $10$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $996m$
- B.
  $876m$
- C.
  $966m$
- D.
  $1086m$
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

$S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}$

$= \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}$
- A. $- \frac{1}{{2{e^{2x}}}} + \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
- B. $\frac{1}{{2{e^{2x}}}} + \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
- C. $\frac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C$
- D. $- \frac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C$
$\begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Đáp án là:

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Gọi phương trình parabol $(P):y = ax^{2} + bx + c$ .

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $(P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}$

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).$

Số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.
Câu 37: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{5x - 2}$ .
- A.
  $\int {\frac{{dx}}{{5x - 2}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = -\frac{1}{2}(\ln5x - 2) + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = 5\ln|5x- 2| + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = \ln|5x - 2| + C}$
Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}$

$= \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}$
Câu 38: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $- a$ m/s². Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:
- A. (3; 4)
- B. (4; 5)
- C. (5; 6)
- D. (6; 7)
Từ giả thiết ta có $v = \int_{}^{}{( - a)dt} \Rightarrow v = 15 - at$

Mà $s = \int_{}^{}{tdt} = \int_{}^{}{(15 - at)dt} \Rightarrow s = 15t - \frac{at^{2}}{2}$

Ô tô chuyển động được 20m thì dừng tại thời điểm

Suy ra

$\left\{ \begin{matrix} v = 0 \\ s = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 15 - at_{1} = 0 \\ 15t_{1} - \frac{a{t_{1}}^{2}}{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} at_{1} = 15 \\ 15t_{1} - \frac{15t_{1}}{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 15 - at_{1} = 0 \\ t_{1} = \frac{8}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = \frac{45}{8} \Rightarrow a \in (5;6)$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ , với $f(x) = 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x}$ , biết $F(0) = 2$ . Tính $F\left( \frac{\pi}{3} \right)$ .
- A.
  $\frac{13}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- B.
  $\frac{7}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- C.
  $- \frac{3}{2} + 4\sqrt{3}$ .
- D.
  $- \frac{5}{2} - 4\sqrt{3}$ .
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x} \right)dx}$

$= 3\int_{}^{}{\sin xdx} + 4\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= - 3cosx + 4tanx + C$ .

Do đó $F(x) = - 3cosx + 4tanx + C$ .

$F(0) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5$ .

Suy ra $F(x) = - 3cosx + 4tanx + 5$ .

Vậy $F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 3cos\frac{\pi}{3} + 4tan\frac{\pi}{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt{3}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx}$
- A.
  $\frac{3sinx - sin3x}{12} + C$
- B.
  $\frac{3cosx - cos3x}{12} + C$
- C.
  $\frac{sin^{3}x}{3} + C$
- D.
  $sinx.cos^{2}x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos x.sin^{2}x.dx = \int_{}^{}{sin^{2}x.d\left( \sin x \right) = \frac{sin^{3}x}{3} + C}}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

51 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian