VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Toán 12 các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số f(x)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện: $f(x) = 2x - 3cosx,\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3$
- A.
  $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 + \frac{\pi^{2}}{4}$
- B.
  $F(x) = x^{2} - 3sinx - \frac{\pi^{2}}{4}$
- C.
  $F(x) = x^{2} - 3sinx + \frac{\pi^{2}}{4}$
- D.
  $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{(2x - 3cosx)dx = x^{2} - 3sinx + C}$

$F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} - 3sin\frac{\pi}{2} + C = 3$

$\Leftrightarrow C = 6 -\dfrac{\pi^{2}}{4}$

Vậy $F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{x}$ .
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x\sqrt{x} + C}$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}x^{2}\sqrt{x} + C}$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt{x} + C}$
Ta có:

$\int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}$ .
Câu 3: Vận dụng
Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}$
- A. $\frac{1}{{12}}.{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- B. $- \frac{1}{{12}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- C. $- \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
- D. $\frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
$\int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx$
Đặt $t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx$
=> $\int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}$
=> $\frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Nguyên hàm $\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- B.
  $x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$ .
- C.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C$ .
- D.
  $\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C$ .
Ta có:

$\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx$

$= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx$

$= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C$
Câu 5: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ (m/s)$ , trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$ , chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $10$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\ \left( m/s^{2} \right)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$ .

a) Vận tốc $V_{B}(t)$ của chất điểm $B$ đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của gia tốc $a\ \left( m/s^{2} \right)$ .Đúng||Sai

b) $V_{B}(t) = at$ .Đúng||Sai

c) Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là $44,44(m)$ ,kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng

d) Vận tốc của chất điểm $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là $6,42(m/s)$ , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ (m/s)$ , trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$ , chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $10$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\ \left( m/s^{2} \right)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$ .

a) Vận tốc $V_{B}(t)$ của chất điểm $B$ đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của gia tốc $a\ \left( m/s^{2} \right)$ .Đúng||Sai

b) $V_{B}(t) = at$ .Đúng||Sai

c) Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là $44,44(m)$ ,kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng

d) Vận tốc của chất điểm $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là $6,42(m/s)$ , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai

a) Ta có $v_{B}(t) = \int_{}^{}{a.dt} = at + C$ .

b) $v_{B}(0) = 0 \Rightarrow C = 0$ $\Rightarrow v_{B}(t) = at$

c)Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là

$S_{A} = \int_{0}^{25}{\ \left( \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ \right)dt}$ $= \left( \frac{1}{675}t^{3} + \frac{1}{25}t^{2} \right)\ \left| \ _{\begin{matrix} \\ 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 25 \\ \end{matrix}} \right.\ = 48,15(m)$ .

d)Quãng đường chất điểm $B$ đi được trong $15$ giây là

$S_{B} = \int_{0}^{15}{at.dt}$ $= \frac{at^{2}}{2}|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}$ .

Ta có $48,15 = \frac{225a}{2} \Leftrightarrow a = 0,428$ .

Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là $v_{B}(15) = 0,428.15 = 6,42(m/s)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $a;b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$ . Tính giá trị biểu thức $H = 3a + b$ ?
- A.
  $H = - \frac{2}{3}$
- B.
  $H = \frac{1}{3}$
- C.
  $H = \frac{4}{3}$
- D.
  $H = \frac{2}{3}$
Ta có:

$I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}$

$= \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}$

$\Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$

$\Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}$
Câu 7: Vận dụng
Tính tổng các nghiệm của phương trình

Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}$ thỏa mãn F(2) = 0
- A. $1 - 2\sqrt 3$
- B. $- \sqrt 3$
- C. $2\sqrt 3$
- D. $1 - \sqrt 3$
$\begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=> $F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2$
Xét phương trình F(x) = x ta có:
$\begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng $x = 1 - \sqrt 3$
Câu 8: Nhận biết
Tính nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3} -x$ là
- A.
  $\frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{2}x^{2} +C$
- B.
  $3x^{2} - 1 + C$
- C.
  $\frac{x^{4}}{4} + C$
- D.
  $x^{4} + x^{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{(x^{3} - x)dx =\frac{x^{4}}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + C$
Câu 9: Nhận biết
Tìm kết luận sai

Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số $f$ xác định trên khoảng $D$ , câu nào là sai?

(I) $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $D$ nếu và chỉ nếu $\forall x \in D:F'(x) = f(x)$ .

(II) Nếu $f$ liên tục trên $D$ thì $f$ có nguyên hàm trên $D$ .

(III) Hai nguyên hàm trên $D$ của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
- A.
  Không có câu nào sai.
- B.
  Câu (I) sai.
- C.
  Câu (II) sai.
- D.
  Câu (III) sai.
Không có đáp án nào sai.
Câu 10: Vận dụng cao
Xác định nguyên hàm I

Tìm $I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ ?
- A.
  $I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
- B.
  $I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- C.
  $I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C$ .
- D.
  $I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C$ .
Đặt: $T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}$

$= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)$

Ta lại có :

$I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx =}}\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}$

$\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x}}$ $= -\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\T = \dfrac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\\\end{matrix} \right.$
Câu 11: Vận dụng cao
Tính tổng S

Tính tổng $S = \frac{{{2^2}}}{2}C_{2018}^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_{2018}^2 + \frac{{{2^4}}}{4}C_{2018}^3 + .... + \frac{{{2^{2019}}}}{{2019}}C_{2018}^{2018}$
- A. $S = \frac{{{3^{2019}} + 4039}}{{2019}}$
- B. $S = \frac{{{3^{2018}} + 4039}}{{2019}}$
- C. $S = \frac{{{3^{2018}} - 4039}}{{2019}}$
- D. $S = \frac{{{3^{2019}} - 4039}}{{2019}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {\left( {1 + x} ight)^{2018}} = 1 + C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {1 + x} ight)^{2018}} - 1 = C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]dx = \int\limits_0^2 {\left( {C_{2018}^1x + C_{2018}^2{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}{x^{2018}}} ight)dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \left. {\left[ {{{\left( {1 + x} ight)}^{2018}} - 1} ight]} ight|_0^2 = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{{{x^3}}}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019}}C_{2019}^{2019}} ight)} ight|_0^2 \hfill \\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{{3^{2019}}}}{{2019}} - 2 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{3^{2019}} - 4039}}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.e^{- x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ ?
- A.
  $- (x + 1)e^{- x} + 1$
- B.
  $- (x + 1)e^{- x} + 2$
- C.
  $(x + 1)e^{- x} + 1$
- D.
  $(x + 1)e^{- x} + 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}$

$= - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C$

$= - xe^{- x} - e^{- x} + C$ . Theo bài ra ta có: $F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2$

Vậy $- (x + 1)e^{- x} + 2$ là đáp án cần tìm.
Câu 13: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biết rằng $F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của biểu thức $f\left( F(0) ight)$ bằng:
- A.
  $- \frac{1}{e}$
- B.
  $3e$
- C.
  $20e^{2}$
- D.
  $9e$
Ta có: $\left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'$

$= \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}$

$= \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}$

$\Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e$
Câu 15: Vận dụng cao
Tổng các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn điều kiện

Biết ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a$ và ${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$ , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Biết ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a$ và ${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$ . Giá trị của a + b + c là:
Ta có:
${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \int\limits_0^1 {tdt} = 1$ , với $t = \tan x$
${I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1$
$\Rightarrow a = 1,b = \frac{1}{3},c = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b + c = 2$
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích vật thể

Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $( - 2 \leq x \leq 2)$ , mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45{^\circ}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{14 - 3x^{2}}$ (như hình vẽ). Tính thể tích vật thể hình chiếc niêm trên.
- A.
  $V = 20$
- B.
  $V = 25$
- C.
  $V = 35$
- D.
  $V = 30$
Diện tích tam giác vuông cân là:

$S(x) = \frac{1}{2}\sqrt{14 - 3x^{2}}.\sqrt{14 - 3x^{2}} = \frac{1}{2}\left( 14 - 3x^{2} \right)$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int_{- 2}^{2}{\frac{1}{2}\left( 14 - 3x^{2} \right)dx = 20}$ .
Câu 17: Nhận biết
Tính tích phân

Giá trị của $D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx}$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $2^{2017} + 1$
- C.
  $2^{2017} - 1$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ ; $f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}$ . Tính giá trị $f(a)$ ?
- A.
  $f(a) = \sqrt{3}\left( \sqrt{5} - 3 ight)$
- B.
  $f(a) = 3\sqrt{5}$
- C.
  $f(a) = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)$
- D.
  $f(a) = \sqrt{5}\left( 3 - \sqrt{5} ight)$
Ta có: $\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)$
Câu 19: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f = e^{- 2017x}$ là:
- A.
  $\frac{1}{2017}e^{- 2017x} + C$
- B.
  $e^{- 2017x} + C$
- C.
  $- 2017.e^{- 2017x} + C$
- D.
  $\frac{- 1}{2017}e^{- 2017x} + C$
Ta có $\int_{}^{}{e^{- 2017x}dx = \frac{1}{- 2017}e^{- 2017x} + C}$
Câu 20: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:
- A.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- B.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- C.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- D.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}$ .

$\Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C$ .
Câu 21: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 2024x + 2025$ .

a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x$ . Sai||Đúng

b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024$ . Sai||Đúng

c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$ Đúng||Sai

d) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 2024x + 2025$ .

a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x$ . Sai||Đúng

b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024$ . Sai||Đúng

c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$ Đúng||Sai

d) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ . Sai||Đúng

a) (NB) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$

$F^{'(x)} = \left( \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x \right)'$

$= x^{3} - 2024x + 2025$

b) (NB) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024.$

$f'(x) = (x^{3} - 2024x + 2025)' = 3x^{2} - 2024 = g(x)$

c) (NB) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$

$F(0) = \frac{1}{4}0^{4} - 10120^{2} + 2025.0 = 0.$

d) (TH) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ .

$\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{(x^{3} - 2024x + 2025)}dx = \frac{4053}{4}.$

Vậy đáp án a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.
Câu 22: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 23: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$ ?
- A.
  $F(x) = 1 + \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{2}{x + 1} + C$
- D.
  $F(x) = 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
Câu 24: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Tính tổng $T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}$ ?
- A.
  $T = \frac{1}{4121202989}$
- B.
  $T = \frac{1}{4121202990}$
- C.
  $T = \frac{1}{4121202992}$
- D.
  $T = \frac{1}{4121202991}$
Ta có:

$x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}$ .

Do đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx$ .

Mặt khác:

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}$ $= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T$ .

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1$ và $x = 1 \Rightarrow t = 0$ . Khi đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)$

$= \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}$
Câu 25: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ . Khẳng định nào sau đây đúng.
- A.
  Chỉ có duy nhất một hằng số $C$ sao cho hàm số $y = F(x) + C$ là một nguyên hàm của hàm $f$ trên $K.$
- B.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .
- C.
  Chỉ có duy nhất hàm số $y = F(x)$ là nguyên hàm của $f$ trên $K.$
- D.
  Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x$ thuộc $K$ và $C$ bất kỳ.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với $x$ thuộc $K$ .”
Câu 26: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 27: Thông hiểu
Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp

Một người đi xe đạp dự định trong buổi sáng đi hết quãng đường 60 km. Khi đi được $\frac{1}{2}$ quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng $\frac{2}{3}$ vận tốc dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp là bao nhiêu?
- A.
  5km/h
- B.
  12km/h
- C.
  7km/h
- D.
  18 km/h
Vận tốc dự định là $v(km/h)$ .

Thời gian đi nửa quãng đường đầu $t_{1} = \frac{30}{\frac{2}{3}v} = \frac{45}{v}(h)$ .

Thời gian đi nửa quãng đường sau $t_{2} = \frac{30}{v + 3}(h)$ .

Ta có phương trình

$t_{1} + t_{2} = \frac{60}{v} - 0,75 \Leftrightarrow \frac{45}{v} + \frac{30}{v + 3} = \frac{60}{v} + 0,75$

Giải phương trình suy ra: $v = 12$ km/h.
Câu 28: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 4^{x}$ và $F(1) = \dfrac{1}{\ln2}$ . Khi đó giá trị $F(2)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{\ln2}$
- B.
  $\frac{8}{\ln2}$
- C.
  $\frac{9}{\ln2}$
- D.
  $\frac{3}{\ln2}$
Ta có $\int_{}^{}{4^{x}dx = \frac{1}{\ln4}.4^{x} + C = F(x)}$

Mà $F(1) = \frac{1}{\ln2} \Leftrightarrow \frac{4}{\ln4} + C = \frac{1}{\\ln2} \Leftrightarrow C = - \frac{1}{\ln2}$ .

Do đó $F(2) = \frac{1}{\ln4}.4^{2} - \frac{1}{\ln2} = \frac{16}{2\ln2} - \frac{1}{\ln2} = \frac{7}{\ln2}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

Với giá trị nào của $m > 0$ thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2}$ và $y = mx$ bằng $\frac{4}{3}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

$\int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2$ .
Câu 30: Vận dụng
Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $\left( P ight): y= {x^2} - 1$ và hai tiếp tuyến của $\left( P ight)$ tại $A\left( { - 1;0} ight);B\left( {2;3} ight)$
- A. $\frac{9}{4}$
- B. $\frac{3}{2}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{4}{5}$
Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là: $\left( {{d_2}} ight):y = - 2x - 2$
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là: $\left( {{d_1}} ight):y = 4x - 5$
Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:
$\begin{matrix} S = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} - 1 - ( - 2x - 2)} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 1 - (4x - 5)} ight)} {\text{d}}x \hfill \\ = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} + 2x + 1} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} ight)} {\text{d}}x \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x} ight)} ight|_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} + \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{9}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 32: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho $a$ là số thực dương. Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack$ thỏa mãn $F\left( \frac{1}{a} ight) = 0$ và $F(2018) = e^{2018}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$
- B.
  $a \in \left( 0;\frac{1}{2018} ightbrack$
- C.
  $a \in \lbrack 1;2018)$
- D.
  $a \in \lbrack 2018; + \infty)$
Ta có:

$f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack$ $= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'$ $= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'$

$\Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)$ $\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}$

$\Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}$

Vậy $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$ .
Câu 33: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Đáp án là:

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x},y = x - 2.$

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.$

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).$
Câu 34: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:
- A.
  Chỉ có (I) đúng.
- B.
  Chỉ có (II) đúng.
- C.
  Cả hai đều đúng.
- D.
  Cả hai đều sai.
Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."
Câu 35: Nhận biết
Tìm câu sai

Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A. $\int_{}^{}{k.f(x)dx = k.\int_{}^{}{f(x)dx}}$ với k là hằng số
- B. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx - \int_{}^{}{g(x)dx}}}$
- C. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx.}\int_{}^{}{g(x)dx}}$
- D. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}}$
Đáp án sai là: $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx.}\int_{}^{}{g(x)dx}}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tính quãng đường S

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$
Câu 37: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Biết $I = \int_{0}^{4}{x\ln(2x + 1)dx} = \frac{a}{b}ln3 - c$ , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = 60$
- B.
  $S = 70$
- C.
  $S = 72$
- D.
  $S = 68$
Ta có:

$I = \int_{0}^{4}{x\ln(2x + 1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \ln(2x + 1) = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{2}{2x + 1}dx = du \\ \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{1}{8} = v \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{0}^{4}{udv} = \left. \ uv ight|_{0}^{4} - \int_{0}^{4}{vdu}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} ight)\ln|2x + 1| ight|_{0}^{4} - \int_{0}^{4}{\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} ight).\frac{2}{2x + 1}dx}$

$= \frac{63}{8}ln9 - \int_{0}^{4}{\frac{4x^{2} - 1}{4(2x + 1)}dx} = \frac{63}{8}ln9 - \frac{1}{4}\int_{0}^{4}{(2x - 1)dx}$

$= \frac{63}{8}ln9 - \left. \ \frac{1}{4}\left( x^{2} - x ight) ight|_{0}^{4} = \frac{63}{4}ln3 - 3$

$\Rightarrow a = 63;b = 4;c = 3 \Rightarrow S = 63 + 4 + 3 = 70$
Câu 38: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} + x$ là
- A.
  $2^{x} + x^{2} + C$ .
- B.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + x^{2} + C$ .
- C.
  $2^{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
- D.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Câu 39: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một nguyên hàm của $f(x) = \frac{x}{sin^{2}x}$ là :
- A.
  $x\cot x - \ln|sinx|$
- B.
  $- x\cot x + \ln\left( \sin x \right)$
- C.
  $- x\tan x + \ln|cosx|$
- D.
  $x\tan x - \ln\left| \sin x \right|$
Ta có: $I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó: $I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}$ $= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C$
Câu 40: Vận dụng cao
Chọn công thức đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}$ biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của $3e^2F(x)$ ?
- A. ${e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}$
- B. $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
- C. ${e^{{x^3} - 3x}} + {e^2}$
- D. $e^{{x^3} - 3x} - 1$
Ta có:
$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }$
Mà $F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
$\begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=> $F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}$
=> $F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}$ Hay $3e^2F(x) =$ $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

36 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 12
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1 Hình: Khối đa diện
Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1 Hình: Khối đa diện

Chương 2 Hình: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian