Định nghĩa và tính chất của nguyên hàm
Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Nguyên hàm bao gồm định nghĩa, tính chất nguyên hàm và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
A. Nguyên hàm là gì?
\(f(x)\) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F’(x) = f(x)\) với mọi x thuộc K.Minh họa trực quan:
Ví dụ: \(F(x)=x^4\) là một nguyên hàm của hàm số \(d(x)=4x^3\) vì \(F’(x)=(x^4)’=4x^3=f(x)\)
Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C thì hàm số \(F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên K.
Chứng minh ĐL1:
Do \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nân ta có \(F'(x) =f(x)\)
Khi \(G'(x)=F'(x)+(C)'=f(x)\)
Vậy \(G(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)
Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F\left( x \right) + C\) với C là một hằng số.
Chứng minh ĐL2:
Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, ta có \(G'(x)=f(x), x \in K\).
Khi đó \((G(x)-F(x))'=G'(x)-F'(x)=0\)
Suy ra \(G(x) - F(x) =C\) (C là hàm số không đổi)
Định lí 3: Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
B. Tính chất nguyên hàm
Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số liên tục trên K thì:
Tính chất 1: \(\int {f'\left( x \right) = f\left( x \right) + C}\)
Tính chất 2: \(\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} }\) với k là số thực khác 0
Tính chất 3: \(\int {\left[ {a.f\left( x \right) + b.g\left( x \right)} \right]} dx = a\int {f\left( x \right)dx} + b\int {g\left( x \right)dx}\) với a, b là hai số thực khác 0
Tính chất 4: Với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \(a \ne 0\) ta có: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\)
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số \(2\sin x + 3\cos x\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{matrix}
\int {\left[ {2\sin x + 3\cos x} \right]} dx \hfill \\
= 2\int {\sin xdx} + 3\int {\cos xdx} \hfill \\
= 2.\left( { - \cos x} \right) + 3.\sin x + C \hfill \\
= - 2\cos x + 3\sin x + C \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{2x + 1}}\)
Hướng dẫn giải
\(\int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\)
