Phương trình đường thẳng
Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình đường thẳng bao gồm định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng và điều kiện để xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
1. Phương trình đường thẳng
Định nghĩa:
Cho đường thẳng 
\(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) với \({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó \(\Delta\) có phương trình tham số là :
\(\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\
y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\
z = {z_0} + {a_2}t \hfill \\
\end{gathered} \right.;{\text{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Ví dụ: Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;3;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{gathered}
x = - 2 + t \hfill \\
y = 3 - 2t \hfill \\
z = 1 + 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Nhận xét:
Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) sao cho \({a_1}{a_2}{a_3} \ne 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó \(\Delta\) có phương trình chính tắc là :
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Ví dụ:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{gathered}
x = 2 + t \hfill \\
y = - 3t \hfill \\
z = - 1 + 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là?
Giải:
Cách 1:
\(d\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1; - 3;5} \right)\)
Vậy phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Cách 2:
Theo đề bài, rút tham số \(t\) trong mỗi phương trình, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=-3t \\ z=-1+5t \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2=t \\ \dfrac {y}{-3}=t \\ \dfrac {z+1}{5}=t \end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
2.1. Vị trí tương đối
Cho 2 đường thẳng:
\(d:\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\
y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\
z = {z_0} + {a_3}t \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(d\) qua M, có VTCP \({\vec u_d}\)
\(d':\left\{ \begin{gathered} x = {x'_0} + {a'_1}{t'} \hfill \\ y = {y'_0} + {a'_2}{t'} \hfill \\ z = {z'_0} + {a'_3}{t'} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(d'\) qua N, có VTCP \({\vec u_{d'}}\)
Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng \(d\) và \(d'\) có 4 trường hợp xảy ra:
- TH1: \(d\) và \(d'\) song song với nhau
\(d \parallel d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\vec u}_d} = k{{\vec u}_{d'}} \hfill \\ M \notin {d'} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
- TH2: \(d\) và \(d'\) trùng nhau
\(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{{\vec u}_d} = k{{\vec u}_{d'}} \hfill \\
M \in {d'} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
- TH3: \(d\) và \(d'\) cắt nhau
\(d \cap d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\vec u}_d}\, \mbox { không cùng phương } \,{{\vec u}_{d'}} \hfill \\ \left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
- TH4: \(d\) và \(d'\) chéo nhau
\(d\) chéo \(d'\) \(\Leftrightarrow \left[ {{{\vec a}_d},{{\vec a}_{d'}}} \right].\overrightarrow {MN} \ne 0\)
2.2. Nhận xét
Ngoài ra, vị trí tương đối của 2 đường thẳng còn có mối liên hệ mật thiết với hệ phương trình tại hoành độ, tung độ và cao độ của các giao điểm.
Xét hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{gathered}
{x_0} + {a_1}t = {{x'}_0} + {{a'}_1}{t'} \hfill \\
{y_0} + {a_2}t = {y'_0} + {{a'}_2}{t'} \hfill \\
{z_0} + {a_3}t = {z'_0} + {{a'}_3}{t'} \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,(*)\)
- Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) \(d\) và \(d'\) cắt nhau
- Hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(d\) và \(d'\) song song hoặc chéo nhau
- Hệ vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(d\) và \(d'\) và trùng nhau
Chú ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của \(d\) và \(d'\)
Ví dụ 1:
Trong không gian , cho hai đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}\)và \(d^\prime:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}\). Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng?
Giải:
+) Theo đề bài, ta có:
\(d\) có VTCP \(\vec{u}=(2;1;4)\) và đi qua \(M(1;7;3)\)
\(d'\)có VTCP \(\vec{u^\prime}=(3;-2;1)\) và đi qua \(M^\prime(6;-1;-2)\)
+) Từ đó ta có:
\(\vec{MM^\prime}=(5;-8;-5)\) và \(\left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]=(9;10;7)\neq\vec{0}\)
Lại có \(\left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]\cdot\vec{MM^\prime}=0\)
Suy ra \(d\) cắt \(d'\)
Ví dụ 2:
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(d:\ \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=t\\\end{matrix}\right.\) và \(d^\prime:\left\{\begin{matrix}x=-2t\\y=-5+3t\\z=4+t\\\end{matrix}\right.\).
Giải:
+) Theo đề bài, ta có:
\(d\) có VTCP \(\vec{u}=(2;-2;1)\) và đi qua \(M(1;2;0)\)
\(d'\) có VTCP \(\vec{u^\prime}=(-2;3;1)\) và đi qua \(M^\prime(0;-5;4)\)
+) Từ đó ta có
\(\overrightarrow{MM^\prime}=(-1;-7;4)\) và \(\left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]=(-2;1;6)\neq\vec{0}\)
Lại có \(\left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]\cdot\overrightarrow{MM^\prime}=19\neq0\)
Suy ra \(d\) chéo nhau với \(d'\).
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\
y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\
z = {z_0} + {a_3}t \hfill \\
\end{gathered} \right.\) và mp \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\)
Xét hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + {a_1}t}&{(1)} \\
{y = {y_0} + {a_2}t}&{(2)} \\
{z = {z_0} + {a_3}t}&{(3)} \\
{Ax + By + Cz + D = 0}&{(4)}
\end{array}} \right.\,\,\,(*)\)
- (*) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) \(d\) cắt \((\alpha )\)
- (*) có vô nghiệm\(\Leftrightarrow\) \(d \, \parallel (\alpha)\)
- (*) vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(d \subset (\alpha)\)
Ví dụ:
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix}x=2-t\\y=-3+t\\z=1+t\\\end{matrix}\right.\) và mặt phẳng \((P):m^2x-2my+(6-3m)z-5=0\).
Tìm m để \(d\parallel (P)\)
Giải:
+) Ta có \(d\) đi qua \(M(2;-3;1)\) và có VTCP \(\vec{u}(-1;1;1)\)
+) Mặt khác, xét \((P)\) có VTPT \(\vec{n}\left(m^2;-2m;6-3m\right)\)
+) Để \(d\) song song với \((P)\) thì \(\left\{\begin{matrix}\vec{u}\bot\vec{n}\\M\notin(P)\\\end{matrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\vec{u}\cdot\vec{n}=0\\M\notin(P)\\\end{matrix}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(-1\right)\cdot m^2-2m+6-3m=0\\2m^2-2.\left(-3\right)m+6-3m\neq0\ \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-m^2-5m+6=0\\2m^2-m-4\neq0\\\end{matrix}\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}m=1\\m=-6\\\end{matrix}\right.\right.\)
