Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho điểm . Mặt cầu có tâm và đi qua hai điểm có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm có bán kính bằng . Phương trình của là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính bằng
có phương trình là:
Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu
Cho mặt cầu (S): và điểm . Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).
Ta có:
cắt
Hai giao điểm
Tìm hệ thức liên hệ
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
Công thức tính thể tích , suy ra
Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:
Xét hàm trên
, ta được
đạt tại
.
Mệnh đề đúng
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho với dương. Biết di động trên các tia sao cho . Biết rằng khi thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .
+) Gọi lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn
.
Suy ra
+) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì
.
Tìm được
+), do đó
+) .
Tính khoảng cách
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng . Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Xác định phương trình mặt cầu
Cho điểm và đường thẳng . Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho là:
Đường thẳngđi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên (d).
Ta có:
.
Vậy phương trình mặt cầu:
Tìm bán kính của đường tròn
Cho mặt cầu tâm I bán kính . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
.
Vậy .
Tính tỉ số
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, . Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số nhận giá trị nào sau đây?
Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Độ dài đường sinh
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và . Độ dài đường sinh của hình nón bằng:
Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Độ dài đường sinh
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và . Độ dài đường sinh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:
Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Tìm phương trình mặt cầu thích hợp
Cho đường thẳng và điểm . Phương trình mặt cầu đi qua điểm và có tâm là giao điểm của với mặt phẳng là:
Mặt phẳng có phương trình
Tâm là giao điểm của
với mặt phẳng
Bán kính mặt cầu là:
Vậy phương trình của mặt cầu là .
Lưu ý : Để làm được bài này học sinh phải nhớ được phương trình tổng quát của mặt phẳng và loại ngay được đáp án
Tính thể tích khối trụ
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Tính bán kính đáy
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
