Khái niệm số phức
Bài học Lí thuyết toán 12: Khái niệm số phức giúp các em làm quen với số phức qua các mục kiến thức: số ảo là gì, khái niệm số phức, hai số phức bằng nhau khi nào. Bên cạnh đó, trong bài học này đã kèm theo những ví dụ bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12.
1. Số i
Số 
\(i\) giúp mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc \(n\) đều có nghiệm.
Số \(i\) mà \({i^2} = - 1\) được gọi là đơn vị ảo.
Ví dụ: Tính:
\(i^{105} + i^{23} + i^{20} – i^{34}\)
Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:
Ta có: \(i^2 = -1; i^3 = -i; i^4 = i^3.i = 1; i^5 = i; i^6 = -1…\)
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được:\(i^{4n} = 1; i^{4n+1} = i; i^{4n+2} = -1; i^{4n+3} = -i\); \(\forall n \in \mathbb{N^*}\)
Vậy \(i^n \in \{-1;1;-i;i\}, \forall n \in \mathbb{N}\)
Nếu n nguyên âm,\(i^n = (i-1)^{-n} =(\frac{1}{i})^{-n}=(-i)^{-n}\)
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
\(i^{105} + i^{23} + i^{20} – i^{34} = i^{4.26+1} + i^{4.5+3} + i^{4.5} – i^{4.8+2} = i – i + 1 + 1 = 2\)
Chú ý:
\({i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i\)
2. Định nghĩa số phức
2.1. Định nghĩa
Số phức (đại số) có dạng là: \(z=a+bi\) với \(a, b \in \mathbb{R}\)
Trong đó, \(a\) là phần thực, \(b\) là phần ảo, i là đơn vị ảo,\(i^2 = –1\)
Ví dụ:
a) Số phức \(z=1+2i\) có phần thực là 1, phần ảo là 2
b) Số phức \(z=\sqrt 2 -3i\) có phần thực là \(\sqrt 2\), phần ảo là \(-3\).
2.2. Nhận xét
Cho số phức \(z=a+bi\) với \(a, b \in \mathbb{R}\)
- \(z\) là số thực \(\Leftrightarrow\) phần ảo của z bằng 0 \(\Leftrightarrow\)\(b = 0\)
- \(z\) là thuần ảo \(\Leftrightarrow\) phần thực của z bằng 0 \(\Leftrightarrow\)\(a = 0\)
- Số \(0 = 0 + 0i\) vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ:
Số phức \(z= 2023\) là một số thực vì có phần thực là 2023 và phần ảo là 0.
Số phức \(z=-3i\) là một số thuần ảo vì có phần thực bằng 0 và phần ảo là -3.
2.3. Tập hợp số phức
Tập hợp số phức: \(\mathbb C = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb R;{i^2} = - 1} \right\}\)
Tập số thực \(\mathbb R\) là tập con của tập số phức \(\mathbb C\).
3. Số phức bằng nhau
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau:
\(a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right.\quad (a,b,c ,d \in \mathbb R)\)
Ví dụ:
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
\(3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i\)
Giải: Theo giả thiết: \(3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i\)
\(\Leftrightarrow\) \((3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y = 2y - 1\\
5x = x - y
\end{array} \right.\)
Giải hệ này ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{1}{7}\\
y = \dfrac{4}{7}
\end{array} \right.\)
