Góc và khoảng cách
Bài học Lí thuyết toán 12: Góc và khoảng cách là phần kiến thức tiếp theo của phương trình đường thẳng, bao gồm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12.
1. Góc
1.1. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian 
\(Oxyz\), cho:
\({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}}\)
\({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}}\)
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Ta có công thức tính cosin góc \(\varphi\):
\(\boxed{\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}}\)
1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho:
\(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }}\)
\(\left( \alpha \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{b_\alpha }}\)
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\left( \alpha \right)\). Ta có công thức tính sin góc \(\varphi\):
\(\boxed{\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{b_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{b_\alpha }} } \right|}}}\)
Ví dụ:
Tính góc của hai đường thẳng \(\left( m \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}\) và \(\left( d \right):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Giải:
- Theo đề bài, hai đường thẳng \((m)\) và \((d)\) có vectơ chỉ phương tương ứng lần lượt là: \(\overrightarrow a = \left( {2,4,4} \right);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} \right)\)
- Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, ta có:
\(\Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} \right|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}\)
2. Khoảng cách
2.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }}\)
Ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là:
\(\boxed{d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|}}}\)
2.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trong không gian \(Oxyz\), cho:
\({\Delta _1}\) đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}}\)
\({\Delta _2}\) đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}}\)
Ta có công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là:
\(\boxed{d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right){\text{ = }}\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]} \right|}}}\)
Ví dụ:
Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
\(({d_1}):\left\{ \begin{gathered}
x + y = 0 \hfill \\
x - y + z + 4 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) và \(({d_2}):\left\{ \begin{gathered}
x + 3y - 1 = 0 \hfill \\
y + z - 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Giải:
- Chuyển \(({d_1})\)về dạng tham số, ta được: \(\left\{ \begin{gathered}
x = t \hfill \\
y = - t \hfill \\
z = - 4 - 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Suy ra: \(A(0,0, - 4) \in (d_1)\) và vectơ chỉ phương của \((d_1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2)\)
- Chuyển \(({d_2})\)về dạng tham số, ta được : \(\left\{ \begin{gathered}
x = - 5 + 3t \hfill \\
y = 2 - t \hfill \\
z = t \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Suy ra: \(B( - 5,2,0) \in (d_2)\) và vectơ chỉ phương của \({(d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1)\)
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có khoảng cách \(({d_1})\) và \(({d_2})\):
\(d((d_1),(d_2)) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}\)
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) cần tìm là \(d = \frac{9}{{\sqrt {62} }}\).
