Giải SBT Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Giải SBT Toán 10 KNTT tập 1 Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ
Giải SBT Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ – Kết nối tri thức với cuộc sống cung cấp lời giải bài tập dễ hiểu, bám sát nội dung sách giáo khoa. Qua đó, học sinh nắm vững quy tắc cộng, trừ vectơ, biết cách vận dụng kiến thức vào từng dạng bài và nâng cao kỹ năng giải Toán 10 hiệu quả.
Giải SBT Toán 10 trang 50
Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10
Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) không cùng phương. Chứng minh rằng:
\(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Hướng dẫn giải:
Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}\)
Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}\) (quy tắc ba điểm)
Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {\vec a} \right| = \overrightarrow {AB} \\
\left| {\vec b} \right| = \overrightarrow {BC} \\
\left| {\vec a + \vec b} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|
\end{array} \right.\)
Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
AB – BC < AC < AB + BC
Hay \(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) (điều phải chứng minh)
Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10
Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
Hướng dẫn giải:
a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O
=> O là trung điểm của AC và BD và \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\)
Xét tam giác ODN và tam giác OBM có:
OD = OB (do O là trung điểm của BD),
\(\widehat {DON} = \widehat {BOM}\) (hai góc đối đỉnh),
\(\widehat {NDO} = \widehat {MBO}\) (Vì \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\))
⇒ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)
⇒ ON = OM (hai cạnh tương ứng) ⇒ O là trung điểm của NM.
Vậy O là trung điểm của NM.
b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 {\rm{ }}\left( * \right)
\end{array}\)
Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)
⇒ BMDN là hình bình hành
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {ND} \Rightarrow - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {ND} \\
\Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0
\end{array}\)
Thay vào (*) ta được \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} = \vec 0\)
⇒ G là trọng tâm tam giác MNC.
Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.
Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10
Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \vec 0\)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}\)
Hướng dẫn giải:
a) Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \\
= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA}
\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \vec 0\)
b) Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}
\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}\).
Giải SBT Toán 10 trang 51
Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE}\)
b) Xác định điểm M thoả mãn \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA}\).
c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE}\)
\(= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA}\) (vì E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CE}\))
\(\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA} \\
= \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {EA} } \right) + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB}
\end{array}\)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB
Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ EF // BC và \(EF = \frac{1}{2}BC\)
Mà D là trung điểm của BC nên \(BD = \frac{1}{2}BC\)
Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, \(EF = BD = \frac{1}{2}BC\)
⇒ EFBD là hình bình hành
=> \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {EF}\)
Khi đó:
\(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE}\)
\(= \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB}\)\(= 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CB}\) (do D là trung điểm của BC)
Vậ \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB}\)
b) Điểm M thoả mãn \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA}\)
Mà \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB}\) (câu a)
Nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {MA}\)
Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)
Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.
c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)
Nên \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}\)(theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)
Vậy \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}\).
Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10
Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}\) cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AE}\) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}\) và hợp lực \(\overrightarrow {{F}}\) của \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}\) (hình vẽ dưới đây).
Khi đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}\) nên tứ giác ABEC là hình bình hành
Lại có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên ABEC là hình chữ nhật
Khi đó: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}}\) (theo Pythagore)
Hay \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = 50\left( N \right)\)
Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực \(\overrightarrow {{F}}\) và \(\overrightarrow {{F_3}}\) ngược hướng và có cường độ bằng nhau
Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ đối nhau
Do đó cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}}\) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 50\left( N \right)\)
Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}}\) bằng 50 N.
Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10
Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}\) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}\) bằng 60°. Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}}\), biết \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 2\sqrt 3 \left( N \right)\)
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AE}\) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}\) và hợp lực \(\overrightarrow {{F}}\) của \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}\) (hình vẽ dưới đây).
Khi đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}\) nên tứ giác ABEC là hình bình hành
Lại có góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}\) bằng 60° nên \(\widehat {BAC} = {60^0}\)
=> \(\widehat {ECA} = {180^0} - \widehat {BAC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:
\(\begin{array}{l}
A{E^2} = A{C^2} + E{C^2} - 2.AC.EC.\cos \widehat {ECA}\\
A{E^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .\cos {120^0}\\
A{E^2} = 36 \Rightarrow AE = 36
\end{array}\)
=> \(\left| {\vec F} \right| = 6\left( N \right)\)
Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow {{F}}\) và \(\overrightarrow {{F_3}}\) ngược hướng và có cường độ bằng nhau
Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ đối nhau
Do đó độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}}\) là: \(\left| {\vec F} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = 6\left( N \right)\)
Vậy độ lớn của lực bằng 6 N.
---------------------------------------------
Hy vọng bài viết Giải SBT Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ giúp các em hiểu rõ kiến thức trọng tâm, vận dụng thành thạo các quy tắc vectơ và hoàn thành tốt bài tập trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kết quả học tập.
