Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 71 tập 1
Giải SBT Toán 10 KNTT trang 71 Bài tập cuối chương 4
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 71 tập 1 hướng dẫn các bài tập thuộc Bài tập cuối chương 4. Lời giải được trình bày rõ ràng, bám sát kiến thức Toán 10 KNTT tập 1, giúp học sinh dễ dàng kiểm tra cách làm và củng cố kiến thức đã học.
Giải bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng 
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \\
\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \\
\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD}
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \\
= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} \\
= 0
\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Giải bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\)
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ;\overrightarrow b .\overrightarrow c ;\overrightarrow c .\overrightarrow a\)
b) Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b+\overrightarrow c\)
Hướng dẫn giải:
a) Với \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow a .\overrightarrow b = \;1.3 + 2.\left( {-4} \right) = 3-8 = - 5\\
\overrightarrow b .\overrightarrow c = 3.\left( {-5} \right) + \left( {-4} \right).3 = -15-12 = -27\\
\overrightarrow c .\overrightarrow a = \left( {-5} \right).1 + 3.2 = -5 + 6 = 1
\end{array} \right.\)
b) Với \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow a } \right| = \;\sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \\
\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \\
\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = 1.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = - 2 - 2 = - 4
\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\cos \left[ {\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)} \right] = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = - \frac{4}{5}\\
\Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)} \right)} = {143^0}7'48''
\end{array}\)
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) khoảng 143°7'48''.
Giải bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right)\)
Vì \(\frac{3}{7} \ne \frac{3}{{ - 3}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương
Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}\\
{y_G} = \frac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G(4/3;1) .
b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC
Hay \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0;\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)
Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC
Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} = \left( {x + 2;y - 1} \right)\\
\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {x + 2} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2x - 3y = - 7{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BH} = \left( {x - 1;y - 4} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 7\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 7x - 3y = - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array}\)
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2
⇒ \(x = \frac{2}{5}\)
Thay \(x = \frac{2}{5}\) vào (1) ta được:
\(2.\frac{2}{5} - 3y = - 7 \Rightarrow 3y = \frac{{39}}{5} \Rightarrow y = \frac{{39}}{{15}} \Rightarrow H\left( {\frac{2}{5};\frac{{39}}{{15}}} \right)\)
Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{39}}{{15}}} \right)\)
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM}\) với M là trung điểm của BC.
Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), H(25;135) và I(a; b) ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{12}}{5};\frac{8}{5}} \right)\)
M là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\
{y_M} = \frac{{4 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 1
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow M\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {3 - a;1 - b} \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {IM} = \left( {6 - 2a;2 - 2b} \right)
\end{array}\)
Ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{12}}{5} = 6 - 2a\\
\frac{8}{5} = 2 - 2b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{9}{5}\\
b = \frac{1}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(95;15).
Giải bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).
a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.
b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.
c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC}\) có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.
Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;6} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {a - 5; - 3} \right)\)
Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD}\) là hai vectơ cùng phương
\(\Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{ - 7}} = \frac{{ - 3}}{6} \Leftrightarrow 2\left( {a - 5} \right) = 7 \Leftrightarrow a = \frac{{17}}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\)
Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\) là điểm cần tìm.
b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành
Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB
Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB
Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox
⇔ 3 điểm A, E, B thẳng hàng
⇔ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ cùng phương
\(\Leftrightarrow \frac{{b - 2}}{3} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\left( {b - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow b = \frac{{11}}{4} \Rightarrow E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\)
Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.
Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right);\overrightarrow {AE} = \left( {b - 2;1} \right)\)
=> \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ cùng phương
Vậy \(E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\) là điểm cần tìm.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\\
{y_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 9}}{3} = \frac{{11}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)
Với điểm F bất kì ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = 3\overrightarrow {FG} \\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG
\end{array}\)
Để vectơ \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC}\) có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất
Mà F là điểm nằm trên trục tung
Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.
⇒ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 11/3
Vậy F(0;11/3).
Giải bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.
Trọng lực của ô tô có độ lớn là: \(\left| {\overrightarrow P } \right| = mg = 2500.10 = 25000\left( N \right)\)
Trọng lực \(\overrightarrow P\) của ô tô hợp với hướng chuyển dời \(\overrightarrow {MN}\) một góc là:
α = 90° + 15° = 105°.
Trọng lực \(\overrightarrow P\) được phân tích thành hai thành phần \(\overrightarrow {{P_1}} ;\overrightarrow {{P_2}}\) nên ta có: \(\overrightarrow {{P}} =\overrightarrow {{P_1}} +\overrightarrow {{P_2}}\)
\(\overrightarrow {{P_1}}\) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}}\) có phương song song với mặt dốc)
Ta thấy \(\overrightarrow {{P_1}}\) không có tác dụng với chuyển dời \(\overrightarrow {MN}\) của xe và \(\overrightarrow {{P_2}}\) ngược hướng với \(\overrightarrow {MN}\).
Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:
\(\begin{array}{l}
A = \overrightarrow P .\overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ;\overrightarrow {MN} } \right)\\
= 25000.50.\cos {105^0} = - 323525\left( J \right)
\end{array}\)
Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.
--------------------------
Qua Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 71 tập 1, học sinh có thể ôn luyện các dạng bài tổng hợp của chương 4 và chủ động đối chiếu kết quả. Nội dung hỗ trợ rèn phương pháp giải, nâng cao kỹ năng và học tốt Toán 10 KNTT.
