Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 69 tập 1
Giải SBT Toán 10 KNTT trang 69 Bài tập cuối chương 4
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 69 tập 1 hướng dẫn các bài tập thuộc Bài tập cuối chương 4. Lời giải được trình bày rõ ràng, bám sát kiến thức Toán 10 KNTT tập 1, giúp học sinh dễ dàng kiểm tra cách làm và củng cố kiến thức đã học.
Giải bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là
A. m = –2;
B. m = 2;
C. m = ±2;
D. m = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:
Để AB ⊥ OC thì 
\(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {OC}\)
⇔ −3.3m + 6.(2m – 1) = 0
⇔ −9m + 12m – 6 = 0
⇔ 3m = 6
⇔ m = 2.
Vậy ta chọn phương án B.
Giải bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {NP}\) bằng
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(- \frac{1}{2}\)
C. 0;
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
H ình vẽ minh họa
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
2BM = MC \Rightarrow \frac{{MC}}{{BM}} = \frac{2}{1}\\
CN = 2NA \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1}\\
AP = 2PB \Rightarrow \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{1}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{MC}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{{AP}}{{PB}}\)
⇒ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)
⇒ ANMP là hình bình hành
Mặt khác: \(\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA + CN}} = \frac{2}{{1 + 2}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}\)
MN // AB ⇒ \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{3}\)
⇒ \(MN = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\)
\(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow CN = \frac{2}{3}CA = \frac{2}{3}.2 = \frac{4}{3}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow AN = 2 - \frac{4}{3} \Rightarrow AN = \frac{2}{3}\\
\Rightarrow MN = AN = \frac{2}{3}
\end{array}\)
Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi
=> Hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau
=> \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
Vậy ta chọn phương án C.
Giải bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng
A. \(\frac{5}{{12}}\)
B. \(\frac{7}{{12}}\)
C. \(\frac{5}{7}\)
D. \(\frac{7}{5}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
H ình vẽ minh họa
Đặt \(\frac{{AP}}{{AB}} = x;\left( {x > 0} \right)\)
Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC + BM}} = \frac{2}{{1 + 2}}\\
\Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}
\end{array}\)
Tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {AP} = x.\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}.\overrightarrow {AC}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
Tương tự ta tính được:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
= x\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
Mặt khác ta có: AM ⊥ NP
⇔ \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP}\) ⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {x\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \frac{1}{3}x{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AC} \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}x.\overrightarrow {AC} \overrightarrow {AB} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array}\)
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = AC.AB.\cos \widehat {BAC} = 1.1.\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{3}x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow x = \frac{5}{{12}}\left( {tm} \right)\\
\Rightarrow \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}
\end{array}\)
Ta chọn phương án A.
Giải bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ và bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)
B. \(-\frac{{{a^2}}}{2}\)
C. \({a^2}\)
D. \(-{a^2}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC + BM}} = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}\\
\Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}
\end{array}\)
Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \\
= - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\\
= - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\
= \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2}
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\\
= - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\
= \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2}
\end{array}\)
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = AC.AB.\cos \widehat {BAC} = 3a.3a.\cos {60^0} = \frac{{9{a^2}}}{2}\)
Khi đó: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}.\left( {\frac{{9{a^2}}}{2}} \right) + \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2} - \frac{2}{9}.{\left( {3a} \right)^2} = - \frac{1}{2}{a^2}\)
Ta chọn phương án B.
Giải bài 4.58 trang 69 SBT toán 10 tập 1 KNTT
Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} } \right|\) là:
A. đường tròn tâm A bán kính BC.
B. đường thẳng đi qua A và song song với BC.
C. đường tròn đường kính BC.
D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BC} \\
\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {MA}
\end{array} \right.\).
Khi đó:
\(\left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| \Leftrightarrow BC = MA\)
Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).
Vậy ta chọn phương án A.
Giải bài 4.59 trang 69 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác vecto 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB}\);những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB}\).
b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD
Nên MN là đường trung bình của hình bình hành
⇒ MN // AB // DC và MN = AB = DC.
⇒ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MN}\)
Vậy những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB}\) là: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MN}\)
Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD
Do đó NO là đường trung bình của tam giác ADC
⇒ NO // DC
Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC
Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Vậy những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB}\) là:\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {NO} ;\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {NM} ;\overrightarrow {DC}\)
b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác
Mà AM cắt BO tại I
Do đó I là trọng tâm của DABC.
⇒ \(BI = \frac{2}{3}BO;OI = \frac{1}{2}BI\) (tính chất trọng tâm) (1)
Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.
⇒ \(DJ = \frac{2}{3}DO;OJ = \frac{1}{2}DJ\) (tính chất trọng tâm) (2)
Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = \(\frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}DJ\)
Mà \(\;IJ = IO + OJ = \frac{1}{2}BI + \frac{1}{2}BI = BI = DJ\)
Vậy\(IJ = BI = DJ\)
----------------------------
Qua Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 69 tập 1, học sinh có thể ôn luyện các dạng bài tổng hợp của chương 4 và chủ động đối chiếu kết quả. Nội dung hỗ trợ rèn phương pháp giải, nâng cao kỹ năng và học tốt Toán 10 KNTT.
