Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4

Giải SBT Toán 10 KNTT tập 1 Bài tập cuối chương 4

Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 – Kết nối tri thức giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, tọa độ vectơ và tích vô hướng của hai vectơ. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, hỗ trợ các em hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 10 hiệu quả. 

Giải SBT Toán 10 trang 66

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 10

A. 6;                   B. 3;               C. 4;              D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

H ình vẽ minh họa

Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} {\rm{ }}\) là: \(\overrightarrow {AC} {\rm{ }};\overrightarrow {CA} {\rm{ }};\overrightarrow {AO} {\rm{ }};\overrightarrow {OA} {\rm{ }};\overrightarrow {OC} {\rm{ }};\overrightarrow {CO} {\rm{ }}\)

Vậy có 6 vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} {\rm{ }}\).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 10

Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

H ình vẽ minh họa

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

\(\overrightarrow {AB} {\rm{ }};\overrightarrow {CB}\) ngược hướng. Do đó phương án A sai.

\(\overrightarrow {CA} {\rm{ }};\overrightarrow {BC}\) ngược hướng. Do đó phương án B sai.

\(\overrightarrow {AB} {\rm{ }};\overrightarrow {AC}\) cùng hướng. Do đó phương án C đúng.

\(\overrightarrow {AC} {\rm{ }};\overrightarrow {BA}\) ngược hướng. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Giải SBT Toán 10 trang 67

Bài 4.41 trang 67 SBT Toán 10

A. 2;               B. 6;                     C, 4;           D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hình vẽ minh hoa:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD

=> ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)

=> AB = NL = CD

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

=> Đường trung bình NL đi qua O và NO = OL = 1/2NL=1/2AB=1/2CD

=> AK = KB = NO = OL = DM = MC.

Khi đó các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK}\) là: \(\overrightarrow {KB} {\rm{ }};\overrightarrow {OL} {\rm{ }};\overrightarrow {DM} {\rm{ }};\overrightarrow {MC}\)

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK}\).

Ta chọn phương án C.

Bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10

A. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}\)           B. \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC}\)           C. \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\)          D. \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hình vẽ minh họa:

Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD => \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)

Do đó phương án A là sai.

Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó \(\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow {AC}\)

Do đó phương án B là sai.

Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét ΔABD có AB = AD = 1 và \(\widehat {DAB} = {120^0}\), áp dụng định lí cosin ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cos\(\widehat {DAB}\)

⇒ BD² = 1²+ 1² – 2.1.1.cos120°

⇒ BD² = 3

⇒ BD = \(\sqrt 3\) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 3\)

Do đó phương án C là sai.

Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác \(\widehat {DAB} = {120^0}\) nên \(\widehat {DAC} = {180^0} - \widehat {DAB} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có \(\widehat {ADC} = {60^0}\)

Suy ra tam giác ADC là tam giác đều

⇒ AC = AD = CD = 1.

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1\)

Do đó phương án D là đúng.

Bài 4.43 trang 67 SBT Toán 10

A. \(\sqrt 3\)                           B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)                          C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)                            D. \(2\sqrt 3\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình vẽ minh họa:

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {\left( {\overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + 2AB.AC.\cos {60^0} + A{C^2} = 4A{M^2}\\ \Rightarrow {3^2} + 2.3.3.\cos {60^0} + {3^2} = 4A{M^2}\\ \Rightarrow 27 = 4A{M^2} \Rightarrow A{M^2} = \frac{{27}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array}\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2/ AM

⇒ \(AG = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3\)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \sqrt 3\)

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.44 trang 67 SBT Toán 10

A. \(\sqrt {13}\)             B. \(2\sqrt {13}\)           C. 4;        D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB}\)

Khi đó CD // AB và CD = AB (1)

Ta có: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD}\)

Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.

Khi đó CD // BE và CD = BE (2)

Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE

Do đó B là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AB = 2.3 = 6.

Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

CE² = AC² + AE² = 4² + 6² = 5²

⇒ \(CE = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE}\) (quy tắc hình bình hành)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CE} } \right| = CE = 2\sqrt {13}\)Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.45 trang 67 SBT Toán 10

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và . Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA}\) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = {60^0}\)

Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

⇒ \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB}\)

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành

Khi đó \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}\)

Hình bình hành ABDC có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.

=> AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = AD = BC = 4\)

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.46 trang 67 SBT Toán 10 

Cho tam giác ABC và điểm I sao cho \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0\). Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC}\)

Khi đó \(\overrightarrow {IB} ;\overrightarrow {IC}\) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.

Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BI.

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

\(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC}\) (1)

Vì M là trung điểm của BI nên ta có:

\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI}\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l} 2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{{\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} }}{3} \end{array}\)

Vậy ta chọn phương án D.

Giải SBT Toán 10 trang 68

Bài 4.47 trang 68 SBT Toán 10

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hình vẽ minh họa

Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

=> \(\overrightarrow {GA} ;\overrightarrow {GM}\) là hai vectơ ngược hướng

=> \(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GM}\)

=> Phương án A là sai.

Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}\)

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(AG = \frac{2}{3}AM\)

Hai vectơ \(\overrightarrow {AG} ;\overrightarrow {AM}\) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}\)

⇒ \(3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AM}\)

=> \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG}\)

=> Phương án B là đúng.

Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

=> Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {MG}\) là hai vectơ ngược hướng

=> \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MG}\)

=> Phương án C là sai.

Xét phương án D:

Ta có (chứng minh khi xét phương án B)

=> Phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.48 trang 68 SBT Toán 10

A. (1; 2);                 B. (2; 1);                   C, (1; –2);             D. (–2; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{ - 3 + 2 + 1}}{3} = 1\\ {y_G} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 6}}{3} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;2} \right)\)

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.49 trang 68 SBT Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2 = \frac{{ - 3 + 5 + {x_C}}}{3}\\ 2 = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + {y_C}}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 4\\ {y_C} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;5} \right)\)

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.50 trang 68 SBT Toán 10

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\) bằng:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

H ình vẽ minh họa

Vì ABCD là hình vuông nên ΔABC vuông cân tại B nên \(\left\{ \begin{array}{l} \widehat {BAC} = {45^0}\\ AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\)

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.51 trang 68 SBT Toán 10

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) cùng khác \(\overrightarrow 0\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\). Do đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) để thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)} = {0^0}\)

Hay \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) cùng hướng

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.52 trang 68 SBT Toán 10

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) cùng khác \(\overrightarrow 0\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = -\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với:

C.\(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) cùng hướng                   D. \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Do đó để \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = -\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = - 1 \Leftrightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)} = {180^0}\)

Hay \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) ngược hướng

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.53 trang 68 SBT Toán 10

A.\(\sqrt 3\)               B. \(- \sqrt 3\)            C. 3;                     D.–3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

H ình vẽ minh họa

Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.CA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CA} } \right)\)

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

=> \(\widehat {\left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CA} } \right)} = \widehat {ACx}\)

Xét am giác ABC có AB = 1, BC = 2=> AB = 1/2 BC

Lại có: \(\widehat {ABC} = {60^0}\)

=> ΔABC vuông tại A.

=> \(\left\{ \begin{array}{l} AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \\ \widehat {ACB} = {90^0} - \widehat {ABC} = {90^0} - {60^0} = {30^0} \end{array} \right.\)

Mà \(\widehat {ACx} = {180^0} - \widehat {ACB} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\) (do hai góc \(\widehat {ACx};\widehat {ACB}\) kề bù)

=> \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.CA.\cos \widehat {ACx} = 2.\sqrt 3 .\cos {150^0} = - 3\)

Vậy ta chọn phương án D.

Giải SBT Toán 10 trang 69

Bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10

A. m = –2;              B. m = 2;                 C. m = ±2;              D. m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

Để AB ⊥ OC thì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {OC}\)

⇔ −3.3m + 6.(2m – 1) = 0

⇔ −9m + 12m – 6 = 0

⇔ 3m = 6

⇔ m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {NP}\) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

H ình vẽ minh họa

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2BM = MC \Rightarrow \frac{{MC}}{{BM}} = \frac{2}{1}\\ CN = 2NA \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1}\\ AP = 2PB \Rightarrow \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{1} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{MC}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{{AP}}{{PB}}\)

⇒ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

⇒ ANMP là hình bình hành

Mặt khác: \(\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA + CN}} = \frac{2}{{1 + 2}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}\)

MN // AB ⇒ \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{3}\)

⇒ \(MN = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow CN = \frac{2}{3}CA = \frac{2}{3}.2 = \frac{4}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AN = 2 - \frac{4}{3} \Rightarrow AN = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow MN = AN = \frac{2}{3} \end{array}\)

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

=> Hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

=> \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

H ình vẽ minh họa

Đặt \(\frac{{AP}}{{AB}} = x;\left( {x > 0} \right)\)

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC + BM}} = \frac{2}{{1 + 2}}\\ \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {AP} = x.\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}.\overrightarrow {AC}\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Tương tự ta tính được:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\ = x\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

⇔ \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP}\) ⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)

\(\begin{array}{l} \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {x\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AC} \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}x.\overrightarrow {AC} \overrightarrow {AB} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \end{array}\)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = AC.AB.\cos \widehat {BAC} = 1.1.\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{3}x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow x = \frac{5}{{12}}\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}} \end{array}\)

Ta chọn phương án A.

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10

Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ và bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC + BM}} = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \\ = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\\ = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} \end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\\ = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} \end{array}\)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = AC.AB.\cos \widehat {BAC} = 3a.3a.\cos {60^0} = \frac{{9{a^2}}}{2}\)

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}.\left( {\frac{{9{a^2}}}{2}} \right) + \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2} - \frac{2}{9}.{\left( {3a} \right)^2} = - \frac{1}{2}{a^2}\)

Ta chọn phương án B.

Bài 4.58 trang 69 SBT toán 10

Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} } \right|\) là:

C. đường tròn đường kính BC.                      D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình vẽ minh họa:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {MA} \end{array} \right.\).

Khi đó:

\(\left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| \Leftrightarrow BC = MA\)

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.59 trang 69 SBT Toán 10

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác vecto 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

⇒ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

⇒ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MN}\)

Vậy những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB}\) là: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MN}\)

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của tam giác ADC

⇒ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB}\) là:\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {NO} ;\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {NM} ;\overrightarrow {DC}\)

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

⇒ \(BI = \frac{2}{3}BO;OI = \frac{1}{2}BI\) (tính chất trọng tâm) (1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

⇒ \(DJ = \frac{2}{3}DO;OJ = \frac{1}{2}DJ\) (tính chất trọng tâm) (2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = \(\frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}DJ\)

Mà \(\;IJ = IO + OJ = \frac{1}{2}BI + \frac{1}{2}BI = BI = DJ\)

Vậy\(IJ = BI = DJ\)

Giải SBT Toán 10 trang 70

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow {GB} = \overrightarrow u ;\overrightarrow {GC} = \overrightarrow v\). Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ \(\overrightarrow u ; \overrightarrow v\).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, tam giác

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

\(\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'}\)

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {MN} \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} = 0 \end{array}\)

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow u - \overrightarrow v \end{array}\)

Từ BM = MN = NC suy ra \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB}\)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {GC} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {GB} = \left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)\overrightarrow {GM} \\ \Rightarrow 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{1}{3}\overrightarrow v \end{array}\)

Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v\)

Bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và \(\widehat {CAB} = {60^0}\).

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn \(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0\) (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.5.\cos {60^0} = 10\\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - {\overrightarrow {AB} ^2}\\ = 10 - {4^2} = - 6 \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 10;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 6\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l} 2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BM} - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AB} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} } \right) + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l} \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} } \right)\\ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + 3\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + 3x{\overrightarrow {AC} ^2}\\ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + \left( {3 - x} \right)\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + 3x{\overrightarrow {AC} ^2}\\ = - {4^2} + \left( {3 - x} \right).10 + 3x{.5^2} = 65x + 14 \end{array}\)

Để AN ⊥ BM thì \(\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow 65x + 14 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{{14}}{{65}}\)

Vậy với \(x = - \frac{{14}}{{65}}\) thì AN ⊥ BM.

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v\)

b) Tìm x đề A, P, Q thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

=> \(\overrightarrow {PD} = 2\overrightarrow {PM}\)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AD} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {AM} = \left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)\overrightarrow {AP} \\ \Rightarrow 3\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

(vì M là trung điểm của AB)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u\)

Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

⇒ \(\overrightarrow {QB} = x\overrightarrow {QN}\)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} - \left( { - x} \right)\overrightarrow {AN} = \left( {1 - \left( { - x} \right)} \right)\overrightarrow {AQ} \\ \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \end{array}\) (vì N là trung điểm của CD)

 \(= \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}\)(vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\))

\(\begin{array}{l} = \left( {1 + \frac{1}{2}x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} = \left( {1 + \frac{1}{2}x} \right)\overrightarrow {AQ} + x\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{2}.\overrightarrow u + x.\overrightarrow v \\ \Rightarrow \overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}.\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}.\overrightarrow v ;\left( {x \ne 0} \right) \end{array}\)

b) Với \(\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u ;\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v\)

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AP}\) và \(\overrightarrow {AQ}\) cùng phương

\(\frac{{\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{\frac{x}{{x + 1}}}}{{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow x + 2 = 2x \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10

Hướng dẫn giải:

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC} = 3\overrightarrow {GG'} \Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \\ \Rightarrow 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CA} = 3\overrightarrow {GG'} \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = 3\overrightarrow {GG'} \\ \Rightarrow 2\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {GG'} \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}\)

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {GG'} ;\overrightarrow {BA}\) cùng phương với nhau

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10

Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Vì E là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {AE} ;\overrightarrow {EB}\)

F là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {FC} = \overrightarrow {DF}\) .

Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có: \(3\overrightarrow {KL} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF}\)

Tương tự:

\(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} = 2\overrightarrow {NM} \Rightarrow 2\overrightarrow {KL} = 2\overrightarrow {NM} \Rightarrow \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {NM}\)

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

⇒ KL = NM và KL // NM

⇒ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

\(2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EL} = \frac{1}{2}\overrightarrow {ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF}\) (do F là trung điểm của DC)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow {EI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {EF}\)

=> \(\overrightarrow {EI} ;\overrightarrow {EF}\) cùng phương

Vậy E, I, F thẳng hàng.

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = {90^0}\), BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

a) Vì M là trung điểm của AB nên

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. => \(\widehat {CEA} = {90^0}\)

Xét tứ giác ABCE có \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {CEA} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật

⇒ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = 1/3AD

⇒ \(\overrightarrow {EA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}\)

Mà \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {EA}\) (do ABCE là hình chữ nhật)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED}\)

Mà (do ABCE là hình chữ nhật)

Và \(\overrightarrow {ED} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}\)

⇒ \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}\)

Vậy \(\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}\)

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}\)

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + \overrightarrow {AD} \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} ;\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \end{array}\)

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {IC} ;\overrightarrow {ID}\) ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên \(9\overrightarrow {IC} = 5\overrightarrow {ID}\) hay \(\overrightarrow {IC} = \frac{5}{9}\overrightarrow {ID}\)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} - \left( { - \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AD} = \left[ {1 - \left( { - \frac{5}{9}} \right)} \right]\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \left( {1 + \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \frac{{14}}{9}\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} = 14\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + 5\overrightarrow {AD} = 14\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 9\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right) + 5\overrightarrow {AD} = 14\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 9\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} = 14\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} = 14\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow 6\left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right) = 14\overrightarrow {AI} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6.3\overrightarrow {AG} = 14\overrightarrow {AI} ;\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\\ \Rightarrow 18\overrightarrow {AG} = 14\overrightarrow {AI} \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{7}{9}\overrightarrow {AG} \end{array}\)

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {AG}\) cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) Theo câu a ta có

\(\begin{array}{l} 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow {\left( {14\overrightarrow {AI} } \right)^2} = {\left( {9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} } \right)^2}\\ \Rightarrow 196{\overrightarrow {AI} ^2} = 81{\overrightarrow {AB} ^2} + 2.9.8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + 64{\overrightarrow {AD} ^2}\left( * \right) \end{array}\)

Mà AB ⊥ AD nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \left( * \right) \Rightarrow 196{\overrightarrow {AI} ^2} = 81{\overrightarrow {AB} ^2} + 64{\overrightarrow {AD} ^2}\\ \Rightarrow 196{\overrightarrow {AI} ^2} = {81.2^2} + {64.3^2}\\ \Rightarrow A{I^2} = \frac{{225}}{{49}} \Rightarrow AI = \frac{{15}}{7} \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{8}{{14}}\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow {\overrightarrow {BI} ^2} = {\left( {\frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\\ \Rightarrow {\overrightarrow {BI} ^2} = \frac{{25}}{{196}}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2.\frac{5}{{14}}.\frac{4}{7}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{{16}}{{49}}{\overrightarrow {AD} ^2}\\ \Rightarrow B{I^2} = \frac{{25}}{{196}}{.2^2} + \frac{{16}}{{49}}{.3^2} = \frac{{169}}{{49}} \Rightarrow BI = \frac{{13}}{7} \end{array}\)

Vậy \(AI = \frac{{15}}{7};BI = \frac{{13}}{7}\).

Giải SBT Toán 10 trang 71

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \\ \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} \\ = 0 \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\)

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\)

b) Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b+\overrightarrow c\)

Hướng dẫn giải:

a) Với \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a .\overrightarrow b = \;1.3 + 2.\left( {-4} \right) = 3-8 = - 5\\ \overrightarrow b .\overrightarrow c = 3.\left( {-5} \right) + \left( {-4} \right).3 = -15-12 = -27\\ \overrightarrow c .\overrightarrow a = \left( {-5} \right).1 + 3.2 = -5 + 6 = 1 \end{array} \right.\)

b) Với \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right);\overrightarrow c = \left( { - 5;3} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a } \right| = \;\sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \\ \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \\ \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = 1.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = - 2 - 2 = - 4 \end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l} \cos \left[ {\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)} \right] = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = - \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)} \right)} = {143^0}7'48'' \end{array}\)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ;\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right)\)

Vì \(\frac{3}{7} \ne \frac{3}{{ - 3}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}\\ {y_G} = \frac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G(4/3;1) .

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0;\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AH} = \left( {x + 2;y - 1} \right)\\ \overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {x + 2} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 3y = - 7{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BH} = \left( {x - 1;y - 4} \right)\\ \overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 7\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7x - 3y = - 5{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array}\)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

⇒ \(x = \frac{2}{5}\)

Thay \(x = \frac{2}{5}\) vào (1) ta được:

\(2.\frac{2}{5} - 3y = - 7 \Rightarrow 3y = \frac{{39}}{5} \Rightarrow y = \frac{{39}}{{15}} \Rightarrow H\left( {\frac{2}{5};\frac{{39}}{{15}}} \right)\)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{39}}{{15}}} \right)\)

Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM}\) với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), H(25;135) và I(a; b) ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{12}}{5};\frac{8}{5}} \right)\)

M là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\ {y_M} = \frac{{4 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 1 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {3 - a;1 - b} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} = \left( {6 - 2a;2 - 2b} \right) \end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{12}}{5} = 6 - 2a\\ \frac{8}{5} = 2 - 2b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{9}{5}\\ b = \frac{1}{5} \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(95;15).

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC}\) có độ dài ngắn nhất.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;6} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {a - 5; - 3} \right)\)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD}\) là hai vectơ cùng phương

\(\Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{ - 7}} = \frac{{ - 3}}{6} \Leftrightarrow 2\left( {a - 5} \right) = 7 \Leftrightarrow a = \frac{{17}}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\)

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\) là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

⇔ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

⇔ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ cùng phương

\(\Leftrightarrow \frac{{b - 2}}{3} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\left( {b - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow b = \frac{{11}}{4} \Rightarrow E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\)

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right);\overrightarrow {AE} = \left( {b - 2;1} \right)\)

=> \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE}\) là hai vectơ cùng phương

Vậy \(E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\) là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\\ {y_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 9}}{3} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)

Với điểm F bất kì ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = 3\overrightarrow {FG} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG \end{array}\)

Để vectơ \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC}\) có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

⇒ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 11/3

Vậy F(0;11/3).

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực của ô tô có độ lớn là: \(\left| {\overrightarrow P } \right| = mg = 2500.10 = 25000\left( N \right)\)

Trọng lực \(\overrightarrow P\) của ô tô hợp với hướng chuyển dời \(\overrightarrow {MN}\) một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực \(\overrightarrow P\) được phân tích thành hai thành phần \(\overrightarrow {{P_1}} ;\overrightarrow {{P_2}}\) nên ta có: \(\overrightarrow {{P}} =\overrightarrow {{P_1}} +\overrightarrow {{P_2}}\)

\(\overrightarrow {{P_1}}\) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}}\) có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy \(\overrightarrow {{P_1}}\) không có tác dụng với chuyển dời \(\overrightarrow {MN}\) của xe và \(\overrightarrow {{P_2}}\) ngược hướng với  \(\overrightarrow {MN}\).

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

\(\begin{array}{l} A = \overrightarrow P .\overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ;\overrightarrow {MN} } \right)\\ = 25000.50.\cos {105^0} = - 323525\left( J \right) \end{array}\)

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

-------------------------------------

Hy vọng phần giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 sẽ giúp các em tổng hợp kiến thức trọng tâm, nhận biết cách vận dụng công thức và giải chính xác các dạng bài tập về vectơ. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao tư duy toán học, củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 Kết nối tri thức.