Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Toán 11 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lí thuyết và bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lí thuyết và bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm.

Toán 11 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Định nghĩa đạo hàm

1. Đạo hàm tại một điểm

Hàm số liên tục trên , được gọi là có đạo hàm tại nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn: và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm . Ta kí hiệu là

$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

2. Cách tính đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0} \in (a,b)$ ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính $f(x) - f\left( x_{0} \right)$

Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$ với $x \in (a,b),x \neq x_{0}$

Bước 3: Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$

3. Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải

a. Đạo hàm bên trái

$f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

b. Đạo hàm bên phải

$f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

c. Hệ quả:

Hàm số có đạo hàm tại

4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a,b \right)$
Hàm số có đạo hàm (hay khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a,b \right)$ đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm phải .

4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì $f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ .

B. Ý nghĩa của đạo hàm

a. Ý nghĩa hình học

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right)$ là đường thẳng đi qua P với hệ số góc $k = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$ nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là $k = f'\left( x_{0} \right)$ . P được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right)$ là đạo hàm $f'\left( x_{0} \right)$ .

Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right)$ là $y - y_{0} = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)$ . Trong đó $y_{0} = f\left( x_{0} \right)$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = \frac{8}{x};(x \neq 0)$ .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_{0} = 2$ .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình .

Hướng dẫn giải

Với $x_{0} \neq 0$ bất kì ta có:

$y'\left( x_{0} \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{8\left( x_{0} - x \right)}{\left( x - x_{0} \right)x_{0}.x} \right\rbrack = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( \frac{- 8}{x_{0}.x} \right) = \frac{- 8}{{x_{0}}^{2}}$

a) Với $x_{0} = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y_{0} = 4 \\ y'(2) = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_{0} = 2$ là:

hay

b) Hệ số góc của tiếp tuyến có dạng $y'\left( x_{0} \right) = - \frac{8}{{x_{0}}^{2}}$ ( $x = x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm)

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến là

Ta có: $- \frac{8}{{x_{0}}^{2}} = - 2 \Leftrightarrow {x_{0}}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0} = \pm 2$

Với $x_{0} = 2$ phương trình tiếp tuyến là (loại do trùng với đường thẳng đã cho).

Với $x_{0} = - 2$ phương trình tiếp tuyến là

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là .

b. Ý nghĩa vật lí

Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng $s=f\left( t \right)$

$\Rightarrow$ Vận tốc tức thời tại điểm ${{t}_{0}}$ là: $v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)$

$\Rightarrow$ Gia tốc tức thời tại điểm ${{t}_{0}}$ là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm ${{t}_{0}}$ .

$a\left( {{t}_{0}} \right)=f''\left( {{t}_{0}} \right)=v'\left( {{t}_{0}} \right)$

Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

$Q=f\left( t \right)$

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ${{t}_{0}}$ :

$I\left( {{t}_{0}} \right)=Q'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)$

B. Giải Toán 11 SGK Kết nối tri thức

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Sách giáo khoa Kết nối tri thức

C. Giải Toán 11 SBT Kết nối tri thức

VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức

Tải về

Chọn file muốn tải về: