Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Bài tập Toán 10 Phương trình đường thẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Toán 10

A. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
B. Bài tập minh họa tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
C. Bài tập vận dụng tính khoảng cách có hướng dẫn đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán 10, việc tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng là dạng bài quan trọng thuộc chuyên đề Phương trình đường thẳng. Đây là kiến thức nền tảng trong hình học giải tích giúp học sinh hiểu sâu bản chất của khoảng cách và áp dụng vào nhiều bài tập thực tế. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn các cách tính khoảng cách nhanh – chính xác, công thức đầy đủ, kèm ví dụ minh họa rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và làm bài hiệu quả hơn.

A. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ M đến (Δ) được tính bởi công thức:

$d(M,(\Delta)) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

B. Bài tập minh họa tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ

a) M(1; -1), Δ: 3x - 4y - 17 = 0

b) M(1; 1), $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 5 + 4t \\ y = 3 - 3t \end{matrix} \right.$

c) M(1; -4), $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1}$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

$d(M,\Delta) = \frac{\left| 3.1 - 4( - 1) - 17 \right|}{\sqrt{3^{3} + ( - 4)^{2}}} = \frac{10}{5} = 2$ .

b) $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 5 + 4t \\ y = 3 - 3t \end{matrix} \right.$ qua A(-5; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (4; - 3)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3;4)$ .

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là 3(x + 5) + 4(y - 3) = 0 <=> 3x + 4y + 3 = 0.

Khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng là:

$d(M,\Delta) = \frac{|3.1 + 4.1 + 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 2$ .

c) Ta có

$\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1}$ $\Leftrightarrow$ -x + 1 = 2y + 6 $\Leftrightarrow$ x + 2y + 5 = 0.

Do đó: $d(M,\ \Delta) = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 4) + 5 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm A(1; -1) và đường thẳng d: x - 2y + 1 = 0

a) Tìm d(A; d).

b) Lập phương trình đường thẳng Δ qua điểm A(1; -1) và Δ song song với d.

Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d đã cho là:

$d(A,d) = \frac{\left| 1.1 + ( - 2).( - 1) + 1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}.$

b) Cách 1: Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;-2)$ .

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -1) và Δ song song với d nên Δ nhận $\overrightarrow{n} = (1; - 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là (x - 1) - 2(y + 1) = 0 <=> x - 2y - 3 = 0.

Cách 2: Δ song song với d nên Δ nhận $\overrightarrow{n} = (1; - 2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình Δ có dạng:

x - 2y + m = 0; (m ≠ 1)

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -1) nên 1.1 - 2.(-1) + m = 0 <=> m = -3

Vậy phương trình Δ là x - 2y - 3 = 0.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + 1 = 0 và điểm M(2; 3). Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

Cách 1: Δ vuông góc d: x - 2y + 1 = 0 => Δ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2;\ 1)$ .

Δ qua M(2; 3) nên có phương trình là:

2(x - 2) + (y - 3) = 0 <=> 2x + y - 7 = 0.

Cách 2: Δ vuông góc d: x - 2y + 1 = 0 nên phương trình Δ có dạng:

2x + y + m = 0

Δ qua M(2; 3) nên 2.2 + 3 + m = 0 <=> m = -7.

Vậy phương trình Δ là 2x + y - 7 = 0.

Ví dụ 4: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 5 = 0; d₂: 3x + 4y - 5 = 0, đỉnh A(2; 1). Tìm diện tích của hình chữ nhật?

Hướng dẫn giải

Do điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

$S = \frac{|4.2 - 3.1 + 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{|3.2 + 4.1 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2$ .

C. Bài tập vận dụng tính khoảng cách có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; 3), C(-3; -4).

a) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và BC.

b) Tìm độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC.

c) Tìm diện tích tam giác ABC.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng song d₁: 5x - 7y + 4 = 0 và d₂: 5x - 7y + 6 = 0. Tìm khoảng cách giữa d₁ và d₂?

Bài tập 3: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng: d₁: 3x + 2y - 6 = 0; d₂: 3x + 2y + 6 = 0?

Bài tập 4: Cho hai điểm A(3; -1) và B(0; 3). Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB?

Bài tập 5. Cho hai điểm A(1; 2) và B(4;6). Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1?

Bài tập 6: Viết phương trình của đường thẳng qua P(2;5) và cách Q(5 ; 1) một khoảng bằng 3.

Bài tập 7: Cho hai đường thẳng song $d_{1}:5x - 7y + 4 = 0\$ và $d_{2}:5x - 7y + 6 = 0.\$ Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều $d_{1}$ và $d_{2}$

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có , B và C thuộc . Viết phương trình phân giác ngoài của góc BAC?

Bài tập 9: Cho ba điểm A(2;4); B(-1;2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Bài tập 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm A(1; 1), B(-2; 4) và đường thẳng $\Delta:mx - y + 3 = 0$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $\Delta$ cách đều hai điểm A, B.

Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi d là đường thảng đi qua M(4; 2) và cách điểm khoảng cách $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ . Biết rằng phương trình đường thẳng có dạng với là hai số nguyên. Tính

Bài tập 12: Trong mặt phẳng tọa độ cho $\Delta:x - y + 1 = 0$ và hai điểm $A(2;\ \ 1),\ \ B(9;\ \ 6).$ Điểm $M(a;\ \ b)$ nằm trên đường $\Delta$ sao cho nhỏ nhất. Tính

Bài tập 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Tìm tọa độ điểm thuộc để đoạn có độ dài nhỏ nhất.

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu

----------------------------------------

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm rõ công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cùng phương pháp áp dụng trong từng dạng bài Toán 10. Hãy luyện tập thêm để tăng tốc độ xử lý bài tập và ghi nhớ lâu hơn. Chúc bạn học tốt và tự tin chinh phục các dạng toán thuộc chủ đề phương trình đường thẳng!

Tải về

Chọn file muốn tải về: