Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Phương trình Parabol trong mặt phẳng tọa độ

Các dạng bài toán trọng tâm Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương trình Toán 10, chủ đề Phương trình Parabol trong mặt phẳng tọa độ Oxy là kiến thức trọng tâm, xuất hiện thường xuyên trong bài tập, kiểm tra và đề thi. Việc nắm vững các dạng Parabol cơ bản, cách suy ra phương trình, dạng chuẩn, dạng tổng quát và ứng dụng vào bài toán thực tế giúp học sinh tăng tốc độ xử lý bài tập và nâng cao tư duy hình học – đại số.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa Parabol

Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định ∆ không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng ∆.

Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.

Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol

$p = d(F;\Delta)$ được gọi là tham số của parabol.

2. Phương trình chính tắc của parabol

Với $F\left( \frac{p}{2};0 \right)$ và $\Delta:x = - \frac{p}{2}(p > 0)$

$M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow y^{2} = 2px$ (3)

Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol

3. Hình dạng và tính chất của parabol

Tiêu điểm $F\left( \frac{p}{2};0 \right)$
Phương trình đường chuẩn: $\Delta:x = - \frac{p}{2}$
Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol
được gọi là trục đối xứng
$M\left( x_{M};y_{M} \right)$ thuộc (P) thì: $MF = d(M;\Delta) = x_{M} + \frac{p}{2}$

B. PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN

Ví dụ 1: Viết phương trình của parabol biết:

a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4; 0).

b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(-2; 0).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình của parabol nhận Ox làm trục đối xứng là y² = 2px

Vì $F(4;0) \Rightarrow \frac{p}{2} = 4$ => 2p = 16 => (P): y² = 16x

b) Phương trình của parabol nhận Ox làm trục đối xứng là y² = 2px

Vì $F( - 2;0) \Rightarrow \frac{p}{2} = -2$ => 2p = -8 => (P): y² = -8x

Ví dụ 2: Cho điểm M ∈ (P): y² = 64x và N ∈ (D): 4x + 3y + 46 = 0.

a) Tìm tọa độ M, N để MN ngắn nhất.

b) Chứng minh với kết quả tìm được thì MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P).

Hướng dẫn giải

a) Gọi $M\left( \frac{m^{2}}{64};m \right) \in (P)$

$d(m,(D)) = \frac{\left| \frac{4m^{2}}{64} + 3m + 46 \right|}{5} = \frac{1}{5}\left( \frac{m^{2}}{16} + 3m + 46 \right)$ (vì $\frac{m^{2}}{16} + 3m + 46 > 0$ do $\Delta < 0$ )

Xét $f(m) = \frac{m^{2}}{16} + 3m + 46$

$f'(m) = \frac{m}{8} + 3$ , f'(m) = 0 => m = -24

Vậy f(m) nhỏ nhất $\Leftrightarrow d(M,(D)) \Leftrightarrow M(9; - 24)$

b) Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (P) tại M là:

$yy_{M} = 32(x_{M} + x) \Leftrightarrow y( - 24) = 32(x + 9) \Leftrightarrow 4x + 3y + 36 = 0$

Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với (D) là: 3x - 4y + m = 0.

Điểm M thuộc tiếp tuyến => 3.9 - 4.(-24) + m = 0 => m = -123

Vậy phương trình đường thẳng qua M và vuông góc (D) là: 3x - 4y - 123 = 0

$N\left\{ \begin{matrix} 3x - 4y = 123 \\ 4x + 3y = - 36 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{37}{5} \\ y = - \frac{126}{5} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow N\left( \frac{37}{5};\frac{- 126}{5} \right)$

Do đó $\overrightarrow{MN} = \left( - \frac{8}{5}; - \frac{6}{5} \right)$ cùng phương với phương vectơ của (D) là $\overrightarrow{n} = (4;3)$

Vậy MN vuông góc tiếp tuyến tại M.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho F(3; 0) và đường thẳng d: 3x - 4y + 16 = 0.

a) Tìm khoảng cách từ F đến d, suy ra phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (d).

b) Viết phương trình parabol có tiêu điểm M và đỉnh là gốc tọa độ O. Chứng minh rằng parabol đó tiếp xúc với d. Tìm tọa độ điểm tiếp điểm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $d(F,d) = \frac{\left| 9 - 4(0) + 16 \right|}{\sqrt{9 + 16}} = 5$

Vậy đường tròn tâm F, tiếp xúc với d có bán kính R = 5.

Do đó phương trình là: (x - 3)²+ (y - 0)²= 25

b) Parabol tiêu điểm F(3; 0), đỉnh trùng với O có phương trình là:

y² = 2px với $\frac{p}{2} = 3 \Rightarrow p = 6$

Vậy (P) có phương trình y² = 12x

Chứng minh (P) tiếp xúc với (d):

(d): 3x - 4y + 16 = 0 $\Leftrightarrow x =\frac{4y - 16}{3}$

Phương trình tung độ giao điểm của d và (P) là:

$y^{2} = 12\left( \frac{4y - 16}{3} \right)$ $\Leftrightarrow y^{2} - 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow y_{1} = y_{2} = 8$

Vì phương trình tung độ giao điểm có nghiệm kép nên d tiếp xúc với (P) tại tiếp điểm có $y = 8 \Rightarrow x = \frac{4.8 - 16}{3} = \frac{16}{3}$

Vậy tiếp điểm là $M\left( \frac{16}{3};8 \right)$ .

C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN

Bài tập 1: Cho parabol (P): y² = 16x

a) Lập phương trình tiếp tuyến (P) sao cho vuông góc với đường thẳng 3x - 2y + 6 = 0.

b) Lập phương trình các tiếp tuyến với (P) đi qua điểm M(-1; 0).

Bài tập 2: Cho parabol (P): y² = 2x

a) Xác định đường chuẩn, tiêu điểm, vẽ (P).

b) Cho đường thẳng (D): x - 2y + 6 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa (D) và (P).

Bài tập 3: Cho parabol $(P):y = \frac{x^{2}}{2}$ và điểm $A\left( \frac{15}{8};\frac{27}{8} \right)$

a) Viết phương trình đường thẳng qua $M_{1}\left( - 1;\frac{1}{2} \right)$ và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại $M_{1}$ .

b) Tìm tất cả những điểm $M \in P$ sao cho AM vuông góc $tt_{M}(P)$ .

Bài tập 4: Cho $(P):y = x^{2} - 2x + 3$ . Và đường thẳng (D) là đường thẳng cùng phương với đường thẳng sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A, B.

a) Viết phương trình đường thẳng (D) khi hai tiếp tuyến tại A, B của (P) vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng (D) khi .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

a) Gọi D là tiếp tuyến cần tìm.

Vì D vuông góc với đường thẳng

$\Rightarrow$ Phương trình

Vì D tiếp xúc với $(P) \Leftrightarrow 3^{2}.8 = 2.2m \Rightarrow m = 18$

Phương trình tiếp tuyến (D) là:

b) Gọi $T_{0}(x_{0},y_{0}) \in P$ là tiếp điểm $\Leftrightarrow y_{0}^{2} = 16x_{0}$

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại $T_{0}$ là $y_{0}y = 8(x_{0} + x)$ $(\Delta)$

Vì $\Delta$ qua $M( - 1;0) \Rightarrow 0 = 8(x_{0} - 1) \Leftrightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0}^{2} = 16 \Rightarrow y_{0} = \pm 4$

Với $T_{0}(1;4)$ thì phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là
Với $T_{0}(1; - 4)$ thì phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là

Tóm lại, ta có hai tiếp tuyến là: và .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

---------------------------------------

Có thể thấy, chuyên đề phương trình Parabol trong mặt phẳng tọa độ không chỉ giúp bạn hiểu rõ hơn về đồ thị hàm số mà còn rèn luyện tư duy phân tích và kỹ năng giải toán. Khi nắm chắc các dạng bài trọng tâm, bạn sẽ dễ dàng nhận diện hướng giải và áp dụng công thức một cách linh hoạt. Đây là nền tảng quan trọng để tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán học.

Bên cạnh việc học lý thuyết, bạn nên thường xuyên luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để tăng độ chính xác và tốc độ làm bài. Ngoài ra, việc hiểu sâu bản chất của Parabol cũng giúp bạn tránh được những sai lầm phổ biến. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn kiến thức hữu ích và dễ áp dụng. Hãy tiếp tục khám phá thêm các chuyên đề Toán 10 khác để xây dựng nền tảng vững chắc và đạt kết quả cao trong học tập.

Tải về

Chọn file muốn tải về: