Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính góc giữa hai vectơ Toán 10

Góc giữa 2 vectơ Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính góc giữa hai vectơ trong Toán 10

A. Công thức góc giữa hai vectơ
- a. Công thức tính góc giữa hai vectơ
- b. Tích vô hướng của hai vectơ
B. Bài tập ví dụ minh họa tính góc giữa hai vectơ

Trong Toán học lớp 10, cách tính góc giữa hai vectơ là một trong những kiến thức quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian. Việc tính toán góc giữa hai vectơ không chỉ có ứng dụng trong các bài toán hình học mà còn trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và động học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách tính góc giữa hai vectơ, đồng thời giải quyết các bài toán có đáp án để bạn nắm vững phương pháp và kỹ thuật áp dụng một cách chính xác.

A. Công thức góc giữa hai vectơ

a. Công thức tính góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Từ một điểm bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ .

Góc cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong không gian, kí hiệu $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ , là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ .

Chú ý:

$0^{o} \leq \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) \leq 180^{o}$
Nếu $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 90^{0}$ thì ta nói rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ .
Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng $0^{o}$ .
Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng $180^{o}$ .

b. Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số thực, kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$

B. Bài tập ví dụ minh họa tính góc giữa hai vectơ

Bài tập 1: Cho tam giác đều . Tính:

$P = \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) + \cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}) + \cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}).$

A. $P = \frac{3}{2}$ . B. $P = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ . C. $P = - \frac{3}{2}$ . D. $P = - \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{BC}) = \widehat{B'BC} = 120{^\circ}$ .

Có $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}) = (\overrightarrow{CC'},\overrightarrow{CA}) = \widehat{C'CA} = 120{^\circ}$ .

Có $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AB}) = \widehat{A'AB} = 120{^\circ}$ .

Suy ra $P = 3.cos120{^\circ} = - \frac{3}{2}$ .

Bài tập 2: Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính $cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}).$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}) = (\overrightarrow{CC'},\overrightarrow{CB}) = \widehat{C'CB}$ .

Do đó $cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}) = \cos\widehat{C'CB} = - \cos\widehat{BCA} = - \frac{AC}{BC} = - \frac{1}{2}$ .

Bài tập 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-2; 5), B(-4; -2), (1; 5). Tính số đo góc $\widehat{ACB}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$AB = \sqrt{( - 2)^{2} + ( - 7)^{2}} = \sqrt{53}$

$AC = \sqrt{\lbrack 1 - ( - 2)\rbrack^{2} + (5 - 5)^{2}} = 3$

$BC = \sqrt{\lbrack 1 - ( - 4)\rbrack^{2} + \lbrack 5 - ( - 2)\rbrack^{2}} = \sqrt{74}$

Ta có: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ( - 2) \cdot 3 + ( - 7) \cdot 0 = - 6$ .

Suy ra $\cos\widehat{BAC} =cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|} = \frac{- 6}{\sqrt{53} \cdot 3} = -\frac{2\sqrt{53}}{53}$ nên $\widehat{BAC} \approx 106^{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2.5 + 7.7 = 59$ .

Suy ra $\cos\widehat{ABC} =cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$ $= \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot|\overrightarrow{BC}|} = \frac{59}{\sqrt{53} \cdot \sqrt{74}}$ nên $\widehat{ABC} \approx 20^{0}$ .

Vậy $\widehat{ACB} = 180^{{^\circ}} - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) \approx 180^{{^\circ}} - \left( 106^{{^\circ}} + 20^{{^\circ}} \right) = 54^{{^\circ}}$ .

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;5),\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ , $\overrightarrow{c} = (1;1)$ .

a) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

b) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$ .

c) Để $\overrightarrow{d} = (4x + 1)\overrightarrow{i} + (x + 4)\overrightarrow{j}$ tạo với vectơ $\overrightarrow{c}$ một góc 45⁰ thì giá trị của x bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$ $= \frac{2.3 + 5( - 7)}{\sqrt{2^{2} + 5^{2}}\cdot \sqrt{3^{2} + ( - 7)^{2}}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =135^{0}$ .

$cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}) =\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{c}|}$ $= \frac{2.1 + 5.1}{\sqrt{2^{2} + 5^{2}}\cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{7\sqrt{58}}{58}$

$\Rightarrow(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}) \approx23,1986^{0}$

b) Ta có: $\overrightarrow{d} = (4x + 1;x + 4)$ tạo với $\overrightarrow{c}$ một góc 45⁰ nên:

$cos(\overrightarrow{d},\overrightarrow{c}) =\frac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{d}|\cdot |\overrightarrow{c}|}$ $= \frac{4x + 1 + x + 4}{\sqrt{2} \cdot\sqrt{(4x + 1)^{2} + (x + 4)^{2}}} = cos45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{5x + 5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{17x^{2} + 16x + 17}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 5x + 5 = \sqrt{17x^{2} + 16x + 17}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 1 \\ 17x^{2} + 16x + 17 = 25x^{2} + 50x + 25 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 1 \\ 8x^{2} + 34x + 8 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}. \right.$

Bài tập 5: Cho tam giác có $A(1;2),\ \ B( - 2;6),\ \ C(9;8)$ .

a) Chứng minh tam giác vuông tại

b) Tính góc của tam giác

c) Xác định hình chiếu của lên cạnh

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AC}(8;6) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AC} = - 3.8 + 4.6 = 0$

Do đó $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}$ hay tam giác vuông tại

b) Ta có $\overrightarrow{BC}(11;2),\ \ \overrightarrow{BA}(3; - 4)$

Suy ra $\cos B = \cos\left( \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{BA} \right) = \frac{11.3 + 2.( - 4)}{\sqrt{11^{2} + 2^{2}}\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

c) Gọi là hình chiếu của lên

Ta có: $\overrightarrow{AH}(x - 1;y - 2),\ \ \overrightarrow{BH}(x + 2;y - 6),\ \ \overrightarrow{BC}(11;2)$

$AH\bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow 11(x - 1) + 2(y - 2) = 0$ hay

Mặt khác $\overrightarrow{BH},\ \overrightarrow{BC}$ cùng phương nên $\frac{x + 2}{11} = \frac{y - 6}{2} \Leftrightarrow 2x - 11y + 70 = 0$ (2)

Từ và suy ra $x = \frac{1}{5},\ \ y = \frac{32}{5}$

Vậy hình chiếu của lên là $H\left( \frac{1}{5};\frac{32}{5} \right)$

Bài tập 6: Cho các điểm , , .

a) Chứng minh ba điểm $A,\ B,\ C$ không thẳng hàng.

b) Tính góc và diện tích tam giác .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (7;1)$ . Vì $\frac{4}{7} \neq \frac{2}{1}$ nên ba điểm $A,\ B,\ C$ không thẳng hàng.

b) Ta có $\overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2)$ , $\overrightarrow{BC} = (3; - 1)$ .

Do đó $\cos B = \cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right) = \frac{( - 4).3 + ( - 2).( - 1)}{\sqrt{16 + 4}.\sqrt{9 + 1}} = \frac{- 10}{\sqrt{200}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\widehat{B} = 135{^\circ}$ .

Hạ đường cao ta có $S = \frac{1}{2}BC.AB.sin45{^\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 1}.\sqrt{16 + 4}.\frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ .

Bài tập 7: Cho ba điểm $A(3;4),\ \ B(2;1)$ và . Tìm điểm nằm trên đường thẳng sao cho góc $\widehat{AMB} = 45{^\circ}$ .

Hướng dẫn giải

Giả sử suy ra $\overrightarrow{MA}(3 - x;4 - y),\ \ \overrightarrow{MB}(2 - x;1 - y),\ \ \overrightarrow{BC}( - 3; - 3)$

Vì $\widehat{AMB} = 45{^\circ}$ suy ra $\left| \cos\widehat{AMB} \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{MA};\overrightarrow{BC} \right) \right|$

$\Leftrightarrow cos45{^\circ} = \frac{\left| \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} \right|}{\left| \overrightarrow{MA} \right|.\left| \overrightarrow{BC} \right|}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\left| - 3(3 - x) - 3(4 - y) \right|}{\sqrt{(3 - x)^{2} + (4 - y)^{2}}\sqrt{9 + 9}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(3 - x)^{2} + (4 - y)^{2}} = |x + y - 7|$

Mặt khác thuộc đường thẳng nên hai vectơ $\overrightarrow{MB},\ \ \overrightarrow{BC}$ cùng phương

Suy ra $\frac{2 - x}{- 3} = \frac{1 - y}{- 3} \Leftrightarrow x = y + 1$ thế vào ta được:

$\sqrt{(2 - y)^{2} + (4 - y)^{2}} = |2y - 6|$

$\Leftrightarrow y^{2} - 6y + 8 = 0 \Leftrightarrow y = 2$ hoặc

Với $y = 2 \Rightarrow x = 3$ ta có $\overrightarrow{MA}(0;2),\ \ \overrightarrow{MB}( - 1; - 1)$

$\Rightarrow \cos\widehat{AMB} = \cos\left( \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó $\widehat{AMB} = 135{^\circ}$ (không thỏa mãn)

Với $y = 4 \Rightarrow x = 5$ , $\overrightarrow{MA}( - 2;0),\ \ \overrightarrow{MB}( - 3; - 3)$

$\Rightarrow \cos\widehat{AMB} = \cos\left( \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó $\widehat{AMB} = 45{^\circ}$ . Vậy là điểm cần tìm.

------------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã nắm được cách tính góc giữa hai vectơ và các công thức cần thiết để áp dụng vào các bài toán Toán học lớp 10. Việc hiểu rõ công thức và phương pháp giải sẽ giúp bạn không chỉ vượt qua các bài kiểm tra mà còn phát triển tư duy toán học một cách toàn diện. Đừng quên luyện tập với các bài toán có đáp án để củng cố kiến thức và kỹ năng tính toán của mình. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong học tập!

Tải về

Chọn file muốn tải về: