Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hình vẽ minh họa

Có O thuộc đường trung trực của BE (gt) => OB = OE (tính chất đường trung trực)

Có O thuộc đường trung trực của AC (gt) => OC = OA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO

BO = EO

AB = CE

Suy ra

(hai góc tương ứng) (1)

Có OC = OA

Suy ra tam giác AOC cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AO là tia phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Có E thuốc đường trung trực của AB (gt)

Suy ra AE = BE (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AEB cân tại E

(tính chất tam giác cân)

Có D thuộc trung trực của AC (gt)

Suy ra FC = FA (tính chất thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AFC cân tại F

(tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có

(tổng ba góc trong tam giác)

Mà

Giả sử tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC, ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Có AM là đường phân giác của tam giác ABC(gt)

(tính chất phân giác)

Có AM là đường trung trực của BC (tính chất trung trực)

Xét tam giá AMB và tam giác AMC có:

AM chung

(cạnh tương ứng)

cân tại đỉnh A.

Hình vẽ minh họa

Có M là trung điểm của BC

Có BD và CE là đường cao của tam giác ABC (giả thiết)

Xét tam giác BDC có có M là trung điểm cuả BC

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác BCE vuông tại E có M là trung điểm của BC

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Ta lại có

Vậy câu sai là: “ không thuộc trung trực của .”

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với đáy AB nên AM cũng là đường trung trực của BC.

Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc đường trung trực của AB (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Theo tính chất đường trung trực ta có: DA = DB.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC(tính chất ba đường trung trực)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Trong tam giác OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự trong tam giác OAC có: OA + OC > AC (bất đẳng thức tam giác)

Trong tam giác OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2OA + 2OB + 2OC > AB + AC + BC

Suy ra 6OA > AB + AC + BC

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

Có AH là đường cao của tam giác ABC suy ra

Có

Xét tam giác AHD, vuông tại H và tam giác AKD vuông tại K có:

; AD là cạnh chung

Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà AK = AH (gt)

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Có (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là phân giác

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng