Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Có CD là tia phân giác góc ACB (giả thiết)

Có D thuộc trung trực của đoạn AC suy ra AD = CD (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ADC cân tại D

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hình vẽ minh họa

Vì D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên D là giao của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Mà M là trung điểm của BC nên AM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A.

Do đó AM là đường trung trực của tam giác ABC (trong tam giác cân, trung tuyến tại đỉnh đồng thời cũng là đường trung trực ứng với đáy) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; D; M thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giả sử tam giác ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Thật vậy vì AM là đường trung tuyến của ABC nên BM = MC (tính chất)

Mặt khác AM là đường trung trực của ABC nên

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

hay tam giác ABC cân tại A.

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy cụm từ cần điền là “ba đỉnh”.

Vì trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O.

Suy ra O thuộc đường trung trực của cạnh BC (tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Mà AB = AC nên A thuộc đường trung trực cạnh BC.

Do đó AO thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vậy đáp án cần tìm là:

Hình vẽ minh họa

Tam giác BAC đều nên AB = BC = CA

Mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP

Xét tam giác AMP và tam giác BMN có:

AM = BN

AP = BM

Do đó

Suy ra MP = MN (hai cạnh tương ứng) (1)

Tương tự

Suy ra MP = PN (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy MNP là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Có I thuộc trung trực của AB suy ra IA = IB (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác IAB cân tại I

(tính chất tam giác cân)

Có I thuộc trung trực của AC suy ra IA = IC (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác IAC cân tại I

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Trong ta có:

(định lí tổng ba góc tam giác)

Vì là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Ta thấy

Trong ta có (định lí tồng ba góc trong tam giác)