Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7

Giả sử tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC, ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Có AM là đường phân giác của tam giác ABC(gt)

(tính chất phân giác)

Có AM là đường trung trực của BC (tính chất trung trực)

Xét tam giá AMB và tam giác AMC có:

AM chung

(cạnh tương ứng)

cân tại đỉnh A.

Giả sử tam giác ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Thật vậy vì AM là đường trung tuyến của ABC nên BM = MC (tính chất)

Mặt khác AM là đường trung trực của ABC nên

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

hay tam giác ABC cân tại A.

Hình vẽ minh họa

Có O thuộc đường trung trực của BE (gt) => OB = OE (tính chất đường trung trực)

Có O thuộc đường trung trực của AC (gt) => OC = OA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO

BO = EO

AB = CE

Suy ra

(hai góc tương ứng) (1)

Có OC = OA

Suy ra tam giác AOC cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AO là tia phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Vì các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O nên

(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

OA = OC

OB = OE

AB = CE

Hình vẽ minh họa

Có M là trung điểm của BC

Có BD và CE là đường cao của tam giác ABC (giả thiết)

Xét tam giác BDC có có M là trung điểm cuả BC

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác BCE vuông tại E có M là trung điểm của BC

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Ta lại có

Vậy câu sai là: “ không thuộc trung trực của .”

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Nhận định đúng: “Điểm O cách đều ba đỉnh của ∆ABC”.

Hình vẽ minh họa

O là giao điểm của hai đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó OB = OB hay O thuộc đường trung trực của BC

Ta lại có AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) nên A là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Từ đó suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Giao ba đường trung trực của tam giác nhọn nằm trong tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Có M thuộc đường trung trực của BC Suy ra BM = CM (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác BMC cân tại M

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

hay BM là phân giác góc .