Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC(tính chất ba đường trung trực)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy

Hình vẽ minh họa

Có O thuộc đường trung trực của BE (gt) => OB = OE (tính chất đường trung trực)

Có O thuộc đường trung trực của AC (gt) => OC = OA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO

BO = EO

AB = CE

Suy ra

(hai góc tương ứng) (1)

Có OC = OA

Suy ra tam giác AOC cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AO là tia phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Trong tam giác OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự trong tam giác OAC có: OA + OC > AC (bất đẳng thức tam giác)

Trong tam giác OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2OA + 2OB + 2OC > AB + AC + BC

Suy ra 6OA > AB + AC + BC

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.

Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.

Hình vẽ minh họa

Có CD là tia phân giác góc ACB (giả thiết)

Có D thuộc trung trực của đoạn AC suy ra AD = CD (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ADC cân tại D

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giả sử tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC, ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Có AM là đường phân giác của tam giác ABC(gt)

(tính chất phân giác)

Có AM là đường trung trực của BC (tính chất trung trực)

Xét tam giá AMB và tam giác AMC có:

AM chung

(cạnh tương ứng)

cân tại đỉnh A.

Hình vẽ minh họa

Vì các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O nên

(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

OA = OC

OB = OE

AB = CE

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Hình vẽ minh họa

O là giao điểm của hai đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó OB = OB hay O thuộc đường trung trực của BC

Ta lại có AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) nên A là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Từ đó suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.