Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 7 Chuyên đề Toán 7
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G. Biết GB = 4\sqrt{61}cm,GC = 2\sqrt{601}cm. Tính chu vi tam giác ABC.

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC nên

    BE = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2} \cdot4\sqrt{61} = 6\sqrt{61}(cm)

    CF = \frac{3}{2}CG = \frac{3}{2} \cdot2\sqrt{601} = 3\sqrt{601}(cm)

    Xét \bigtriangleup ABE vuông tại A ta có:

    BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} = (6\sqrt{61})^{2} = 2196

    Xét \bigtriangleup ACF vuông tại A ta có:

    CF^{2} = AF^{2} + AC^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + AC^{2} = (3\sqrt{601})^{2} = 5409.

    Từ (1) và (2), suy ra \frac{5}{4}\left( AB^{2} + AC^{2} ight) = 7605.

    Mặt khác AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}.

    Suy ra \frac{5}{4}{BC}^{2} = 7605\Rightarrow {BC}^{2} = 6084 \Rightarrow BC = 78(cm).

    Ta viết (3) thành AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} + \frac{3AC^{2}}{4} = 6084.

    Mà theo (1) thì AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} = 2196.

    So sánh \left( \ ^{*} ight) và \left( \ ^{**} ight) ta được:

    \frac{3}{4}AC^{2} = 6084 - 2196 = 3888 .

    \Rightarrow {AC}^{2} = 5184 \Rightarrow AC = 72(cm) .

    Từ đó ta tính được AB^{2} = BC^{2} - AC^{2} = 6084 - 5184 = 900

    \Rightarrow AB = 30cm .

    Vậy chu vi \bigtriangleup ABC là: 78 + 72 + 30 = 180(cm) .

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình vẽ dưới đây

    Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE

     

    Hướng dẫn:

    Vì G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Vậy BG = \frac{2}{3}BE

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại điểm G. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho EN = EG. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    i) BG = GM

    ii) MN = BC

    iii) MN//BC

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta xét khẳng định BG = GM

    Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

    Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

    Suy ra G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC.

    Do đó \frac{GD}{GB} = \frac{1}{2} (tính chất trọng tâm)

    Nên BG = 2GD \Rightarrow BG = 2GD = GM

    Vậy khẳng định này đúng.

    Ta xét khẳng định MN = BC

    Chứng minh tương tự khẳng định i) ta được CG = GN

    Xét tam giác GMN và tam giác GBC có

    GM = GB (chứng minh trên)

    CG = GN (chứng minh trên)

    \widehat{MGN} = \widehat{BGC} (hai góc đối đỉnh)

    Suy ra \Delta GMN = \Delta GBC(c - g - c)

    Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng)

    Vậy khẳng định này đúng.

    Ta xét khẳng định MN//BC

    Ta có: \Delta GMN = \Delta GBC(cmt)

    \Rightarrow \widehat{GMN} = \widehat{GBC} (hai góc tương ứng)

    Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên MN//BC.

    Vậy khẳng định này đúng.

    Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình vẽ sau:

    Biết rằng AO là đường trung tuyến của tam giác ABC và AO = AK; AB = 6,3cm; BC = 6,5cm; AC = 6,7cm. Độ dài CK bằng:

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Nối CK

    Xét tam giác ABO và tam giác CKO có:

    BO = CO (AO là đường trung tuyến)

    AO = OK (giả thiết)

    \widehat{AOB} = \widehat{KOC} (hai góc đối đỉnh)

    Do đó \Delta AOB = \Delta CKO(c - g - c)

    Suy ra AB = CK (hai cạnh tương ứng)

    Mà AB = 6,3cm nên CK = 6,3cm.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12 cm, trung tuyến BE = 9 cm, trung tuyến CF = 15 cm. Tính độ dài cạnh BC (chính xác đến 0,1 cm).

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của tam giác.

    Vẽ K sao cho D là trung điểm của GK.Ta có:

    BG = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \cdot 9= 6(cm)

    CG = \frac{2}{3}CF = \frac{2}{3} \cdot15 = 10(cm)

    DG = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3} \cdot12 = 4(cm)

    GK = 8(cm)

    Xét \bigtriangleup BDK và \bigtriangleup CDG có:

    DB = DC ( AD là đường trung tuyến);

    GD = GK (giả thiết);

    \widehat{KDB} = \widehat{GDC} (hai góc đối đỉnh).

    Do đó: \bigtriangleup BDK = \bigtriangleup CDG(c - g - c).

    Suy ra: BK = CG (hai cạnh tương ứng).

    Mà CG = 10(cm) nên BK = 10(cm).

    \bigtriangleup BGK có:

    \begin{matrix} & BG^{2} = 6^{2} = 36 \\ & GK^{2} = 8^{2} = 64 \\ & BK^{2} = 10^{2} = 100 \\ \end{matrix} nên theo định lý pytago đảo \bigtriangleup BGK vuông tại G.

    \bigtriangleup BGD vuông tại G, theo định lý pytago ta có:

    BD^{2} = BG^{2} + GD^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 52

    \Rightarrow BD = \sqrt{52}(cm)

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính độ dài cạnh

    Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ hai đường trung tuyến AM và BN. Cho biết AM = 9cm,BC = 8cm. Tính độ dài BN?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét ∆AMB và ∆AMC có

    AM là cạnh chung

    AB = AC (giả thiết)

    MA = MB (M là trung điểm của BC)

    => ∆AMB = ∆AMC

    \Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AMC} vì \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = \widehat{BMC} = 180^{0} nên \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0}

    \Rightarrow AM\bot BC

    Gọi G là giao điểm của AM và BN. Khi đó G là trọng tâm ∆ABC

    BM = \frac{BC}{2} = 4(cm)

    GM = \frac{1}{3}AM = 3(cm)(tính chất trọng tâm)

    Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác GBM vuông tại M.

    BG^{2} = GM^{2} + BM^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

    \Rightarrow BG = 5(cm)

    Theo tính chất trọng tâm BG = \frac{2}{3}BN \Rightarrow BN = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2}.5 = 7,5

  • Câu 7: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu câu đúng trong các câu sau?

    - Trong một tam giác đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện là đường trung tuyến của tam giác đó.

    - Các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm.

    - Giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.

     

    Hướng dẫn:

    Đường trung tuyến của tam giác là đường nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

    Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho hình vẽ dưới đây

    Biết MG = 3cm. Tính MR?

     

    Hướng dẫn:

    Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác MNP nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

    MG = \frac{2}{3}MR hay 3 = \frac{2}{3}MR \Rightarrow MR = 4,5(cm)

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AG = GE = ED. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    AD = AG + AE + ED = AG + AG + AG = 3AG

    Suy ra AG = GE = ED = \frac{1}{3}AD

    Ta có: AE = AG + GE = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD

    Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

    Do đó E là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm,AC = 8cm. Tính khoảng cách từ A đến trọng tâm G của tam giác ABC?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100

    \Rightarrow BC = 10(cm)

    Gọi M là trung điểm của BC

    AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

    AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5cm

    G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.5 = \frac{10}{3}(cm)

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án sai

    Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. So sánh tổng BM + CN và \frac{3}{2}BC

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \Delta ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

    Suy ra G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC.

    Do đo BG = \frac{2}{3}BM,\ CG = \frac{2}{3}CN.

    Khi đó BM = \frac{3}{2}BG,CN = \frac{3}{2}CG.

    BG + CG > BC

    Do đó \frac{3}{2}BG + \frac{3}{2}CG > \frac{3}{2}BC

    Hay BM + CN > \frac{3}{2}BC

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, \widehat{MAB} = 30{^\circ}, \widehat{C} = 30{^\circ}. Tính số đo \widehat{ABC} biết \widehat{ABC} là góc tù.

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ BH vuông góc với AC tại H suy ra

    \Rightarrow \Delta BHC là tam giác nửa đều

    Có BH = \frac{BC}{2} .

    Có \Delta BHC vuông tại H có trung tuyến HM \Rightarrow HM = \frac{BC}{2} = BM

    Suy ra MB = BH = MH (1) và \Delta BMH đều

    \Rightarrow \widehat{BMH} = 60{^\circ} hay \widehat{BMA} + \widehat{HMA} = 60{^\circ}(*)

    Vẽ \Delta MAE đều (E và M khác phía đối với AB)

    \Rightarrow \widehat{AME} = 60{^\circ} hay \widehat{BME} + \widehat{AMB} = 60{^\circ}(*)

    Từ (*) và (**) có \widehat{BME} = \widehat{HMA}

    Do \widehat{MAB} = 30{^\circ}suy ra AB vừa là phân giác vừa là trung trực của EM \Rightarrow MB = EB (2)

    Xét \Delta AMHvà \Delta EMB có:

    MH = MB(cmt)

    \widehat{HME} = \widehat{BMA}(cmt)

    MA = ME(cmt)

    Suy ra \Delta AMH = \Delta EMB (c.g.c) nên AH = EB (3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra AH = BH \Rightarrow \Delta AHB vuông cân tại H nên \widehat{ABH} = 45{^\circ}

    Từ đó \widehat{ABC} = \widehat{ABH} + \widehat{HBC} = 45{^\circ} + 60{^\circ} = 105{^\circ}.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tìm câu sai

    Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD. Khẳng định nào sau đây sai?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét đáp án: G là trọng tâm tam giác ABD.

    Ta có GB = 2GC

    Suy ra BG = 2(BC – BG)

    Do đó BG = 2BC – 2GB

    Khi đó 3GB = 2BC

    Vậy GB = \frac{2}{3}BC

    Tam giác ABD có C là trung điểm của AD

    Suy ra BC là đường trung tuyến của tam giác ABD.

    Mà G \in BC;GB = \frac{2}{3}BC

    Nên G là trọng tâm của tam giác ABD

    Vậy đáp án đúng.

    Xét đáp án: G là trung điểm của AE.

    Ta có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD do đó G \in AE;AG = \frac{2}{3}AE

    Suy ra G không là trung điểm của AE

    Do đó đáp án này sai.

    Xét đáp án: Ba điểm A; G; E thẳng hàng.

    Ta đã chứng minh được G \in AE nên ba điểm A; E; G thẳng hàng.

    Vậy đáp án đúng

    Xét đáp án: Đường thẳng DG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

    Ta có G là trọng tâm tam giã ABD (chứng minh trên)

    Suy ra DG là đường trung tuyến của tam giác ABD

    Khi đó GD đi qua trung điểm của AB.

    Vậy đáp án này đúng.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Cho \Delta ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho \widehat{DAE} = \widehat{ABD} (E nằm giữa B và D). Kết luận nào dưới đây đúng?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD,\ CH vuông góc với AE.

    Ta có

    \Delta ABF = \Delta CAH (cạnh huyền – góc nhọn).

    Suy ra: AF\ = \ CH.

    \Delta ADF = \Delta CDG(ch - gn)suy ra AF = CG.

    Từ đó ta có CH = CG.

    \Delta CEH = \Delta CEG (ch-cgv)

    \Rightarrow \widehat{CEH} = \widehat{CEG}

    Mà \widehat{CEG} = \widehat{EBC} + \widehat{ECB};\widehat{CEH} = \widehat{EAC} + \widehat{ECA};

    Do đó: \widehat{EBC} + \widehat{ECB} = \widehat{EAC} + \widehat{ECA} (1)

    Mặt khác: \widehat{EBA} + \widehat{EBC} = \widehat{ECB} + \widehat{ECA}

    Lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:

    \widehat{EBC} + \widehat{ECB} - \widehat{EBA} - \widehat{EBC} = \widehat{EAC} + \widehat{ECA} - \widehat{ECB} - \widehat{ECA}

    \widehat{ECB} - \widehat{EBA} = \widehat{EAC} - \widehat{ECB} \Rightarrow \widehat{ECB} - \widehat{EBA} = \widehat{EBA} - \widehat{ECB}

    \Rightarrow \widehat{EBA} = \widehat{ECB}

    \Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{ECB} (đpcm).

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK = \frac{1}{3}AD. Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM, AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \bigtriangleup ABC có đường trung tuyến AD nên D là trumg điểm của B

    Do đó DB = DC.

    Xét \bigtriangleup BDG và \bigtriangleup CDK, có:

    BD = CD (chứng minh trên)

    BDG = CDK (hai góc đối đỉnh).

    \bigtriangleup BD = KD (hai góc so le trong của BM // CK).

    Do đó \bigtriangleup BDG = \Delta CDK (g.c.g).

    Ta có \Delta BDG = \Delta CDK (chứng minh trên).

    Suy ra BG = CK và DG = DK = \frac{1}{3}AD eq \frac{1}{2}AD.

    \bigtriangleup ABC có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

    Mà GD = \frac{1}{3}AD nên G là tọng tâm của tam giác ABC.

    Lại có đường thẳng BM đi qua G

    Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

    Khi đó M là trung điểm của AC suy ra MA = MC

    Vậy đáp án cần tìm là: \Delta BDG = \Delta CDK

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (13%):
    2/3
  • Thông hiểu (13%):
    2/3
  • Vận dụng (40%):
    2/3
  • Vận dụng cao (33%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
7 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này