Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

Trong ta có:

(định lí tổng ba góc tam giác)

Vì là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Ta thấy

Trong ta có (định lí tồng ba góc trong tam giác)

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có cân tại A nên

Trong ta có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vi thuộc đường trung trực của   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Vì các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O hay O là giao điểm các đường trung trực của nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại O nên

Vì M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại M (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Vì N thuộc đường trung trực của AC nên NA = NC tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại N (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Ta thấy

Chứng minh tương tự ta có

Mặt khác OB = OC nên cân tại O hay

Mà tia OA nằm giữa tia OM và ON nên

Vậy OA là đường phân giác của

Giao ba đường trung trực của tam giác nhọn nằm trong tam giác ABC.

Giả sử tam giác ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Thật vậy vì AM là đường trung tuyến của ABC nên BM = MC (tính chất)

Mặt khác AM là đường trung trực của ABC nên

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

hay tam giác ABC cân tại A.

Hình vẽ minh họa

Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Có E thuốc đường trung trực của AB (gt)

Suy ra AE = BE (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AEB cân tại E

(tính chất tam giác cân)

Có D thuộc trung trực của AC (gt)

Suy ra FC = FA (tính chất thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AFC cân tại F

(tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có

(tổng ba góc trong tam giác)

Mà

Vì O thuộc đường trung trực của cannh AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại O

(tinh chất tam giác cân) (1)

Vì AH là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2)

Mặt khác AC = AF + CF mà AE = CF (gt) nên AC = AE + AF

Vì AB = AC nên AB = AE + AF mà AB = AE + BE nên AF = BE

Xét và ta có.

(hai cạnh tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC

Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD

Xét tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAD cân tại O

Vậy

Suy ra tam giác ABD vuông tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C

Hình vẽ minh họa

Giả sử tại M

Giả sử tại M

Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:

BM cạnh chung

Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:

CN chung

Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .