Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

O là giao điểm của hai đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó OB = OB hay O thuộc đường trung trực của BC

Ta lại có AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) nên A là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Từ đó suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hình vẽ minh họa

Giả sử tại M

Giả sử tại M

Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:

BM cạnh chung

Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:

CN chung

Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Vì thuộc đường trung trực của nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Vì thuộc đường trung trực của nên tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Trong ta có

Mà

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Hình vẽ minh họa

Có O thuộc đường trung trực của BE (gt) => OB = OE (tính chất đường trung trực)

Có O thuộc đường trung trực của AC (gt) => OC = OA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO

BO = EO

AB = CE

Suy ra

(hai góc tương ứng) (1)

Có OC = OA

Suy ra tam giác AOC cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AO là tia phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên

Trong tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy

Vì các đường trung trực của cắt nhau tại hay là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Vì thuộc đường trung trực của nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Vì thuộc đường trung trực của nên tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Ta thấy

Chứng minh tương tự ta có

Mặt khác nên cân tại O hay

Mà tia OA nằm giữa tia OM và ON nên

Vậy OA là đường phân giác của

Vì thuộc đường trung trực của cannh nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại

(tinh chất tam giác cân) (1)

Vì là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2)

Mặt khác mà (gt) nên

Vì nên mà nên

Xét và ta có.

(hai cạnh tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có cân tại A nên

Trong ta có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vi thuộc đường trung trực của   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC

Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD

Xét tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAD cân tại O

Vậy

Suy ra tam giác ABD vuông tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C