Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

Trong ta có:

(định lí tổng ba góc tam giác)

Vì là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Ta thấy

Trong ta có (định lí tồng ba góc trong tam giác)

Hình vẽ minh họa

Có M thuộc đường trung trực của BC Suy ra BM = CM (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác BMC cân tại M

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

hay BM là phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có cân tại A nên

Trong ta có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vi thuộc đường trung trực của   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Vì O thuộc đường trung trực của cannh AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại O

(tinh chất tam giác cân) (1)

Vì AH là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2)

Mặt khác AC = AF + CF mà AE = CF (gt) nên AC = AE + AF

Vì AB = AC nên AB = AE + AF mà AB = AE + BE nên AF = BE

Xét và ta có.

(hai cạnh tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC

Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD

Xét tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAD cân tại O

Vậy

Suy ra tam giác ABD vuông tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Nhận định đúng: “Điểm O cách đều ba đỉnh của ∆ABC”.

Hình vẽ minh họa

Giả sử tại M

Giả sử tại M

Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:

BM cạnh chung

Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:

CN chung

Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Có AH là đường cao của tam giác ABC suy ra

Có

Xét tam giác AHD, vuông tại H và tam giác AKD vuông tại K có:

; AD là cạnh chung

Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà AK = AH (gt)

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Có (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là phân giác

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng

Hình vẽ minh họa

Có E thuốc đường trung trực của AB (gt)

Suy ra AE = BE (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AEB cân tại E

(tính chất tam giác cân)

Có D thuộc trung trực của AC (gt)

Suy ra FC = FA (tính chất thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AFC cân tại F

(tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có

(tổng ba góc trong tam giác)

Mà

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên

Trong tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy