Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Theo tính chất 3 đường trung tuyến, ba đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.

Suy ra đáp án sai là: “Ba đường cao của tam giác không cùng đi qua một điểm”.

Hình vẽ minh họa

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Vì AE // HF nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF // HE nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét tam giác AEH và HFA có

AH chung

(hai cạnh tương ứng)

Vì

Ta có: CE; CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến EH nên CE > CH (quan hệ đường xiên – đường vuông góc)

Xét tam giác AEH có (bất đẳng thức trong tam giác)

Ta có:

(vì )

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF.

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI

Suy ra EF = EI = FI

Do đó tam giác IEF là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác AHC vuông tại H,

Mà

suy ra tam giác ABC cân tại C, có CD là trung tuyến

Suy ra CD đồng thời là đường phâm giác

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD vuông tại D có

Xét tam giác ACE vuông tại E có

(1)

Lại có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:

AB = AC

BI = AC

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AIK là tam giác cân tại A.(*)

(hai góc tương ứng) (3)

Tam giác AID vuông tại D nên (4)

Từ (3) và (4) suy ra

hay tam giác AIK vuông tại A.(**)

Từ (*) và (**) suy ra tam giác AIK vuông cân tại A.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF

Hình vẽ minh họa

Gọi D là giao của AH và BC

Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)

Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho suy ra tam giác AI’F cân tại I’

Suy ra I’A = I’F

vuông tại nên .

Mà cân tại .

Lại có . Hay là trung diểm của .

Mà cũng là trung diểm của nên trùng với '.

Do đó (vì ).

Chứng minh tương tự ta có:

vuông tại nên .

Từ (1), (2) và (3) suy ra .

Ta có:

Sử dụng kết quả câu 16 ta có: hay vuông tại .

I là trung diểm của AH nên .

Ta có .

Tương tự ta có: .

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ta có:

Hình vẽ minh họa

TH 1: tam giác ABC nhọn.

Gọi AH ∩ BC = {M}; BH ∩ AC = {E}

Ta có: (cùng phụ với )

Xét hai tam giác vuông AEH và BEC ta có:

(cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AE = BE ⇒ Tam giác ABE là tam giác vuông cân tại E suy ra

Vậy hoặc