Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

TH 1: tam giác ABC nhọn.

Gọi AH ∩ BC = {M}; BH ∩ AC = {E}

Ta có: (cùng phụ với )

Xét hai tam giác vuông AEH và BEC ta có:

(cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AE = BE ⇒ Tam giác ABE là tam giác vuông cân tại E suy ra

Vậy hoặc

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A hay (tính chất tam giác cân)

Vì

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

BC chung

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Hình vẽ minh họa

Gọi AM, AN là hai đường cao của tam giác ABC

Ta dễ thấy (vì cùng phụ với )

vì phụ với

Mà

Vậy đáp án chưa chính xác là: .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF.

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI

Suy ra EF = EI = FI

Do đó tam giác IEF là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Vì AE // HF nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF // HE nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét tam giác AEH và HFA có

AH chung

(hai cạnh tương ứng)

Vì

Ta có: CE; CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến EH nên CE > CH (quan hệ đường xiên – đường vuông góc)

Xét tam giác AEH có (bất đẳng thức trong tam giác)

Ta có:

(vì )

Theo tính chất 3 đường trung tuyến, ba đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.

Suy ra đáp án sai là: “Ba đường cao của tam giác không cùng đi qua một điểm”.

Trên đoạn BF lấy điểm F sao cho BG = BC

Khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: BG = BD + DG; DF = DG + GF

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

Gọi H là giao điểm của BE và GC

Tam giác BCG cân tại B

nên BH là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác BCG

Tam giác BHG vuông tại H nên

Tam giác ABD vuông tại A nên

Mà nên

Suy ra tam giác CDG cân tại C suy ra CD = CG (tính chất)

(hai góc kề bù)

(hai góc kề bù)

Suy ra

Xét tam giác CDB và tam giác CGF có:

CD = CG

BD = FG

suy ra CB = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà DF = BC (gt) suy ra CF = DF (vì cùng bằng BC)

Suy ra CDF cân tại F.

Hình vẽ minh họa

Gọi D là giao của AH và BC

Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)

Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho suy ra tam giác AI’F cân tại I’

Suy ra I’A = I’F

vuông tại nên .

Mà cân tại .

Lại có .

Hay là trung điểm của .

Mà cũng là trung điểm của nên trùng với '.

Do đó (vì ).

Chứng minh tương tự ta có:

vuông tại nên .

Từ (1), (2) và (3) suy ra .

Ta có: