Chuyên đề Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng lớp 7 (Nâng cao)

Gọi số đo góc ở đỉnh tam giác là x

Khi đó số đo ở đáy của tam giác là 2x

Tam giác đã cho là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau, theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có :

x + 2x + 2x = 180⁰

5x = 180⁰

x = 36⁰

Vậy số đo góc ở đáy của tam giác là 2 . 36⁰ = 72⁰

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại B nên BA = BC (hai cạnh bên)

Xét tam giác BCH vuông tại H và tam giác BKA vuông tại K ta cóL

BA = BC

Góc B chung

Suy ra (cạnh huyền – góc nhọn)

(hai cạnh tương ứng)

cân tại B.

( tính chất tam giác cân)

Mà (tổng ba góc của tam giác)

Và (giả thiết)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

I thuộc đường trung trực BC suy ra IB = IC

Suy ra tam giác IBC cân tại I

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên (tính chất tam giác cân)

Vì CD là phân giác góc nên

Áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ACD ta có:

Hình vẽ minh họa

Kẻ tia sao cho tia cắt tại

đều

.

có:

cân tại

Có

Suy ra

cân tại

Hình vẽ minh họa

Ta có : (so le trong) mà

cân tại A

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d ⊥ AB tại I và IA = IB.

Hình vẽ minh họa

Vẽ xy là đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt đoạn thẳng AC tại D (AB < AC)

Suy ra D là điểm cần xác định.

Thật vậy, ta có: DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC)

Suy ra DB + DA = DC + DA

Do đó DB + DA = AC (vì D nằm giữa A và C)

Vậy D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hình vẽ minh họa

Trên tia lấy điểm sao cho (1) suy ra cân tại

Mà (đối đỉnh)

cân tại

và

(cùng bù với hai góc bằng nhau).

Mà nên

Xét và có

( cân tại )

(cmt)

(cmt)

Do đó (c-g-c)

(hai góc tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác DEK và tam giác DFK có:

DE = DF (do tam giác DEF cân tại D)

KE = KF (giả thiết)

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra (cặp góc tương ứng)

Xét tam giác DPK và tam giác DQK có:

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra KP = KQ (cạnh tương ứng)

Khi đó K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Hình vẽ minh họa

Vì D là điểm đối xứng của A qua bờ sông

Nên bờ sông chính là đường trung trực của AD

Do đó CA = CD (tính chất đường trung trực)

Suy ra CA + CB = CD + CB

Gọi M là giao điểm của BD và bờ sông

Nếu C không trùng với M, ta xét tam giác BCD có:

CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1)

Nếu C không trùng với M thì

CA + CB = CD + CB = MA + MB = BD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra CA + CB ≥ BD

Do đó C chỉ trùng với M hay C là giao điểm của BD với bờ sông thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

BC là cạnh tam giác ABC cân tại A suy ra |AB – AC| < BC < AB + AC (*)

Vì tam giác ABC cân tai A suy ra AB = AC (hai cạnh bên)

TH1 : Nếu cạnh bên bằng 5cm thì AB = AC = 5cm

Mà AB + AC + BC = 17cm (giả thiết)

Suy ra BC = 17 – AB – AC = 7cm (thỏa mãn (*))

TH2 : Nếu cạnh đáy bằng 5cm suy ra BC = 5cm.

Suy ra (thỏa mãn (*))

Vậy BC = 7cm hoặc BC = 5cm.

Vì BC // AD nên (2 góc so le trong) (1)

Vì CA = CB nên cân tại C suy ra x (tính chất tam giác cân) (2)

Vì AB = AD nên cân tại D suy ra (tính chất tam giác cân)

Mà

( vì ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Vậy