Chuyên đề Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Ta có: AD = BC (gt)

cân tại B.

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Hình vẽ minh họa

Vẽ xy là đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt đoạn thẳng AC tại D (AB < AC)

Suy ra D là điểm cần xác định.

Thật vậy, ta có: DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC)

Suy ra DB + DA = DC + DA

Do đó DB + DA = AC (vì D nằm giữa A và C)

Vậy D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hình vẽ minh họa

D thuộc đường trung trực của AB và AC suy ra DA = DB, DA = DC

Suy ra tam giác ABD cân tại D suy ra (tính chất tam giác cân)

Tam giác ACD cân tại D suy ra (tính chất tam giác cân)

Do đó

Trong tam giác ABC:

(định lí tổng ba góc tam giác)

Hình vẽ minh họa

Kẻ tia sao cho tia cắt tại

đều

.

có:

cân tại

Có

Suy ra

cân tại

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên (tính chất tam giác cân)

Vì CD là phân giác góc nên

Áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ACD ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác DEK và tam giác DFK có:

DE = DF (do tam giác DEF cân tại D)

KE = KF (giả thiết)

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra (cặp góc tương ứng)

Xét tam giác DPK và tam giác DQK có:

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra KP = KQ (cạnh tương ứng)

Khi đó K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Hình vẽ minh họa

I thuộc đường trung trực BC suy ra IB = IC

Suy ra tam giác IBC cân tại I

Ta có:

Ta có C cách đều A và B suy ra C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

C thuộc (d) (giả thiết)

Do đó Điểm C là giao điểm của đường trung trực m của đoạn thẳng AB và đường thẳng d. Kết hợp điều kiện hai điểm A, B khác phía với d

Vậy hình 4 vẽ đúng với mô tả.

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d ⊥ AB tại I và IA = IB.

Hình vẽ minh họa

Vì H thuộc đường trung trực của đoạn OA nên HA = HO

Suy ra tam giác AHO cân tại H

Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OB nên HB = HO

Suy ra tam giác BHO cân tại H

Do đó (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác BHO có:

(tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

Tương tự

Ta có:

Suy ra rba điểm A, B, H thẳng hàng.

Ta có: HA = HB (= HO) và ba điểm A; B; H thẳng hàng

Suy ra H là trung điểm của AB.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

cân tại , suy ra

Mà  đều suy ra

Có là tia phân giác của suy ra

Xét và có

(cạnh đều)

Cạnh chung

(vì tam giác cân tại )

Suy ra  (c.c.c)

, (hai góc tương ứng)

Ta có: mà

Ta có

mà suy ra  (1)

Xét và có

()

Cạnh chung

()

Suy ra (g.c.g) ; (hai cạnh tương ứng)

Xét và có

()

Suy ra (g.c.g)

(hai góc tương ứng) (2)

Xét có

(3)

Từ (1), (2), (3)

Hình vẽ minh họa

Trên lấy điểm sao cho cân tại

.

Ta có (tính chất góc ngoài của tam giác)

Do đó cân tại .

Gọi là trung điểm .

Tam giác cân tại có nên là tam giác đều.

cân tại .

Suy ra

Xét tam giác ta có:

Ta có: cân tại

Từ và suy ra vuông cân tại

Vậy .