Chuyên đề Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng lớp 7 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa

Trên tia lấy điểm sao cho (1) suy ra cân tại

Mà (đối đỉnh)

cân tại

và

(cùng bù với hai góc bằng nhau).

Mà nên

Xét và có

( cân tại )

(cmt)

(cmt)

Do đó (c-g-c)

(hai góc tương ứng)

Hình vẽ minh họa

I thuộc đường trung trực BC suy ra IB = IC

Suy ra tam giác IBC cân tại I

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có : (so le trong) mà

cân tại A

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại B nên BA = BC (hai cạnh bên)

Xét tam giác BCH vuông tại H và tam giác BKA vuông tại K ta cóL

BA = BC

Góc B chung

Suy ra (cạnh huyền – góc nhọn)

(hai cạnh tương ứng)

cân tại B.

( tính chất tam giác cân)

Mà (tổng ba góc của tam giác)

Và (giả thiết)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên (tính chất tam giác cân)

Vì CD là phân giác góc nên

Áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ACD ta có:

có AB = AC = 6 nên cân tại A

có AE = AF = 3 nên cân tại A

có AD = AC = 6 nên cân tại A

Hình vẽ minh họa

Trên lấy điểm sao cho cân tại

.

Ta có (tính chất góc ngoài của tam giác)

Do đó cân tại .

Gọi là trung điểm .

Tam giác cân tại có nên là tam giác đều.

cân tại .

Suy ra

Xét tam giác ta có:

Ta có: cân tại

Từ và suy ra vuông cân tại

Vậy .

Tam giác đã cho là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau.

Khi đó góc ở đỉnh của tam giác đó là:

Hình vẽ minh họa

cân tại , suy ra

Mà  đều suy ra

Có là tia phân giác của suy ra

Xét và có

(cạnh đều)

Cạnh chung

(vì tam giác cân tại )

Suy ra  (c.c.c)

, (hai góc tương ứng)

Ta có: mà

Ta có

mà suy ra  (1)

Xét và có

()

Cạnh chung

()

Suy ra (g.c.g) ; (hai cạnh tương ứng)

Xét và có

()

Suy ra (g.c.g)

(hai góc tương ứng) (2)

Xét có

(3)

Từ (1), (2), (3)

Hình vẽ minh họa

Vì D là điểm đối xứng của A qua bờ sông

Nên bờ sông chính là đường trung trực của AD

Do đó CA = CD (tính chất đường trung trực)

Suy ra CA + CB = CD + CB

Gọi M là giao điểm của BD và bờ sông

Nếu C không trùng với M, ta xét tam giác BCD có:

CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1)

Nếu C không trùng với M thì

CA + CB = CD + CB = MA + MB = BD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra CA + CB ≥ BD

Do đó C chỉ trùng với M hay C là giao điểm của BD với bờ sông thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

Hình vẽ minh họa

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Ta có: AD = BC (gt)

cân tại B.

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Vì BC // AD nên (2 góc so le trong) (1)

Vì CA = CB nên cân tại C suy ra x (tính chất tam giác cân) (2)

Vì AB = AD nên cân tại D suy ra (tính chất tam giác cân)

Mà

( vì ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có OB là đường trung trực của đoạn thẳng AC (giả thiết)

Suy ra OA = OC và BA = BC

Khi đó tam giác OAC cân tại O

Xét tam giác OAB và tam giác OCB có :

OA = OC

BA = BC

OB là cạnh chung

Khi đó

Ta có tam giác OAC cân tại O

Suy ra (tính chất tam giác cân)

Tam giác OAC có: (định lí tổng ba góc tam giác)

Khi đó

Vậy đáp án sai là: .