Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7

Tam giác AHC vuông tại H suy ra

Tam giác Abc vuông tại A suy ra

Mặt khác, là tia phân giác của (gt) và nên (tính chất tia phân giác)

+)  là tia phân giác của (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) .

có : .

Vậy vuông tại .

Theo tính chất 3 đường trung tuyến, ba đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.

Suy ra đáp án sai là: “Ba đường cao của tam giác không cùng đi qua một điểm”.

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tính chất các đường xuất phát từ đỉnh của tam giác cân và đường trung trực ứng với đáy.

Vậy đáp án cần tìm là: “Đường trung trực ứng với cạnh MN”.

Hình vẽ minh họa

Gọi BH ∩ AC = {M}; BA ∩ CH = {E}.

Ta có:

(cùng phụ với )

Vì

⇒ Tam giác BEH vuông cân tại E.

Suy ra EB = EH.

Xét hai tam giác vuông tam giác AEH và tam giác CEB, ta có:

⇒ ⇒ AH = CB.

Vậy

Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC cân tại A mà AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Do tam giác AMB vuông tại M, áp dụng định lí Pythagore ta có:

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Vì

Xét tam giác AMC có suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác BMD có suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác ABE có: (định lí tổng ba góc của tam giác).

Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNO có hai đường cao ND và ME cắt nhau tại H thì H là trực tâm tam giác MNO

Vậy OH là đường cao của tam giác MNO.