Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Ta có MN // BC (gt) mà

Xét tam giác CAN có

Suy ra M là trực tâm tam giá CAN

Suy ra AM vuông góc với CN.

Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực, đường phân giác trong của tam giác ABC.

Vậy cả 3 phát biểu đều đúng.

Tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khi đó AM là đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đường trung trực của BC (theo tính chất tam giác cân)

Vậy câu sai là: “AM là đường cao xuất phát từ M”.

Hình vẽ minh họa

Gọi K là giao điểm của ED và BC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên

Tam giác ADE có nên tam giác ADE vuông cân tại A

Suy ra hay

Tam giác có

Vậy

Xét tam giác BCE có các đường cao BA, EK cắt nhau tại H nên tại I (tính chất ba đường cao của tam giác).

Do đó .

Theo tính chất 3 đường trung tuyến, ba đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.

Suy ra đáp án sai là: “Ba đường cao của tam giác không cùng đi qua một điểm”.

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Trên đoạn BF lấy điểm F sao cho BG = BC

Khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: BG = BD + DG; DF = DG + GF

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

Gọi H là giao điểm của BE và GC

Tam giác BCG cân tại B

nên BH là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác BCG

Tam giác BHG vuông tại H nên

Tam giác ABD vuông tại A nên

Mà nên

Suy ra tam giác CDG cân tại C suy ra CD = CG (tính chất)

(hai góc kề bù)

(hai góc kề bù)

Suy ra

Xét tam giác CDB và tam giác CGF có:

CD = CG

BD = FG

suy ra CB = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà DF = BC (gt) suy ra CF = DF (vì cùng bằng BC)

Suy ra CDF cân tại F.

Tam giác AHC vuông tại H suy ra

Tam giác Abc vuông tại A suy ra

Mặt khác, là tia phân giác của (gt) và nên (tính chất tia phân giác)

+)  là tia phân giác của (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) .

có : .

Vậy vuông tại .

Tính chất các đường xuất phát từ đỉnh của tam giác cân và đường trung trực ứng với đáy.

Vậy đáp án cần tìm là: “Đường trung trực ứng với cạnh MN”.

Hình vẽ minh họa

Nếu DA = DB thì tam giác DAB cân tại D, suy ra (tính chất tam giác cân)

Tam giác AHB vuông tại H

Tam giác ABK vuông tại H

Suy ra hay

Suy ra tam giác ABC cân tại C.