Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC cân tại A.

Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến

Áp dụng định lí Py-Ta-Go cho tam giác ABH vuông tại H ta có:

Hình vẽ minh họa

TH 1: tam giác ABC nhọn.

Gọi AH ∩ BC = {M}; BH ∩ AC = {E}

Ta có: (cùng phụ với )

Xét hai tam giác vuông AEH và BEC ta có:

(cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AE = BE ⇒ Tam giác ABE là tam giác vuông cân tại E suy ra

Vậy hoặc

Hình vẽ minh họa

Vì

Xét tam giác AMC có suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác BMD có suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác ABE có: (định lí tổng ba góc của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác AKC có CH, KE là hai đường cao

Mà AH cắt kE tại D

Suy ra D là trực tâm của tam giác AKC

Do đó AD vuông góc với CK.

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A hay (tính chất tam giác cân)

Vì

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

BC chung

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Hình vẽ minh họa

Tam giác nhọn MNP có hai đường cao NE, PF bằng nhau và cắt nhau tại H

Suy ra H là trực tâm suy ra MH vuông góc với BC

Xét tam giác MNE và tam giác MPF có:

NE = PF

Suy ra (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác MNP cân tại M và tam giác MEF cân tại M.

Vậy câu đúng là: “MH vuông góc với BC”.

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.

Tính chất các đường xuất phát từ đỉnh của tam giác cân và đường trung trực ứng với đáy.

Vậy đáp án cần tìm là: “Đường trung trực ứng với cạnh MN”.

Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

Hình vẽ minh họa

Gọi K là giao điểm của ED và BC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên

Tam giác ADE có nên tam giác ADE vuông cân tại A

Suy ra hay

Tam giác có

Vậy

Xét tam giác BCE có các đường cao BA, EK cắt nhau tại H nên tại I (tính chất ba đường cao của tam giác).

Do đó .