Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.

Tam giác AHC vuông tại H suy ra

Tam giác Abc vuông tại A suy ra

Mặt khác, là tia phân giác của (gt) và nên (tính chất tia phân giác)

+)  là tia phân giác của (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) .

có : .

Vậy vuông tại .

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a

Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M

Ta có (AM là trung tuyến tam giác ABC)

Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là .

Hình vẽ minh họa

Gọi K là giao điểm của ED và BC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên

Tam giác ADE có nên tam giác ADE vuông cân tại A

Suy ra hay

Tam giác có

Vậy

Xét tam giác BCE có các đường cao BA, EK cắt nhau tại H nên tại I (tính chất ba đường cao của tam giác).

Do đó .

Tam giác ABC có trọng tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau thì tam giác này có đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ cùng đỉnh A, B, C trùng nhau. Theo tính chất tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Ta có AD = AC ⇒ tam giác ACD cân tại A

Trong tam giác BCD có

⇒ Tam giác BCD vuông tại C.

Vì AN ⊥ CD, BC ⊥ CD ⇒ AN // BC

Vì AM ⊥ BC, BC ⊥ CD ⇒ AM // CD

Ta có:

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Hình vẽ minh họa

Ta có MN // BC (gt) mà

Xét tam giác CAN có

Suy ra M là trực tâm tam giá CAN

Suy ra AM vuông góc với CN.

Hình vẽ minh họa

Nếu DA = DB thì tam giác DAB cân tại D, suy ra (tính chất tam giác cân)

Tam giác AHB vuông tại H

Tam giác ABK vuông tại H

Suy ra hay

Suy ra tam giác ABC cân tại C.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNO có hai đường cao ND và ME cắt nhau tại H thì H là trực tâm tam giác MNO

Vậy OH là đường cao của tam giác MNO.