Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác lớp 7

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNO có hai đường cao ND và ME cắt nhau tại H thì H là trực tâm tam giác MNO

Vậy OH là đường cao của tam giác MNO.

Vì trong tam giác đều thì ba đường cao bằng nhau. Trực tâm đồng thời là trọng tâm, đồng thời là điểm cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy câu sai là: “O không là trực tâm tam giác ABC”.

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC cân tại A.

Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến

Áp dụng định lí Py-Ta-Go cho tam giác ABH vuông tại H ta có:

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a

Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M

Ta có (AM là trung tuyến tam giác ABC)

Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là .

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A hay (tính chất tam giác cân)

Vì

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

BC chung

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.

Hình vẽ minh hạ

Xét tam giác ABC theo định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:

Mà (vì cùng phụ với )

Tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khi đó AM là đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đường trung trực của BC (theo tính chất tam giác cân)

Vậy câu sai là: “AM là đường cao xuất phát từ M”.

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Tam giác AHC vuông tại H suy ra

Tam giác Abc vuông tại A suy ra

Mặt khác, là tia phân giác của (gt) và nên (tính chất tia phân giác)

+)  là tia phân giác của (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) .

có : .

Vậy vuông tại .