VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 (Mức thông hiểu vận dụng)

Bài tập Toán 10 Tích vô hướng có đáp án

Bài tập trắc nghiệm toán 10 tích vô hướng giữa hai vectơ - Có đáp án

Trong chuyên đề Vectơ Toán 10, phần tích vô hướng giữa hai vectơ là nội dung quan trọng giúp học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức vào giải bài tập hình học và đại số. Bài viết này cung cấp trắc nghiệm tích vô hướng giữa hai vectơ (mức độ thông hiểu – vận dụng) kèm đáp án chi tiết, giúp bạn rèn luyện kỹ năng tính toán, phân tích và ứng dụng công thức tích vô hướng vào các bài toán thực tế. Đây là bộ bài tập Toán 10 tích vô hướng có đáp án giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra và ôn thi học kỳ.

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai
Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0$ :

$\overrightarrow{OA}\bot\overrightarrow{OB}$ suy ra $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = 0$ và $\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC} = 0$ suy ra $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC} = 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos45^{o}$ $= AB.AB\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} =AB^{2}$ .

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =AB.DC.\cos180^{0} = - AB^{2}$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \neq\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ nên chọn.
Câu 2: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = a$ và $AD = a\sqrt{2}$ . Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}\sqrt{2}.$
- B.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = - a^{2}\sqrt{2}.$
- C.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = 2a^{2}.$
- D.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = 0.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa :

Ta có:

$AC = BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{2a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{3}.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \end{matrix} \right.$

$\overset{}{\rightarrow}\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = \left( \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right)$

$= \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}$

$= - a^{2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}\left( a\sqrt{2} \right)^{2} = 0.$

$\overset{}{\rightarrow}\ \cos\widehat{ABC} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{ABC}} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$ (vì $\widehat{ABC}$ nhọn).

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{BC}$ là góc ngoài của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra $\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right) = \cos\left( 180^{0} -\widehat{ABC} \right)$ $= - \cos\widehat{ABC} = - \frac{5\sqrt{7}}{16}.$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
Cho tam giác $ABC$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0$ là:
- A.
  đường tròn.
- B.
  đoạn thẳng.
- C.
  đường thẳng.
- D.
  một điểm.
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm $BC\overset{}{\rightarrow}\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}.$

Ta có $\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0 \Leftrightarrow\overrightarrow{MA}.2\overrightarrow{MI} = 0$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MI} = 0 \Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\bot\overrightarrow{MI}$ . $(*)$

Biểu thức $(*)$ chứng tỏ $MA\bot MI$ hay $M$ nhìn đoạn $AI$ dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AI.$
Câu 4: Thông hiểu
Tính tích vô hướng của hai vectơ
Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = 6\ \ cm$ và đường cao $AH$ , $H$ ở trên cạnh $BC$ sao cho $BH = 2HC$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$
- A.
  $- 18 cm^{2}$ .
- B.
  $18cm^{2}$ .
- C.
  $- 24cm^{2}$ .
- D.
  $24cm^{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = \left( \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} \right).\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC} = - 24cm^{2}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm hệ thức sai
Cho $M,\ N,\ P,\ Q$ là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $\left( \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PQ} \right)\left( \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} \right) = MN^{2} - PQ^{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN} = - \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN}\left( \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} \right) = \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}$ .
Hướng dẫn:
Đáp án $\overrightarrow{MN}\left( \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} \right) = \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}$ đúng theo tính chất phân phối.

Đáp án $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN} = - \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$ sai. Sửa lại cho đúng $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$ .

Đáp án $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{MN}$ đúng theo tính chất giao hoán.

Đáp án $\left( \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PQ} \right)\left( \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} \right) = MN^{2} - PQ^{2}$ đúng theo tính chất phân phối.
Câu 6: Vận dụng
Định tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $4MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = \frac{5a^{2}}{2}$ nằm trên một đường tròn $(C)$ có bán kính $R$ . Tính $R$ .
- A.
  $R = \frac{a}{4}$ .
- B.
  $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ .
- C.
  $R = \frac{a}{\sqrt{6}}$ .
- D.
  $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Gọi $N$ là trung điểm đoạn $BC$ .

Gọi $I$ là điểm thỏa: $4\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ , nên điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AN$ sao cho $IN = 2IA$ .

Khi đó: $IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ , và $IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

$IB^{2} = IC^{2} = IN^{2} + BN^{2} = \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{7a^{2}}{12}$ .

Ta có:

$4MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = \frac{5a^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)^{2} = \frac{5a^{2}}{2}$ .

$\Leftrightarrow 6MI^{2} + 4IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow 6MI^{2} + 4.\frac{a^{2}}{12} + 2.\frac{7a^{2}}{12} = \frac{5a^{2}}{2} \Leftrightarrow MI = \frac{a}{\sqrt{6}}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{AC} = a^{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{CB} = a^{2}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = - a^{2}$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{CB} = a^{2}$ :

Do $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{CB} = DA.CB.\cos 0^{0} = a^{2}$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = - a^{2}$ :

Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =AB.CD.\cos180^{o} = - a^{2}$ nên chọn.
Câu 8: Thông hiểu
Định điều kiện cần và đủ theo yêu cầu
Cho ba điểm $O,\ A,\ B$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right).\overrightarrow{AB} = 0$ là:
- A.
  tam giác $OAB$ vuông tại $O.$
- B.
  tam giác $OAB$ đều.
- C.
  tam giác $OAB$ cân tại $O.$
- D.
  tam giác $OAB$ vuông cân tại $O.$
Hướng dẫn:
Ta có :

$\left( \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} \right).\overrightarrow{AB} = 0$ $\Leftrightarrow\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right).\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) = 0$

$\Leftrightarrow{\overrightarrow{OB}}^{2} - {\overrightarrow{OA}}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow OB^{2} - OA^{2} = 0 \Leftrightarrow OB = OA$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm hệ thức sai
Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $\widehat{B} = 50^{o}$ . Hệ thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} \right) = 130^{o}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} \right) = 50^{o}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} \right) = 120^{o}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} \right) = 40^{o}$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} \right) = 130^{o}$ : $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} \right) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} \right) = 130^{o}$ nên loại.

Phương án $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} \right) = 40^{o}$ : $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} \right) = \left( \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CA} \right) = 40^{o}$ nên loại.

Phương án $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} \right) = 50^{o}$ : $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} \right) = \left( \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC} \right) = 50^{o}$ nên loại .

Phương án $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} \right) = 120^{o}$ : $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} \right) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB} \right) = 140^{o}$ nên chọn.
Câu 10: Thông hiểu
Tính tích vô hướng
Cho hình thang vuông $ABCD$ có đáy lớn $AB = 4a$ , đáy nhỏ $CD = 2a$ , đường cao $AD = 3a$ ; $I$ là trung điểm của $AD$ . Khi đó $\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} \right).\overrightarrow{ID}$ bằng:
- A.
  $\frac{9a^{2}}{2}$ .
- B.
  $9a^{2}$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $- \frac{9a^{2}}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{IB} \right).\overrightarrow{ID} = \left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{ID}$

$= 2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{ID} =- \frac{9a^{2}}{2}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm đẳng thức sai
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
Hướng dẫn:
Nhận thấy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ chỉ khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên thử kiểm tra đáp án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ .

Ta có : $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} - \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)^{2} = 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$

$\rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$

Chọn $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$

Đáp án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ đúng, vì $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right).\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$

$= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Đáp án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$ đúng, vì $\left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right).\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)$

$= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác
Cho hai điểm $A,\ B$ cố định có khoảng cách bằng $a$ . Tập hợp các điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{AB} = 2a^{2}$ là:
- A.
  đoạn thẳng.
- B.
  một điểm.
- C.
  đường thẳng.
- D.
  đường tròn.
Hướng dẫn:
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ . Khi đó $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}.$

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 2{\overrightarrow{AB}}^{2} = 2a^{2}.$

Kết hợp với giả thiết, ta có:

$\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC} \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CN} = 0 \Leftrightarrow CN\bot AB$ .

Vậy tập hợp các điểm $N$ là đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AB.$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ mà $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ là:
- A.
  Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .
- B.
  Đường tròn đường kính $AB$ .
- C.
  Đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $AC$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với $AB$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CA} \right).\overrightarrow{CB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB} = 0$ .

Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho $ABC$ là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ : Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos60^{o} \neq 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ : $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} > 0 \\- \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} < 0\end{matrix} \right\}$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \neq -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ nên loại.

Phương án $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ : Do $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ không cùng phương nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ : $AB = AC = BC = a$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = \frac{a^{2}}{2}$ nên chọn.
Câu 15: Thông hiểu
Xác định đẳng thức đúng
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $C.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB} = \sqrt{3}a^{2}.$
- B.
  $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB} = 2a^{2}.$
- C.
  $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB} = 5a^{2}.$
- D.
  $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB} = \sqrt{5}a^{2}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có $C$ là trung điểm của $DE$ nên $DE = 2a.$

Khi đó:

$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB} = \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} \right).\overrightarrow{AB} = \underset{0}{\overset{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}}{︸}} + \overrightarrow{DE}.\overrightarrow{AB}$

$= DE.AB.\cos\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{AB} \right) = DE.AB.\cos0^{0} =2a^{2}.$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng
Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,\ \ CA = b,\ AB = c.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}.$
- B.
  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3}.$
- C.
  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}.$
Hướng dẫn:
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM}$

Khi đó:

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \right).\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{AC}}^{2} - {\overrightarrow{AB}}^{2} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( AC^{2} - AB^{2} \right) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 8$ và $BD= 6$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 32.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 28.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 24.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Gọi $O = AC \cap BD$ , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \left( \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} \right).\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC} + 0 = \frac{1}{2}AC^{2} = 32$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ , với các đường cao $AH,BK;$ vẽ $HI\bot AC.$ Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CK} = \frac{a^{2}}{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC} = a^{2}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CK} = \frac{a^{2}}{8}$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC} = a^{2}$ :

Do $\left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$ $= - \frac{a^{2}}{2} +\frac{a^{2}}{2} = 0$ nên loại

Phương án $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CK} = \frac{a^{2}}{8}$ :

Do $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CK} =CB.CK.\cos0^{o} = \frac{a^{2}}{2}$ nên loại

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}$ :

Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos60^{o} = \frac{a^{2}}{2}$ nên chọn.
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $18cm$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right|$ là:
- A.
  Đường tròn cố định có bán kính $R = 3\ cm$ .
- B.
  Tập rỗng.
- C.
  Một đường thẳng.
- D.
  Đường tròn cố định có bán kính $R = 2\ cm$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{AB} \right| = 18$ .

Dựng điểm $I$ thỏa mãn $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$ .

Khi đó:

$\left| 2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right|$

$\Leftrightarrow9\left| \overrightarrow{MI} \right| = 18 \Leftrightarrow IM =2$ .

Do đó tập hợp các điểm $M$ là đường tròn cố định có bán kính $R = 2\ cm$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Tìm tập các hợp điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MB}\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0$ với $A,\ B,\ C$ là ba đỉnh của tam giác.
- A.
  đường thẳng.
- B.
  đoạn thẳng.
- C.
  một điểm.
- D.
  đường tròn.
Hướng dẫn:
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MB}\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MB}.3\overrightarrow{MG} = 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MG} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MB}\bot\overrightarrow{MG}.$ $(*)$

Biểu thức $(*)$ chứng tỏ $MB\bot MG$ hay $M$ nhìn đoạn $BG$ dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $BG.$
Câu 21: Thông hiểu
Xác định tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu
Cho hai điểm $A,\ B$ cố định và $AB = 8.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = - 16$ là:
- A.
  đường thẳng.
- B.
  đường tròn.
- C.
  một điểm.
- D.
  đoạn thẳng.
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \rightarrow \overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} \right)$

$= {\overrightarrow{MI}}^{2} - {\overrightarrow{IA}}^{2} = MI^{2} - IA^{2} = MI^{2} - \frac{AB^{2}}{4}.$

Theo giả thiết, ta có

$MI^{2} - \frac{AB^{2}}{4} = - 16$

$\Leftrightarrow MI^{2} = \frac{AB^{2}}{4} - 16 = \frac{8^{2}}{4} - 16 = 0 \rightarrow M \equiv I$
Câu 22: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúnga
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ , với các đường cao $AH,BK;$ vẽ $\ HI\bot AC.$ Cho các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BH}$ .

b) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA} = 4\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CI}$ .

c) $\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ .

Có bao nhiêu câu nào sau đây đúng?
- A.
  3
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  0
Hướng dẫn:
Khẳng định a):

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BH} \Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BH}$ nên đẳng thức ở phương án A là đúng.

Khẳng định b):

$\overrightarrow{CA} = 4\overrightarrow{CI} \Rightarrow \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA} = 4\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CI}$ nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Khẳng định c):

$\left. \ \begin{matrix} \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} = a^{2} \\ 2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 2.a.a.\frac{1}{2} = a^{2} \end{matrix} \right\}$ $\Rightarrow \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ nên đẳng đúng

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.
Câu 23: Thông hiểu
Tìm câu sai
Cho hình thang vuông $ABCD$ có đáy lớn $AB = 4a$ , đáy nhỏ $CD = 2a$ , đường cao $AD = 3a$ ; $I$ là trung điểm của $AD$ . Câu nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB} = 0$ .
- B.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC} = 8a^{2}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0$ .
Hướng dẫn:
Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC} = 8a^{2}$ : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC} =AB.DC.\cos0^{o} = 8a^{2}$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = 0$ : $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{CD}$ suy ra $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0$ : $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{AB}$ suy ra $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB} = 0$ : $\overrightarrow{DA}$ không vuông góc với $\overrightarrow{DB}$ suy ra $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB} \neq 0$ nên chọn.
Câu 24: Thông hiểu
Tìm đẳng thức đúng
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 8,\ AD = 5.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD} = 64.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD} = 62.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD} = - 62.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD} = - 64.$
Hướng dẫn:
Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BD}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\right)$ $= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

$= - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + 0 = - AB^{2} = - 64$ .
Câu 25: Thông hiểu
Xác định tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu
Cho hai điểm $A,\ B$ cố định và $AB = 10$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 25 = 0$ là:
- A.
  Một đường tròn.
- B.
  Một đường thẳng.
- C.
  Một điểm.
- D.
  Tập rỗng.
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ , ta có:

$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{IB} = - \overrightarrow{IA}$ .

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 25 = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) + 25 = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} \right) + 25 = 0$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{MI}}^{2} - {\overrightarrow{IA}}^{2} + 25 = 0$

$\Leftrightarrow MI^{2} - 5^{2} + 25 = 0 \Leftrightarrow MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I$ .

Vậy điểm $M \equiv I$ .

Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 25 = 0$ là một điểm.
Câu 26: Thông hiểu
Tìm đẳng thức đúng
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}a^{2}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos45^{0}$ $= a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = a^{2}$ .
- B.
  $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}).\overrightarrow{AD} = a^{2}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} =0$ : $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^{2}$ : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos45^{o} = a^{2}$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = a^{2}$ : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =a.a.\cos180^{o} = - a^{2}$ nên chọn.
Câu 28: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho hai điểm $B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = {\overrightarrow{CM}}^{2}$ là:
- A.
  Đường tròn đường kính $BC$ .
- B.
  Đường tròn $\ (B;BC)$ .
- C.
  Một đường khác.
- D.
  Đường tròn $(C;CB)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} ={\overrightarrow{CM}}^{2}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} - {\overrightarrow{CM}}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{MB} = 0$ .

Tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $BC$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức
Cho tam giác $ABC$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} = 0$ là:
- A.
  đường thẳng.
- B.
  đường tròn.
- C.
  đoạn thẳng.
- D.
  một điểm.
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow MA\bot BC.$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC.$
Câu 30: Vận dụng
Chọn đẳng thức đúng
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2.$ Điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = \frac{AC}{4}$ . Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $DC.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = - 4.$
- B.
  $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 16.$
- C.
  $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 4.$
- D.
  $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 0.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{MN}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$= \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$= \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right)$

$= \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.$

Suy ra:

$\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = \left( \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} \right)\left( \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \right)$

$= \frac{1}{16}\left( 3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + 3{\overrightarrow{AB}}^{2} - 3{\overrightarrow{AD}}^{2} - \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} \right)$

$= \frac{1}{16}\left( 0 + 3a^{2} - 3a^{2} - 0 \right) = 0$ .

Chia sẻ bởi:
Xử Nữ

1

4

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 10

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 (Mức thông hiểu vận dụng)

Bài tập trắc nghiệm toán 10 tích vô hướng giữa hai vectơ - Có đáp án

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 10

Toán lớp 10

Chuyên đề Toán 10

Chuyên đề Toán 10

Hướng dẫn cách quy tròn số gần đúng chi tiết kèm ví dụ minh họa

Tổng hợp công thức tính nhanh các dạng động lực học Vật lý 10

Tính quãng đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động thẳng đều

Cách phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác của mẫu số liệu không ghép nhóm

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Phương trình tham số của đường thẳng