Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
4. Bài tập viết phương trình đường thẳng
5. Bài tập rèn luyện viết phương trình đường thẳng

Bạn đang tìm cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm một cách nhanh chóng và chính xác? Trong hình học giải tích, việc xác định phương trình đường thẳng từ hai điểm đã biết tọa độ là kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp bạn giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết công thức tổng quát, ví dụ minh họa dễ hiểu và những mẹo áp dụng nhanh phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, giúp bạn học tốt hơn và tiết kiệm thời gian ôn luyện.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0;\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x₀;y₀) nhận $\overrightarrow u (a,b)$ làm vecto chỉ phương, Ta có:

$B\left( {x,y} \right) \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = t\overrightarrow u \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_0} = at} \\ {y - {y_0} = bt} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} \\ {y = {y_0} + bt} \end{array}} \right.;\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0,t \in \mathbb{R}} \right)$

- Đường thẳng d đi qua điểm A(x₀;y₀), nhận $\overrightarrow u (a,b)$ là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}$ với $(a,b \ne 0)$ .

3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

a. Sử dụng định nghĩa

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Tính: $\overrightarrow {AB} = \left( {c - a;d - b} \right)$ (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: $\overrightarrow n = \left( {b - d;c - a} \right)$
Bước 3: Phương trình đường thẳng d:

(b - d)(x - a) + (c - a)(y - b) = 0

b. Sử dụng phương trình tổng quát

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = am + n} \\ {d = cm + n} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {m;n} \right) = \left( {?;?} \right)$

Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.

4. Bài tập viết phương trình đường thẳng

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {1,1} \right)$

Phương trình tham số AB là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}$

$\overrightarrow n = \left( { - 1,1} \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là::

-1(x - 1) + 1.(y - 2) = 0

=> y = x + 1

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {1,1} \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}$

Gọi phương trình tổng quát là:

y = ax + b

Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} \\ {3 = a.2 + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1;1} \right)$

Vậy phương trình tổng quát cần tìm là: y = x + 1.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \\ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right)$

Vậy phương trình tổng quát cần tìm là: $y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là:

$y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow A\left( { - \frac{1}{3};0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:

$x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \Rightarrow B\left( {0; - \frac{1}{4}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {0; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1 ⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1) ⇒ 1 = 3.(-2) + b ⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7.

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Hướng dẫn giải

Ta có y' = 6x² + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ 9(m - 1)² - 36(m - 2) > 0 ⇔ 9(m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m2 + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1. $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {m^2} + 6m - 9 = - 4 \hfill \\ - {m^2} + 3m - 3 \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {m^2} - 3m + 4 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta có m = 1 hoặc m = 5 thỏa mãn

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC là x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác là điểm G(3; 2) và phương trình đường thẳng BC có dạng x + my + n = 0. Tính giá trị biểu thức S = m + n.

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x - y - 2 = 0 \\ x + 2y - 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow A(3;1)$

Ta có $B\left( x_{B};x_{B} - 2 \right);C\left( x_{C};\frac{- x_{C} + 5}{2} \right)$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ là trung điểm của BC thì $2\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{AG}$ nên

$\left\{ \begin{matrix} 2\left( x_{0} - 3 \right) = 0 \\ 2\left( y_{0} - 2 \right) = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ y_{0} = \dfrac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} x_{B} + x_{C} = 2x_{0} \\ x_{B} - 2 + \dfrac{- x_{C} + 5}{2} = 2y_{0} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{B} + x_{C} = 6 \\ 2x_{B} - x_{C} = 9 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{B} = 5 \\ x_{C} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(5;3),C(1;2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC} = ( - 4; - 1)$

Suy ra một vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n} = (1; - 4)$

Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1.(x - 5) - 4.(y - 3) = 0 ⇔ x - 4y + 7 = 0

Suy ra m = -4; n = 7 => S = 3.

Ví dụ 5: Cho hai điểm C (2; 3), D(1; 4). Viết phương trình đường thẳng cách đều hai điểm C; D?

Hướng dẫn giải

Gọi đường thẳng cần tìm là đường thẳng d.

Khi đó đường thẳng d cách đều hai điểm C và D khi:

Trường hợp 1: Đường thẳng đó song song hoặc trùng với đường thẳng CD,

Ta có: $\overrightarrow{CD} = ( - 1;1)$ nên một vectơ pháp tuyến của CD là $\overrightarrow{n} = (1;1)$

Vậy trong các đường thẳng đã cho chỉ có đường thẳng .

Trường hợp 2. d là đường trung trực của CD.

Khi đó d đi qua trung điểm $I\left( \frac{3}{2};\frac{7}{2} \right)$ của CD và nhận $\overrightarrow{CD} = ( - 1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

$- 1\left( x - \frac{3}{2} \right) + 1\left( y - \frac{7}{2} \right) = 0$ ⇔ -x + y - 2 = 0

Vậy đáp án là x + y - 2 = 0.

5. Bài tập rèn luyện viết phương trình đường thẳng

Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;4), B(-6; 1) là:

A. 3x + 4y - 10 = 0. B. 3x - 4y + 22 = 0.

C. 3x - 4y + 8 = 0. D. 3x - 4y - 22 = 0.

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(-1; -2); B(0; 2), C(-2; 1). Đường trung tuyến BM có phương trình là:

A. 5x - 3y + 6 = 0. B. 3x - 5y + 10 = 0.

C. x - 3y + 6 = 0. D. 3x - y - 2 = 0.

Câu 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(-2; 4), B(1; 0) là

A. 4x + 3y + 4 = 0. B. 4x + 3y - 4 = 0.

C. 4x - 3y + 4 = 0. D.4x - 3y - 4 = 0.

Câu 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; -1) và B(2; 5).

A. $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 + 6t \end{matrix} \right.\ .$ B. $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = - 6t \end{matrix} \right.\ .$ C. $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 5 + 6t \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 6t \end{matrix} \right.\ .$

Câu 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -5) và B(3; 0).

A. $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ . B. $- \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ . C. $\frac{x}{3} - \frac{y}{5} = 1$ . D. $\frac{x}{3} - \frac{y}{5} = 0$ .

Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; -1) và B(2; 5).

Câu 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(-1; 3) và B(3; 1).

A. $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{matrix} \right.$ . B. $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 2t \\ y = 3 - t \end{matrix} \right.$ . C. $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \end{matrix} \right.$ . D. $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 2t \\ y = 3 + t \end{matrix} \right.$ .

Câu 8. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1) và B(2; 2) có phương trình tham số là:

A. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \end{matrix} \right.\ .$ B. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \end{matrix} \right.\ .$ C. $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 1 + t \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \end{matrix} \right.\ .$

Câu 9. Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B(1; -7) có phương trình tham số là:

A. $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 7 \end{matrix} \right.$ . B. $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 7 - t \end{matrix} \right.$ . C. $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = 1 - 7t \end{matrix} \right.$ . D. $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 7 \end{matrix} \right.$ .

Câu 10. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và M(1; -3)?

A. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3t \end{matrix} \right.$ . B. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 3 - 3t \end{matrix} \right.$ . C. $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 3 + 6t \end{matrix} \right.$ . D. $\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 3t \end{matrix} \right.$ .

Câu 11. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -1) và B(1; 5) là:

A. -x + 3y + 6 = 0. B. 3x - y + 10 = 0.

C. 3x - y + 6 = 0. D. 3x + y - 8 = 0.

Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; -1) và B(2; 5) là:

A. x + y - 1 = 0. B. 2x - 7y + 9 = 0. C. x + 2 = 0. D. x - 2 = 0.

Câu 13. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B(1; -7) là:

A. y - 7 = 0. B. y + 7 = 0. C. x + y + 4 = 0. D. x + y + 6 = 0.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1.

Chọn B.

Ta có $(AB):\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{- 4} = \frac{y - 4}{- 3}$ ⇔ 3x - 4y + 22 = 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 3x - 4y + 22 = 0.

Câu 2

Chọn A

GọiM là trung điểm $\Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{1}{2} \right)$ ; $\overrightarrow{BM} = \left( - \frac{3}{2}; - \frac{5}{2} \right) = - \frac{1}{2}(3;\ 5)$

BM qua B(0; 2) và nhận $\overrightarrow{n} = (5; - 3)$ làm VTPT => BM: 5x - 3.(y - 2) = 0 ⇔ 5x - 3y + 6 = 0.

Câu 3. Chọn đáp án B

Câu 4. Chọn đáp án A

Câu 5. Chọn đáp án C

Câu 6.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A(2; - 1) \in AB \\ {\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = (0;6) \end{matrix} \right.$

$= > \ AB:\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 + 6t \end{matrix} \right.\ \ \ \left( t\mathbb{\in R} \right).$ Chọn A.

Câu 7.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A( - 1;3) \in AB \\ {\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = (4; - 2) = - 2( - 2;1) \end{matrix} \right.$

$\overset{\rightarrow}{}AB:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 2t \\ y = 3 + t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).$ Chọn D.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------------------------------------------------

FAQ – Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 2 Điểm

1. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là gì?

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là phương trình biểu diễn một đường thẳng xác định duy nhất bởi hai điểm phân biệt trên mặt phẳng tọa độ. Đây là dạng toán quan trọng trong chuyên đề hình học tọa độ lớp 9 và thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10.

2. Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm?

Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), học sinh thực hiện các bước:

Xác định hệ số góc của đường thẳng.
Lập phương trình theo dạng phù hợp.
Rút gọn phương trình về dạng tổng quát hoặc dạng hàm số.

Việc nắm vững quy trình giúp giải nhanh các bài toán tọa độ trong chương trình Toán 9.

3. Điều kiện để xác định một đường thẳng qua hai điểm là gì?

Hai điểm phải là hai điểm phân biệt, tức là không trùng nhau. Khi đó chỉ tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua cả hai điểm trên mặt phẳng tọa độ.

4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có những dạng nào?

Các dạng thường gặp gồm:

Dạng tổng quát.
Dạng hàm số bậc nhất.
Dạng tham số.
Dạng sử dụng vectơ chỉ phương.

Trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10, dạng tổng quát và dạng hàm số là phổ biến nhất.

5. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có thường xuất hiện trong đề thi học kì 10 không?

Có. Đây là dạng toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong chuyên đề tọa độ. Dạng bài này thường xuất hiện dưới các hình thức:

Viết phương trình đường thẳng.
Xác định hệ số góc.
Tìm giao điểm giữa hai đường thẳng.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

6. Những sai lầm thường gặp khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm là gì?

Một số lỗi học sinh thường mắc phải gồm:

Tính sai hệ số góc.
Thay nhầm tọa độ điểm vào công thức.
Viết sai dạng phương trình.
Bỏ sót bước kiểm tra kết quả.

Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp hạn chế các lỗi này.

7. Làm sao nhận biết hai điểm nằm trên cùng một đường thẳng?

Hai điểm luôn xác định một đường thẳng duy nhất. Trong các bài toán nâng cao, để kiểm tra nhiều điểm có thẳng hàng hay không, học sinh có thể:

So sánh hệ số góc.
Thay tọa độ vào phương trình đường thẳng.
Sử dụng điều kiện thẳng hàng trong mặt phẳng tọa độ.

--------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

Trên đây là toàn bộ hướng dẫn chi tiết về cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, kèm theo ví dụ minh họa rõ ràng và công thức dễ nhớ. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp bạn tự tin giải bài tập trong sách giáo khoa mà còn hỗ trợ hiệu quả cho các đề thi nâng cao hoặc đề kiểm tra năng lực. Để học tốt hơn, bạn hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau, thử thay đổi tọa độ hai điểm và viết ra nhiều phương trình đường thẳng khác nhau. Nhờ đó, bạn sẽ rèn luyện khả năng tư duy và phản xạ nhanh với mọi dạng bài.

Hy vọng bài viết “Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm” này đã giúp bạn nắm vững phương pháp và tự tin áp dụng trong học tập. Đừng quên chia sẻ cho bạn bè và theo dõi những bài viết tiếp theo để cập nhật thêm nhiều kiến thức Toán học hữu ích nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: