Bất phương trình tương đương là gì? Cách nhận biết và biến đổi chuẩn
Chuyên đề Toán 10: Bất phương trình có đáp án
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề bất phương trình là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi. Một khái niệm cơ bản nhưng rất cần thiết khi giải bất phương trình là bất phương trình tương đương. Việc hiểu rõ bất phương trình tương đương là gì, cách nhận biết và cách biến đổi chuẩn sẽ giúp học sinh giải toán nhanh chóng, chính xác và tránh sai sót. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức lý thuyết, hướng dẫn phương pháp và đưa ra ví
A. Bất phương trình tương đương
Định nghĩa:
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương.
- Nếu bất phương trình
\(f(x) <
g(x)\) tương đương với bất phương trình \(h(x) < k(x)\) thì ta viết \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow h(x) <
k(x)\).
B. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi tương đương và phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.
Định lí:
Cho bất phương trình \(f(x) <
g(x)\) có tập xác định là \(D\); \(y = h(x)\) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên D, ta có:
- \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) +
h(x) < g(x) + h(x)\).
- \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow
f(x).h(x) < g(x).h(x)\) nếu \(h(x)
> 0;\forall \in D\).
- \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow
f(x).h(x) > g(x).h(x)\) nếu \(h(x)
< 0;\forall \in D\).
- \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow f^{2}(x)
< g^{2}(x)\) nếu \(f(x) \geq 0;g(x)
\geq 0;\forall \in D\).
Hệ quả: \(f(x) < g(x) + h(x)
\Leftrightarrow f(x) - h(x) < g(x)\).
Lưu ý:
- Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
- Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình \(f(x) < g(x)\) với biểu thức \(h(x)\) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của \(h(x)\). Nếu \(h(x)\) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
- Khi giải bất phương trình \(f(x) <
g(x)\) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp.
- \(f(x);g(x)\) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
- \(f(x);g(x)\) cùng có giá trị âm, ta viết: \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow -
f(x) > - g(x)\) rồi bình phương hai vế bất phương trình mới (sau khi bình phương thì bất phương trình đổi chiều).
C. Bài tập minh họa bất phương trình tương đương có hướng dẫn giải
Ví dụ 1: Bất phương trình \(x - 1 > 0\ \
(*)\) tương đương với bao nhiêu bất phương trình cho dưới đây?
\((I):x - 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} >
\frac{1}{x^{2} + 1}\); \((II):x - 1 +
\sqrt{x - 2} > \sqrt{x - 2}\);
\((III):x - 1 + \frac{1}{x + 3} >
\frac{1}{x + 3}\); \((IV):x - 1 +
\frac{1}{(x - 4)^{2}} > \frac{1}{(x - 4)^{2}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có (*) xác định trên \(\mathbb{R}\). Mặt khác \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x >
1\).
+ Xét bất phương trình (I):
Cộng cả 2 vế của (*) với \(\frac{1}{x^{2} +
1}\) ta được bất phương trình (I).
Mà hàm số \(y = \frac{1}{x^{2} + 1}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên suy ra (*) tương đương với (I).
+ Xét bất phương trình (II): Cộng cả 2 vế của (*) với \(\sqrt{x - 2}\) ta được bất phương trình (II).
Tuy nhiên hàm số \(y = \sqrt{x -
2}\) xác định trên \(\lbrack 2; +
\infty\rbrack\) nên ta chưa thể khẳng định được ngay (*) có tương đương với (II) hay không.
Ta có:
\(x - 1 + \sqrt{x - 2} > \sqrt{x -
2}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2 \geq 0 \\
x - 1 + \sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 2} > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \geq 2 \\
x - 1 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \geq 2 \\
x > 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 2\)
Vậy (*) không tương đương với (II).
+ Xét bất phương trình (III): Tương tự như trên, ta chưa thể khẳng định ngay được là (*) có tương đương với (III) không.
Ta có:
\(x - 1 + \frac{1}{x + 3} > \frac{1}{x
+ 3}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 3 \neq 0 \\
x - 1 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \neq - 3 \\
x > 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x > 1\).
Vậy (*) tương đương với (III).
+ Xét bất phương trình (IV): Tương tự, ta có:
\(x - 1 + \frac{1}{(x - 4)^{2}} >
\frac{1}{(x - 4)^{2}}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 4 \neq 0 \\
x - 1 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \neq 4 \\
x > 1
\end{matrix} \right.\).
Vậy (*) không tương đương với (IV).
+ Tóm lại (*) tương đương với hai bất phương trình (I) và (III).
Ví dụ 2: Bất phương trình \(2x - 1 >
0\) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. \((2x - 1)^{2} > x^{2}\) B. \((2x - 1)(x - 5) > x(x - 5)\)
C. \(\frac{2x - 1}{x^{2} + 3} >
\frac{x}{x^{2} + 3}\) D. \(\frac{1}{2x
- 1} < \frac{1}{x}\)
Hướng dẫn giải
- Với đáp án A: \(2x - 1\)và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên \(\mathbb{R}\) nên khi bình phương hai vế, bất phương trình mới thu được không tương đương.
- Với đáp án B: Vì \(x - 5\) là biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên \(\mathbb{R}\) nên khi nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với \(x - 5\) ta được bất phương trình không tương đương.
- Với đáp án C: \(x^{2} + 3 > 0;\forall
x\mathbb{\in R}\) nên chia cả hai vế của bất phương trình \(2x - 1 > x\) cho \(x^{2} + 3\) ta được bất phương trình tương đương. Vậy C là đáp án đúng.
- Với đáp án D: Vì \(2x - 1\) và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên \(\mathbb{R}\) nên khi nghịch đảo (dù có cả đổi chiều) ta không thu được bất phương trình tương đương.
D. Bài tập tự rèn luyện chứng minh bất phương trình tương đương
Bài tập 1: Tập nghiệm của bất phương trình \(x + \sqrt{x + 2} \leq 2 + \sqrt{x + 2}\) là:
A. \(( - \infty; - 2)\) B. \(\left\{ 2 \right\}\) C. \(\lbrack - 2;2\rbrack\) D. \(\varnothing\)
Bài tập 2: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình \(x + 3 > 0\)?
A. \((x + 3)\sqrt{x + 4} > 0\) B. \(x + 3 + \sqrt{1 - x} > \sqrt{1 -
x}\)
C. \((x - 5)^{2}(x + 3) > 0\) D. \(x^{2}(x + 3) > 0\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
-------------------------------------------
Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu khái niệm bất phương trình tương đương, cách nhận biết và những phép biến đổi thường dùng để đưa bất phương trình về dạng đơn giản hơn. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh vận dụng vào việc giải các dạng bất phương trình bậc nhất, bậc hai và hệ bất phương trình trong Toán 10. Để thành thạo, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao, đối chiếu với đáp án để rút kinh nghiệm. Hy vọng tài liệu thuộc chuyên đề Toán 10 có đáp án này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi chinh phục các bài toán bất phương trình.
