Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng biểu thức
Chuyên đề Toán 10: Chứng minh bất đẳng thức
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề bất đẳng thức luôn được xem là một trong những dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Với đề bài “Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng biểu thức…”, học sinh không chỉ cần nắm chắc kiến thức nền tảng mà còn phải biết vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức quen thuộc như AM–GM, Cauchy-Schwarz hay Bunhiacopxki. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tiếp cận, phân tích và trình bày lời giải một cách logic, rõ ràng, giúp củng cố kỹ năng giải bất đẳng thức hiệu quả.
A. Bài tập minh họa chứng minh bất đẳng thức
Bài tập 1. Cho a; b; c là các số thực dương thoả mãn 
\(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{a^{2} +
b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{abc}\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT AM- GM ta có:
\(ab + bc + ca \geq
3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{1}}\)
\(1 = \ a\ + \ b\ + \ c\ \ \geq
3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow ab + bc + ca \geq
3\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{abc} \geq 9abc\)
\(\Rightarrow P \geq \frac{1}{a^{2} +
b^{2} + c^{2}} + \frac{9}{ab + bc + ca}\)
\(\Rightarrow P \geq \frac{1}{a^{2} +
b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{ab + bc + ca} + \frac{1}{ab + bc + ca} +
\frac{7}{ab + bc + ca}\)
\(\geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2} +
2ab + 2bc + 2ca} + \frac{7}{\frac{(a + b + c)^{2}}{3}} = 30\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại \(a = b = c =
\frac{1}{3}\).
Bài tập 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(Q = \frac{x}{\sqrt{1
- x}} + \frac{y}{\sqrt{1 - y}}\).
Hướng dẫn giải
Viết lại \(Q = \frac{x - 1 + 1}{\sqrt{1 -
x}} + \frac{y - 1 + 1}{\sqrt{1 - y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} +
\frac{1}{\sqrt{1 - y}} - (\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - y})\)
Theo Cauchy ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{1 - x}} + \frac{1}{\sqrt{1
- y}} \geq \frac{2}{\sqrt[4]{(1 - x)(1 - y)}} \geq
\frac{2}{\sqrt{\frac{1 - x + 1 - y}{2}}} = 2\sqrt{2}\) (1)
(Do x + y = 1)
Theo Bunhiacopski:
\(\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - y} \leq
\sqrt{2}\sqrt{1 - x + 1 - y} = \sqrt{2}\) (Do x + y = 1) (2)
Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có:\(Q \geq
\sqrt{2}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{matrix}
1 - x = 1 - y \\
x + y = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy minQ = \(\sqrt{2}\).
Bài tập 3. Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^{3}}{b(c + 1)} +
\frac{b^{3}}{c(a + 1)} + \frac{c^{3}}{a(b + 1)} \geq
\frac{3}{2}\)
Hướng dẫn giải
Do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC - TBN ta có:
\(\frac{a^{3}}{b(c + 1)} + \frac{b}{2} +
\frac{c + 1}{4} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b(c +
1)}.\frac{b}{2}.\frac{c + 1}{4}} = \frac{3a}{2}\) ; tương tự ta cũng có:
\(\frac{b^{3}}{c(a + 1)} + \frac{c}{2} +
\frac{a + 1}{4} \geq \frac{3b}{2}\)
\(\frac{c^{3}}{a(b + 1)} + \frac{a}{2} +
\frac{b + 1}{4} \geq \frac{3c}{2}\)
cộng theo vế các bđt trên ta được:
VT +\(\frac{a + b + c}{2} + \frac{a + b + c
+ 3}{4} \geq \frac{3(a + b + c)}{2}\) \(\Leftrightarrow VT \geq \frac{3}{4}(a + b + c) -
\frac{3}{4}\)
Mà \(a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} =
3\) nên \(VT \geq \frac{9}{4} -
\frac{3}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow\) điều phải chứng minh.
B. Bài tập tự rèn luyện chứng minh bất đẳng thức có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn \(4(a + b + c) = 3abc\) chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} +
\frac{1}{c^{3}} \geq \frac{3}{8}\) .
Bài tập 2. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa :3\(xyz = xy + yz + zx\). Chứng minh:
\(\frac{1}{x(3x - 1)^{2}} + \frac{1}{y(3y
- 1)^{2}} + \frac{1}{z(3z - 1)^{2}} \geq \frac{3}{4}\)
Bài tập 3. Cho các số thực \(a,b,c >
0\) thỏa mãn \(a + b + c \leq
\frac{3}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2} +
\frac{1}{c^{2}}} + \sqrt{c^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\).
Bài tập 4. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = 2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{\sqrt{2019 - x}} +
\frac{y}{\sqrt{2019 - y}}\).
Bài tập 5. Cho ba số thực dương \(x,\ y,\
z\) chứng minh rằng:
\(\left( \frac{x}{y + z} + \frac{1}{2}
\right)\left( \frac{y}{z + x} + \frac{1}{2} \right)\left( \frac{z}{x +
y} + \frac{1}{2} \right) \geq 1\)
Bài tập 6. Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(xy + yz + xz = 3\). Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} +
\frac{y^{2}}{\sqrt{y^{3} + 8}} + \frac{z^{2}}{\sqrt{z^{3} + 8}} \geq
1\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
------------------------------------------------
Như vậy, qua bài toán “Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng biểu thức…”, chúng ta đã rèn luyện được phương pháp chứng minh bất đẳng thức, đồng thời hiểu rõ hơn cách áp dụng các định lý quan trọng trong Toán 10. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin xử lý nhiều dạng đề nâng cao, góp phần đạt điểm số cao trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi quan trọng.
