Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
Ứng dụng phản chứng trong chứng minh bất đẳng thức
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi. Một trong những kỹ thuật hay được sử dụng để giải các bài toán bất đẳng thức là phương pháp phản chứng. Đây là cách chứng minh gián tiếp, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng lập luận chặt chẽ và sáng tạo trong giải toán. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng kèm ví dụ minh họa, giúp bạn nắm vững và vận dụng hiệu quả.
A. Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng
Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau:
- Bước 1: Giả sử mệnh đề đó là sai (lúc này kết quả đó được dùng làm giả thiết, gọi là giả thiết phản chứng).
- Bước 2: Bằng lập luận lôgic và những kiến thức đã biết, kết hợp với kết quả ở bước 1 để chỉ ra điều mâu thuẫn với điều giả sử hoặc mâu thuẫn với kết quả đúng đã biết.
- Bước 3: Khẳng định mệnh đề đã cho là đúng.
B. Bài tập ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng pp phản chứng
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng 
\((1;5)\). Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
\((a - 1)(5 - b) \leq 4;(b - 1)(5 - c) \leq
4;(c - 1)(5 - a) \leq 4\).
Hướng dẫn giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai. Khi đó \(\left\{ \begin{matrix}
(a - 1)(5 - b) > 4 \\
(b - 1)(5 - c) > 4 \\
(c - 1)(5 - a) > 4
\end{matrix} \right.\).
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
\((a - 1)(5 - b).(b - 1)(5 - c).(c - 1)(5 -
a) > 4^{3}\) (*).
Mặt khác, với \(x \in (1;5)\) thì \(0 < (x - 1)(5 - x) \leq \left( \frac{x -
1 + 5 - x}{2} \right)^{2} = 4\) nên
\((a - 1)(5 - b).(b - 1)(5 - c).(c - 1)(5 -
a) \leq 4^{3}\).
Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc \(\lbrack - 3;6\rbrack\). Xét các bất đẳng thức:
\((I):\sqrt{a + 3} + \sqrt{6 - b} <
3;(II):\sqrt{b + 3} + \sqrt{6 - c} < 3;(III):\sqrt{c + 3} + \sqrt{6 -
a} < 3\)
Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?
A. Có đúng một bất đẳng thức là sai. B. Cả ba bất đẳng thức đều sai.
C. Có ít nhất là một bất đẳng thức là sai. D. Có ít nhất hai bất đẳng thức là sai.
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Lời giải tự luận)
Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Do đó:
\(\left( \sqrt{a + 3} + \sqrt{6 - b}
\right) + \left( \sqrt{b + 3} + \sqrt{6 - c} \right) + \left( \sqrt{c +
3} + \sqrt{6 - a} \right) < 9\).
Với mọi \(x \in \lbrack -
3;6\rbrack\), ta lại có:
\(\sqrt{x + 3}
+ \sqrt{6 - x} \geq \sqrt{x + 3 + 6 - x} = 3\)
Suy ra:
\(\left( \sqrt{a + 3} + \sqrt{6 - b}
\right) + \left( \sqrt{b + 3} + \sqrt{6 - c} \right) + \left( \sqrt{c +
3} + \sqrt{6 - a} \right) \geq 3 + 3 + 3 = 9\).
Suy ra, điều giả sử là sai hay trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức là sai.
Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)
Cho \(a = - 3;b = 6;c = 0\) thì (I) là đúng, còn (II) và (III) là sai nên loại ngay được các phương án A và B.
Cho \(a = - 3;b = 0;c = 6\) thì (I) và (II) là đúng, còn (III) là sai nên loại được phương án D.
------------------------------------------------------------------
Qua việc tìm hiểu chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng, học sinh không chỉ nắm chắc một công cụ giải toán hữu ích mà còn rèn luyện được tư duy phản biện và khả năng suy luận chặt chẽ. Đây là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chuyên đề nâng cao và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi, thi THPT quốc gia. Để đạt hiệu quả cao, bạn nên luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời kết hợp các phương pháp chứng minh khác để mở rộng cách tiếp cận. Hy vọng tài liệu thuộc chuyên đề Toán 10 Bất đẳng thức này sẽ là hành trang hữu ích giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán khó.
