Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến x Toán 10
Cách chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc biến x
Trong chương trình Toán 10, phần chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến x là một nội dung quan trọng giúp học sinh nắm vững kỹ năng biến đổi và chứng minh các biểu thức lượng giác phức tạp. Bài viết Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến x Toán 10 sẽ hướng dẫn chi tiết các bước chứng minh, phương pháp biến đổi công thức và cung cấp bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh tự tin khi gặp dạng bài này trong kiểm tra và thi cử.
A. Cách chứng minh biểu thức độc lập với biến
Phương pháp:
Dùng các công thức lượng giác cơ bản và công thức góc phụ, góc bù để biến đổi biểu thức cho thành một biểu thức không có 
\(x.\)
B. Bài tập minh họa chứng minh biểu thức độc lập với biến
Ví dụ 1: Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc \(x:\)
\(M = cos^{6}x + 2sin^{6}x +
sin^{4}xcos^{2}x + 4sin^{2}xcos^{2}x - sin^{2}x.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(sin^{6}x + cos^{6}x = (sin^{2}x +
cos^{2}x)^{3} - 3sin^{2}xcos^{2}x = 1 - 3sin^{2}xcos^{2}x\)
Ta có:
\(sin^{6}x + sin^{4}xcos^{2}x = sin^{6}x +
sin^{4}x(1 - sin^{2}x) = sin^{4}x\)
Khi đó:
\(M = 1 - 3sin^{2}xcos^{2}x + sin^{4}x +
4sin^{2}xcos^{2}x - sin^{2}x\)
\(= 1 + sin^{2}x(1 - sin^{2}x) + sin^{4}x
- sin^{2}x\)
\(= 1 + sin^{2}x(1 - sin^{2}x) - sin^{2}x(1
- sin^{2}x) = 1\)
Nên ta có \(M\) không phụ thuộc vào \(x.\)
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau đây độc lập đối với \(x.\)
\(P = \frac{1}{1 + tan^{2}x} +sin^{2}(180^{0} - x) + cos(90^{0} - x)\)\(- \sin x + tan^{2}(90^{0} - x) +1 - \frac{1}{sin^{2}x}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(P = cos^{2}x + sin^{2}x + \sin x - \sin
x + cot^{2}x + 1 - \frac{1}{sin^{2}x}\)
Vậy ta có \(P = 1 + \frac{1}{sin^{2}x} -
\frac{1}{sin^{2}x} = 1\)
Vậy \(P\) độc lập đối với \(x.\)
Vì ta có \(sin(180^{0} - x) = \sin
x\); \(cos(90^{0} - x) = \sin
x\); \(tan(90^{0} - x) = \cot
x\).
Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức sau đây độc lập đối với x:
\(P = (\sin x + \cos x)^{2} + (\sin x - \cos x)^{2} - 2.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(P = sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx\cos x +
sin^{2}x + cos^{2}x - 2sinx\cos x - 2\)
\(P = 0.\)
Vậy \(P\) độc lập đối với \(x.\)
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Chứng minh biểu thức sau đây độc lập đối với x:
\(S = sin(90{^\circ} - x) +
cos(180{^\circ} - x) + sin^{2}x + sin^{2}x.tan^{2}x -
tan^{2}(180{^\circ} - x)\)
Bài tập 2: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x
a) \(E = 3(sin^{8}x - cos^{8}x) +
4(cos^{6}x - 2sin^{6}x) + 6sin^{4}x\)
b) \(F = 2(sin^{4}x + cos^{4}x +
sin^{2}xcos^{2}x)^{2} - (sin^{8}x + cos^{8}x)\).
Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc \(a:\)
\(T = 3(sin^{4}a + cos^{4}a) - 2(sin^{6}a
+ cos^{6}a)\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
---------------------------------------------
Bài viết Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến x Toán 10 đã cung cấp cho các em phương pháp chứng minh chi tiết và bài tập minh họa có đáp án giúp củng cố kiến thức. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau để làm chủ kỹ năng biến đổi và chứng minh biểu thức lượng giác, sẵn sàng chinh phục mọi đề thi Toán 10.
