Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài tập Toán 10: Giải bất phương trình bậc 2 - Có đáp án
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề bất phương trình bậc hai một ẩn là kiến thức trọng tâm, không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình mà còn là nền tảng quan trọng để học các chuyên đề nâng cao như hệ bất phương trình, phương trình chứa căn, logarit hay tích phân.
Việc giải bất phương trình bậc hai đòi hỏi học sinh nắm chắc các bước từ giải phương trình tương ứng, xét dấu biểu thức bậc hai, đến xác định khoảng nghiệm chính xác. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng phương pháp hiệu quả thông qua lý thuyết ngắn gọn, ví dụ minh họa dễ hiểu, kèm theo bài tập bất phương trình có đáp án chi tiết để tự luyện tập. Cùng bắt đầu khám phá ngay!
A. Cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng chung:
\(ax^{2} + bx + c > 0;ax^{2} + bx + c
< 0;ax^{2} + bx + c \geq 0;ax^{2} + bx + c \leq 0\)
Trong đó \(a;b;c\) là các số cho trước với \(a \neq 0\).
Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta thực hiện các bước chung như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của bất phương trình bậc hai tương ứng
Giải phương trình bậc hai liên quan bằng công thức nghiệm
\(x = \frac{- b \pm
\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Trong đó \(\Delta = b^{2} -
4ac\)
Bước 2: Phân tích dấu của biểu thức bậc hai
Dựa vào nghiệm của phương trình bậc hai, ta sẽ chia thành các khoảng và xét dấu của bất phương trình trên từng khoảng đó.
B. Bài tập minh họa giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài tập 1. Giải bất phương trình: \(x^{2} -
6x + 2 \geq 2(2 - x)\sqrt{2x - 1}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(x \geq
\frac{1}{2}\)
Đặt \(t = \sqrt{2x - 1} \geq 0
\Leftrightarrow x = \frac{t^{2} + 1}{2}\)
BPT (1)\(\Leftrightarrow x^{2} + 2tx -
3t^{2} - 4t - 1 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x - t - 1)(x + 3t + 1)
\geq 0\)
Mà do \(x \geq \frac{1}{2}\) và t\(\geq\) 0 nên \(x + 3t + 1\)>0.
BPT trở thành: x-t-1\(\geq\) 0\(\Leftrightarrow\) t2-2t-1\(\geq\) 0\(\Leftrightarrow\) \(\left\lbrack \begin{matrix}
t \geq 1 + \sqrt{2} \\
t \leq 1 - \sqrt{2}(KTM) \\
\end{matrix} \right.\)
Lúc đó, \(\sqrt{2x - 1} \geq 1 +
\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\) x\(\geq 2 + \sqrt{2}\)
Vậy nghiệm của BPT là x\(\geq 2 +
\sqrt{2}\)
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = f(x) = 2(m -
1).x + \frac{m.(x - 2)}{|x - 2|}\). Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) < 0, \(\forall x \in \lbrack
0;1\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\forall x \in \lbrack
0;1\rbrack\), f(x)=2(m-1)x-m
f(x)<0, \(\forall x \in \lbrack
0;1\rbrack \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f(0) < 0 \\
f(1) < 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow 0 < m <
2\)
Bài tập 3. a. Giải bất phương trình \(\sqrt{x - 2} +
\sqrt{x^{2} - 5} > 3\)
b. Tìm tập xác định của hàm số \(y =
\frac{\sqrt{2x + 5} - 2x\sqrt{5 - 2x}}{\sqrt{\left| x^{2} - 5x + 6
\right|} + \sqrt{4 - x^{2}}}\)
Hướng dẫn giải
a. Điều kiện: \(x \geq
\sqrt{5}\)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow \sqrt{x - 2} -
1 + \sqrt{x^{2} - 5} - 2 > 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x - 3}{\sqrt{x -
2} + 1} + \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} - 5} + 2} > 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 3)(\frac{1}{\sqrt{x
- 2} + 1} + \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} - 5} + 2}) > 0\)
\(\Leftrightarrow x - 3 >
0\)
Kết luận tập nghiệm \(S = (3; +
\infty)\)
b. Hàm số y có nghĩa
\(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
2x + 5 \geq 0 \\
5 - 2x \geq 0 \\
4 - x^{2} \geq 0 \\
\sqrt{\left| x^{2} - 5x + 6 \right|} + \sqrt{4 - x^{2}} \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{5}{2} \\x \leq \dfrac{5}{2} \\- 2 \leq x \leq 2 \\\left\lbrack \begin{matrix}4 - x^{2} > 0 \\x - 5x + 6 \neq 0 \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\)
Kết luận TXĐ: D = [-2; 2)
Bài tập 4. Cho hàm số \(y = \sqrt{(m -
1)x^{2} - 2(m - 1)x + 3}\). Tìm m để hàm số trên có tập xác định D = R.
Hướng dẫn giải
TXĐ D = R \(\Leftrightarrow (m - 1)x^{2} -
2(m - 1)x + 3 \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}\)
* Xét m= 1 bất phương trình thành 3 > 0
\(\Leftrightarrow\) Đúng \(\forall x\mathbb{\in R}\)
\(\Rightarrow\) m = 1 là giá trị cần tìm
* Xét \(m \neq 1\)
Yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
\Delta' \leq 0 \\
a > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 5m + 4 \leq 0 \\
m - 1 > 0 \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow 1 < m \leq
4\)
Vậy: \(1 \leq m \leq 4\)
-----------------------------------------------------
Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã nắm vững quy trình giải bất phương trình bậc hai một ẩn, từ cách tính delta, xác định nghiệm của phương trình, phân tích dấu biểu thức bậc hai đến việc kết luận khoảng nghiệm phù hợp với từng dấu bất phương trình. Việc luyện tập nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp bạn thành thạo hơn, đặc biệt là trong quá trình ôn thi giữa kỳ, cuối kỳ hoặc thi tuyển sinh đại học sau này.
👉 Đừng quên lưu lại bài viết và tiếp tục theo dõi chuyên mục Toán 10 – Bất phương trình để cập nhật thêm các bài giảng, tài liệu, đề thi và bài tập có lời giải chi tiết. Hãy biến bất phương trình thành "dễ như ăn kẹo" cùng chúng tôi!
