Giải hệ bất phương trình một ẩn: Phương pháp và bài tập có đáp án
Chuyên đề Toán 10: Giải hệ bất phương trình một ẩn
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề bất phương trình một ẩn là kiến thức trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ kiểm tra và đề thi. Một trong những dạng quan trọng là giải hệ bất phương trình một ẩn, yêu cầu học sinh biết kết hợp nhiều bất phương trình để tìm ra nghiệm chung. Việc nắm vững phương pháp giải và rèn luyện qua các dạng bài tập có đáp án sẽ giúp học sinh xử lý nhanh, chính xác và tự tin hơn khi gặp dạng toán này.
A. Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình một ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
- Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó.
B. Bài tập minh họa giải hệ bất phương trình một ẩn
Ví dụ 1: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
\(\left\{ \begin{matrix}3x + \dfrac{3}{5} \geq x + 2\ \ \ \ (1) \\\dfrac{6x - 3}{2} \leq 2x + 1\ \ \ \ (2)\end{matrix} \right.\) là:
A. \(\left\lbrack \frac{5}{2}; + \infty
\right)\) B. \(\left( -
\infty;\frac{5}{2} \right\rbrack\) C. \(\left\lbrack \frac{7}{10};\frac{5}{2}
\right\rbrack\) D. \(\left( -
\infty;\frac{7}{10} \right\rbrack\)
Hướng dẫn giải
Giải từng bất phương trình ta có:
\(3x + \frac{3}{5} \geq x + 2
\Leftrightarrow 3x - x \geq 2 - \frac{3}{5}\) (chuyển vế, đổi dấu)
\(\Leftrightarrow 2x \geq
\frac{7}{5}\) (rút gọn từng vế của bất phương trình)
\(\Leftrightarrow x \geq
\frac{7}{10}\) (chia cả hai vế cho \(2
> 0\)).
\(\frac{6x - 3}{2} \leq 2x + 1
\Leftrightarrow 6x - 3 \leq 2(2x + 1)\) (nhân cả hai vế với \(2 > 0\))
\(\Leftrightarrow 6x - 4x \leq 2 +
3\) (chuyển vế, đổi dấu)
\(\Leftrightarrow 2x \leq 5\) (rút gọn từng vế của bất phương trình)
\(\Leftrightarrow x \leq
\frac{5}{2}\) (chia cả hai vế cho \(2
> 0\)).
Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình:
Tập nghiệm của bất phương trình (1): 
Tập nghiệm của bất phương trình (2): 
Giao của hai tập hợp trên là đoạn \(\left\lbrack \frac{7}{10};\frac{5}{2}
\right\rbrack\).
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là đoạn \(\left\lbrack \frac{7}{10};\frac{5}{2}
\right\rbrack\).
Ta viết ngắn gọn như sau:
\(\left\{ \begin{matrix}3x + \dfrac{3}{5} \geq x + 2 \\\dfrac{6x - 3}{2} \leq 2x + 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x \geq \dfrac{7}{5} \\6x - 3 \leq 4x + 2\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{7}{10} \\2x \leq 5\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{7}{10} \\x \leq \dfrac{5}{2}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{10} \leq x \leq\dfrac{5}{2}\).
Ví dụ 2: Hệ bất phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 7x + 6 < 0 \\
\left| x^{2} - 4x \right| \leq 0
\end{matrix} \right.\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2} - 7x + 6 < 0
\Leftrightarrow 1 < x < 6(*)\).
\(\left| x^{2} - 4x \right| \leq 0
\Leftrightarrow \left| x^{2} - 4x \right| = 0\) (do \(\left| x^{2} - 4x \right| \geq 0;\forall
x\))
\(\Leftrightarrow x^{2} - 4x = 0
\Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4
\end{matrix} \right.\) trong hai giá trị này của x chỉ có giá trị \(x = 4\) thỏa mãn (*).
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 4\).
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: \(1 <
\frac{x^{2} + x + 5}{x^{2} + x + 3} < 3\).
Hướng dẫn giải
Nhận xét: \(x^{2} + x + 3 > 0\forall
x\mathbb{\in R}\).
Ta có:
\(1 < \dfrac{x^{2} + x + 5}{x^{2} + x +3} < 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} + x + 5}{x^{2} + x + 3} > 1 \\\dfrac{x^{2} + x + 5}{x^{2} + x + 3} < 3\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + x + 5 > x^{2} + x + 3 \\
x^{2} + x + 5 < 3x^{2} + 3x + 9
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2 > 0 \\
x^{2} + x + 2 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x\mathbb{\in R}\).
Vậy hệ bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
C. Bài tập tự rèn luyện giải hệ bất phương trình có hướng dẫn đáp án
Bài tập 1: Giải hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 3x + 2}{x^{2} - x + 2} \geq 0 \\\dfrac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2x - 3} \leq 0\end{matrix} \right.\).
Bài tập 2: Giải hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 4x + 3 \geq 0 \\
2x^{2} - x - 10 \leq 0 \\
2x^{2} - 5x + 3 > 0
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 3: Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
2x^{2} + 9x + 7 > 0 \\
x^{2} + x - 6 < 0
\end{matrix} \right.\)
A. \(S = \lbrack - 1;2\rbrack\) B. \(S = ( - 1;2)\) C. \(S = ( - \infty; - 1)\) D.\(S\mathbb{= R}\)
b) \(\left\{ \begin{matrix}
2x^{2} + x - 6 > 0 \\
3x^{2} - 10x + 3 \geq 0
\end{matrix} \right.\)
A. \(S = ( - \infty; - 2\rbrack\) B. \(S = (3; + \infty)\) C. \(S = ( - 2;3)\) D. \(S = ( - \infty; - 2\rbrack \cup (3; +
\infty)\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
------------------------------------------------------------------------
Qua bài viết, chúng ta đã hệ thống lại kiến thức về giải hệ bất phương trình một ẩn, từ phương pháp giải chi tiết đến các ví dụ minh họa có đáp án. Đây là kỹ năng nền tảng không chỉ phục vụ cho việc học Toán 10 mà còn là bước đệm quan trọng để học sinh giải quyết các dạng hệ bất phương trình bậc hai, bất phương trình chứa căn hoặc dạng nâng cao khác. Để học tốt, bạn nên luyện tập đa dạng bài tập, từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời kết hợp kỹ năng lập bảng xét dấu để tìm nghiệm chính xác. Hy vọng tài liệu trong chuyên đề Bất phương trình một ẩn Toán 10 này sẽ là công cụ hữu ích giúp bạn tự tin hơn trong học tập và ôn thi.
