Phương pháp giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn có đáp án
Trong chương trình Toán 10, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn là dạng bài nâng cao giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic và kỹ năng vận dụng các định lý về tam thức bậc hai. Nắm vững phương pháp giải hệ bất phương trình bậc hai giúp bạn xử lý linh hoạt các bài toán so sánh nghiệm, tìm miền nghiệm và chứng minh bất đẳng thức.
Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết các bước giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp học sinh củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.
A. Cách giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Để giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Giải từng bất phương trình
- Bước 2: Lấy giao các tập hợp nghiệm
- Bước 3: Kết luận nghiệm.
B. Ví dụ minh họa giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình 
\(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 4x + 3 > 0 \\
x^{2} - 6x + 8 > 0
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} - 4x + 3 > 0 \\
x^{2} - 6x + 8 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty) \\
x \in ( - \infty;2) \cup (4; + \infty)
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow x \in ( - \infty;1) \cup
(4; + \infty)\).
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm \(x \in (
- \infty;1) \cup (4; + \infty)\).
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số \(y =
\sqrt{x^{2} - 3x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\).
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} - 3x + 2 \geq 0 \\
x + 3 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x \leq 1 \\
x \geq 2
\end{matrix} \right.\ \\
x > - 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
- 3 < x \leq 1 \\
x \geq 2
\end{matrix} \right.\).
Ví dụ 3: Cho phương trình: \(x^{2} - 2mx +
m^{2} - m + 1 = 0(1)\)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm \(x
\geq 1\).
A. \(m \in \lbrack 2; + \infty)\) B. \(m \in \lbrack 3; + \infty)\)
C. \(m \in \lbrack 4; + \infty)\) D.\(m \in \lbrack 1; + \infty)\)
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm \(x_{1} < 1 < x_{2}\).
A. \(1 < m\) B. \(m < 2\) C. \(1
< m < 2\) D. \(\left\lbrack
\begin{matrix}
m < 1 \\
m > 2
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = x - 1\ \ \Rightarrow \ \ x = t +
1\), thay vào phương trình (1) ta được phương trình:
\(t^{2} + 2(1 - m)t + m^{2} - 3m + 2 = 0\ \
(2)\)
a) Để phương trình (1) có nghiệm \(x \geq
1\) \(\Leftrightarrow\) Phương trình (2) có nghiệm \(t \geq 0\)
TH1: Phương trình (2) có nghiệm \(t_{1}
\leq 0 \leq t_{2}\)
\(\Leftrightarrow P \leq 0 \Leftrightarrow
m^{2} - 3m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2\).
TH2: Phương trình (2) có nghiệm: \(0 \leq
t_{1} \leq t_{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta' \geq 0 \\
P \geq 0 \\
S \geq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 1 \geq 0 \\
m^{2} - 3m + 2 \geq 0 \\
m - 1 \geq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \geq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 2 \\
m \leq 1
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
m \geq 2
\end{matrix} \right.\)
Kết luận: Với \(m \in \lbrack 1; +
\infty)\) thì phương trình (1) có nghiệm \(x \geq 1\).
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa \(x_{1} < 1 < x_{2} \Leftrightarrow\) Phương trình (2) có 2 nghiệm:
\(t_{1} < 0 < t_{2} \Leftrightarrow
m^{2} - 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2\).
Kết luận: Với \(1 < m < 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \(x_{1}
< 1 < x_{2}\).
Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{16 - 4x}{x^{2} - x - 12} < 4 \\
\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x}
\end{matrix} \right.\)?
Hướng dẫn giải
Giải bất phương trình: \(\frac{16 -
4x}{x^{2} - x - 12} < 4\) \(\Leftrightarrow \frac{- 4x^{2} + 64}{x^{2} - x -
12} < 0\).
Bảng xét dấu:
\(\Rightarrow\) \(S_{1} = ( - \infty; - 4) \cup ( - 3;4) \cup (4; +
\infty)\).
Giải bất phương trình: \(\frac{1}{x - 2} +
\frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2}{x(x -
1)(x - 2)} > 0\).
Bảng xét dấu:
\(\Rightarrow S_{2} = \left( - \sqrt{2};0
\right) \cup \left( 1;\ \sqrt{2} \right) \cup (2; +
\infty)\).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là:
\(S = S_{1} \cap S_{2} = \left( -
\sqrt{2};0 \right) \cup \left( 1;\sqrt{2} \right) \cup (2;4) \cup (4; +
\infty)\).
C. Bài tập tự rèn luyện giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài tập 1: Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
- x^{2} + 4x - 7 < 0 \\
x^{2} - 2x - 1 \geq 0
\end{matrix} \right.\)
A. \(T = \left( - \infty;1 - \sqrt{2}
\right\rbrack\) B. \(T = \left\lbrack 1
+ \sqrt{2}; + \infty \right)\)
C. \(T = \left( - \infty;1 - \sqrt{2}\right\rbrack \cup \left\lbrack 1 + \sqrt{2}; + \infty \right)\) D. \(T = \left( 1 - \sqrt{2};1 + \sqrt{2}
\right)\)
b) \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + x + 5 < 0 \\
x^{2} - 6x + 1 > 0
\end{matrix} \right.\)
A.\(S\mathbb{= R}\) B.\(S = \varnothing\) C.\(S = \left( \frac{1}{2};4 \right)\) D.\(S = \left\{ 1;2 \right\}\)
c) \(- 4 \leq \frac{x^{2} - 2x - 7}{x^{2} +
1} \leq 1\)
A. \(T = \lbrack 1; + \infty)\) B. \(T = \left\lbrack - 4; - \frac{3}{5}
\right\rbrack\)
C. \(T = \left\lbrack - 4; - \frac{3}{5}
\right\rbrack \cup \lbrack 1; + \infty)\) D. \(T = \varnothing\)
d) \(\frac{1}{13} \leq \frac{x^{2} - 2x -
2}{x^{2} - 5x + 7} \leq 1\)
A. \(T = ( - \infty; - 1\rbrack \cup
\left\lbrack \frac{11}{4};3 \right\rbrack\) B. \(T\mathbb{= R}\)
C. \(T = \left\lbrack \frac{11}{4};3
\right\rbrack\) D. \(T = ( - \infty; -
1\rbrack\)
Bài tập 2: Cho \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} - (1 + 2m)x + 2m \leq 0 \\
x^{2} + (2 + m)x + 2m \leq 0
\end{matrix} \right.\) khẳng định nào sai?
A. \(m \leq - 1:\ \ S = \lbrack -
2;1\rbrack,\\) B. \(\ - 1 < m
< 0:\ \ S = \lbrack 2a; - a\rbrack\)
C.\(m = 0:S =\{0\}\) D.\(\ m > 0:S = \left\{ 1
\right\}\)
Bài tập 3: Cho phương trình: \(x^{2} - 2mx
+ m^{2} - m + 1 = 0(1)\)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm \(x
\leq 1\).
A. \(m \in (1;2)\) B. \(m \in ( - \infty;1)\) C. \(m \in (2; + \infty)\) D. \(m \in \lbrack 1;2\rbrack\)
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
--------------------------------------
Qua chuyên đề phương pháp giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn, học sinh sẽ hiểu rõ mối liên hệ giữa các bất phương trình, biết cách lập bảng xét dấu và xác định miền nghiệm chính xác.
Việc luyện tập thường xuyên với hệ bài tập có đáp án chi tiết sẽ giúp bạn nâng cao tốc độ tư duy và tự tin khi gặp các dạng bài tương tự trong đề kiểm tra Toán 10.
