VnDoc.com

Ứng dụng tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN GTNN

Chuyên đề Toán 10 Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm GTLN, GTNN bằng tam thức bậc hai

A. Phương pháp giải
B. Bài tập minh họa ứng dụng tam thức bậc hai chứng minh bđt, tìm min max
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Tam thức bậc hai không chỉ xuất hiện trong các bài toán giải phương trình mà còn là công cụ cực kỳ hữu ích trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của biểu thức. Đây là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 10, thường gặp trong các đề thi học kỳ và luyện thi học sinh giỏi. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách ứng dụng tam thức bậc hai vào việc giải các dạng toán trên, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập có đáp án chi tiết để bạn dễ dàng tiếp cận và luyện tập.

A. Phương pháp giải

Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng $ax^{2} + bx + c > 0$ $ax^{2} + bx + c > 0$, $ax^{2} + bx + c \geq 0$ $ax^{2} + bx + c \geq 0$; $ax^{2} + bx + c < 0$ $ax^{2} + bx + c < 0$ hoặc $ax^{2} + bx + c \leq 0$ $ax^{2} + bx + c \leq 0$ rồi đi chứng minh (theo thứ tự) $\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{matrix} \right.$ , $\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$, $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$.

Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: $A^{2} \leq 4BC$ $A^{2} \leq 4BC$ (hoặc $A^{2} \leq BC$ $A^{2} \leq BC$) ta có thể chứng minh tam thức $f(x) = Bx^{2} + Ax + C$ $f(x) = Bx^{2} + Ax + C$ (hoặc $f(x) = Bx^{2} + 2Ax + C$ $f(x) = Bx^{2} + 2Ax + C$) luôn cùng dấu với B. Khi đó ta sẽ có $\Delta \leq 0$ $\Delta \leq 0$.

B. Bài tập minh họa ứng dụng tam thức bậc hai chứng minh bđt, tìm min max

Ví dụ 1: Cho hai số thực $x,y$. Chứng minh rằng $3x^{2} + 5y^{2} - 2x - 2xy + 1 > 0$ $3x^{2} + 5y^{2} - 2x - 2xy + 1 > 0$.

Hướng dẫn giải

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng $3x^{2} - 2(y + 1)x + 5y^{2} + 1 > 0$ $3x^{2} - 2(y + 1)x + 5y^{2} + 1 > 0$

Đặt $f(x) = 3x^{2} - 2(y + 1)x + 5y^{2} + 1$ $f(x) = 3x^{2} - 2(y + 1)x + 5y^{2} + 1$ xem $y$ là tham số khi đó $f(x)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số $a_{x} = 3 > 0$ $a_{x} = 3 > 0$ và

$\Delta_{x}$ $\Delta_{x}' = (y + 1)^{2} - 3(5y^{2} + 1) = - 14y^{2} + 2y - 2$

Xét tam thức $g(y) = - 14y^{2} + 2y - 2$ $g(y) = - 14y^{2} + 2y - 2$ có hệ số $a_{y} = - 14 < 0$ $a_{y} = - 14 < 0$ và $\Delta$ $\Delta'_{y} = - 27 < 0$

Suy ra $\Delta$ $\Delta'_{x} < 0$

Do đó $f(x) < 0$ với mọi $x,y$.

Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: $f(a_{1},a_{2},...,a_{n}) \geq 0$ $f(a_{1},a_{2},...,a_{n}) \geq 0$

$\forall a_{1},a_{2},...,a_{n}$ $\forall a_{1},a_{2},...,a_{n}$ mà $f(a_{1},a_{2},...,a_{n}) = g(a_{i})$ $f(a_{1},a_{2},...,a_{n}) = g(a_{i})$ là một tam thức bậc hai với ẩn $a_{i}$ $a_{i}$ có hệ số $a > 0$, ta có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó $g(a_{i}) \geq 0 \Leftrightarrow \Delta_{a_{i}} \leq 0$ $g(a_{i}) \geq 0 \Leftrightarrow \Delta_{a_{i}} \leq 0$.

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là số thực. Chứng minh rằng:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2}y^{2}z^{2} - 4xyz + y^{2}z^{2} - 2yz + 1 \geq 0$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2}y^{2}z^{2} - 4xyz + y^{2}z^{2} - 2yz + 1 \geq 0$

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức viết lại $\left( 1 + y^{2}z^{2} \right)x^{2} - 4xyz + y^{2} + z^{2} + y^{2}z^{2} - 2yz + 1 \geq 0$ $\left( 1 + y^{2}z^{2} \right)x^{2} - 4xyz + y^{2} + z^{2} + y^{2}z^{2} - 2yz + 1 \geq 0$

Đặt $f(x) = \left( 1 + y^{2}z^{2} \right)x^{2} - 4xyz + y^{2} + z^{2} + y^{2}z^{2} - 2yz + 1$ $f(x) = \left( 1 + y^{2}z^{2} \right)x^{2} - 4xyz + y^{2} + z^{2} + y^{2}z^{2} - 2yz + 1$, khi đó $f(x)$ là một tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số $a = 1 + y^{2}z^{2} > 0$ $a = 1 + y^{2}z^{2} > 0$ và $\Delta$ $\Delta'_{x} = 4y^{2}z^{2} - \left( 1 + y^{2}z^{2} \right)\left( y^{2} + z^{2} + y^{2}z^{2} - 2yz + 1 \right)$

$\Rightarrow \Delta$ $\Rightarrow \Delta'_{x} = - (1 + y^{2} - 2yz + z^{2} - 2y^{2}z^{2} + y^{4}z^{2} - 2y^{3}z^{3} + y^{2}z^{4} + y^{4}z^{4})$

Áp dụng BĐT $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ ta có

$y^{4}z^{2} + y^{2}z^{4} \geq 2y^{3}z^{3}$ $y^{4}z^{2} + y^{2}z^{4} \geq 2y^{3}z^{3}$, $y^{4}z^{4} + 1 \geq 2y^{2}z^{2}$ $y^{4}z^{4} + 1 \geq 2y^{2}z^{2}$ và $y^{2} + z^{2} \geq 2yz$ $y^{2} + z^{2} \geq 2yz$

Cộng vế với vế lại suy ra $\Delta$ $\Delta'_{x} \leq 0$

Do đó $f(x) \geq 0,\ \ \forall x,y,z$ $f(x) \geq 0,\ \ \forall x,y,z$ . ĐPCM.

Ví dụ 3: Cho $a,\ \ b,\ \ c$ $a,\ \ b,\ \ c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $x,y,z$ thỏa mãn: $a^{2}x + b^{2}y + c^{2}z = 0$ $a^{2}x + b^{2}y + c^{2}z = 0$. Chứng minh rằng: $xy + yz + zx \leq 0$ $xy + yz + zx \leq 0$.

Hướng dẫn giải

* Nếu trong ba số x, y, z có một số bằng 0, chẳng hạn $x = 0 \Rightarrow b^{2}y = - c^{2}z$ $x = 0 \Rightarrow b^{2}y = - c^{2}z$.

$\Rightarrow xy + yz + zx = yz = - \frac{c^{2}}{b^{2}}z^{2} \leq 0$ $\Rightarrow xy + yz + zx = yz = - \frac{c^{2}}{b^{2}}z^{2} \leq 0$.

* $x,y,z \neq 0$ $x,y,z \neq 0$.Do $a^{2}x + b^{2}y + c^{2}z = 0 \Rightarrow x = - \frac{b^{2}y + c^{2}z}{a^{2}}$ $a^{2}x + b^{2}y + c^{2}z = 0 \Rightarrow x = - \frac{b^{2}y + c^{2}z}{a^{2}}$

$\Rightarrow xy + yz + zx \leq 0$ $\Rightarrow xy + yz + zx \leq 0$ $\Leftrightarrow - (y + z)\frac{b^{2}y + c^{2}z}{a^{2}} + yz \leq 0$ $\Leftrightarrow - (y + z)\frac{b^{2}y + c^{2}z}{a^{2}} + yz \leq 0$

$\Leftrightarrow f(y) = b^{2}y^{2} + (b^{2} + c^{2} - a^{2})yz + c^{2}z^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow f(y) = b^{2}y^{2} + (b^{2} + c^{2} - a^{2})yz + c^{2}z^{2} \geq 0$.

Tam thức $f(y)$ có $\Delta_{y} = \left\lbrack (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - 4b^{2}c^{2} \right\rbrack z^{2}$ $\Delta_{y} = \left\lbrack (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - 4b^{2}c^{2} \right\rbrack z^{2}$.

Vì $\left\{ \begin{matrix} |b - c| < a \\ b + c > a \end{matrix} \right.\ \Rightarrow - 2bc < b^{2} + c^{2} - a^{2} < 2bc$ $\left\{ \begin{matrix} |b - c| < a \\ b + c > a \end{matrix} \right.\ \Rightarrow - 2bc < b^{2} + c^{2} - a^{2} < 2bc$

$\Rightarrow (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} < 4c^{2}b^{2} \Rightarrow \Delta_{y} \leq 0,\ \forall z \Rightarrow f(y) \geq 0\ \ \ \forall y,z$ $\Rightarrow (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} < 4c^{2}b^{2} \Rightarrow \Delta_{y} \leq 0,\ \forall z \Rightarrow f(y) \geq 0\ \ \ \forall y,z$.

Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số $a_{1},a_{2},..,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ $a_{1},a_{2},..,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Chứng minh rằng:

$(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2})$ $(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2})$

Hướng dẫn giải

* Nếu $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} = 0 \Rightarrow$ $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} = 0 \Rightarrow$ BĐT hiển nhiên đúng.

* Nếu $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} > 0$ $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} > 0$. Xét tam thức :

$f(x) = \left( a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} \right)x^{2} - 2(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})x + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2}$ $f(x) = \left( a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} \right)x^{2} - 2(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})x + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2}$

$= (a_{1}x - b_{1})^{2} + (a_{2}x - b_{2})^{2} + ... + (a_{n}x - b_{n})^{2} \geq 0\ \ \ \forall x$ $= (a_{1}x - b_{1})^{2} + (a_{2}x - b_{2})^{2} + ... + (a_{n}x - b_{n})^{2} \geq 0\ \ \ \forall x$

$\Rightarrow \Delta = (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} - (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2}) \leq 0$ $\Rightarrow \Delta = (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} - (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2})$ $\Leftrightarrow (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2})$

Đẳng thức có $\Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ $\Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT:

$x^{2} + 9y^{2} + 5z^{2} + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + 1 \geq 0$ $x^{2} + 9y^{2} + 5z^{2} + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + 1 \geq 0$

đúng với $\forall x,z\mathbb{\in R}$ $\forall x,z\mathbb{\in R}$.

A. $- \frac{2}{3} \leq y$ $- \frac{2}{3} \leq y$ B. $y \leq 0$ $y \leq 0$ C. $- \frac{2}{3} \leq y \leq 0$ $- \frac{2}{3} \leq y \leq 0$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} y < - \frac{2}{3} \\ y > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} y < - \frac{2}{3} \\ y > 0 \end{matrix} \right.$

Bài tập 2: Cho $x,y,z \geq 0$ $x,y,z \geq 0$thỏa mãn: $xy + yz + zx + xyz = 4$. Chứng minh rằng: $x + y + z \geq xy + yz + zx$ $x + y + z \geq xy + yz + zx$.

Bài tập 3: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

$xzy + 2(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 8 \geq 5(x + y + z)$ $xzy + 2(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 8 \geq 5(x + y + z)$Bài tập 4: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn bất phương trình $5x^{2} + 5y^{2} - 5x - 15y + 8 \leq 0$ $5x^{2} + 5y^{2} - 5x - 15y + 8 \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x + 3y.$

Bài tập 5: Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 4a - 3b.$ $a^{2} + b^{2} = 4a - 3b.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = 2a + 3b.$

A. $\frac{- 9 + 45\sqrt{13}}{18}$ $\frac{- 9 + 45\sqrt{13}}{18}$ B. $\frac{- 9 + 5\sqrt{13}}{18}$ $\frac{- 9 + 5\sqrt{13}}{18}$ C. $\frac{- 9 + 4\sqrt{13}}{18}$ $\frac{- 9 + 4\sqrt{13}}{18}$ D. $\frac{- 9 + 45 \sqrt{13}}{8}$ $\frac{- 9 + 45 \sqrt{13}}{8}$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

----------------------------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã được làm quen với cách ứng dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN – một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Để thành thạo, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập với mức độ từ cơ bản đến nâng cao. Đừng quên tham khảo phần đáp án và lời giải chi tiết để kiểm tra lại tư duy và tránh những lỗi thường gặp khi giải toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: