Bài toán thực tế bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn Toán 10 - Toán thực tế
Trong chương trình Toán 10, phần bất phương trình bậc hai một ẩn không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng. Việc hiểu rõ cách vận dụng bất phương trình bậc hai vào giải quyết các bài toán thực tế giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng mô hình hóa và phân tích vấn đề.
Bài viết Bài toán thực tế bất phương trình bậc hai một ẩn tổng hợp các dạng bài tập ứng dụng phổ biến, kèm lời giải chi tiết và phương pháp phân tích cụ thể, giúp học sinh dễ dàng nắm bắt cách chuyển đổi bài toán thực tế sang dạng bất phương trình, từ đó tìm ra nghiệm hợp lý và hiểu sâu bản chất toán học.
Phần I: Đề bài bài tập thực tế
Bài tập 1. Một công ty bình gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là 
\(x\) nghìn đồng thì doanh thu \(R\) (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là \(R(x) = - 560x^{2} + 50000x.\)
a) Theo mô hình doanh thu này thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng \(0\) (tức là không có người mua)
b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức \(1\) tỉ đồng?
Bài tập 2: Một công ty du lịch báo giá tiền cho chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
50 khách đầu tiên với giá 300000đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm một người, giá vé sẽ giảm 5000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x
b) Số người của nhóm du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng.
Bài tập 3: Công ty An Bình báo giá tiền cho chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
10 khách đầu tiên với giá 800000đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ thêm một người, giá vé sẽ giảm 10000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x
b) Số người của nhóm du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.
Bài tập 4: Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \(Q^{2} + 180Q + 140000\)(nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là \(1200\) nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận của xí nghiệm thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó., biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm là hòa vốn?
c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?
Bài tập 5: Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu là \(500\ m/s\), hợp với phương ngang một góc \(45^{0}\). Biết rằng bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật nén xiên sẽ tuân theo phương trình
\(y = \frac{-
g}{2{v^{2}}_{0}cos^{2}\alpha}x^{2} + x\tan\alpha.\)
Trong đó \(x\) là khoảng cách ( tính bằng mét) vật bay theo phương ngang, vận tốc ban đầu \(v_{0}\) của vật hợp với phương ngang một góc \(\alpha\) và \(g = 9,8\ m/s^{2}\) là gia tốc trọng trường.
a) Viết phương trình của chuyển động
b) Để viên đạn bay qua ngọn núi cao \(4\
000\)mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng cách bao xa?
Bài tập 6: Xét hệ tọa độ \(Oth\) trên mặt phẳng, trong đó trục \(Ot\) biểu thị thời gian \(t\) (tính bằng giây) và trục \(Oh\) biểu thị độ cao \(h\) (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm \(A(0;0,2)\) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao \(8,5\ m\) sau \(1\) giây và đạt độ cao \(6\ m\) sau \(2\) giây.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.
b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?
Bài tập 7. Xét đường tròn đường kính \(AB =
4\) và một điểm \(M\) di chuyển trên đoạn \(AB\), đặt \(AM = x\) (như hình vẽ). Xét hai đường tròn đường kính \(AM\) và \(MB\). Kí hiệu \(S(x)\) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của \(x\) để diện tích \(S(x)\) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Phần II. Đáp án bài tập thực tế
Bài tập 1.
a) Doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng \(0\) tức là \(R(x)
= - 560x^{2} + 50000x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 89
\end{matrix} \right.\)
Vậy theo mô hình đã cho, với đơn giá \(89\) nghìn đồng thì công ty không có doanh thu. (Đơn giá quá cao dẫn đến không có người mua hàng)
b) Doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức \(1\) tỉ đồng, tức là
\(- 560x^{2} + 50000x > 1000000\)
\(\Leftrightarrow 56x^{2} - 5000x +100000 < 0\)
\(\Leftrightarrow 30,25 < x < 59,04.\)
Vậy với đơn giá của bình đựng nước khoảng \(31\) nghìn đồng đến \(59\) nghìn đồng thì doanh thu vượt mức \(1\) tỉ đồng.
Bài tập 2
a) Cứ thêm \(1\) người thì giá vé còn \((300000 - 5000.1)\)đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Cứ thêm \(x\) người thì giá vé còn \((300000 - 5000.x)\)đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Vậy doanh thu theo \(x\) là \((50 + x).(300000 - 5000x)\) đồng.
b) Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi
\((50 + x).(300000 - 5000x) \geq 15\ 080\ 000\)
\(\Leftrightarrow (50 + x).(60 - x) \geq 3016\)
\(\Leftrightarrow - x^{2} + 10x - 16 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2 \leq x \leq 8.\)
Vậy số người của nhóm khách du lich nhiều nhất là \(58\) người.
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
--------------------------------------------------------------
Qua bài viết “Bài toán thực tế bất phương trình bậc hai một ẩn”, học sinh không chỉ củng cố kiến thức về giải bất phương trình, mà còn hiểu rõ cách vận dụng Toán học vào đời sống thông qua các tình huống cụ thể.
Việc luyện tập thường xuyên các bài toán thực tế có đáp án chi tiết sẽ giúp học sinh tăng khả năng tư duy, rèn kỹ năng lập luận và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra, thi học kỳ cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đây là tài liệu hữu ích trong chuyên đề Bất phương trình Toán 10, giúp các em tự tin chinh phục mọi dạng bài ứng dụng.
