Bài toán chia kẹo Euler
Phương pháp giải bài toán chia kẹo Euler
Bài toán chia kẹo Euler là một trong những dạng toán tổ hợp nổi tiếng và thú vị trong chương trình Toán 10 nâng cao. Thông qua việc đếm số cách phân chia các đối tượng giống nhau vào nhiều nhóm khác nhau, học sinh không chỉ rèn luyện tư duy logic mà còn làm quen với các kỹ thuật đếm quan trọng thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và các bài toán vận dụng cao. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và các dạng bài tập liên quan đến bài toán chia kẹo Euler.
A. Bài toán chia kẹo đơn giản
Bài toán mở đầu: Có tất cả bao nhiêu cách chia 5 chiếc kẹo cho 3 em bé sao cho mỗi bé được ít nhất một chiếc kẹo?
Hướng dẫn giải
Ở đây những chiếc kẹo là như nhau nên chúng ta cũng chỉ cần quan tâm đến việc xem mỗi em bé được bao nhiêu cái kẹo mà không cần quan tâm đến việc mỗi em bé được những chiếc kẹo như thế nào, vì đơn giản những chiếc kẹo đều giống nhau.
Mục đích: Chia kẹo thành 3 phần, sao cho mỗi phần có ít nhất một chiếc kẹo. Công việc hoàn thành bởi các giai đoạn sau:
Giai đoan 1. Xếp 5 chiếc kẹo thành hàng ngang, có 1 cách sắp xếp (vì những chiếc kẹo giống nhau). Sau khi xếp xong thì giữa 5 chiếc kẹo thì sẽ có (5 – 1) khoảng trống.
Giai đoạn 2. Ta dùng (3 – 1) vách ngăn giống nhau để xếp vào (5 – 1) khoảng trống. Sẽ có 
\(C_{5 - 1}^{3 - 1} = C_4^2 = 6\) cách.
Sau khi xếp các vách ngăn sẽ tạo ra 3 phần. Việc chia kẹo đã hoàn thành. Cố cách chia kẹo sẽ là: \(1.C_{5 - 1}^{3 - 1} = 1.C_4^2 = 6\) (cách).
B. Bài toán chia kẹo Euler tổng quát
Một cách tổng quát: Khi đem n chiếc kẹo giống nhau đem chia cho k em bé, sao cho mỗi em được ít nhất một chiếc kẹo thì số cách chia kẹo sẽ là: \(C_{n - 1}^{k - 1}\). Cách giải bài toán này tương tự bài toán mở đầu:
- Giai đoan 1. Xếp n chiếc kẹo thành hàng ngang, có 1 cách sắp xếp (vì những chiếc kẹo giống nhau). Sau khi xếp xong thì giữa n chiếc kẹo thì sẽ có (n– 1) khoảng trống.
- Giai đoạn 2. Ta dùng (k – 1) vách ngăn giống nhau để xếp vào (n – 1) khoảng trống. Sẽ có \(C_{n - 1}^{k - 1}\) cách.
Sau khi xếp các vách ngăn sẽ tạo ra k phần. Việc chia kẹo đã hoàn thành. Cố cách chia kẹo sẽ là: \(C_{n - 1}^{k - 1}\) (cách).
Hệ quả 1. Bài toán chia kẹo Euler còn được mở rộng sang bài toán đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} = n\) với n và k là những số nguyên dương thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Ở đây ta coi như có n chiếc kẹo giống nhau đem chia cho k em bé sao cho số cách chia kẹo cũng là số nghiệm nguyên dương cần đếm và bằng \(C_{n - 1}^{k - 1}\) .
Hệ quả 2. Chúng ta có thể phát triển thêm một hệ quả nữa ở dạng bài toán là: “Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo giống nhau cho k em bé, biết rằng có thể có em bé sẽ không được chia chiếc kẹo nào?”
Hướng dẫn giải
Bây giờ ta sẽ bù thêm vào k chiếc kẹo để thành ra tổng số kẹo là (n + k)
Mục đích của ta là dùng k chiếc kẹo này chia đều cho k em bé để đảm bảo mỗi em đều được ít nhất 1 chiếc kẹo). Bài toán trở thành: Dùng (n + k) chiếc kẹo giống nhau đem chia cho k em bé sao cho mỗi em bé được ít nhất một chiếc kẹo, thì số cách chia sẽ đơn giản là \(C_{n + k - 1}^{k - 1}\) cách.
Hệ quả 3. Hỏi bất phương trình \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \le n\) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
Hướng dẫn giải
Ta có: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \le n \to \left( {n + 1} \right) - \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_k}} \right) \ge 1\)
Đặt \({x_{k + 1}} = \left( {n + 1} \right) - \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_k}} \right) \in \mathbb{N^*}\)
\(\Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_k} + {x_{k + 1}}} \right) = n + 1\)
Số nghiệm \(\left( {{x_1};{x_2};...;{x_k}} \right)\) thỏa mãn cũng là số nghiệm \(\left( {{x_1};{x_2};...;{x_k};{x_{k + 1}}} \right)\) thỏa mãn. Ta đã biết số nghiệm nguyên dương của phương trình trên là \(C_{\left( {n + 1} \right) - 1}^{\left( {k + 1} \right) - 1} = C_n^k\).
Như vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \le n\) là: \(C_n^k\).
C. Bài tập minh họa cụ thể bài toán chia kẹo Euler
Bài tập 1. Có tất cả bao nhiêu cách chia 9 chiếc kẹo giống nhau cho 3 em bé sao cho có thể có em bé không được chiếc kẹo nào?
Hướng dẫn giải
Chúng ta bù thêm 3 chiếc kẹo giống nhau với 9 chiếc kẹo có sẵn vào thì sẽ có tất cả là 9 + 3 = 12 chiếc kẹo giống nhua
Mục đích của việc bù thêm là để chia thêm cho mỗi em bé một cái để coi như khi đó mỗi em bé được ít nhất một chiếc kẹo.
Bài toán trở thành chia 12 chiếc kẹo cho 3 em bé sao cho mỗi em bé được ít nhất một chiếc kẹo. Suy ra có tất cả số cách chia là: \(C_{9 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{11}^2 = 55\) (cách).
Bài tập 2. Cho phương trình nghiệm nguyên dương \(x + y + z = 28\). Hỏi phương trình đã cho có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải
Ta có như có 28 chiếc kẹo giống nhau và đem chia cho 3 người, số kẹo của mỗi người lần lượt là x, y, z. Suy ra số nghiệm nguyên dương của phương trình cũng là số cách chia kẹo: \(C_{28 - 1}^{3 - 1} = C_{27}^2 = 351\) (cách).
Bài tập 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ \(\left( {x;y;z;t} \right)\) nguyên thỏa mãn \(x + y + z + t = 20\) và đồng thời thỏa mãn \(x \ge 0;y \ge - 2;z \ge 3;t \ge - 5\)?
Hướng dẫn giải
Chúng ta phải đưa về các biến chuẩn bài toán nghiệm nguyên dương bằng cách đặt.
\(\left\{ \begin{array}{l}
a = x + 1\\
b = y + 3\\
c = z - 2\\
d = t + 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b + c + d = x + y + z + t + 8 = 20 + 8 = 28\\
a;b;c;d \ge 1
\end{array} \right.\)
Mỗi bộ nghiệm nguyên dương \(\left( {a;b;c;d} \right)\) tương ứng với một bộ \(\left( {x;y;z;t} \right)\) .
Suy ra số bộ \(\left( {x;y;z;t} \right)\) thỏa mãn bài toán là số cách chia 28 chiếc kẹo cho 4 em bé sao cho mỗi em bé được ít nhất 1 cái: \(C_{28 - 1}^{4 - 1} = C_{27}^3 = 2925\) (cách).
Bài tập 4. Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng trong khai triển \({\left( {2a + b + c} \right)^{10}}\)?
Hướng dẫn giải
Trong khai triển \({\left( {2a + b + c} \right)^{10}}\) thì mỗi số hạng đều có dạng \({\left( {2a} \right)^x}{\left( b \right)^y}{\left( c \right)^z}\) với điều kiện đảm bảo \(x + y + z = 10;\left( {x;y;z \in \mathbb{N^*}} \right)\)
Ta chuẩn về phương trình nghiệm nguyên dương Euler như sau:
\(\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z + 1} \right) = 13\) và đặt \(x' = \left( {x + 1} \right);y' = \left( {y + 1} \right);z' = \left( {z + 1} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
x';y';z' \in \mathbb{N^*}\\
x' + y' + z' = 13
\end{array} \right.\)
Có tất cả là: \(C_{13 - 1}^{3 - 1} = 66\) bộ \(\left( {x';y';z'} \right)\) thỏa mãn, cũng là có 66 bộ \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn
Suy ra có tất cả 66 số hạng trong khai triển \({\left( {2a + b + c} \right)^{10}}\) .
-----------------------------------------
FAQ
Bài toán chia kẹo Euler khác gì so với các bài toán tổ hợp thông thường?
Điểm đặc biệt là các đối tượng được xem là giống nhau và việc đếm tập trung vào cách phân chia thay vì sắp xếp thứ tự.
Khi nào sử dụng mô hình "ngăn cách và vật giống nhau"?
Mô hình này được áp dụng khi cần chia nhiều đối tượng giống nhau vào nhiều nhóm phân biệt.
Có mẹo nào để tránh nhầm lẫn trong bài toán chia kẹo?
Nên xác định rõ đối tượng giống nhau hay khác nhau, nhóm nhận có phân biệt hay không và các điều kiện tối thiểu hoặc tối đa.
-------------------------------
Nắm vững bài toán chia kẹo Euler sẽ giúp học sinh phát triển tư duy tổ hợp và giải quyết hiệu quả nhiều dạng toán đếm trong chương trình Toán 10. Việc luyện tập thường xuyên các bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp ghi nhớ phương pháp và nâng cao khả năng xử lý các bài toán tổ hợp trong các kỳ thi quan trọng.
