VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Trắc nghiệm Toán 10 Tích của một vectơ với một số (mức độ vận dụng)

Bài tập Toán 10 Vectơ có đáp án

Luyện tập phép nhân vectơ với số lớp 10 (VD - VDC)

Bài viết Trắc nghiệm Toán 10 Tích của một vectơ với một số (mức độ vận dụng) giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thực hành và tư duy vận dụng trong giải toán vectơ. Với hệ thống bài tập Toán 10 vectơ có đáp án chi tiết, nội dung này hỗ trợ người học nắm chắc quy tắc nhân vectơ với số, đồng thời biết áp dụng vào các dạng bài phức tạp trong đề thi THPT Quốc gia.

Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 25 câu
Điểm số bài kiểm tra: 25 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC, I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
- A.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \right).$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM}.$ $(1)$

Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $2\ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AM}.$ $(2)$

Từ $(1),\ \ (2)$ suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 4\ \overrightarrow{AI}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$
Câu 2: Vận dụng
Tính độ dài vectơ
Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Tính $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \right|.$
- A.
  $\left( 1 + \sqrt{2} \right)a.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a\sqrt{2}.$
- D.
  $a\sqrt{5}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A \Rightarrow OC = 2a.$

Tam giác $OBC$ vuông tại $O,$ có $BC = \sqrt{OB^{2} + OC^{2}} = a\sqrt{5}.$

Ta có:

$2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BC}$ suy ra $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{BC} \right| = a\sqrt{5}.$
Câu 3: Vận dụng
Định câu sai
Cho hình thang $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai ?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ \ BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0} \end{matrix} \right.$

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

Đáp án $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}$ đúng

VVì $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{MN}$

$= \left( \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} \right) + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MN}.$

Đáp án $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}$ đúng, vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} \right) - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MN}.$

Đáp án $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).$ đúng, vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}$

Suy ra $2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} \right) + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).$

Đáp án $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right)$ sai, vì theo phân tích ở đáp án $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right)$ .
Câu 4: Vận dụng
Tìm mệnh đề đúng
Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CG}.$
- C.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{BG}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}.$
Hướng dẫn:
Gọi $E$ là trung điểm của $AC \Rightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2\ \overrightarrow{BE}.$ $(1)$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{BE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BG}.$ $(2)$

Từ $(1),\ \ (2)$ suy ra $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow{BG} = 3\ \overrightarrow{BG}.$
Câu 5: Vận dụng
Tính vectơ theo hai vectơ đã cho
Cho tam giác $ABC,$ hai điểm $M,\ \ N$ chia cạnh $BC$ theo ba phần bằng nhau $BM = MN = NC.$ Tính $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
Câu 6: Vận dụng
Tìm khẳng định sai
Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\left| 3\ \overrightarrow{OA} + 4\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$
- B.
  $\left| 2\ \overrightarrow{OA} \right| + \left| 3\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$
- C.
  $\left| 7\ \overrightarrow{OA} - 2\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$
- D.
  $\left| 11\ \overrightarrow{OA} \right| - \left| 6\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$
Hướng dẫn:
Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

Đáp án “ $\left| 3\ \overrightarrow{OA} + 4\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$ ” đúng, gọi $C$ nằm trên tia đối của tia $AO$ sao cho $OC = 3\ OA \Rightarrow 3\ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$

Và $D$ nằm trên tia đối của tia $BO$ sao cho $OD = 4\ OB \Rightarrow 4\ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật $OCED$ suy ra $\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có $\left| 3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \right| = \left| \overrightarrow{OE} \right|$

$= OE = CD = \sqrt{OC^{2} + OD^{2}} = 5a.$

Đáp án “ $\left| 2\ \overrightarrow{OA} \right| + \left| 3\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$ ” đúng, vì $\left| 2\ \overrightarrow{OA} \right| + \left| 3\ \overrightarrow{OB} \right| = 2\left| \overrightarrow{OA} \right| + 3\left| \overrightarrow{OB} \right|$

$= 2a + 3a = 5a.$

Đáp án “ $\left| 7\ \overrightarrow{OA} - 2\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$ ” sai, xử lý tương tự như ý đáp án $\left| 3\ \overrightarrow{OA} + 4\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$ .

Đáp án “ $\left| 11\ \overrightarrow{OA} \right| - \left| 6\ \overrightarrow{OB} \right| = 5a.$ ” đúng, vì $\left| 11\ \overrightarrow{OA} \right| - \left| 6\ \overrightarrow{OB} \right| = 11\left| \overrightarrow{OA} \right| - 6\left| \overrightarrow{OB} \right| = 11a - 6a = 5a.$
Câu 7: Vận dụng
Chọn hệ thức đúng
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
- A.
  $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{BC}.$
- B.
  $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}.$
- C.
  $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}.$
- D.
  $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}$

$= 2\overrightarrow{MC} + 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.$
Câu 8: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
- A. $AM$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}.$
- B. Ba điểm $C,\ \ M,\ \ B$ thẳng hàng.
- C. $A,\ \ M$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thẳng hàng.
- D. $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}.$
Hướng dẫn:
Gọi $I,\ \ G$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trọng tâm tam giác $ABC.$

Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\ \overrightarrow{MI}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ suy ra $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MI} \Rightarrow A,\ \ M,\ \ I$ thẳng hàng

Mặt khác $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \ G \in AI.$

Do đó, ba điểm $A,\ \ M,\ \ G$ thẳng hàng.
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $3\ AM = AB$ và $N$ là trung điểm của $AC.$ Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
Hướng dẫn:
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $2\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}.$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = 2\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Câu 10: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}.$
Hướng dẫn:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}.$

Và $M$ là trung điểm $AB$ nên $2\ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}$

$\Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM} = 2\ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}.$

$\Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM} = - \ 2\ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC}.$
Câu 11: Vận dụng cao
Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
Cho hình chữ nhật $ABCD$ và số thực $k > 0.$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = k.$
- A.
  Một đường tròn.
- B.
  Một đường thẳng.
- C.
  Một đoạn thẳng.
- D.
  Một điểm.
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD,$ ta có $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} \\ 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} \end{matrix} \right.\ ,\ \ \forall M.$

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = k$

$\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MI} \right| = k$

$\Leftrightarrow 4\left| \overrightarrow{MI} \right| = k \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MI} \right| = \frac{k}{4}(*).$

Vì $I$ là điểm cố định nên tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $(*)$ là đường

tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{k}{4}.$
Câu 12: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
Câu 13: Vận dụng
Tìm số điểm M thỏa mãn đẳng thức
Cho tam giác $ABC$ . Có bao nhiêu điểm $M$ thỏa $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = 3$ ?
- A.
  $1\ .$
- B.
  Vô số.
- C.
  $2\ .$
- D.
  $3\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên G cố định duy nhất và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = 3\$

$\Leftrightarrow \ \ \left| \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} - 3\overrightarrow{GM} \right| = 3\$

$\Leftrightarrow \ 3\ \left| \overrightarrow{GM} \right| = 3\ \ \Leftrightarrow \ \ \overline{GM} = 1$ .

Vậy có vô số điểm $M$ thỏa mãn, với tập hợp $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính bằng $1.$
Câu 14: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IB}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?
- A.
  $\overrightarrow{CI} = \frac{\overrightarrow{CA} + 2\ \overrightarrow{CB}}{3}.$
- B.
  $\overrightarrow{CI} = \frac{\overrightarrow{CA} - 2\ \overrightarrow{CB}}{3}.$
- C.
  $\overrightarrow{CI} = \frac{\overrightarrow{CA} + 2\ \overrightarrow{CB}}{- \ 3}.$
- D.
  $\overrightarrow{CI} = - \ \overrightarrow{CA} + 2\ \overrightarrow{CB}.$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết $\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IB} \Rightarrow B$ là trung điểm của $IA$

$\Rightarrow \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB};\ \ \overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AB}.$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI} \\ \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AI} \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{AI}$

$= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB}.$

$= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + 3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + 3\left( \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \right)$

$= - \ 2\ \overrightarrow{CA} + 4\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CI} = - \ \overrightarrow{CA} + 2\ \overrightarrow{CB}.$
Câu 15: Vận dụng cao
Xác định tập hợp điểm M
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a,$ trọng tâm $G.$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} \right|.$
- A.
  Đường tròn tâm G, bán kính $\frac{a}{3}$ .
- B.
  Đường tròn đường kính BC.
- C.
  Đường trung trực của đoạn BC.
- D.
  Đường trung trực đoạn thẳng AG.
Hướng dẫn:
Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ AC.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MJ} \end{matrix} \right.\ .$

Theo bài ra, ta có $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 2\ \overrightarrow{MI} \right| = \left| 2\ \overrightarrow{MJ} \right| \Leftrightarrow MI = MJ.$

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} \right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IJ,$ cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm tập hơp M thỏa mãn đẳng thức
Cho hình chữ nhật $ABCD$ và $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right|.$
- A.
  Trung trực của đoạn thẳng $AB.$
- B.
  Đường tròn tâm $I,$ bán kính $\frac{AC}{2}.$
- C.
  Trung trực của đoạn thẳng $AD.$
- D.
  Đường tròn tâm $I,$ bán kính $\frac{AB + BC}{2}.$
Hướng dẫn:
Gọi $E,\ \ F$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ CD.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{ME} \\ \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MF} \end{matrix} \right.\ ,\ \ \forall M.$

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right|$

$\Leftrightarrow 2\left| \overrightarrow{ME} \right| = 2\left| \overrightarrow{MF} \right| \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{ME} \right| = \left| \overrightarrow{MF} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Vì $E,\ \ F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $(*) \Rightarrow$ tập hợp các điểm $M$ là trung

trực của đoạn thằng $EF$ hay chính là trung trực của đoạn thẳng $AD.$
Câu 17: Vận dụng
Xác định vectơ theo hai vectơ đã cho
Cho hình bình hành $ABCD.$ Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
Hướng dẫn:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}.$

Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} \right)$

$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DB}.$

Vậy $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
Câu 18: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{2}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$

Và $M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$

Do đó $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).$
Câu 19: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $r = \frac{a}{2}.$
- B.
  $r = \frac{a}{9}.$
- C.
  $r = \frac{a}{6}.$
- D.
  $r = \frac{a}{3}.$
Hướng dẫn:
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Ta có $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) + 4\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} \right| = \left| \overrightarrow{AB} \right|$

$\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $r = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 20: Vận dụng
Phân tích vectơ theo hai vectơ đã cho
Cho tứ giác $ABCD,$ trên cạnh $AB,\ \ CD$ lấy lần lượt các điểm $M,\ \ N$ sao cho $3\ \overrightarrow{AM} = 2\ \overrightarrow{AB}$ và $3\ \overrightarrow{DN} = 2\ \overrightarrow{DC}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD},\ \ \overrightarrow{BC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + 2\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \right)$

$= \left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right) + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{DN} + 2\overrightarrow{CN} \right).$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} + 2\ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN} + 2\ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$

Vậy $3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + 2\ \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
Câu 21: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Cho hai điểm $A,\ \ B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right|.$
- A.
  Đường tròn đường kính $AB.$
- B.
  Đường tròn tâm $A,$ bán kính $AB.$
- C.
  Đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
- D.
  Đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
Hướng dẫn:
Chọn điểm $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $EB = 2EA$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{0}.$

Chọn điểm $F$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $FA = 2FB$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{0}.$

Ta có $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{ME} + 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EB} \right| = \left| 2\overrightarrow{MF} + 2\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{MF} + \overrightarrow{FA} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}}{︸}} \right| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB}}{︸}} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} \right| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} \right| \Leftrightarrow ME = MF\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Vì $E,\ \ F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $(*)$ suy ra tập hợp các điểm $M$ là trung trực của đoạn thẳng $EF.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I$ cũng là trung điểm của $EF.$ lời g

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức P
Cho ba điểm $A,\ \ B,\ \ C$ không thẳng hàng và điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} = x\ \overrightarrow{MB} + y\ \overrightarrow{MC}.$ Tính giá trị biểu thức $P = x + y.$
- A.
  $P = 0.$
- B.
  $P = 2.$
- C.
  $P = 3.$
- D.
  $P = - \ 2.$
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên tồn tại các số thực $x,\ y$ sao cho

$\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC},\ \ \forall M$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AM} + x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{AM} + y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (1 - x - y)\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)\overrightarrow{MA} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}$ suy ra $x + y - 1 = 1 \Leftrightarrow x + y = 2.$
Câu 23: Vận dụng cao
Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu
Cho hai điểm $A,\ \ B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right|.$
- A.
  Đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
- B.
  Đường tròn đường kính $AB.$
- C.
  Đường tròn tâm $I,$ đường kính $\frac{AB}{2}.$
- D.
  Đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
Hướng dẫn:
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\ \overrightarrow{MI}.$

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 2\ \overrightarrow{MI} \right| = \left| \overrightarrow{BA} \right| \Leftrightarrow MI = \frac{AB}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $(*)$ là đường tròn tâm $I,$ bán kính

$R = \frac{AB}{2}.$
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$ . Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ . Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AK} =\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \right)$ $=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right)$ $= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+ \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ .
Câu 25: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC, I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$

Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$

Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0}.$

Chia sẻ bởi:
Bơ

1

4

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 10

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm Toán 10 Tích của một vectơ với một số (mức độ vận dụng)

Luyện tập phép nhân vectơ với số lớp 10 (VD - VDC)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 10

Toán lớp 10

Chuyên đề Toán 10

Chuyên đề Toán 10

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c

Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt